08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 1 Module #11 – Proof Strategies University of Florida Dept. of Computer & Information Science & Engineering COT 3100 Applications of Discrete Structures Dr. Michael P. Frank Slides for a Course Based on the Text Slides for a Course Based on the Text Discrete Mathematics & Its Applications Discrete Mathematics & Its Applications (5 (5 th th Edition) Edition) by Kenneth H. Rosen by Kenneth H. Rosen 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 2 Module #11 – Proof Strategies Module #11: Chiến lược chứng minh Proof Strategies Rosen 5 Rosen 5 th th ed., §3.1 ed., §3.1 ~21 slides, ~1 lecture ~21 slides, ~1 lecture 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 3 Module #11 – Proof Strategies Tổng quan Bài #11 • Trong bài #2, ta đã thấy: Trong bài #2, ta đã thấy: – Một số kiểu chứng minh của phép kéo theo Một số kiểu chứng minh của phép kéo theo p p → → q q : : • Ngây thơ, Hiển nhiên, Trực tiếp, Gián tiếp Ngây thơ, Hiển nhiên, Trực tiếp, Gián tiếp – Các kiểu chứng minh tồn tại: Các kiểu chứng minh tồn tại: • Xây dựng và không xây dựng. Xây dựng và không xây dựng. – Một số phương pháp chứng minh mệnh đề tổng quan: Một số phương pháp chứng minh mệnh đề tổng quan: • Chứng minh phân trường hợp, chứng minh phản chứng. Chứng minh phân trường hợp, chứng minh phản chứng. • Trong bài này, chúng ta xét các ví dụ về: Trong bài này, chúng ta xét các ví dụ về: – Suy luận tới và lui. Suy luận tới và lui. – Chứng minh phân trường hợp. Chứng minh phân trường hợp. – Chứng minh tồn tại thích hợp. Chứng minh tồn tại thích hợp. – Qui giả thuyết về các chứng minh. Qui giả thuyết về các chứng minh. 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 4 Module #11 – Proof Strategies Suy luận tới • Ta có giả thiết Ta có giả thiết p p , và muốn chứng minh , và muốn chứng minh q q . . – Tìm Tìm s s 1 1 sao cho sao cho p p → → s s 1 1 • Khi đó, luật suy diễn modus ponens sẽ cho Khi đó, luật suy diễn modus ponens sẽ cho s s 1 1 . . – Tiếp tục tìm Tiếp tục tìm s s 2 2 ∋ ∋ (sao cho) (sao cho) s s 1 1 → → s s 2 2 . . • Khi đó, luật suy diễn modus ponens sẽ cho Khi đó, luật suy diễn modus ponens sẽ cho s s 2 2 . . – Và hy vọng sẽ nhận được Và hy vọng sẽ nhận được s s n n ∋ ∋ s s n n → → q q . . • V V ấn đề với phương pháp này là ấn đề với phương pháp này là … … – Ph Ph ải bền bỉ để nhìn thấy đường đi từ ải bền bỉ để nhìn thấy đường đi từ p p . . 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 5 Module #11 – Proof Strategies Suy luận lui Backward Reasoning • Thông thường dễ dàng hơn để thấy con đường tương tự Thông thường dễ dàng hơn để thấy con đường tương tự nếu bạn bắt đầu từ kết luận nếu bạn bắt đầu từ kết luận q q … … – Như vậy, đầu tiên tìm Như vậy, đầu tiên tìm s s −1 −1 sao cho sao cho s s −1 −1 → → q q . . – Sau Sau đó đó , t , t ìm ìm s s −2 −2 ∋ ∋ s s −2 −2 → → s s −1 −1 , v , v à tiếp tục à tiếp tục … … – Cho Cho đến khi đến khi s s − − n n ∋ ∋ p p → → s s − − n n . . • L L ưu ý ta cũng sử dụng luật suy diễn ưu ý ta cũng sử dụng luật suy diễn modus ponens modus ponens để triển để triển khai tính đúng đắn từ khai tính đúng đắn từ p p đến đến s s − − n n đến đến … … s s -1 -1 đến đến q q ! ! – Ch Ch úng ta tìm được dãy lui nhưng áp dụng tiến tới úng ta tìm được dãy lui nhưng áp dụng tiến tới . . – Đây không phải hoàn toàn như chứng minh gián tiếp Đây không phải hoàn toàn như chứng minh gián tiếp … … • Ở đó ta dùng Ở đó ta dùng modus tollens modus tollens v v à à ¬ ¬ q q để chứng minh để chứng minh ¬ ¬ s s − − 1 1 , … , … . . – Tuy nhi Tuy nhi ên ên , n , n ó cũng gần tương tự ó cũng gần tương tự . . 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 6 Module #11 – Proof Strategies Ví dụ suy luận lui Backward Reasoning Example • Theorem: Theorem: ∀ ∀ a a >0, >0, b b >0, >0, a a ≠ ≠ b b : ( : ( a a + + b b )/2 > ( )/2 > ( ab ab ) ) 1/2 1/2 . . • Proof: Proof: – Notice it is not obvious how to go from the Notice it is not obvious how to go from the premises premises a a > > 0 0 , , b b >0 >0 , , a a ≠ ≠ b b directly forward to the directly forward to the conclusion conclusion ( ( a a + + b b )/2 > ( )/2 > ( ab ab ) ) 1/2 1/2 . . – So, let’s work So, let’s work backwards backwards from the conclusion, from the conclusion, ( ( a a + + b b )/2 > ( )/2 > ( ab ab ) ) 1/2 1/2 ! ! Example 1 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 7 Module #11 – Proof Strategies Steps of Example • ( ( a a + + b b )/2 > ( )/2 > ( ab ab ) ) 1/2 1/2 ⇔ ⇔ (squaring both sides) (squaring both sides) – This preserves the “>” since both sides are positive. This preserves the “>” since both sides are positive. • ( ( a a + + b b ) ) 2 2 /4 > /4 > ab ab ⇔ ⇔ (multiplying through by 4) (multiplying through by 4) • ( ( a a + + b b ) ) 2 2 > 4 > 4 ab ab ⇔ ⇔ (squaring (squaring a a + + b b ) ) • a a 2 2 +2 +2 ab ab + + b b 2 2 > 4 > 4 ab ab ⇔ ⇔ (subtracting out 4 (subtracting out 4 ab ab ) ) • a a 2 2 − − 2 2 ab ab + + b b 2 2 > 0 > 0 ⇔ ⇔ (factoring left side) (factoring left side) • ( ( a a − − b b ) ) 2 2 > 0 > 0 • Now, since Now, since a a ≠ ≠ b b , , ( ( a a − − b b )≠0 )≠0 , thus , thus ( ( a a − − b b ) ) 2 2 >0 >0 , and we , and we can work our way back along the chain of steps… can work our way back along the chain of steps… 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 8 Module #11 – Proof Strategies Phương án chuyển thành tiến “Forwardized” version of Example • Theorem: Theorem: ∀ ∀ a a >0, >0, b b >0, >0, a a ≠ ≠ b b : ( : ( a a + + b b )/2 > ( )/2 > ( ab ab ) ) 1/2 1/2 . . – Proof. Proof. If Since If Since a a ≠ ≠ b b , , ( ( a a − − b b )≠0 )≠0 . Thus, . Thus, ( ( a a − − b b ) ) 2 2 >0 >0 , , i.e. i.e. , , a a 2 2 −2 −2 ab ab + + b b 2 2 > > 0 0 . Adding . Adding 4 4 ab ab to both sides, to both sides, a a 2 2 +2 +2 ab ab + + b b 2 2 > 4 > 4 ab ab . Factoring the left . Factoring the left side, we have side, we have ( ( a a + + b b ) ) 2 2 > 4 > 4 ab ab , so , so ( ( a a + + b b ) ) 2 2 /4 > /4 > ab ab . Since . Since ab ab is positive, is positive, we can take the square root of both sides and get we can take the square root of both sides and get ( ( a a + + b b )/2 > ( )/2 > ( ab ab ) ) 1/2 1/2 . . ■ ■ • Đ Đ ây chỉ là ví dụ đơn giản để đi từ giả thiết đến kết luận ây chỉ là ví dụ đơn giản để đi từ giả thiết đến kết luận , , nh nh ưng bạn không thể tưởng tượng nó được nhậnnhư thế ưng bạn không thể tưởng tượng nó được nhậnnhư thế nào nào , n , n ó trông có vẻ ó trông có vẻ “th “th ần bí ần bí .” .” – Phản ứng chung của sinh viên: “Nhưng làm sao bạn nghĩ ra việc Phản ứng chung của sinh viên: “Nhưng làm sao bạn nghĩ ra việc bổ sung bổ sung 4 4 ab ab vào hai vế?” vào hai vế?” • Trả lời: Bằng cách suy luận lui từ kết luận! Trả lời: Bằng cách suy luận lui từ kết luận! 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 9 Module #11 – Proof Strategies Ví dụ trò chơi sỏi Stone Game Example • Game rules: Game rules: – Có 15 hòn sỏi trong 1 đống. Hai người chơi lần lượt Có 15 hòn sỏi trong 1 đống. Hai người chơi lần lượt lấy ra khỏi đống 1, 2, hoặc 3 hòn. Ai lấy hòn sỏi cuối lấy ra khỏi đống 1, 2, hoặc 3 hòn. Ai lấy hòn sỏi cuối cùng người đó thắng. cùng người đó thắng. • Định lý: Định lý: Có một chiến lược để đảm bảo rằng Có một chiến lược để đảm bảo rằng người đi đâu luôn thắng. người đi đâu luôn thắng. • Nó được chứng minh như thế nào? Chứng minh Nó được chứng minh như thế nào? Chứng minh có xây dựng không… có xây dựng không… – Nhìn có vẻ phức tạp… Chúng ta có thể chọn chiến lược Nhìn có vẻ phức tạp… Chúng ta có thể chọn chiến lược chiến thắng nào trong số các chiến lược có thể? chiến thắng nào trong số các chiến lược có thể? • Suy luận quay lui từ cuối trò chơi! Suy luận quay lui từ cuối trò chơi! Example 2 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 10 Module #11 – Proof Strategies Working Backwards in the Game • Player 1 wins if it is player 2’s turn and there are Player 1 wins if it is player 2’s turn and there are no stones… no stones… • P1 can arrange this if P1 can arrange this if it is his turn, and there it is his turn, and there are 1, 2, or 3 stones… are 1, 2, or 3 stones… • This will be true as This will be true as long as player 2 had long as player 2 had 4 stones on his turn… 4 stones on his turn… • And so on… And so on… Player 1 Player 1 Player 2 Player 2 0 0 1, 2, 3 1, 2, 3 4 4 5, 6, 7 5, 6, 7 8 8 9, 10, 11 9, 10, 11 12 12 13, 14, 15 13, 14, 15 [...]...Module #11 – Proof Strategies Phương án chuyển thành tới “Forwardized” version • Theorem Người nào đi trước người đó luôn có cách để thắng – Proof Player 1 can remove 3 stones, leaving 12 After player 2 moves, there will then be either 11, 10, or 9 stones left In any of these cases, player 1 can then reduce the number of... the number to 7, 6, or 5 Then, player 1 can reduce the number to 4 Then, player 2 must reduce them to 3, 2, or 1 Player 1 then removes the remaining stones and wins 08/14/14 (c)2001-2003, Michae 11 Module #11 – Proof Strategies Chứng minh phân trường hợp Proof by Cases Example Example 3 • Định lý: ∀n∈Z ¬(2|n ∨ 3|n) → 24|(n2−1) – Proof: Since 2·3=6, the value of n mod 6 is sufficient to tell us whether... 08/14/14 (c)2001-2003, Michae 13 Module #11 – Proof Strategies Chứng minh tồn tại xây dựng A Constructive Existence Proof Example 7 • Định lý: Với mọi số nguyên n>0, tồn tại dãy gồm n số liên tiêp đều không phải là số nguyên tố • Khẳng định trên viết dạng logic vị từ: ∀n>0 ∃x ∀i (1≤i≤n)→(x+i is composite) • Chứng minh trang sau… 08/14/14 (c)2001-2003, Michae 14 Module #11 – Proof Strategies The proof •... Michae 16 Module #11 – Proof Strategies The proof, using proof by cases • Given n>0, prove there is a prime p>n • Consider x = n!+1 Since x>1, we know that (x is prime)∨(x is composite) • Case 1: Suppose x is prime Obviously x>n, so let p=x and we’re done • Case 2: x has a prime factor p But if p≤n, then p mod x = 1 So p>n, and we’re done 08/14/14 (c)2001-2003, Michae 17 Module #11 – Proof Strategies... 08/14/14 (c)2001-2003, Michae 20 Module #11 – Proof Strategies Ngay cả các nhà Bác học vĩ đại cũng có thể đưa ra giả thuyết sai lầm! Example 9 • Euler conjectured that for n>2, the sum of n−1 nth powers of positive integers is not an nth power – Remained true for all cases checked for 200 years, but no proof was found • Finally, in 1966, someone noticed that 275 + 845 + 110 5 + 1335 = 1445 – Larger counter-examples... Challenge: Find a short, simple proof of Fermat’s last theorem, and you will become instantly famous! 08/14/14 (c)2001-2003, Michae 22 Module #11 – Proof Strategies Some Open Conjectures • Conjecture: There are infinitely many primes of the form n2+1, where n∈Z Example 11 • Conjecture: (Twin Prime Conjecture) There are infinitely pairs of primes of the form (p, p+2) Example 12 • Conjecture: (The Hailstone... among the qi, so this doesn’t work! • So instead, consider Q = 4(∏qi)−1 = 4(∏qi−1)+3 This has the right form, and has no qi as a factor since ∀i: Q ≡ −1 (mod qi) 08/14/14 (c)2001-2003, Michae 18 Module #11 – Proof Strategies Example 6 Giả thuyết và chứng minh Conjecture and Proof • We know that some numbers of the form 2p−1 are prime when p is prime – These are called the Mersenne primes • Can we prove... When n is composite, ∃r,s>1: n=rs Thus, given a=2, an = 2n = 2rs = (2r)s, and since r>1, 2r > 2 so 2n − 1 = bs−1 with b = 2r > 2, which now fits the first case 08/14/14 (c)2001-2003, Michae 19 Module #11 – Proof Strategies Giả thuyết và phản ví dụ Conjecture & Counterexamples Example 8 • Giả thuyết: ∀ số nguyên n>0, n2−n+41 là nguyên tố – Hm, let’s see if we can find any counter-examples: • • • 12−1+41... x+i = (n + 1)! + (i + 1) Note (i+1)|(n+1)!, since 2 ≤ i+1 ≤ n+1 Also (i+1)|(i+1) So, (i+1)|(x+i) ∀ ∴ x+i is composite ∀ ∴ ∀n ∃x ∀1≤i≤n : x+i is composite Q.E.D 08/14/14 (c)2001-2003, Michae 15 Module #11 – Proof Strategies Chứng minh tồn tại không xây dựng Nonconstructive Existence Proof • Định lý: Có vô số các số nguyên tố – Mọi tập hữu hạn các số luôn chứa số lớn nhất, vậy ta có thể chứng minh Định... was found • Finally, in 1966, someone noticed that 275 + 845 + 110 5 + 1335 = 1445 – Larger counter-examples have also been found for n=4, but none for n>5 yet 08/14/14 (c)2001-2003, Michae 21 Module #11 – Proof Strategies Fermat’s “Last Theorem” • Theorem: xn+yn=zn has no solutions in integers xyz ≠ 0 with integer n>2 Theorem 2 – In the 1600s, Fermat famously claimed in a marginal note that he had . lecture 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 3 Module #11 – Proof Strategies Tổng quan Bài #11 • Trong bài #2, ta đã thấy: Trong bài #2, ta đã thấy: – Một số kiểu chứng minh của phép kéo theo. 2 0 0 1, 2, 3 1, 2, 3 4 4 5, 6, 7 5, 6, 7 8 8 9, 10, 11 9, 10, 11 12 12 13, 14, 15 13, 14, 15 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 11 Module #11 – Proof Strategies Phương án chuyển thành tới. minh phản chứng. Chứng minh phân trường hợp, chứng minh phản chứng. • Trong bài này, chúng ta xét các ví dụ về: Trong bài này, chúng ta xét các ví dụ về: – Suy luận tới và lui. Suy luận tới và