Trường THCS Mỹ Quang Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh giỏi Chuyên đề 1: PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE (Phương trình nghiệm nguyên) I. MỞ ĐẦU : Có bài toán dân gian sau : Trăm trâu trăm cỏ, Trâu đứng ăn năm, Trâu nằm ăn ba, Lụ khụ trâu già, Ba con một bó. Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, bao nhiêu trâu nằm, bao nhiêu trâu già ? Giải : Gọi số trâu đứng là x, số trâu nằm là y, thì số trâu già là : 100 – (x + y) Ta có phương trình : 100 ( ) 5x 3 100 3 x y y − + + + = Hay 7x + 4y = 100 (1) Nếu không có điều kiện hạn chế gì thì phương trình này rất dễ giải ; nó có vô số nghiệm : 100 7x 4 x R y ∈    − =   Nhưng theo đề toán thì x, y (số trâu) phải là số nguyên dương, nên ta phải tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (1). Đây là một ví dụ về phương trình Diophante. Một phương trình có nhiều ẩn số, với tất cả các hệ số đều là số nguyên, và ta phải tìm nghiệm nguyên của nó, được gọi là một phương trình Diophante. (Diophante là tên của một nhà toán học cổ Hy Lạp) Phương trình Diophante nói chung là có nhiều nghiệm nguyên, vì vậy người ta cũng gọi là phương trình vô định. II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN ĐƠN GIẢN : 1. Phương trình ax + by = c (1) (a, b, c là các số nguyên) Nếu (a,b) = 1 thì phương trình (1) bao giớ cũng có nghiệm nguyên. Trường THCS Mỹ Quang Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh giỏi Nếu a, b có một ước số chung không phải là ước số của c thì phương trình (1) không có nghiệm nguyên. Muốn tìm nghiệm nguyên của (1), ta phải tách được phần nguyên ra khi biểu diễn x theo y hoặc y theo x. Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3x + 4y = 29 Giải : Ta có x = 29 4y 2 y 9 y 3 3 − − = − + . Muốn có x, y nguyên thì 2 y 3 − phải nguyên hay 3 là ước của 2 – y. Vậy 2 – y = 3t (t ∈ Z) Khi đó : y = 2 – 3t và x = 9 – y + t = 9 – 2 + 3t + t = 4t + 7 Vậy : x 4t 7 (t nguyên) y 2 3t = +   = −  là tất cả các nghiệm nguyên của phương trình đã cho. Muốn tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình trên, ta đặt thêm các điều kiện để x > 0 y > 0. Ta có : 7 t x 4t 7 0 4 2 y 2 3t 0 t 3   > −   = + >   ⇔   = − >   <     Do đó : 7 2 t 4 3 − < < và t chỉ có hai giá trị t 1 = –1, t 2 = 0 Với t 1 = –1 thì x = 3, y = 5 là nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho. Với t 2 = 0 thì x = 2, y = 7 là nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho. Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 7x + 23y = 120 (1) Giải : Ta có x = 120 23y 1 2y 17 3y 7 7 − − = − + (2) Muốn có x, y nguyên thì 1 – 2y = 7t hay 2y = 1 – 7t (t nguyên). Từ đó : y = –3t + 1 t 2 − (3) Vì y, t nguyên nên 1 – t = 2t 1 (t 1 nguyên) ⇔ t = 1 – 2t 1 Thay vào (3) ta có : y = –3(1 – 2t 1 ) + t 1 = 7t 1 – 3. Thay vào (2) ta được : x = 17 – 3(7t 1 – 3) + 1 – 2t 1 = 27 – 23t 1 Vậy x = 27 – 23t 1 , y = 7t 1 – 3 là nghiệm nguyên của phương trình (1). Muốn có nghiệm nguyên dương, ta phải có : Trường THCS Mỹ Quang Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh giỏi 1 1 1 1 27 t x 27 23t 0 23 y 7t 3 0 3 t 7  <  = − >   ⇔   = − >   >   Suy ra t 1 = 1 và x = 4, y = 4 là nghiệm nguyên dương duy nhất của phương trình đã cho. 2. Đưa về phương trình tích : Ta có thể biến đổi một vế của phương trình là tích các biểu thức nguyên của ẩn còn vế kia là một số nguyên. Bằng cách phân tích số nguyên này thành các thừa số nguyên tố, ta có thể xét mọi trường hợp có thể xảy ra rồi từ đó tính ra nghiệm nguyên của phương trình. Ví dụ 3 : Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình xy – 4x = 35 – 5y (1) Giải : (1) ⇒ xy – 4x + 5y – 20 = 15 hay ( x + 5)(y – 4) = 15 = 15.1 = 5.3 Vì x, y đều là số tự nhiên nên x + 5 ≥ 5 và là ước của 15, ta có : hoặc x 5 5 y 4 3 x 5 15 y 4 1  + =    − =    + =    − =    Suy ra : x = 10, y = 5 hoặc x = 0, y = 7. Đó là những nghiệm tự nhiên của phương trình đã cho. 3. Phương pháp loại trừ : Từ phương trình đã cho tìm ra một số điều kiện loại bớt dần những giá trị của ẩn để tìm ra nghiệm Ví dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x 2 – 6xy + 13y 2 = 100 (1) Giải : (1) ⇒ x 2 – 6xy + 9y 2 = 100 – 4y 2 hay (x – 3y) 2 = 4(25 – y 2 ) ≥ 0 . Vậy 2 y 5 và 25 y≤ − là số chính phương. Với y = 1 hoặc y = 2 thì 25 – y 2 không là số chính phương (loại) Với y = 3 ta có : 2 x 9 8 x 17 (x 9) 4.16 x 9 8 x 1 − = ⇒ =  − = ⇒  − = − ⇒ =  Với y = 4 ta có : 2 x 12 6 x 18 (x 12) 36 x 12 6 x 6 − = ⇒ =  − = ⇒  − = − ⇒ =  Với y = 5 ta có : (x – 15) 2 = 0 ⇒ x = 15 Trường THCS Mỹ Quang Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh giỏi Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là : (1; 3), (17; 3), (6; 4), (18; 4), (15; 5). 4. Dùng tính chia hết : Thu hẹp miền xác định của ẩn đưa phương trình về những phương trình đơn giản hơn. Ví dụ 5 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x 2 + 5 y 2 = 345 (1) Giải : 345 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 nên 3x 2 + 5 y 2 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5. Vì (3, 5) = 1 nên x M 5 ⇒ x = 5a (a ∈ Z) và y M 3 ⇒ y = 3b (b ∈ Z). Ta có : 3.25a 2 + 5.9b 2 = 345 ⇔ 5a 2 + 3b 2 = 23 (2) Ngoài ra a 2 2 b 23 23 ; a 2, b 2 5 3 ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ Thay vào (2) các giá trị của a = 1, 2 và b = 1, 2 ta thấy phương trình có nghiệm nguyên dương duy nhất với a = 2, b = 1. Lúc đó x = 10, y = 3. 5. Tách phần nguyên : Ta cũng có thể tách phần nguyên riêng ra và đặt điều kiên cho phân thức còn lại cũng là một số nguyên, từ đó tìm ra nghiệm của phương trình. Ví dụ 6 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x – 3y = 2xy – 11 (1) Giải : (1) ⇒ 11 + 5x = y(2x + 3) hay 11 5x 2(5x 11) 7 y 2y và 2y 5 2x 3 2x 3 2x 3 + + = ⇒ = = + + + + Nếu x, y đều là nguyên dương thì 2x +3 phải là ước của 7 tức là bằng –1, 1, –7, 7. Trong bốn trường hợp này phương trình chỉ nhận một cặp nghiệm nguyên dương với 2x + 3 = &. Lúc đó x = 2 và y = 3. 6. Dùng vai trò bình đẳng của ẩn : Nếu phương trình nguyên mà các ẩn x, y, z có vai trò bình đẳng, ta có thể đặt điều kiện để giả sử x ≤ y ≤ z mà bài toán không mất đi tính tổng quát. Từ đó giới hạn bớt miền xác định của ẩn và tìm được nghiệm của phương trình. Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = xyz (1). Giải : Do vai trò của x, y, là bình đẳng nên ta giả sử 0 < x ≤ y ≤ z. Ta có : xyz = x + y + z ≤ 3z ⇒ xy ≤ 3. Nếu x = y = z thì z 3 = 3z ⇒ z 2 = 3 điều này không xảy ra với z nguyên. Vậy ba số x, y, z không thể bằng nhau. Vậy số nhỏ nhất không thể bằng 3. Ta có xy < 3. Nếu xy = 2 thì x = 1, y = 2 ⇒ z = 3. Nếu xy = 1 thì x = 1, y = 1 ⇒ 2 + z = z vô nghiệm. Trường THCS Mỹ Quang Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh giỏi III. BÀI TẬP ÁP DỤNG : 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x + y = xy 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : (x + y) 2 = (x – 1)(y + 1) 3) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 6x 2 + 5y 2 = 74 4) Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình : x y + 1 = z 5) Tìm các số tự nhiên thỏa mãn phương trình : 1 10 x 1 7 y z + = + . . trình có nhiều ẩn số, với tất cả các hệ số đều là số nguyên, và ta phải tìm nghiệm nguyên của nó, được gọi là một phương trình Diophante. (Diophante là tên của một nhà toán học cổ Hy Lạp) Phương. bao giớ cũng có nghiệm nguyên. Trường THCS Mỹ Quang Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh giỏi Nếu a, b có một ước số chung không phải là ước số của c thì phương trình (1) không có nghiệm nguyên. Muốn. có bao nhiêu trâu đứng, bao nhiêu trâu nằm, bao nhiêu trâu già ? Giải : Gọi số trâu đứng là x, số trâu nằm là y, thì số trâu già là : 100 – (x + y) Ta có phương trình : 100 ( ) 5x 3 100 3 x