LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (1) BÀI TOÁN 1 Trên 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,lấy lần lượt các điểm A,B,C sao cho OA = a;OB = b;OC = c a) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC) b) Giả sử A cố định còn B,C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA = OB + OC .Hãy xác định vị trí B,C sao cho thể tích tứ diện OABC lớn nhất (ĐH Ngoại thương) HD: a) mp(ABC) : 1 x y z a b c + + = ; 2 2 2 2 2 2 ( ;( )) abc d o ABC b c c a a b = + + b) 2 3 1 1 1 .( ) . 6 6 6 2 24 OABC b c a V abc a bc a +   = = ≤ =  ÷   ( đẳng thức khi b = c = a/2 ) BÀI TOÁN 2 Cho 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,một mặt phẳng (P) đi qua điểm N cố định cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C .Giả sử N nằm trong tam giác ABC và khoảng cách từ N đến các mp(OBC) ,(OCA) ,(OAB) lần lượt là a,b,c . a) Chứng minh răng : 1 a b C OA OB OC + + = b) Tính OA,OB,OC để thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất c) Tính OA,OB,OC để tổng S = OA + OB + OC nhỏ nhất (ĐHHH95) HD: Chọn hệ trục Oxyz sao cho N(a,b,c) .Phương trình mặt phẳng (P) qua N là: (x - a) + (y - b) + (z - c) = 0 α β γ Suy ra : ( ;0;0) ; (0; ;0) ; (0;0; ) a b c a b c a b c A B C α β γ α β γ α β γ α β γ + + + + + + b) 3 3 3 3. ( . . ) 1 1 ( ) 1 9 6 6 6 2 OABC a b c a b c V abc abc α β γ α β γ αβγ αβγ + + = = ≥ = 9 min khi a =b =c 2 OABC V abc α β γ = suy ra OA = 3a ; OB = 3b ;OC = 3c 1 c b a C O A B N LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN c) Ta có : OA + OB + OC a b c a b c a b c α β γ α β γ α β γ α β λ + + + + + + = + + b a c a c b a b c β α γ α γ β α β α γ β γ       = + + + + + + + +  ÷  ÷  ÷       2 2 2 2 ( )a b c ba ac cb a b c ≥ + + + + + = + + min (OA + OB + OC) 2 2 2 a b c OA a ab ac α β γ ⇔ = = ⇒ = + + … BÀI TOÁN 3 Cho tứ diện SABC có 2 ; SC (ABC)SC CA AB a = = = ⊥ ,tam giác ABC vuông tại A ,các điểm M thuộc SA , N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a) a) Tính độ dài đoạn MN.Tìm t để MN ngắn nhất b) Khi MN ngắn nhất chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của SA và BC (ĐH Đà Nẳng 2001) HD: Chọn hệ trục C ≡ O ; A(a;a;0) ; B(2a;0;0); S(0;0; a 2) Viết phương trình SA và M∈SA suy ra M : ( ; ; ) 2 2 2 t t t M a a− − ; N(t;0;0) 6 2a min khi t= 3 3 a MN = BÀI TOÁN 4 Cho tứ diện ABCD.Tìm điểm M sao cho S = AM 2 + BM 2 + CM 2 + DM 2 nhỏ nhất HD: Gọi G là trọng tâm của tứ diện ,ta có: 2 2 2 2 .MA MG GA MA MG GA MG GA= + ⇒ = + + uuur uuuur uuur uuuur uuur Tương tự: 2 2 2 2 .MB MG GB MG GB= + + uuuur uuur ; 2 2 2 2 .MC MG GC MG GC= + + uuuur uuur ; 2 2 2 2 .MD MG GD MG GD= + + uuuur uuur Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4MA MB MC MD MG GA GB GC GD+ + + = + + + + Vậy S nhỏ nhất ⇔ MG nhỏ nhất ⇔ M≡ G 2 C B A S M N LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN BÀI TOÁN 5 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy điểm M ,trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C’D’ .Tìm giá trị nhỏ nhất của MN HD: Chọn hệ trục M(0;0;m) N(a;n;0) Vì MD’//NC’ nên: a a m an m a n a n a − = ⇒ = − − . Suy ra : MN = m + n – a = 2 2 n an a n a − + − Xét hàm số : 2 2 ( ) (n>a) n an a f n n a − + = − . MinMN = 3a khi n =2a BÀI TOÁN 6 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Xác định thiết diện đi qua một đường chéo và tìm diện tích nhỏ nhất của nó theo a 3 I A D D' B C A' K B' C' M N A D D' B C A' B' C' M N LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN HD: Đặt AM = y ⇒ B’N = a – y Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(a;0;0) D(0;a;0) A’(0;0;a) .Khi đó M(0;y;0) N(a;a-y; a) 2 2 2 4 2 2 6 ' , ' ( ) 2 2 td a a S A M A N a a y a a y y   = = − + + ≥ ⇔ =   uuuuur uuuur BÀI TOÁN 7 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tâm I có : ; 2 ;AA'=a 2AB a AD a = = .Trên AD lấy điểm M và gọi K là trung điểm của B’M .Đặt AM = m (0 ≤ m < 2a).Tìm vị trí điểm M để thể tích khối tứ diện A’KID lớn nhất (ĐHSP 2001) HD: Đặt AM = m Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(0;a;0) D(2a;0;0) '(0;0; 2)D a . Khi đó M(m;0;0) ; 2 ; ; 2 2 2 m a a K    ÷  ÷   2 ' 1 2 ' , ' . ' .(2 ) 6 24 A KID a V A K A I A D a m   = = −   uuuur uuur uuuur 2 ' 2 ax khi m=0 M A 12 A KID a m V = ⇔ ≡ BÀI TOÁN 8 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh BD và B’A lấy lần lượt các điểm M,N sao cho BM = B’N = t ,gọi α , β lần lượt là các góc tạo bởi MN với BD và B’A a) Tính MN theo a và t.Tìm t để MN nhỏ nhất b) Chứng minh rằng : 2 2 1 cos cos 2 α β + = c) Tính α , β khi MN nhỏ nhất ĐHSP (Vinh 2001) 4 y x z K I A B D C A' D' C' B' M LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN HD: Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(0;a;0) D(a;0;0) A’(0;0;a) . Viết phương trình BD và B’A suy ra M(a-u ; u;0) N(0;v ; v) Theo giả thiết BM =B’N = t ⇒ u =v MN 2 = (a-u) 2 + (u-v) 2 + v 2 = 2u 2 – 2au + a 2 = 2 2 2 2 2 2 2 a a a u   − + ≥  ÷   a min khi u= 2 2 2 a a MN t= ⇒ = c) α = β =60 0 BÀI TOÁN 9 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng 1 và đường cao bằng x . Tìm x để góc tạo bới đường thẳng B’D và mp(B’D’C) lớn nhất 5 y x z A B D C A' D' C' B' M N y z x A D C A' B' C' D' B LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN HD: Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(1;0;0) D(0;1;0) A’(0;0;x) ⇒ ' ( 1;1; )B D x = − uuuur Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (B’D’C) là : ', ' ( ; ; 1)n CB CD x x   = = − − −   r uuur uuuur Gọi α là góc tạo bởi B’D và mp(B’D’C) : 4 2 | ' . | sin | ' |.| | 2 5 2 B D n x B D n x x α = = + + uuuur r uuuur r Xét hàm số : 4 2 (x > 0) 2 5 2 x y x x = + + 1 ax(sin )= khi x=1 3 M α . Khi đó ABCD.A’B’C’D’ là một hình lập phương BÀI TOÁN 10 Cho khối cầu có bán kính R .Tìm khối trụ nội tiếp khối cầu có thể tích lớn nhất.Tính thể tích khối trụ đó HD: Gọi chiều cao của khối trụ là 2x (0 < x < R) suy ra bán kính của khối trụ là : 2 2 2 3 . 2 ( ) k tru r R x V R x x π = − ⇒ = − Xét hàm số : 2 3 x (0;R)y R x x= − ∈ BÀI TOÁN 11 Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu có bán kính r cho trước .Tìm hình chóp đều có diện tích toàn phần nhỏ nhất HD: Giả sử hình chóp đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h và thể tích V .Ta có: 3 3 TP TP V V r S S r = ⇒ = Vậy S TP nhỏ nhất ⇔ V nhỏ nhất Ta có : 2 2 3 12 TP V ah r S a a h = = + + Gọi M là trung điểm của BC và ϕ là góc giữa mặt bên và đáy hình chóp suy ra : 3 .tan 6 a h ϕ = Khi đó : 6 (cos +1) (cos +1) ; cos 3 sin r r a h ϕ ϕ ϕ ϕ = = ; 2 2 3 3 (cos +1) r(1+t) 3 = 3r (0<t=cos <1 cos (1 cos ) t(1-t) V r ϕ ϕ ϕ ϕ = − Xét hàm số : 2 r(1+t) ( ) (0<t<1) t(1-t) f t = ĐS: 4 ;tan =2 2 ; a=2r 6h r ϕ = 6 LTDH GV Vế S KHUN BI TON 12 Cho hỡnh nún cú bỏn kớnh ỏy R ,chiu cao h. Tỡm hỡnh tr ni tip hỡnh nún cú th tớch ln nht HD: Gi r l bỏn kớnh hỡnh tr ni tip hỡnh nún, ta cú: 2 2 . 1 ( ) 1 ( ) 3 3 k tru h R r h V r r R r R R = = Xột hm s 2 ( ) ( ) (0<r<R)f r r R r= S: 2 . 4 2R ; r= 81 3 k tru V R h = BI TON 13 SBT-B34 :Cho khi chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc ABC vuụng cõn C v SA mp(ABC) ,SC = a.Hóy tỡm gúc gia hai mt phng (SCB) v (ABC) th tớch khi chúp ln nht. Gii Ta cú: SA(ABC) v BCCA BCSC (theo nh lý 3 ng vuụng gúc) suy ra gúc gia hai mt phng (SCB) v (ABC) l ã SCA . t : ã 2 0<x< = ữ SCA x suy ra: SA = a.sinx ; AC = a.cosx 3 2 . 1 1 1 . . . .sin .cos 3 3 2 6 S ABC ABC a V S SA AC BC SA x x = = = Xột hm s: f(x) = sinx.cos 2 x Ta cú: f(x)= cos 3 x 2cosx.sin 2 x = cosx(cos 2 x 2 + 2cos 2 x) = cosx(3cos 2 x 2) = 2 2 3cos cos cos 3 3 + ữ ữ ữ ữ x x x Vỡ 2 cos cos 0 2 3 0 < x < + > ữ ữ x x . 2 2 Goùi laứ goực sao cho cos = ,0 < < 3 Bng bin thiờn : Vy th tớch khi chúp S.ABC t giỏ tr ln nht f(x) t giỏ tr ln nht 2 2 x= vụựi 0 < < vaứ cos = 3 7 G S A C A' F x 0 x - 0 +f(x) f(x) A B C S LTDH GV Vế S KHUN BI TON 14 SBT-B35 : Cho khi chúp t giỏc u S.ABCD cú khong cỏch t nh A n mp(SBC) bng 2a.Vi giỏ tr no ca gúc gia mt bờn v mt ỏy khi chúp thỡ th tớch khi chúp nh nht. Gii Gi O l tõm ca hỡnh vuụng ABCD SO (ABCD); gi E,H ln lt l trung im ca AD v BC suy ra SE,SH l cỏc trung on ca hỡnh chúp Vỡ AD // BC nờn AD // (SBC) d(A,(SBC)) = d(E,(SBC)) Dng EK SH thỡ EK (SBC) (vỡ (SEK) (SBC)) Vy EK = d(A,(SBC)) = 2a Ta cú: BC SH v BCOH suy ra gúc gia hai mt phng (SCB) v (ABC) l ã SHO . t : ã 2 0<x< = ữ SHO x . Ta cú: 2 sin a a ; OH= ; SO= sinx cosx = a EH x Vy: 3 . 2 1 4 . 3 3cos .sin S ABCD ABCD a V S SO x x = = Th tớch khi chúp S.ABCD nh nht f(x) = cosx.sin 2 x t giỏ tr ln nht Ta cú: f(x)= -sin 3 x + 2sinx.cos 2 x = sinx(2cos 2 x sin 2 x) = sinx(2 3sin 2 x) = 2 2 3sin sin sin 3 3 + ữ ữ ữ ữ x x x Vỡ 2 sin sin 0 2 3 0 < x < + > ữ ữ x x . 2 2 Goùi laứ goực sao cho sin = ,0 < < 3 Bng bin thiờn : Vy th tớch khi chúp S.ABC t giỏ tr nh nht khi v ch khi f(x) t giỏ tr ln nht 2 2 x= vụựi 0 < < vaứ sin = 3 BI TON 15 8 x 0 x - 0 +f(x) f(x) O D A B C S H E K LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, Gọi M là trung điểm của cạnh SC .Mặt phẳng (P) đi qua AM nhưng luôn luôn cắt SB,SD lần lượt tại B’,D’ a) Chứng minh : 3 ' ' SB SD SB SD + = B) Gọi V = V S.ABCD và V 1 = V S.AB’MD’ .Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số V 1 /V HD: Gọi O là tâm của hình bình hành và G = AM∩SO thì G là trọng tâm của tam giác SBD,suy ra: 2 3 = SG SO Xét tứ diện SAB’D’ và SABD : Ta có: ' ' ' ' . SAB D SABD V SB SD V SB SD = Xét tứ diện SAB’G và SABO : Ta có: ' ' 2 ' . . 3 SAB G SABO V SB SG SB V SB SO SB = = Xét tứ diện SAD’G và SADO : Ta có: ' ' 2 ' . . 3 SAD G SADO V SD SG SD V SD SO SD = = Mà : ' ' ' 'SAB G SAD G SAB D V V V+ = và 1 2 SABO SADO SABD V V V = = Suy ra: ' ' 2 ' ' 3 SAB G SAD G SABO SADO V V SB SD V V SB SD   + = +  ÷   ' ' 2 ' ' 1 1 3 2 2 SAB G SAD G SABD SABD V V SB SD SB SD V V   ⇒ + = +  ÷   ' ' 1 ' ' 3 SAB G SAD G SABD V V SB SD V SB SD +   ⇒ = +  ÷   ' ' 1 ' ' 3 SAB D SABD V SB SD V SB SD   ⇒ = +  ÷   ' ' 1 ' ' . 3 SB SD SB SD SB SD SB SD   ⇒ = +  ÷   3 ' ' SB SD SB SD ⇒ + = Ta cũng có: . ' . ' . . 1 ' 1 ' . . 2 2 S AB M S AD M S ABC S ADC V V SB SD V SB V SD = = ; . ' . ' . . 1 ' ' . 2 S AB M S AD M S ABC S ADC V V SB SD V V SB SD   ⇒ + = +  ÷   9 G M O D A B C S B' D' LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN . ' . ' . ' ' . . . 1 ' ' . 1 1 1 2 2 2 2 S AB M S AD M S AB MD S ABCD S ADCD S ABCD V V V SB SD SB SD V V V   ⇒ + = = +  ÷   . ' ' 1 . 1 ' ' . 4 S AB MD S ABCD V V SB SD V V SB SD   ⇒ = = +  ÷   Đặt : ' ' SB SD x SB SD = ≤ ≤ ; y= (1 x;y 2) 1 1 1 1 . 4 V V x y   ⇒ = +  ÷   với x + y = 3 1 3 3 1 . 4 4 (3 ) V V xy x x ⇒ = = − 1 1 1 9 3 2 3 4 8 V V V V ⇒ = =min khi xy= ; max khi xy= BÀI TOÁN 16 Cho tứ diện SABC có SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi .Biết rằng SA = a ; SB +SC = k (không đỏi) .Xác định SB,SC để thể tích tứ diện SABC lớn nhất HD: Ta có: 1 1 . . ax(k-x) 6 6 V SA SB SC = = BÀI TOÁN 17 Cho tam giác OAB đều cạnh a.Trên đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mp(OAB) ta lấy điểm M với OM = x.Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của A lên MB ,OB .Đường thẳng EF cắt d tại N .Chứng minh AN⊥ BM và định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất HD: Ta có: AF⊥ OB , AF⊥ OM ⇒ AF⊥ MB AE⊥ MB ⇒ MB⊥ (AEF) ⇒ MB⊥ AN 1 . 3 ABMN OAB V S MN = V ABMN nhỏ nhất ⇔ MN nhỏ nhất ⇔ OM + ON nhỏ nhất ∆OMB đồng dạng ∆OFN ⇒ OM.ON = OF.OB = a 2 /2 BÀI TOÁN 18 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x ,các cạnh còn lại đều bằng 1.Tìm x để diện tích toàn phần lớn nhất HD: S TP = 4S ACD = 2 4 1x x − 10 O B A M F E N [...]...LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN BÀI TOÁN 19 Cho tứ diện ABCD có AB = 2x ; CD = 2y ,các cạnh còn lại đều bằng 1.Tìm x ,y để diện tích toàn phần lớn nhất HD: STP = 2 x 1 − x 2 + 2 y 1 − y 2 ( Mà : 2 x 1 − x 2 ≤ x 2 + 1 − x 2 ) 2 = 1 ; 2 y 1 − y2 ≤ y2 + ( 1− y2 ) 2 =1 STP = 2 x 1 − x 2 + 2 y 1 − y 2 ≤ 2 Max STP = 2 Khi x = y = BÀI TOÁN 20 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ trong đó AA’ = a ; AB = b ;AD... − y2 ≤ y2 + ( 1− y2 ) 2 =1 STP = 2 x 1 − x 2 + 2 y 1 − y 2 ≤ 2 Max STP = 2 Khi x = y = BÀI TOÁN 20 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ trong đó AA’ = a ; AB = b ;AD = c.Gọi (P) là mặt phẳng qua C’ và không cắt hình hộp nhưng cắt các cạnh AA’,AB;AD kéo dài tại E,F,G a) Chứng minh : a b c + + =1 AE AF AG b) Xác định mp(P) sao cho thể tích tứ diện AEFG nhỏ nhất HD: Chọn hệ trục tọa độ: A(0;0;0) B(b;0;0) . LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (1) BÀI TOÁN 1 Trên 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,lấy lần lượt. x (0;R)y R x x= − ∈ BÀI TOÁN 11 Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu có bán kính r cho trước .Tìm hình chóp đều có diện tích toàn phần nhỏ nhất HD: Giả sử hình chóp đều có cạnh. − ≤ Max S TP = 2 Khi x = y = BÀI TOÁN 20 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ trong đó AA’ = a ; AB = b ;AD = c.Gọi (P) là mặt phẳng qua C’ và không cắt hình hộp nhưng cắt các cạnh AA’,AB;AD