Đang tải... (xem toàn văn)
Các hệ thống điện thoại di động
CHƯƠNG 3BIẾN ĐỔI Z Một cách biểu diễn tín hiệu khác về mặt toán học: biến đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền Z∑∞=−=0nnznxzX )()( Biểu thức trên gọi là biến đổi Z hai phíaBiến đổi Z của dãy x(n):Biến đổi Z một phía dãy x(n):Trong đó Z – biến số phức∑∞−∞=−=nnznxzX )()(Biến đổi Z Biến z: Điểm thuộc mặt phẳng zz = a + jb hay z = rejδKý hiệu:x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)} X(z) x(n) hay x(n) = Z-1{X(z)} →←Z →←−1Z0Im(z)Re(z)Mặt phẳng ZBiến đổi Z (tiếp) Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence) là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ.+++=∑∞=)2()1()0()(0xxxnxn1)(lim1<∞→nnnx00Im(Z)Re(z)Rx+Rx-ROCMiền hội tụ (ROC) {z │ |X(z)| < ∞}Chúng ta chỉ quan tâm X(z) tại những điểm z thuộc ROCTiêu chuẩn Cauchy:Một chuỗi có dạng:hội tụ nếu:−+<<xxRzRMiền hội tụ của biến đổi Z Tìm biến đổi Z & ROC của: ( )nnaz∑∞=−=01111)(−−=azzXazaznnn>⇔<−∞→1lim11∑∞−∞=−=nnznxzX )()([ ]∑∞−∞=−=nnnznua )(∑∞=−=0.nnnza)()( nuanxn=0ROCROCIm(z)Re(z)/a/Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) sẽ hội tụ:Nếu:Vậy:aazzX>−=−Z:ROC;11)(1Ví dụ 1: )1()( −−−= nuanxn( )mmza∑∞=−−=11az <⇔ 1lim11<−∞→nnnza∑∞−∞=−=nnznxzX )()([ ]∑∞−∞=−−−−=nnnznua )1(∑−−∞=−−=1.nnnza( )101+−=∑∞=−mmza( )1)(01+−=∑∞=−nmzazX111 −−=az0ROCROCIm(z)Re(z)/a/Tìm biến đổi Z & ROC của: Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) sẽ hội tụ:Nếu:Ví dụ 2: Miền hội tụ của biến đổi Z a. Dãy không nhân quả. b. Dãy nhân quả. c. Dãy phản nhân quả Tuyến tính RROC : )()(222=→←zXnxZ RROC : )()(111=→←zXnxZ)()()()(22112211zXazXanxanxaZ+→←+Nếu:Thì:CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI ZROC = ROC1 ∩ ROC2 ∩ … ∩ ROCn Ví dụ 3:)1()()(−−−=nubnuanxnnba < Tìm biến đổi Z & ROC của:với111)(−−→←aznuaZn0ROCROCIm(z)Re(z)/a/azR >:1Ta có:Ta có: Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:→←−−−Znnnubnua )1()(111111−−−+− bzazbzaRRR <<∩= :210ROCROCIm(z)Re(z)/b//a/111)1(−−→←−−−bznubZnbzR <:20ROCROCIm(z)Re(z)/b/Ví dụ 3 (tiếp) [...]... Z c1 =2 2 )2( 1 Res = − Z m zz m 2 1 = 2 )2( )2( 1 = − − = Z m z zz 0 ROC ROC Im(z) Re(z) 2 C Ví dụ (tiếp) Hàm hệ thống của hệ LTI Xác định y(n) Tính X(z) và H(z) Xác định Y(z) Tìm y(n) bằng cách tính biến đổi Z ngược của Y(z) Hàm hệ thống trong miền Z Tuyến tính RROC : )()( 222 =→← zXnx Z RROC : )()( 111 =→← zXnx Z )()()()( 22112211 zXazXanxanxa Z +→←+ Nếu: Thì: CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z ROC = ROC 1 ∩ ROC 2 ∩ … ∩ ROC n ... Các cách biểu di n )( )()( zB zA z zX = )())(( )( 21 cNccN zzzzzzb zA −−− = Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z phân tích thành: )( )()( zB zA z zX = )()()( 2 2 1 1 cN N cc zz K zz K zz K − ++ − + − = ∑ = − = N i ci i zz K 1 )( Với hệ số K i xác định bởi: ci ZZ cii zz z zX K = −= )( )( hay ci ZZ i zB zA K = = )(' )( Xét X(z)/z có các điểm cực đơn: z c1 , z c2 ,... thành: )()( )( )( )( 3 3 * 1 2 1 1 cN N c c c zz K zz K zz K zz K z zX − ++ − + − + − = ∑ = − + − + − = N i ci i c c zz K zz K zz K z zX 3 * 1 2 1 1 )( )( )( )( Với các hệ số K 1 , K i được tính giống điểm cực đơn: Ni:)zz( z )z(X K ci ZZ cii ÷=−= = 1 X(z)/z có cặp điểm cực Z c1 và Z c1 * phức liên hiệp, các điểm cực còn lại đơn: Z c3 ,…,Z cN Với các miền hội tụ: )31( 1 )21( 1 )( 11 −− − + − = zz zX a) /z/ > 3 : )(3)(2)( nununx nn += b) /z/ < 2... trị vài mẫu đầu của tín hiệu n anx =)( Khai triển thành chuỗi Biến đổi Z hữu tỉ 21 1 21 1 )( −− − −− − = zz z zX Hữu ích để phân tích hệ LTI rời rạc thời gian Việc xét tính chất hay thiết kế hệ có tính chất nào đó → chỉ cần quan tâm trên vị trí của các điểm zero-pole Phương pháp tích phân trực tiếp Định lý thặng dư Cauchy Nếu đạo hàm df(z)/dz tồn tại trên và trong bao đóng C và nếu... 4: a az nua Z n > − →← − z:ROC; 1 1 )( 1 )1()( −= nuanx n )1()( −= nuanx n )1(. 1 −= − nuaa n az az az Z > − →← − − : 1 1 1 Theo ví dụ trước: Vậy: Tìm biến đổi Z & ROC của: Phương pháp: Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích phân vịng được xác định bằng tổng các thặng dư tại tất cả các điểm cực của hàm X(z)z n-1 : Thặng dư tại điểm cực Z ci bội k của F(z) được định nghĩa: [ ] [ ] ci ci ZZ k ci k k ZZ zzzF dz d k zFs = − − = − − = ))(( )!1( 1 )(Re )1( )1( Thặng... 2</z/<3 : )1n(u3)n(u2)n(x nn −−−= )3( 1 )2( 1)( − + − = zzz zX )31( 1 )21( 1 )( 11 −− − + − =⇒ zz zX Ví dụ (tiếp) Biến đổi Z hữu tỉ – zero & pole Zero của Biến đổi Z: các giá trị z sao cho X(z) = 0 Pole của Biến đổi Z: các giá trị của z sao cho X(z) = ∞ ROC không chứa bất kỳ pole nào Ký hiệu trên mặt phẳng Z: zero – vòng tròn (o) và pole – chữ thập (x) 1 9.01 1 )( − − = z zX n≥0: )2( )( 1 − = − z z zzX n n có... niệm thặng dư tại điểm cực Ví dụ: Tìm x(n) biết: )321)(1()( 212 −− +−+= zzzzX Khai triển X(z) ta được: ∞<< zROC 0: 212 3242)( −− +−+−= zzzzzX ∑ −= − = 2 2 )( n n znx Suy ra: Xét : Do các hệ số A(z), B(z) là thực, nên K 2 =K 1 * )( * )( )( * 1 1 1 11 c c zz K zz K z zX − + − = )1( * )1( )( 1* 1 1 1 1 1 1 −− − + − =⇒ zz K zz K zX cc Nếu gọi: β j eKK 11 = α j cc ezz 11 = Và giả thiết... hữu tỉ Vị trí pole và hành vi của t/h nhân quả ở miền thời gian Vị trí pole ảnh hưởng tính chất bị chận, phân kỳ của tín hiệu nhân quả ở miền thời gian Vị trí pole quyết định tính ổn định của hệ thống nhân quả Tính chất của tín hiệu ở miền thời gian, trong trường hợp pole nằm ngồi hay trong hay trên vịng tròn đơn vị 5.0:; 5.01 1 )()()5.0()( 1 > − =→←= − zROC z zXnunx Z n 2:; 21 1 )()1(2)( 1 < − =→←−−−= − zROC z zHnunh Z n 25,0:; )21( 1 . )5.01( 1 )()()( 11 << −− == −− zROC zz zHzXzY 25,0:; )21( 1 . 3 4 )5.01( 1 . 3 1 11 << − + − −= −− zROC zz )1(2 3 4 )()5.0( 3 1 )(*)()(... ngược của thành phần K i /(z-z ci ) r sẽ là: ( ) )( )!1( )2) (1( 1 1 nu i ainnn az z in Z i − +−− →← − +− − )()()( )!1( )2) (1( )( 1 1 1 nuzKnu i ainnn Knx N rl n cll in r i i ∑∑ += +− = + − +−− = Với hệ số K i xác định bởi: 1c ZZ r 1c )ir( )ir( i )zz( z )z(X dz d )!ir( 1 K = − − − − = hay cl ZZ cll zz z zX K = −= )( )( Xét X(z)/z có điểm cực Z c1 bội r (tiếp) Vậy X(z)/z có biểu thức... += 01 1 1 01 1 1 )( bzbzbzb azazaza zC N N N N M M M M ++++ +++ += − − − − Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc M≤N Nếu K≤N, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z) Phân tích thành tổng các phân thức tối giản . CHƯƠNG 3BIẾN ĐỔI Z Một cách biểu di n tín hiệu khác về mặt toán học: biến đổi tín hiệu từ miền thời gian. Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence) là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ.+++=∑∞=)2()1()0()(0xxxnxn1)(lim1<∞→nnnx00Im(Z)Re(z)Rx+Rx-ROCMiền