Đang tải... (xem toàn văn)
Các tính chất của biến đổi Z hai phía
2.2 các tính ch t c a bi n i zấ ủ ế đổKhi phân tích h x lý s qua bi n i ệ ử ố ế đổ Z, v n d ng các tính ch t c a bi n i ậ ụ ấ ủ ế đổ Z s giúp cho vi c gi i quy tẽ ệ ả ế b i toán c d d ng h n.à àđượ ễ ơ2.2.1 Các tính chất của biến đổi Z hai phía2.2.1a Tính chất tuyến tính : H m nhà ả Z c a t h p tuy n tính các dãy b ng t h p tuy n tính các h m nhàủ ổ ợ ế ằ ổ ợ ế ả Z th nh ph n.à ầN u : ế znxZTiiX=v i ớ+−<<iiiRRXRC zz Thì : zAnxAnyZTziiiiiiXY∑∑=== [2.2-1]V i ớ+−<<yyRRYRC zz , trong ó đ−−=iyRR và ++=iyRRMi n h i t c a h m àề ộ ụ ủ Y(z) l giao mi n h i t c a các h m à àề ộ ụ ủ Xi(z).Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có : zAznxAznxAnxAZTziiinniiin iniiiiiXY∑∑∑∑ ∑∑====∞−∞=−∞−∞=−Tính ch t tuy n tính c sấ ế đượ ử d ng tìm bi n i ụ để ế đổ Z thu n ho c ng c c a h m l t ng các h m ã bi t c p bi n i à à àậ ặ ượ ủ ổ đ ế ặ ế đổ Z c a chúng.ủVí dụ 2.4 : Hãy tìm bi n i ế đổ Z c a các dãy sau :ủa. nnunxω=b. nnunxω=Gi i :ả a. Theo công th c ứ Euler có :nuenuenueennunxnjnjnjnjωωωωω−−+=+==Theo tính ch t tuy n tính c a ấ ế ủ bi n i ế đổ Z nh n c :ậ đượ[ ] [ ]nueZTnueZTnxZTznjnjXωω−+==S d ng bi u th cử ụ ể ứ [2.1-18] v i ớωjea = và ωjea−=thì :[ ]ωωjnjezznueZT−= và [ ]ωωjnjezznueZT−−−=v i ớ >zRCDo ó :đωωjjezzezzzX−−+−=v i ớ >zRC++−+−=−−−+−=−−−−ωωωωωωωωjjjjjjjjeezzeezzezezezezzzXV y :ậ+−−=ωωωzzzznnuZT v i ớ >zRC [2.2-2]b. Theo công th c ứ Euler có :nuenuenueennunxnjnjnjnjjjjωωωωω−−−=−==Do ó :đωωjjezzjezzjzX−−−−=v i ớ >zRC++−−=−−+−−=−−−−ωωωωωωωωjjjjjjjjeezzjeezezezjezezzzXV y :ậ+−=ωωωzzznnuZT v i ớ >zRC[2.2-3]Trong m t s tr ng h p, t h p tuy n tính c a các ộ ố ườ ợ ổ ợ ế ủ Xi(z) t o cho ạ Y(z) các không i m trùng v i c c i m c ađ ể ớ ự đ ể ủ Xi(z), l m cho các c c i m ó b lo i tr , khi ó mi n h i t c a à ự đ ể đ ị ạ ừ đ ề ộ ụ ủ Y(z) s c m r ng.ẽ đượ ở ộVí dụ 2.5 : Có : azznuaZTznX−== v i ớ azzXRC > v : àazzanuaZTznX−=−= v i ớ azzXRC >Hãy tính −−== nuanuanyZTznnY 75 Gi i :ả Theo tính ch t tuy n tính có :ấ ếazzaazzzzz XXY−−−=−= −+=+=−−= zazazazzazzYv i ớ >zzYRCT h p tuy n tính c a ổ ợ ế ủ X1(z) v à X2(z) ã t o cho đ ạ Y(z) không i m đ ể z0 = a lo i tr c c i m để ạ ừ ự đ ể zp = a c a củ ả X1(z) v à X2(z), do ó mi n h i t c a đ ề ộ ụ ủ Y(z) c m r ng. đượ ở ộ2.2.1b Tính chất trễ : Khi d ch tr dãy ị ễ x(n) i đ k m u thì ẫ h m nhà ả Z c a nó c nhân thêm th a s ủ đượ ừ ốkz−.N u : ế znxZT X= v i ớ+−<<xxRRXRC zz Thì :[ ] zzknxnyZTzXYk−=−== [2.2-4]v i ớ zz XRCYRC =, tr i m ừ đ ể z = 0 n u ế k > 0 v i m à đ ể z = ∞ n u ế k < 0Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :zzzknxzzknxz XYknknknn −∞−∞=−−−∞−∞=−=−=−=∑∑Tính ch t tr th ng c s d ng tìm bi n i ấ ễ ườ đượ ử ụ để ế đổ Z c a các dãy tr .ủ ễVí dụ 2.6 : Tìm : nrectZTzNX = Gi i :ả NnununrectN−−=Theo [2.1-7] có : −=zznuZT v i ớ >zRCS d ng tính ch t tuy n tính và tính ch t tr nh n c :ử ụ ấ ế ấ ễ ậ đượ −−−=−−=−zzzzznuZTnuZTnrectZTNNNV y :ậ−−=−zzznrectZTNNNv i ớ >zRC[2.2-5]2.2.1c Tính chất tỷ lệ : Khi nhân dãy x(n) v i th a s ớ ừ ố an thì h m nh à ả Z c a nó b thay i t l (b nén n uủ ị đổ ỷ ệ ị ế a > 0, dãn n uế a < 0).N u :ế znxZT X=v i ớ+−<<xxRRXRC zz Thì : zanxanyZTzXYn−===[2.2-6]v i ớ+−<<xxRRYRC azaz Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :[ ] zazanxznxanxaZTz XYnnnnnn−∞−∞=−−∞−∞=−====∑∑v i ớ⇒<<+−− xxRRYRC zaz +−<<xxRRYRC azaz T ng quát ổ a l s ph c : à ố ứωjeaa =, khi ó véc t đ ơ X(z) trên m t ph ng ph c b thay i t l v b quay m tàặ ẳ ứ ị đổ ỷ ệ ị ộ góc ω0. N u ế a n m trên vòng tròn n v thì |ằ đơ ị a| = 1 , nên h m à X(z) không b thay i t l nh ng véc t ị đổ ỷ ệ ư ơ X(z) trên m tặ ph ng ph c b quay m t góc ẳ ứ ị ộω0.Ví dụ 2.7 : Hãy tìm bi n i ế đổ Z c a các dãy sau :ủa. nnuanxnω=b. nnuanxnω=Gi i :ả a. S d ng tính ch t t l i v i bi u th c ử ụ ấ ỷ ệ đố ớ ể ứ [2.2-2] nh n c :ậ đượ+−−=−−−−ωωωzazazazannuaZTn v i ớ azRC >Hay : azazazznnuaZTn+−−=ωωω[2.2-7]v i ớ azRC >b. S d ng tính ch t t l i v i bi u th c ử ụ ấ ỷ ệ đố ớ ể ứ [2.2-3] nh n c :ậ đượ+−=−−−ωωωzazazannuaZTnv i ớ azRC >Hay : azazzannuaZTn+−=ωωω [2.2-8]76 v i ớ azRC >2.2.1d Tính chất biến đảo : H m nh à ả Z c a dãy bi n o ủ ế đả x(-n) có bi n làế z-1 N u : ế znxZTX=v i ớ+−<<xxRRXRC zz Thì : [ ]−=−==znxnyZTzXY[2.2-9]v i ớ−+<<xxRRYRC zz Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :[ ]∑∞−∞=−−=−=nnznxnxZTzYi bi n, t Đổ ế đặ⇒=− mn khi ∞= ±nthì ∞= m , nh n c :ậ đượ[ ]−∞−∞=−−−∞∞=====∑∑zzmxzmxmxZTzXYmmmmv i ớ⇒<<+− xxRRYRCzz −+<<xxRRYRC zz Tính ch t bi n o cho phép tìm bi n i ấ ế đả ế đổ Z c a dãy ph n nhân qu theo bi n i ủ ả ả ế đổ Z c a dãy nhân qu t ngủ ả ươ ng.ứVí dụ 2.8 : Hãy tìm bi n i ế đổ Z c a dãy ph n nhân qu ủ ả ả nuanxn−=−Gi i :ả Theo [2.1-18] có azznuaZTn−= v i ớ aRC z >S d ng tính ch t bi n o nh n c :ử ụ ấ ế đả ậ đượ zaazznuaZTn−=−=−−−− v i ớazRC<[2.2-10]2.2.1e Tính chất đạo hàm N u : ế znxZTX=v i ớ+−<<xxRRXRC zz Thì : [ ]dzzdznxnnyZTzXY−===[2.2-11]v i ớ+−<<xxRRYRC zz Ch ng minh :ứ T bi u th c bi n i ừ ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1]: [ ]∑∞−∞=−==nnznxnxZTzXL y o h m c hai v theo àấ đạ ả ế z nh n c :ậ đượ zzznyzznxnzznnxdzzdYXnnnnnn−∞−∞=−−∞−∞=−−∞−∞=−−−=−=−=−=∑∑∑Nhân c hai v v i ả ế ớ -z : [ ]dzzdznxnnyZTzXY−===Tính ch t o h m c a h m nh c s d ng tìm bi n i à àấ đạ ủ ả đượ ử ụ để ế đổ Z c a các dãy d ng ủ ạnxnk theo bi n i ế đổ Z c a dãy ủ x(n).Ví d 2.9ụ : Hãy tìm bi n i ế đổ Z c a các dãy sau :ủa. nunnx =b. nuannxn=Gi iả : a. S d ng tính ch t o hàm i v i bi u th c ử ụ ấ đạ đố ớ ể ứ [2.1-7] , nh n c ậ đượ :−=−−=zzzzdzdznunZT v i ớ >zRC[2.2-12]b. S d ng tính ch t o h m i v i bi u th càử ụ ấ đạ đố ớ ể ứ [2.1-18] , nh n c :ậ đượazzaazzdzdznuanZTn−=−−= v i ớ azRC >[2.2-13]2.2.1f Tính chất tích chập : H m nh à ả Z c a tích ch p hai dãy b ng tích hai h m nh th nh ph n.à àủ ậ ằ ả ầN u : ếznxZT X= v i ớ+−<< RRXRC zzv : àznxZT X= v i ớ+−<< RRXRC zzThì : [ ]zznxnxnyZTzXXY===[2.2-14]v i ớ+−<<iiRRYRC zz77 Mi n h i t c a h m àề ộ ụ ủ Y(z) l giao các mi n h i t c a các h m à àề ộ ụ ủ Xi(z).Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :[ ] [ ]∑∞−∞=−===nnznxnxnxnxnyZTzY ∑ ∑∑ ∑∞−∞=−∞−∞=−−∞−∞=∞−∞=−=−=nkkknnn kzzzknxkxzknxkxzYHay :zzzknxzkxz XXYk nknk=−=∑ ∑∞−∞=∞−∞=−−−Tính ch tấ tích ch p c s d ng tìm ph n ng ậ đượ ử ụ để ả ứ y(n) c a h x lý s b ng cách tính tích ch p qua bi nủ ệ ử ố ằ ậ ế i đổ Z .Ví dụ 2.10 : Tìm ph n ng ả ứ y(n) c a h x lý s ủ ệ ử ố TTBBNQ có c tính xung đặ−=nrectnhnv i tác ng làớ độ nunx=.Gi i :ả Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :[ ]∑∑=−∞−∞=−=−==nnnnnnzznrectnhZTzHHay :[ ]−−+== zznhZTzHTheo [2.1-7] có : −==zznuZTzXDo ó : đ−−+−== zzzzzzz XXY−+−=−−zzzzzzzYTheo [2.1-7] v các tính ch t tr , tuy n tính nh n cà ấ ễ ế ậ đượ : −+−= nuZTnuZTzYL y bi n i ấ ế đổ Z ng c ượ tìm c ph n ng đượ ả ứ y(n) : −+−== nunuzIZTny YHay :≥=≤=nKhinKhinKhinyK t qu úng nh tính tr c ti p tích ch p ví d ế ả đ ư ự ế ậ ở ụ 1-19 ch ng m t. So v i tính tr c ti p, tính tích ch p quaươ ộ ớ ự ế ậ bi n i ế đổ Z không nh ng d th c hi n h n, m còn luôn luôn nh n c bi u th c toán h c c a àữ ễ ự ệ ơ ậ đượ ể ứ ọ ủ y(n).2.2.1g Hàm ảnh Z của tích hai dãy N u : ếznxZT X=v i ớ+−<< RRXRC zzv : àznxZT X=v i ớ+−<< RRXRC zzThì : [ ]∫−===CdzjnxnxnyZTzXXYυυυυπ[2.2-15]v i ớ+−<<iiRRYRC zzMi n h i t c a hàm ề ộ ụ ủ Y(z) là giao các mi n h i t c a ề ộ ụ ủ X1(z) và X2(z). ng cong kín Đườ C c a tíchủ phân [2.2-15] ph iả bao quanh g c t a và thu c mi n h i t c a c ố ọ độ ộ ề ộ ụ ủ ả X1(z) và X2(z) trong m t ph ngặ ẳ ph c.ứCh ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :[ ] [ ]∑∑∞−∞=−∞−∞=−===nnnnznxnxznyznyZTYThay x2(n) b ng bi u th c bi n i ằ ể ứ ế đổ Z ng c c a nó : ượ ủ ∫−=CndjnxXυυυπNh n c : ậ đượnnnCzdjnxzXY−∞−∞=−∑∫=υυυυπ78 Hay : ∫∑−∞−∞=−=CnndznxjzXYυυυυπT ó có :ừ đ∫−=CdzjzXXYυυυυπ2.2.1h Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả : N u ế x(n) l dãy nhân qu v à àả nxZTzX= thì : xzXZ=∞→.Ch ng minh :ứ Vì x(n) là dãy nhân qu nên ả x(n) = 0 v i m i ớ ọ n < 0 , do óđ : +++===∑∑∞=−∞−∞=−zxzxxznxznxznnnnXV y : ậxzXz=∞→2.2.1i Hàm ảnh Z của dãy liên hợp phứcN u : ế znxZTX= v i ớ+−<<xxRRXRC zz Thì : znxZTX= v i ớ+−<<xxRRYRC zz [2.2-16]Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :∑∞−∞=−=nnznxnxZT v à∑∞−∞=−=nnznxzXV y :ậ [ ]nxZTznxznxznnnnX===∑∑∞−∞=−∞−∞=−2.2.1k Biến đổi Z của hàm tương quan rxy(m)N u : ế znxZTX= v à znyZT Y=Thì : −==zzmrZTzYXRxyxy[2.2-17]Ch ng minh :ứ Hàm t ng quan ươmrxyc xác nh theo đượ đị [1.8-1] ch ng m t :ở ươ ộ∑∞−∞=−=nxymnynxmr Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :∑ ∑∞−∞=−∞−∞=−==mmnxyxyzmnynxmrZTzRi bi n, t Đổ ế đặ l = (n - m) => m = (n - l) : ∑ ∑∞−∞=−−∞−∞===llnnxyxyzlynxmrZTzRHay :−∞−∞=∞−∞=−−−===∑ ∑zzzlyznxmrZTzYXRn llnxyxyS d ng tính ch t trên tìm h m t ng quan àử ụ ấ để ươmrxyqua bi n i ế đổ Z s n gi n v d d ng h n tính tr cà àẽ đơ ả ễ ơ ự ti p.ếVí dụ 2.11 : Cho các tín hi u s ệ ốnunxn= và −=nnyδ, hãy tìm hàm t ng quanươmrxy.Gi i :ả S d ng bi u th c ử ụ ể ứ [2.1-5] v i ớ k = 2 v bi u th c à ể ứ [2.1-18] nh n c : ậ đượ−=zzY và −=zzzXTheo [2.2-17] : +=−=+−=muIZTzzzzzzmxyYXRL y bi n i ấ ế đổ Z ng c , tìm c : ượ đượ+=+mumrmxy2.2.1m Biến đổi Z của hàm tự tương quan rx(m)N u : ế znxZTX=Thì : −==zzmrZTzXXRxx[2.2-18]Ch ng minh :ứ Theo bi u th c ể ứ [2.2-17], thay y(n) = x(n) v à−−=zzXY79 S d ng tính ch t trên tìm hàm t t ng quan ử ụ ấ để ự ươmrxqua bi n i ế đổ Z s n gi n và dẽ đơ ả ễ dàng h n tính tr c ti p.ơ ự ếVí dụ 2.12 : Tìm hàm t t ng quanự ươmrxc aủ tín hi u s ệ ố knnx −=δ.Gi i : ả S d ng ử ụ [2.1-5] v theo à [2.2-18] tìm c : đượ mIZTzzzkkxRδ===−L y bi n i ấ ế đổ Z ng c , tìm c : ượ đượ mmrxδ=Các tính ch t c b n c a bi n i ấ ơ ả ủ ế đổ Z hai phía c tóm t t trong b ng đượ ắ ả 2.2, trang ở 114 (cu i ch ng hai). ố ươ 2.2.2 Các tính chất của biến đổi Z một phíaBi n i ế đổ Z m t phía có h u h t t t c các tính ch t gi ng nh bi n i ộ ầ ế ấ ả ấ ố ư ế đổ Z hai phía, tr tính ch t tr .ừ ấ ễ2.2.2a Tính chất trễ của biến đổi Z một phíaN u : ếznxZT X= v i ớ−>xRXRC zz Thì v i ớ k > 0 : [ ]∑=−−−+=−=kikikzixzznxZTz XkY [2.2-19]v i ớ zz XRCYRC =, tr i m ừ đ ể z = 0.Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n m t phía ậ ộ [2.1-8] có :∑∑∑∞=−−=−∞=−−+−=−=knnknnnnznxznxznxz kkkY i bi n, t Đổ ế đặ m = (n - k) => n = (m + k), khi n = 0 thì m = -k , khi n = k - 1 thì m = -1 , khi n = k thì m = 0 , v khi à n = ∞ thì m = ∞ : ∑∑∞=+−−−=+−+=−=mkmkmkmzmxzmxnxZTz kY∑∑∑−−=+−−−−=+−∞=−−+=+=kmkmkkmkmmmkzmxzzzmxzmxzz XYi bi n, t Đổ ế đặ m = -i => i = -m , khi m = -1 thì i = 1 , khi m = -k thì i = k :∑=−−−+=−=kikikzixzznxZTz XkYTính ch t tr c a bi n i ấ ễ ủ ế đổ Z m t phía c s d ng gi i ph ng trình sai phân tuy n tính h s h ng. ộ đượ ử ụ để ả ươ ế ệ ố ằVí dụ 2.13 : Cho dãy { }↑=nx . Hãy tìm : a. nxZTzX = , b. −== nxnyZTzY , c. −== nxnyZTzYGi i : :ả Tính theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n m t phía ậ ộ [2.1-8] :a. −−=−∞=−=+===∑∑zzzznxznxznnnnXb. −−−=−∞=−+=++=−=−=∑∑zzzzznxznxznnnnYTính zYtheo bi u th c ể ứ c a tính ch t tr ủ ấ ễ [2.2-19]: +=+=−+=−=−−−−zzzxzznxZTz XYK t qu tính ế ảzY theo hai công th c ứ [2.1-8] và [2.2-19] là nh nhau.ưc. ∑∑−=−∞−∞=−−=−= nnnnznxznxzY −−−++=+++= zzzzzzzYK t qu các câu b và c c a ví d trên cho th y, i v i các dãy không nhân qu , tính ch t tr c aế ả ủ ụ ấ đố ớ ả ấ ễ ủ bi n i ế đổ Z m t phía và hai phía là khác nhau. Có th th y ngay c, i v i các dãy nhân qu , tínhộ ể ấ đượ đố ớ ả ch t tr ấ ễ c a ủ bi n i ế đổ Z m t phía và hai phía là nh nhau.ộ ư2.2.2b Tính chất vượt trước của biến đổi Z một phía N u : ếznxZT X= v i ớ+−<<xxRRXRC zz Thì v i ớ k > 0 : [ ]∑−=−−=+=kmmkkzmxzzknxZTz XY [2.2-20]v i ớ zz XRCYRC =, tr i m ừ đ ể z = 0. 80 Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n m t phía ậ ộ [2.1-8] có :∑∞=−+=nnzknxzYi bi n, t Đổ ế đặ m = (n + k) => n = (m - k), khi n = 0 thì m = k , nh n c : ậ đượ∑ ∑∑∞=−=−−−−∞=−−−==mkmkmkmkmkmzmxzmxzmxzY∑∑∑−=−−=−∞=−−=−=kmmkkkmmkmmkzmxzzzmxzmxzz XYVí dụ 2.14 : Hãy tìm += nuanyZTnGi i :ả Ta ã bi t v i đ ế ớ nuanxn=thì azznxZTnxZT−==Có : +=+=+=−+−nxanuaanuanynnS d ng bi u th c ử ụ ể ứ [2.2-20] nh n cậ đượ : ∑=−−−−−−=+= mmmzmuaaazzzanxaZTnyZTazazazazazzazazazazaznyZT−++−−=++−−=nxZTazzazazazazazazazznyZT =−=−−−−++−=V y ậ nuaZTnuaZTnn=+, hãy t gi i thích i u ó.ự ả đ ề đ2.2.3 Bảng các biến đổi Z cơ bảnB ng ả 2.3 trang ở 115 l c p bi n i à ặ ế đổ Z c a các dãy nhân qu th ng g p. T t c các c p bi n i ủ ả ườ ặ ấ ả ặ ế đổ Z trong b ng ả 2.3 ã c ch ng minh trong các ví d các ph n trên. B ng đ đượ ứ ụ ở ầ ả 2.3 có ý ngh a r t quan tr ng, vì nó giúp chúng taĩ ấ ọ nhanh chóng tìm c bi n i đượ ế đổ Z thu n v bi n i àậ ế đổ Z ng c khi gi i các b i toán phân tích v t ng h p h x lý s .à àượ ả ổ ợ ệ ử ốTheo tính ch t bi n o c a bi n i ấ ế đả ủ ế đổ Z , t b ng ừ ả 2.3 xây d ng c b ng ự đượ ả 2.4 trang ở 116 l bi n i à ế đổ Z c aủ m t s dãy ph n nhân qu .ộ ố ả ả81 . mmmzmuaaazzzanxaZTnyZTazazazazazzazazazazaznyZT−++−−=++−−=nxZTazzazazazazazazazznyZT =−=−−−−++−=V. ]∑∑=−∞−∞=−=−==nnnnnnzznrectnhZTzHHay :[ ]−−+== zznhZTzHTheo [2.1-7] có : −==zznuZTzXDo ó : đ−−+−== zzzzzzz XXY−+−=−−zzzzzzzYTheo