Thông tin tài liệu
PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ VD1: Tìm GTNN của A = 2 1 4 4 x x + 2 4 12 9 x x Giải: A = 2 (1 2 ) x + 2 (2 3) x = 1 2 x + 2 3 x 1 2 2 3 x x = 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1 – 2x)(2x – 3) 0 Lập bảng xét dấu: x 1 2 3 2 1 – 2x + 0 - - 2x - 3 - - 0 + (1 – 2x)(2x – 3) - 0 + 0 - Từ đó ta có (1 – 2x)(2x – 3) 0 1 2 x 3 2 Vậy GTNN của A bằng 2 với 1 2 x 3 2 VD2: Tìm GTNN của hàm số f(x) = 1 x + 2 4 x + 3 9 x + 4 16 x + 5 25 x Giải: Ta có: f(x) = ( 1 x + 2 4 x + 3 9 x + 4 x + 25 5 x ) + 3 4 x ( 1) (2 4) (3 9) (4 ) (25 5 ) x x x x x + 3 4 x = 15 + 3 4 x 15 Mặt khác ta có f(4) = 15 suy ra minf(x) = 15 VD3: Tìm GTNN của S = x 2 + y 2 + z 2 với P = ax + by + cz không đổi (với a 2 + b 2 + c 2 0).Giá trị đó đạt được khi nào? Giải: Theo bất đẳng thức Côsi – Bunhiacôpski ta có: ( x 2 + y 2 + z 2 ) ( a 2 + b 2 + c 2 ) (ax + by + cz) 2 . Do đó S = x 2 + y 2 + z 2 222 c b a P . S sẽ có giá trị bé nhất khi xảy ra dấu “ = ” tức là khi c z b y a x , hay nói cách khác S min = 222 c b a P . Khi x= 222 c b a aP ; y = 222 c b a bP ; z = 222 c b a cP . VD4: Tìm GTLN của: a) A = 1 x + 2 y biết x + y = 4 b) B = 1 x x + 2 y x Giải: Điều kiện x 1, y 2 Ta có 1 x = 1.( 1) x 2 y = 1.( 1) 1 1 1 1 2 2 x x x x x x 2.( 2) 2 y Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 1.( 1) 1 1 1 1 2 2 x x x x x x 2 2.( 2) 2 2 1 2 4 2 2 2 2 2 y y y y y y Max B = 1 2 2 2 2 4 4 1 1 2 2 2 4 x x y y VD5: Tìm GTLN, GTNN của A = 2x + 3y biết 2x 2 + 3y 2 5 Giải: Ta xét biểu thức A 2 = (2x + 3y) 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có: A 2 = 2 2. 2 3. 3 x y 2 1 2 3 x 2 2 2 2 2 3 2 3x y = (2 + 3) (2x 2 + 3y 2 ) 5.5 = 25 A 2 = 25 1 2 3 5 x y x y x y 2 3 2 3 x y x y Do A 2 25 nên -5 A 5 MinA = -5 1 2 3 5 x y x y x y MaxA = 5 1 2 3 5 x y x y x y VD6: Nếu x > 0, a > o, b > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x xbxa ))(( . Khi nào đạt giá trị đó? Giải: Biểu thức có dạng: xba x ab x xxbaab x xbxa 2 )())(( Đối với hai số dương x ab và x, ta có bất đẳng thức Cô-si: abx x ab x x ab 22 Khi đó: 2 )(2 ))(( baabba x xbxa Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là ( 2 )ba đạt được khi abx VD7: Tìm giá trị lớn nhất của: a) )53)(12()( xxxf ; b) )1()1()( 3 xxxf ; c) 2 )( 2 x x xf ; d) 32 2 )3( )( x x xf . Giải: a) Do 2 )( 4 1 baab , nên ta có: 40 1 4 1 . 4 1 . 5 2 )53( 2 5 5 4 1 . 5 2 )53)( 2 5 5( 5 2 )53)(12()( 2 xxxxxxxf Vậy f(x) lớn nhất là 40 1 khi 20 1 x . b) )1()1()( 3 xxxf *) Nêú x < -1 hoặc x > 1 thì f(x) 0 *) Nếu -1 < x < 1 thì 3 1 . 2 3 4 11133 3 1 )1)(1)(1)(33( 3 1 )( 44 xxxx xxxxxf Vậy f(x) lớn nhất là 16 27 khi 2 1 x c) 2 )( 2 x x xf Ta có: xxx 22222 22 suy ra 22 1 2 2 x x Vậy f(x) lớn nhất là 22 1 khi 2x d) f(x) = 32 2 )2( x x . Ta có: 27 1 )(27)2(311 232 3 22 xfxxxx . Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất là 27 1 , khi 1 x . VD8: Tìm giá trị dương nhỏ nhất của x x xf 32 )( 2 . Giải: Do f(x) > 0 nên x > 0. ta có: 62 3 .22 3 2)( x x x xxf Vậy f(x) dương bé nhất là 62 khi 2 6 x VD9: Cho các số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 444 ),,( zyxzyxf . Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có: 2 222444222 ))(111( zyxzyx 2222222222 )( zxyzxyxzyzyx Từ đó suy ra 2 444 3 zxyzxyzyx Suy ra 3 16 ,,16,,3 zyxfzyxf Vậy zyxf ,, bé nhất bằng 3 16 , khi 3 2 zyx Bài tập đề nghị: Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của: 2 1 A x y trong đó 5 x y Bài 2. Tìm GTNN của: 2 2 1 2 5 A x x x Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của: 2 2 5 A x x Bài 4. Tìm GTNN của: A = x + y biết x , y là các số dương thoả mãn 1 a b x y (a và b là hằng số dương) Bài 5. Tìm GTLN của: A x y biết rằng 2 2 4 1 x y . PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ VD1: Tìm GTNN của A = 2 1 4 4 x x + 2 4 12 9 x x Giải: A = 2 (1 2 ) x + 2 (2 3) x. trị nhỏ nhất của biểu thức x xbxa ))(( . Khi nào đạt giá trị đó? Giải: Biểu thức có dạng: xba x ab x xxbaab x xbxa 2 )())(( Đối với hai số dương x ab và x, ta có bất. VD9: Cho các số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 444 ),,( zyxzyxf . Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có: 2 222444222 ))(111(
Ngày đăng: 11/08/2014, 23:23
Xem thêm: PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ pot, PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ pot