Chương 2: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 Một số khái niệm về ma trận 2.1.1. Định nghĩa: Một ma trận A loại mxn trong trường K là một bảng chữ nhật gồm mxn phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột như sau: A = trong đó aij K là phần tử ở vị trí dòng thứ i và cột thứ j của A - Ma trận A có thể viết gọn là A = (aij) - Ký hiệu (K) là tập hợp tất cả các ma trận loại mxn trên K - Một ma trận trên K thường được ký hiệu bởi những chữ in hoa (ví dụ: A, B, C, ) - Ký hiệu A (K) cho biết A là một ma trận loại mxn trên K - Ký hiệu [A]ij (hoặc aij) được hiểu là phần tử nằm ở vị trí (i, j) của A Ví dụ: A = thì , , , - Nếu m = n thì ta nói A là một ma trận vuông cấp n trên K. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường K ký hiệu (K) Ví dụ: A = + Các phần tử trên đường chéo chính 2, -1, i + Các phần tử trên đường chéo phụ 2, -1, 4 2.1.2. Định nghĩa: Ta nói A (K) là ma trận không (hay ma trận zero), ký hiệu A = (hay đôi khi là 0 nếu không có sự nhầm lẫn), nếu , i,j Ví dụ: = 2.2 Các phép toán trên ma trận 2.2.1. Định nghĩa: Cho A, B (K) .Ta nói A = B nếu , i,j Ví dụ: A = , B = thì A = B <=> p = 2, q = 4, 1 = n. 2.2.2. Định nghĩa: Cho A (K). Ta gọi B (K) là chuyển vị của A (ký hiệu B = AT), nếu [B]ij = [A]ji, i, j Ví dụ: A = thì AT = Tính chất: (i) (AT)T = A; (ii) AT = BT <=> A = B 2.2.3. Định nghĩa: Cho A Mmxn(K) và c K. Tích của c với A (ký hiệu cA) là một ma trận được định nghĩa bởi [cA]ij = c[A]ij, i, j Nếu c = -1 thì ta ký hiệu (-1)A = - A và gọi là ma trận đối của A Ví dụ: 2 Tính chất: Cho A Mmxn(K) và c, d K. Khi đó: (i) (c.d).A = c.(d.A), suy ra (-c)A = c(-A); (ii) (c.A)T = c.AT. 2.2.4. Định nghĩa: Cho A, B Mmxn(K). Tổng của A và B (ký hiệu: A + B) là một ma trận thuộc Mmxn(K) được định nghĩa bởi (A + B)ij = Aij + Bij, i,j. Ví dụ: Tính chất: Cho A, B, C Mmxn(K) và c,d K. Khi đó (i) A + B = B + A; (ii) (A + B) + C = A + (B + C); (iii) 0 + A = A + 0 = A; (iv) A + (-A) = (-A) + A = 0; (v) (A + B)T = AT + BT; (vi) c(A + B) =cA +cB; (vii) (c + d)A = cA + dA 2.2.5. Định nghĩa Cho A Mmxn(K) và B Mnxp(K). Tích của A và B (ký hiệu AB) là một ma trận thuộc Mmxp(K) được định nghĩa bởi [AB]ij = ([A]i1[B]1j + [A]i2[B]2j + … + [A]in[B]nj) = Ví dụ , AB = Chú ý: - Tích của hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai. - AB và BA cùng tồn tại khi A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và AB ¹ BA - AB = 0 có thể xảy ra A 0 và B 0 Ví dụ: A = , B = , AB = Tính chất: Cho A, A' Mm x n(K) , B, B’ Mn x p (K), C Mp x q(K) và c K. Khi đó: (i) (AB)C = A(BC); (ii) A0nxp = 0mxp; 0rxmA = 0rxn; (iii) A(B B’) = AB AB’ ; (A A’)B = AB A’B; (iv) (AB)T = ATBT; (v) c(AB) = A(cB) = (cA)B. 2.3 Các loại ma trận vuông đặc biệt 2.3.1. Định nghĩa Ta nói A Mn(K) là ma trận đường chéo cấp n nếu [A]ij = 0, i j, (nghĩa là ma trận vuông có tất cả phần tử bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0) Ví dụ: A = 2.3.2. Định nghĩa Một ma trận đường chéo cấp n trên K với tất cả các phần tử trên đường chéo đều bằng nhau được gọi là ma trận vô hướng cấp n trên K. Một ma trận vô hướng cấp n với phần tử 1 trên đường chéo chính được gọi là ma trận đơn vị cấp n trên K Ký hiệu: In ma trận đơn vị cấp n trên K có dạng. In = 2.3.3. Định nghĩa: Ta nói B Mn (K) là ma trận tam giác trên nếu [B]ij = 0, i>j (nghĩa là ma trận vuông có mọi phần tử ở bên dưới đường chéo chính đều bằng không) 2.3.4. Định nghĩa: Ta nói C Mn (K) là ma trận tam giác dưới nếu [C]ij = 0, i< j (nghĩa là ma trận vuông có các phần tử ở bên trên đường chéo chính đều bằng 0) 2.3.5. Định nghĩa Một ma trận tam giác trên hoặc tam giác dưới gọi chung là ma trận tam giác. 2.3.6. Định nghĩa: Ta nói A Mn (K) là một ma trận phản đối xứng (hay phản xứng) nếu AT = - A, nghĩa là [A]ij = - [A]ji, i,j Nhận xét: Tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận phản ứng đều = 0 (vì [A]ii = -[A]ii => [A]ii = 0) Ví dụ: A = 2.4 Lũy thừa ma trận 2.4.1. Định nghĩa: Cho A Mn(K) . Ta định nghĩa luỹ thừa của A một cách quy nạp như sau: A0 = In, A1 = A, A2 = A.A, , Ak + 1 = Ak.A, k N Ví dụ: A = => A2 = và A3= Như vậy với A 0 nhưng A3 = 0 Với A Mn(K), có thể xảy ra trường hợp A 0 nhưng Ak = 0 Một ma trận A Mn(K) thoả điều kiện Ak = 0 với một k N nào đó được gọi là ma trận lũy linh. 2.4.2. Tính chất: (i) (0n)k = 0n, k N (ii) (In)k = In, k N (iii) Ar + s = Ar.As, A Mn(K), r,s N (iv) Ars = (Ar)s, A Mn(K), r, s N . Chương 2: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 Một số khái niệm về ma trận 2.1.1. Định nghĩa: Một ma trận A loại mxn trong trường K là một bảng. - Tích của hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai. - AB và BA cùng tồn tại khi A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và AB ¹ BA - AB. là ma trận đơn vị cấp n trên K Ký hiệu: In ma trận đơn vị cấp n trên K có dạng. In = 2.3.3. Định nghĩa: Ta nói B Mn (K) là ma trận tam giác trên nếu [B]ij = 0, i>j (nghĩa là ma trận