Bài 1: Chứng minh rằng x e > x + 1 với 0 x Giải Xét hàm số ( ) xf = x e - 1 - x liên tục và khả vi với mọi 0x ( ) xf , = x e - 1 , ( ) 00 =f nếu 0>x thì ( ) 01 , >= x exf ( ) xf đồng biến ( ) xf > ( ) 0f x e - 1 - x > 0 x e > x+1 (1) Nếu 0 < x thì ( ) 01 , <= x exf ( ) xf nghịch biến ( ) xf > ( ) 0f x e -1- x > 0 x e > x+1 (2) Từ (1),(2) x e > x+1 với 0 x đpcm. Bài 2 : ( ĐH Kiến Trúc Hà Nội ) Chứng minh rằng bất đẳng 2 1 2 x xe x ++> đúng với mọi 0>x Giải Yêu cầu bài toán x ex x ++ 1 2 2 < 0 0 > x Xét ( ) x ex x xf ++= 1 2 2 .Ta có ( ) xf , = x ex +1 , ( ) 01 ,, <= x exf 0 > x Do đó ( ) xf , nghịch biến trong ( ) + ;0x ( ) xf , < ( ) 0 , f =0 với ( ) + ;0x ( ) xf nghịch biến trong ( ) + ;0x ( ) xf < ( ) 00 =f 0 > x x ex x ++ 1 2 2 <0 hay 2 1 2 x xe x ++> với 0 > x đpcm. Bài 3: Chứng minh rằng 6 3 x x < xx < sin với 0 > x Giải Ta hớng dẫn cho học sinh chứng minh bất đẳng thức chứng minh < > xx x xx sin 6 sin 3 với 0>x Ta chứng minh xx < sin với 0 > x Xét ( ) xf = xsin - x , ( ) 00 =f ( ) xf , = 1cos x <0 ( ) xf nghịch biến ( ) xf < ( ) 0f với 0>x xsin - x <o xx <sin (1) Ta chứng minh 6 3 x x < xsin Xét ( ) 6 sin 3 x xxxf += ( ) xf , = 2 1cos 2 x x + = ( ) xg ( ) 0sin , >+= xxxg với mọi x >0 ( ) xg đồng biến ( ) xg > ( ) 0g =0 với 0>x hay ( ) xf , >0 với 0>x ( ) xf đồng biến ( ) xf > ( ) 0f =0 với 0>x 0 6 sin 3 >+ x xx 6 3 x x < xsin với 0>x (2) Từ (1),(2) 6 3 x x < xx <sin với 0>x đpcm. Bài 4: Chứng minh rằng xx tansin 22 + 1 2 +x với 2 0 << x Giải áp dụng bất đẳng thức côsi: xx tansin 22 + xx tansin 2.2.2 = 1 2 tansin 2 tansin 22.2 + ++ = xxxx xx tansin 22 + 1 2 tansin 2 + + xx Yêu cầu bài toán Việc chứng minh 1 1 2 tansin 22 + + + x xx 11 2 tansin ++ + x xx xxx 2tansin + với 2 0 << x xét hàm số ( ) xf = xxx 2ta nsin + với 2 0 << x , ( ) 00 =f ( ) xf , = 2 cos 1 cos2 cos 1 cos 2 2 2 +>+ x x x x icos 2. cos 1 .cos.2 2 2 x x 0= (vì xx 2 coscos > với 2 0 << x ) ( ) 0 , xf ( ) xf đồng biến ( ) xf ( ) 0f> với 2 0 << x ( ) xf = 02tansin >+ xxx xxx 2tansin + hay xx tansin 22 + 1 2 +x với 2 0 << x đpcm. Bài 5: (ĐH Dợc ) Với 2 0 < x , chứng minh rằng 1 2 3 tansin.2 222 + >+ x xx Giải Xét hàm số ( ) 2 3 tan 2 1 sin x xxxf += với 2 < xo Ta có ( ) i x xx x xxf cos 22 , 2 3 cos.2 1 2 cos 2 cos 2 3 cos.2 1 cos ++=+= 0 2 3 . cos 1 2 cos 2 cos .3 3 2 = x xx ( ) 0 , xf 2 ;0 x ( ) xf đồng biến trong khoảng 2 ;0 ( ) xf ( ) 0f 0 2 3 tan 2 1 sin + x xx 2 ;0 x 2 .3 tan 2 1 sin x xx + 2 ;0 x . Đẳng thức xảy ra 0=x Mà 2 3 tan 2 1 sin tansin2tansin.2 2.22.222.222 x xx xxxx =+ + 2 2 3 1 tansin2 222 x xx + + 2 ;0 x Đẳng thức chỉ xảy ra { 0 tansin.2 = = x xx 0=x .Do đó 1 2 3 tansin.2 222 + >+ x xx với 2 ;0 x đpcm. Bài 6 Cho 4 3 0 < , Chứng minh rằng 3 1 .2 2 >+ Giải Xét hàm số ( ) 2 1 2 x xxf += trên 4 3 ;0 , 18 59 4 3 = f Ta có ( ) ( ) 3 3 3 , 122 2 x x x xf == <0 với 4 3 ;0x ( ) xf giảm trên 4 3 ;0 ( ) 4 3 fxf , 4 3 ;0x ( ) 4 3 ff , 4 3 ;0 3 18 591 2 2 >+ Hay 3 1 .2 2 >+ 4 3 ;0 đpcm. Bài 7: Chứng minh rằng với 10 3 +<<< aba thì ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ba baa b ba baa ++ +++ << + + 3 3 3 3 3 1.2 .211 .2 .2. . Giải Xét hàm số ( ) ( ) bx bxx xf + + = 3 3 .2 .2 với 10 +<<< axa Ta có ( ) 33 bbf = và ( ) ( ) ( ) 0 .2 .2 2 3 2 3 , + = bx bx xf ( ) xf đồng biến ( ) ( ) ( ) 1 3 +<< afbfaf với 10 +<<< axa ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ba baa b ba baa ++ +++ << + + 3 3 3 3 3 1.2 .211 .2 .2. . đpcm. Bài 8: ( Đề thi thử ĐH Quảng Xơng I) Cho 2 0 <<< ba Chứng minh rằng bbaa sin.sin. > ( ) ab coscos.2 Giải Yêu cầu bài toán aaa cos2s in. + > bbb cos.2sin. + Xét hàm số ( ) xf = xxx cos.2sin. + với 0< 2 <x ( ) xxxxxf sin.2cos.sin , += , ( ) 00 , =f 3 ( ) xxxxxxxxf sin.cos.2sin.coscos ,, =+= (vì 2 0 << x thì 0sin >x ) nên ( ) 0 ,, <xf do đó ( ) 0 , <xf khi 0< 2 <x ( ) xf là hàm số giảm trên khoảng 2 ;0 ( ) ( ) bfaf > với 0 2 <<< ba aaa cos2s in. + > bbb cos.2sin. + hay bbaa sin.sin. > ( ) ab coscos.2 đpcm. Bài 9: Chứng minh rằng 0000 10t an.6tan.39tan.5tan.4 < Giải Xét hàm số ( ) x x xf tan = với 4 0 << x Ta có ( ) 0 2cos.2 2sin.2 22 , > = xx xx xf ( vì ta đã có tansin << nếu 2 0 << ) hàm số ( ) xf là đồng biến trên 2 0 << x với 5<6 thì ( ) 5f < ( ) 6f < 180 6 180 5 ff , tức là 180 6 180 6 tan 180 5 180 5 tan < 00 6tan.55tan.6 < ( 2) chứng minh tơng tự ta cũng có 00 10tan.99tan.10 < (3) Nhân từng vế (2) và (3) ta suy ra 0000 10tan.6tan.39tan.5tan.4 < đpcm. Bài 10: Cho yx z>0 chứng minh y xz x zy z yx 222 ++ 222 zyx ++ Giải Bất đẳng thức ++ zyx zxyzyx 323223 222 zyx ++ ( ) 222 323223 zyxxz y zxyzyx ++ ++ ++++ 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 y z y x y z y x y x y z y z y x đặt u= y x , v = y z ta có u 1 0 > v nên bất đẳng thức có dạng ( ) 1 223223 ++++ vuvuvuvu ( ) ( ) 01 1 22323 +++ vvvuvuvu (2) Nếu v=1 thì (2) có dạng 01.2 2 + uu tức là (2) đúng Nếu 10 << v xét hàm số ( ) ( ) ( ) 22323 1 1 vvvuvuvuuf +++= với 1 v Ta có ( ) ( ) ( ) 232, 1 21.3 vvvuvuuf ++= ( ) ( ) 0.21.6 3,, >+= vvuuf (do 10 << v và 1 u ) ( ) uf , là hàm số đồng biến khi 1 u nên mọi 1 u ta có ( ) uf , ( ) 1 ' f 4 mà ( ) 1 ' f = )3)(1(3.4 23 +=+ vvvvv >0 nên ( ) uf , 0 f (u) là hàm số đồng biến khi u 1 Tức là 1 ta có f(u) f(1) = v 2 - 2v + 1 = (v- 1) 2 > 0 Vậy u 3 (1 - v) + u 2 v 2 - u 2 v 3 - uv (1 + v 2 ) + v 2 0 1 > v > 0 Hay y xz x zy z yx 222 ++ 222 zyx ++ với 0> zyx đpcm. Bài 11: Chứng minh ( ) xx x x <+< 1ln 2 2 với mọi 0 > x Giải Ta chứng minh ( ) x x x +< 1ln 2 2 0>x Xét ( ) xf = ( ) 0, 2 1ln 2 >++ x x xx , ( ) xf , = 0,0 1 1 1 1 2 >> + =+ + x x x x x Suy ra ( ) xf đồng biến với mọi 0>x ( ) 0 2 1ln 2 >++ x xx , 0 > x ( ) x x x +< 1ln 2 2 với mọi 0 > x (1) Ta chứng minh ( ) 0,1ln ><+ xxx Đặt g ( ) ( ) ,1ln xxx += với 0 > x , ( ) og =0 ( ) 0 11 1 1 , > + = + = x x x xg , khi 0 > x ( ) 0>xg , 0 > x ( ) ,01ln >+ xx khi 0 > x ( ) xx <+1ln , với 0 > x (2) Từ (1),(2) ( ) x x x +< 1ln 2 2 < x ,với mọi 0 > x đpcm. Bài 12 Chứng minh rằng x x xx x < + < 1 2 2 với 0 > x Giải Do 0>x nên x x xx x < + < 1 2 2 1 1 1 2 1 < + < x x , 0>x Hớng dẫn học sinh đa về chứng minh < + > + 1 1 1 2 1 1 1 x x x Ta chứng minh 1 1 1 < +x 0>x Vì 0>x nên 11 >+x 11 >+x 1 1 1 < +x (1) Ta chứng minh 1 1 2 1 + < x x 0>x 5 Đặt ( ) 1 2 1 1 + + = x x xg 0>x , ( ) 00 =g ( ) ( ) 0 1 1 1 2 1 3 , > + = x xg , với 0>x hàm số đồng biến với 0>x ( ) ( ) 00 => gxg với 0>x 01 2 1 1 >+ + x x 0>x 1 1 2 1 + < x x 0>x Vậy 1 1 1 2 1 < + < x x x x xx x < + < 1 2 2 , 0>x đpcm. Bài 13: Chứng minh rằng : ( ) 2 2 2 4 1sin + xx với 2 0 << x Giải Yêu cầu bài toán ( ) 2 2 2 4 1sin xx Xét hàm số ( ) xf = ( ) 2 2 sin xx với 2 0 << x . Ta có ( ) xf , =-2 ( ) 0.2cos.sin 3 3 >+ xxx với 2 0 << x ( ) xxx cos.sin.2.2 3 3 > x x x 33 sin cos1 > do các vế đều dơng 3 cos sin x x x < 0 cos sin 3 > x x x ( ) 0cos.sin 3 1 > xxx đặt ( ) xg = ( ) xxx 3 1 cos.sin , ( ) ( ) ( ) 1sin.cos 3 1 cos 2 3 4 3 2 , += xxxxg , ( ) 00 , =g ( ) ( ) xxxg 2 3 2 ,, sin.cos 9 4 = với 2 0 << x ( ) ( ) 0 ,,,, gxg > = 0 với 2 0 << x ( ) xg , đồng biến 2 ;0 ( ) xg , > ( ) 0 , g ( ) xg đồng biến 2 ;0 . ( ) xg > ( ) 0g ( ) xf đồng biến 2 ;0 ( ) xf 2 2 4 1 2 1 2 = = f với 2 ;0 x Do đó ( ) 2 2 sin xx 2 4 1 Hay ( ) 2 2 2 4 1sin + xx 2 ;0 x đpcm. Bài 14: Cho a,b,c>0 và 1 222 =++ cba chứng minh rằng 2 3.3 222222 + + + + + ba c ac b cb a (1) 6 Giải Từ giả thiết 222 1 acb =+ , 222 1 bac =+ và 222 1 cba =+ thay vào (1) ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 222222222 111111 cc c bb b aa a c c b b a a ba c ac b cb a + + = + + = + + + + + 2 3.3 ( do a, b ,c đều dơng ) Xét hàm số ( ) ( ) xxxxxf +== 3 1 , ( ) 1;0x ( ) 1.3 2, += xxf ( ) xf , >0 3 1 ;0x và ( ) xf , <0 1; 3 1 x 0< ( ) xf 3.3 2 3 1 = f ( ) 2 3.31 xf Do đó 0< ( ) 33 2 1 2 aa ( ) 2 33 1 1 2 aa ( ) 2 2 2 . 2 33 1 a aa a Tơng tự ( ) 2 2 2 . 2 3.3 1 b bb b ( ) 2 2 2 . 2 33 1 c cc c Do đó 2 33 222222 + + + + + ba c ac b cb a đpcm. . Bài 15: Cho mn yyyyxxxe < 32121 và == m i y n i i i yx 11 chứng minh == > m y i n i i yx 11 Giải Xét hàm số ( ) x x xf ln = với 0>x ta có ( ) 0 ln1 2 , = x x xf khi ex Nên ( ) xf là hàm số nghịch biến Từ giả thiết ta có n n n n y y y y y y x x x x x x ln lnln ln lnln 2 2 1 1 2 2 1 1 > Từ đó ta có 1 1 .11 ln ln y y xx > 7 1 1 .22 ln ln y y xx > . 1 1 ln .ln y y xx nn > Hay === > m i i n i i n i i y y y x y y x 1 1 1 1 1 1 1 . ln . ln ln (1) Lại có 1 1 .22 ln .ln y y yy 1 1 33 ln .ln y y yy 1 1 ln .ln y y yy nn == m i i m i i y y y y 1 1 1 1 . ln ln (2) Từ (1) và (2) == > m i i n i i yx 11 lnln hay == > m y i n i i yx 11 đpcm. Loại 2: Dùng định lý lagrange: 1.Cơ sở để giải quyết vấn đề Định lý lagrange: Nếu hàm số ( ) xfy = liên tục trên đoạn [ ] ba; và khả vi ( ) ba; thì tồn tại một số c sao cho a<c<b khi đó ( ) ( ) ( ) ab afbf cf = , 2.Bài tập Bài1: Chứng minh rằng. a ab a b b ab << ln với 0<a<b Giải : xét hàm số : ( ) xxf ln= ( ) x xf 1 , = , ( ) c cf 1 , = Hàm số ( ) xxf ln= thoã mãn các yêu cầu của định lý Larange trên [ ] ba; 8 ( ) bac ; ta có: ( ) ( ) ( ) ab afbf cf = , ab ab c = lnln1 Do a<c <b acb 111 << nên aab ab b 1lnln1 < < a ab a b b ab << ln đpcm. Bài 2. Chứng minh rằng với mọi x;y R ta có: yxyx sinsin Giải : Xét h m số f ( ) tx sin= , ( ) xxf cos , = ( ) ccf cos , = H m số f ( ) tx sin= liên tục và khả vi trên [ ] yx; với mọi x;y R thoả mãn các điều kiện của định lý lagrange ( ) yxc ; ta có: ( ) ( ) ( ) xy xfyf cf = , xy xy c = sinsin cos do 1coscos cc 1 sinsin cos = yx yx c yxyx sinsin Ryx ; Bài 3: Chứng minh rằng: b ab TanaTanb a ab 22 coscos << với 0<a<b< 2 Giải: Xét hàm số ( ) Tanxxf = liên tục và khả vi trên ( ) ba; ( ) x xf 2 , cos 1 = , ( ) c cf 2 , cos 1 = ( ) bac ; sao cho ( ) ( ) ( ) ab TanaTanb ab afbf cf = = , ab TanaTanb c = 2 cos 1 c ab TanaTanb 2 cos = . Do a<c<b và xy cos= nghịch biến trên 2 ; o nên b ab c ab a ab 222 coscoscos < < b ab TanaTanb a ab 22 coscos << với 0<a<b< 2 Bài 4: Cho 1>x và 1> chứng minh rằng ( ) 11 > xx a Giải: Xét hàm số ( ) a ttf = với xt 1 ta có ( ) 1, . = a ttf Theo định lý lagrange thì tồn tại ( ) xc ;1 thoả mãn ( ) ( ) ( ) 1 1 , = x fxf cf ( ) 1, . = ccf = 1 1 1 x x ( ) 1 .11 = na cxx ( ) 11 > xx a ( ) ( ) 1.1 1 > xcx a ( vì ( ) 01 >x ) 1 1 > a c 9 bất đẳng thức đúng với c> 1 và - 1 >0 hay ( ) 11 > xx a với 1>x và 1> đpcm. Bài 5 : Chứng minh rằng: ln ( ) 1+x < x mọi x >0 Giải Xét hàm số ( ) ttf ln= với t [ ] x+ 1;1 theo định lý lagrange ( ) xc + 1;1 sao cho ( ) cf , = ( ) ( ) ( ) 11 11 + + x fxf , ( ) t tf ln 1 , = ( ) x x c + = 1ln1 ln ( ) 1 1 1 =<=+ x c x x hay ln ( ) 1+x < x mọi x >0 đpcm. Trờng hợp gặp bài toán cha thể vận dụng định lý lagrange đợc ngay việc chọn hàm số thoã mãn các điều kiện của định lý lagrange rất quan trọng Bài 6: Cho 0>x chứng minh rằng: xx xx + +> + + + 1 1 1 1 1 1 1 (1) Giải: Đây là dạng bài toán cha thể vận dụng đính lý lagrănge đợc ngay. Ta hớng dẫn học sinh đa về chứng minh ( ) +> + ++ x x x x 1 1ln 1 1 1ln1 với x>0 Xét hàm số f ( ) += x xx 1 1ln = ( ) [ ] xxx ln1ln + f ( ) ( ) x xxx + += 1 1 ln1ln , (2) Xét hàm số G ( ) ( ) tt ln= trên [ ] 1; +xx theo định lý lagrange thì tồn tại c : 1+<< xcx sao cho G ( ) ( ) ( ) ( ) xx xGxG c + + = 1 1 , = c 1 ln ( ) xx ln1 + Vì c<x+ 1 c 1 > ( ) 1 1 +x ( ) xx ln1ln + > ( ) 1 1 +x ( ) xx ln1ln + - 1 1 +x >0 f ( ) x , >0 ( ) xf đồng biến trên [ ] 1; +xx ( ) 1+xf > ( ) xf ( ) +> + ++ x x x x 1 1ln 1 1 1ln1 hay xx xx + +> + + + 1 1 1 1 1 1 1 với x>0 đpcm. 10 [...]...Bài 7: Cho n + chứng minh rằng : x n 1 x < 1 2ne với mọi x ( 0;1) Giải Hớng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức tơng tơng với chứng minh bất 1 2ne 1 < với mọi x ( 0;1) e x 2 n (1 x ) < đẳng thức x 2 n 2 n( 1 x ) ta có (1) 2nx + ( 2n 2nx ) 2n + 1 2 n +1 1 2n ta sẽ chứng minh < e 2n + 1 x x 2n(1 x ) = xx xx.x (2n 2nx) ... đề đạo hàm và định lý lagrange 11 III Kết luận: Hiện nay sách tài liệu, sách tham khảo, nâng cao rất nhiều ,nhất là môn toán ,môn học đợc nhiều ngời yêu thích và đã có bề dày truyền thống Nên việc hệ thống các dạng bài tập cho học sinh là rất quan trọng.Trên đây chỉ là một trong các phơng pháp để giúp học sinh giải quyết những bài tập thuộc dạng chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp đạo hàm và định... = Bất đẳng thức đúng vì o với mọi x ( 0;1) và n + 1 2n + 1 đpcm Bài 8: Cho 0 . đpcm. 10 Bài 7: Cho n + chứng minh rằng : xx n 1 < ne2 1 với mọi ( ) 1;0x Giải Hớng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức tơng tơng với chứng minh bất đẳng thức ( ) xx n 1 2 <. 3: Chứng minh rằng 6 3 x x < xx < sin với 0 > x Giải Ta hớng dẫn cho học sinh chứng minh bất đẳng thức chứng minh < > xx x xx sin 6 sin 3 với 0>x Ta chứng. trong các phơng pháp để giúp học sinh giải quyết những bài tập thuộc dạng chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp đạo hàm và định lý lagrange . Chính vì suy nghĩ nh trên nên tôi đã trình bày