Chuyên đề VI: Nguyên hàm-Tích phân, ứng dụng của tích phân . 1. Tích phân Lý huyết -   F x là một nguyên hàm của hàm số   y f x  liên tục trên đoạn   ; a b . Khi đó         b b a a f x dx F x F b F a     . - Ghi nhớ các tính chất cộng, trừ tích phân và công thức tính các nguyên hàm của hàm số thường gặp.      . k f x dx k f x dx    , (k là hằng số)  dx x C    ; 2 1dx C x x     ; 2 dx x C x    - Cách tính vi phân của hàm số   y g x  là:       d g x g x dx   Ví dụ 1: Với 3 5 u x   , ta có     3 5 3 5 . du d x x dx      3 dx  Với 2 1 t x   , ta có 2 2 1 t x   . Lấy vi phân hai vế (theo biến tương ứng), ta được     2 2 1 d t d x       2 2 1 t dt x dx      2 . 2 . t dt x dx   tdt xdx   Ví dụ 2: a)   2 2 1 3 2 I x x dx     2 2 2 2 1 1 1 3 2 x dx xdx dx       2 2 2 2 1 1 1 3 2 x dx xdx dx       2 2 3 2 2 1 1 1 3. 2 3 2 x x x    2 2 2 2 3 1 1 1 2 2 x x x        2 2 3 3 2 1 2 1 2.2 2.1 2 2             15 2  Có thể tính gộp:   2 2 1 3 2 I x x dx     3 2 3 1 2 2 x x x          2 2 3 3 2 1 2 2.2 1 2.1 2 2                   5 10 2   15 2  b) 4 0 2 1 J x dx      4 1 2 0 2 1 x dx        4 1 2 0 1 2 1 2 1 2 x d x       4 1 1 2 0 2 1 1 1 2 1 2 x                 4 3 2 0 1 2 1 3 x    4 3 0 1 2 1 3 x      3 3 1 2.4 1 2.0 1 3             1 26 27 1 3 3    Nhận xét: Với đa số học sinh trung bình thì nên tính tích phân trên bằng phương pháp đổi biến 2 1 t x   2 2 1 t x    Lấy vi phân hai vế (theo biến tương ứng) ta được     2 2 1 2 2 d t d x tdt dx     tdt dx   Đổi cận: Với 1 x  ta có 2.0 1 1 t    ; với 4 x  ta có 3 t  Vậy 3 3 3 3 2 1 1 1 . 3 t J t tdt t dt       3 3 3 1 26 3 3 3   Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2008, L2, KPB): Tính 1 0 3 1 I x dx    . Câu 2 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH): Tính tích phân   2 2 1 6 4 1 I x x dx     Đáp số: Câu 1: 14 9 I  ; Câu 2: 9 I  2. PP đổi biến số. Lý huyết Một số dạng thường gặp:    1 sin cos b a I f x xdx   . Đặt sin t x  , ta có cos dt xdx    1 cos sin b a I f x xdx   . Đặt cos t x  , ta có sin dt xdx   Khi đó   sin 1 sin b a I f t dt   hoặc   cos 1 cos b a I f t dt       2 2 tan . cos b a dx I f x x   . Đặt tan t x  , ta có 2 1 cos dt dx x  Khi đó   tan 2 tan b a I f t dt      3 b x x a I f e e dx   . Đặt x t e  , ta có x dt e dx  Khi đó   3 b a e e I f t dt    Tổng quát:     3 . b a I f u x u x dx        . Đặt   t u x  ,   dt u x dx   Ví dụ 1: Tính   6 3 cos 1 sin I x xdx       Đặt cos t x  , ta có   cos sin dt d x xdx    .  Đổi cận: Với 6 x   , ta có 3 cos 6 2 t    Với 3 x   , ta có 1 cos 3 2 t    .  Khi đó      3 1 2 2 1 3 2 2 1 1 I t dt t dt        3 2 2 1 2 2 t t           2 2 3 1 2 3 1 2 2 2 2 2                                 3 3 1 1 3 1 8 2 8 2 2 4             Ghi chú: các em cũng có thể đặt cos 1 t x   Ví dụ 2: Tính 2 0 cos 3 sin x J dx x     Ta viết lại 2 0 1 .cos 3 sin J xdx x     (có dạng 1 I )  Đặt sin t x  , ta có     sin sin . cos dt d x x dx xdx      Đổi cận: Với 0 x  , ta có sin0 0 t   . Với 2 x   ta có sin 1 2 t    .  Vậy   1 1 0 0 3 1 3 3 d t J dt t t          1 0 ln 3t        ln 1 3 ln 0 3      4 ln4 ln3 ln 3   Ghi chú: Với bài này có thể đặt 3 sin t x   . Ta có     3 sin 3 sin cos dt d x x dx xdx        Đổi cận: 0 3 sin0 3 x t      3 sin 3 1 4 2 2 x t           Khi đó 4 3 dt J t   4 3 4 ln ln4 ln3 ln 3 t    Cách đặt này giúp lời giải gọn và phép tính tích phân dễ thực hiện hơn rất nhiều so với cách 1. Các em lưu ý nhé ! Ghi nhớ: Trong quá trình tính tích phân dạng ln b b a a du u u   cần vận dụng vi phân để tính nhanh. Chẳng hạn   dx d x m   với mọi m là hằng số.   1 dx d mx n m   với mọi m, n là hằng số. Ví như, trong 1 dx x   mẫu có dạng 1 u x   , nhưng tử chưa phải du do đó cần biến đổi để tử thành du: thay   1 dx d x   . Vậy   1 ln 1 1 1 d x dx x C x x          Ví dụ 3: Tính ln3 0 1 x x e L dx e    Giải:  Đặt 1 x t e     1 x x dt e dx e dx       Đổi cận: 0 0 1 1 x t e      ln3 ln3 1 3 1 4 x t e         Khi đó 4 4 1 1 2 dt L t t    2 4 2 1 2    Chú ý: Ở đây đã sử dụng công thức 2 dt t C t    Cách khác: Đặt 1 x t e   2 1 x t e    2 x tdt e dx   Đổi cận: 0 0 1 1 x t e      ; ln3 ln3 1 3 1 2 x t e        Khi đó 2 2 2 1 1 1 2 2 2 tdt L dt t t        2 2 1 2    . Bài tập: Câu 1 (Đề TN BTTH 2006): Tính tích phân   2 0 2sin 3 cos I x xdx     . Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHTN): Tính tích phân   ln5 ln2 1 1 x x x e e I dx e     . Gợi ý: Đặt 1 x t e   2 1 x t e    Suy ra 2 1 x e t   và 2 x tdt e dx  Câu 3 (Đề TN 2006, KPB): Tính 2 2 0 sin 2 4 cos x I dx x     . Câu 4 (Đề TN 2007, Bổ túc): Tính 2 0 cos 1 sin x I dx x     . Câu 5 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN): Tính tích phân   1 4 2 3 1 1 I x x dx     Đáp số: Câu 1: 4 I  ; Câu 2: 26 3 I  ; Câu 3: 4 ln 3 I  Câu 4: ln2 I  ; Câu 5: 32 15 I  3. PP tích phân từng phần Lý huyết b b b a a a udv uv vdu     Dấu hiệu: Tích phân có dạng   1 .sin b a I f x xdx   ;   2 .cos b a I f x xdx   ;   3 . b x a I f x e dx   Cách giải: Đặt     u f x du f x dx     Còn sin dv xdx  , ta có cos v x   cos dv xdx  , ta có sin v x  x dv e dx  , ta có x v e  Ví dụ 1: Tính   4 1 0 2 3 sin I x xdx     Giải:  Đặt   2 3 2 3 2 u x du x dx dx        Với sin dv xdx  , ta có cos v x   .  Khi đó:       4 4 1 0 0 2 3 cos cos 2 I x x x xdx            1 2 3 cos 2.0 3 cos0 4 4 I                  4 0 2 cos xdx      4 1 0 2 3 3 1 2sin 2 2 I x                     2 3 3 2 sin sin0 2 2 4                    2 2 3 3 2 0 2 2 2                   2 2 3 2 4     Nhận xét: Các em có thể tách 4 4 0 0 2 sin 3sin I x xdx xdx       Sau đó tính 4 4 0 0 2 sin 2 sin x xdx x xdx      bằng PP tích phân từng phần với cách đặt u x  . Và tính 4 4 4 0 0 0 3sin 3 sin 3cos xdx xdx x         . Tính xong, cộng hai kết quả trên lại. Ví dụ 2: Tính   2 2 0 5 2 x I x e dx    Giải:  Đặt   5 2 5 2 2 u x du x dx dx         Với x dv e dx  , ta có x v e   Khi đó     2 2 2 0 0 5 2 2 x x I x e e dx          2 2 0 2 0 5 4 5 0 2 x I e e e dx       2 2 0 1. 5.1 2 x e e      2 2 0 5 2 e e e       2 2 5 2 1 e e      Vậy 2 2 3 7 I e   Ghi nhớ: Trong tích phân từng phần, mặc dù có đổi biến nhưng chúng ta không đổi cận. Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Tính   1 0 2 1 x I x e dx    . Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): Tính tích phân   2 0 2 1 cos I x xdx     . Câu 3 (Đề TN 2008, L2, Ban KHTN): Tính   1 0 4 1 x I x e dx    . Đáp số: Câu 1: 1 I e   ; Câu 2: 3 I    ; Câu 3: 3 I e   4. Tính diện tích hình phẳng Lý huyết Dạng 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số   y f x  , trục hoành và hai đường thẳng ; x a x b     a b  .   b a S f x dx   Cách tính   b a S f x dx   :  Giải ph/trình :   0 f x  tìm các nghiệm 1 2 ; ; ; n x x x thuộc đoạn   ; a b . (Nghiệm không thuộc, ta loại bỏ)  Phân tích   b a S f x dx         1 2 1 n x x b a x x f x dx f x dx f x dx        Trên mỗi khoảng       1 1 2 ; , ; , , ; n a x x x x b thì   f x có dấu xác định không thay đổi. Nên       1 2 1 n x x b a x x S f x dx f x dx f x dx        {Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân} [...]... bảng xét dấu để khử dấu giá trị tuyết đối của x3  x trên đoạn  0;2  Dạng 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  f  x  và y  g  x Cách giải:  Giải ph/trình f  x   g  x  tìm được các nghiệm x1; x2 ; , xn (Giả sử x1  x2   xn ) xn  Diện tích hình phẳng cần tìm S   f  x   g  x  dx x1 Chia S thành tổng các tích phân trên các khoảng  x1; x2  ,  x2 ;... tập: Câu 1 (Đề TN BTTH 2006): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 3  3x 2 , trục hoành và các đường thẳng x  2, x  1 Câu 2 (Đề TN 2006, KPB): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  e x , y  2 và đường thẳng x  1 Gợi ý: Đề đã cho một cận là x  1 Để tìm cận còn lại ta giải ph/trình e x  2  x  log e 2  ln 2 Chú ý: ln 2  1 1 Vậy diện tích hình phẳng... đối ra ngoài dấu tích phân x2 S xn  f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx x1 xn 1 x2 S xn   f  x   g  x  dx      x1  f  x   g  x   dx   xn 1 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3  x 2 và y  0 Giải:  Ph/trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho : x3  x 2  0  x 2  x  1  0  x  0; x  1 1    Vậy diện tích hình phẳng cần... ý: ln 2  1 1 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm bằng S   e x  2 dx ln 2 Các em tự tính tiếp nhé ! Câu 3 (Đề TN 2007, L2, Ban KHXH): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y   x 2  6 x , y  0 5.Tính thể tích khối tròn xoay (khi quay quanh trục Ox) Lý huyết Dạng 1: Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và... x     sin  2 2 22 2  6  2  1    sin 3 6 2      1 3    1   0       22 2  6 2 2   Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y  sin x , y  0 , x  0, x   2 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành ... trục hoành và hai đường thẳng x  a; x  b a  b quay quanh trục hoành b 2 V     f  x   dx   a Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos x , trục hoành và hai đường thẳng x  quanh trục hoành Giải:   Thể tích cần tìm bằng V   2   cos x   6  V  2  cos  6  2 xdx   2 1  2 1  cos 2 x  dx  6 2 dx   ;x  quay...Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  x , trục hoành và các đường thẳng x  0; x  2 Lời giải: 2  Diện tích hình phẳng cần tìm bằng S   x3  x dx 0    Ta có x3  x  0  x x 2  1  0  x  0; x  1 Trên đoạn  0;2  , ta loại bỏ x  1 1 . Chuyên đề VI: Nguyên hàm -Tích phân, ứng dụng của tích phân . 1. Tích phân Lý huyết -   F x là một nguyên hàm của hàm số   y f x  liên tục trên. gọn và phép tính tích phân dễ thực hiện hơn rất nhiều so với cách 1. Các em lưu ý nhé ! Ghi nhớ: Trong quá trình tính tích phân dạng ln b b a a du u u   cần vận dụng vi phân để tính nhanh    2 2 1 2    . Bài tập: Câu 1 (Đề TN BTTH 2006): Tính tích phân   2 0 2sin 3 cos I x xdx     . Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHTN): Tính tích phân   ln5 ln2 1 1 x x x e e I dx e     .