296 Phụ lục Phụ lục A: Các công thức Cơ bản ứng suất trợt do nhớt: dz du dz du áp suất thủy tĩnh: p = g(h - z), z = chiều cao ở trên đáy Lực thủy tĩnh: F = 1/2g(h-z) 2 Lu lợng: Q = A u Lu lợng đặc trng: q = h u Động lợng trên đơn vị bề rộng đi qua mặt cắt: uqm Động lợng đi qua toàn bộ mặt cắt ngang: uQM Phơng trình Bernoulli dọc theo một đờng dòng: constz g p g u H e 2 2 Bán kính thủy lực: A R Số Reynolds: Re = Ru (> 600 đối với dòng chảy rối) Lực cản: F D = 1/2u 0 2 C D A Lực nâng: F L = 1/2u 0 2 C L A Dòng chảy sông ứng suất trợt tại đáy: b = ghi b b = gRi b 2 2 C u g b 2 * u b 297 vận tốc trợt tại đáy: e ghiu * e gRiu * C u gu * Dòng chảy trơn thủy lực: 5 / * * uk u k ss Dòng chảy nhám thủy lực: 70 / * * uk u k ss Dòng chảy quá độ: 70 / 5 * * uk u k ss Phân bố vận tốc tổng quát: )ln( 0 * z z k u u z Mực vận tốc không: s k u z 330110 0 ,, * Công thức Chezy: e hiCu e hiChq u = C(Ri e ) 0,5 Q = CA(Ri e ) 0,5 Công thức White-Colebrook hoặc hệ số Chezy: ) /, log( * uk R C s 33 12 18 Công thức Strickler: 6/1 )(25 s k R C Số Froude: 1 gh u Fr (< 1 cho dòng dới phân giới) hg u Fr (với s b A h ) Độ sâu phân giới: 3/1 2 )( g q h c Độ dốc phân giới: 2 C g i c Độ sâu cân bằng: 3/2 )( b e iC q h 298 Phơng trình Belanger: b c e i hh hh dx dh 33 33 3 2 2 2 1 gA Qb ARC Q i dx dh s b Phơng trình Carnot: g uu H L 2 )( 2 2 2 1 1 Đập tràn đỉnh rộng không hoàn chỉnh: )(2 33 hHgmhq Đập tràn đỉnh rộng hoàn chỉnh: 232321 711 3 2 3 2 /// ,)( mHHgmq Những sóng mặt dài Vận tốc lan truyền (không có ma sát): 0 2 ghc Vận tốc dòng chảy của sóng tiến: 00 )cos( h c kxt h c u Bớc sóng cộng hởng : 1 2 4 n l L res với n = 0, 1, 2, 3 Chu kỳ sóng cộng hởng : 0 )12( 4 ghn l T res với n = 0, 1, 2, 3 Vận tốc lan truyền sóng lũ trong sông: c = 1,5 u Hệ số Coriolis: f = 2sin Bán kính Rossby: f gh R 0 Vận tốc lan truyền dòng mật độ: ghc 50, Số Richardson: 2 )( z u z g Ri Những sóng mặt ngắn Quan hệ phân tán: khgk tanh 2 299 ) 2 tanh( 0 L h LL ) 2 tanh( 0 L h cc ) 2 tanh( 2 )( 2 L hgL T L khgkhk tanh 0 k 0 = 2 /g = 2 /L 0 TLv T cv T vc Tc T r )'/ cos (1 '/1' ' ' 2 tanh 2 ' )cos ' ( 2 L hgL v T L Vận tốc quỹ đạo lớn nhất tại đáy: kh H U sinh 2 Dịch chuyển quỹ đạo lớn nhất tại đáy: 2 sinh 2 UTU kh H A Bề dày lớp biên sóng: 250 0720 , ) (, s W k A A ứng suất trợt tại đáy trung bình thời gian: 2 , 4 1 Uf w wb ứng suất trợt lớn nhất tại đáy: 2 , 2 1 Uf wwb Hệ số ma sát: 190 256 , ) (,exp( s w k A f f w,max = 0,3 Năng lợng sóng trên diện tích đơn vị: 2 8 1 gHE Dòng năng lợng sóng: EcEcnF g ) 2 sinh 2 1( 2 1 kh kh n Hệ số nớc nông: 22 11 cn cn K s 300 HÖ sè khóc x¹: 2 1 b b K r  §Þnh luËt Snell: const c   sin §é dèc sãng giíi h¹n: kh L H br tanh,)( 140 §é cao sãng giíi h¹n: 880, h H br  Sãng rót t¹i ®êng sãng ®æ: br br br br H h H h  16 1 16 ' 2  Sãng d©ng t¹i ®êng bê: HHh br  8 3 16 5 '  VËn tèc dßng ch¶y däc bê: brbr br gHv  cossin,171 Sãng ngÉu nhiªn: H 1/10 = 1,8 H rms H 1/3 = 2 H rms = 1,41 H rms H =  2 1 H rms = 0,89 H rms Hrms MH , , 0 2 80 H 1/3 2 = 16H 0,M H 1/3 = 4  2 2 8 1 8 1 rms i gH N H gE    urms U  2 ˆ  u U  2 ˆ 3/1  301 Phụ lục B : Toán học dùng trong cơ học chất lỏng 1. Các đạo hàm Thông thờng cách viết /x và /t đợc sử dụng để biểu thị những thay đổi theo không gian và thời gian của những tham số liên quan. Xét một biến: z = f(x,y). Một ví dụ của biến này là độ cao bề mặt của trái đất trên một mặt chuẩn. Mặt phẳng S trong hình 1 là một ví dụ khác của hàm số z = f(x,y). Hình 1. Đạo hàm riêng của z(x,y), (Geidof, 1978) Đạo hàm riêng của f(x,y) theo x tại điểm (x 1 , y 1 ) là: x yxfyxxf x dx d x z x ),(),( 0 1111 lim 1 1 . Tơng tự, đạo hàm riêng của f(x,y) theo y tại điểm (x 1 , y 1 ) là: y yxfyyxf y dy d y z y ),(),( 0 1111 lim 1 1 . áp dụng cong thay cho d thẳng chỉ ra một hàm của hai biến hoặc hơn. Trong ý nghĩa hình học đạo hàm riêng z/x tại điểm (x 1 , y 1 ) bằng tan 1 (xem hình 1). Tơng tự, z/y = tan 2 . Tam giác CAB trong hình 1 đợc thấy rõ hơn ở hình 2. 302 H×nh 2. §¹o hµm riªng  z/  x = tan  1 (Geldof, 1978) Trong giíi h¹n x 0, nh÷ng tam gi¸c CAB vµ B * A * B lµ ®ång d¹ng, dÉn ®Õn: CA BA AB BA x  ** * lim 0 1 *1 lim tan0      x zz x 11 1* lim tan)tan(tan0      x zz x 1 1 tan     x z . §¹o hµm cña hµm sè z = f(x,y) theo mét híng tuú ý (vÝ dô tõ ®iÓm 1 ®Õn ®iÓm 3, h×nh 3) cã thÓ x¸c ®Þnh b»ng viÖc xÐt vi ph©n cña z theo híng x vµ y. H×nh 3. §¹o hµm cña z(x,y), (Geldof, 1978) Vi ph©n toµn phÇn cña z gåm hai thµnh phÇn: 303 1. Vi phân x x z ứng với dịch chuyển trên khoảng cách x, 2. Vi phân y x z ứng với dịch chuyển trên khoảng cách y. Nh vậy y y z x x z z 31 với 1 tan x y . Sau khi lấy giới hạn: dy y z dx x z dz đợc gọi là vi phân toàn phần của z. Đạo hàm của hàm số z = f(x,y) theo hớng từ điểm 1 đến điểm 3 bằng tan 3 , nh trong hình 3. Nó cũng đợc gọi là đạo hàm theo hớng dy/dx = tan 1 . Giá trị của tan 3 cho bằng: 22 3 tan dydx dz 21113 tansintancostan với x z 1 tan và y z 2 tan . Một trờng hợp đặc biệt là đạo hàm đối lu (cũng gọi là đạo hàm vật chất hoặc đạo hàm thể chất). Nó biểu thị sự thay đổi theo thời gian của một tham số tại điểm P mà một ngời quan sát chuyển động với vận tốc và hớng của điểm P thấy đợc. Ví dụ xét nồng độ cát c tại điểm P trong một dòng sông (c = F(x,y,z,t)). Đạo hàm toàn phần theo thời gian bằng: dt dz z c dt dy y c dt dx x c t c dt dc và gồm một đạo hàm cục bộ theo thời gian c/t (c thay đổi theo thời gian tại một vị trí cố định) và ba đạo hàm theo không gian. Định nghĩa những vận tốc dịch chuyển của nồng độ tại điểm P là u = dx/dt, v = dy/dt và w = dz/dt, dẫn đến: z c w y c v x c u t c dt dc đợc gọi là đạo hàm đối lu. Một công cụ toán học thờng đợc ứng dụng là chuỗi Taylor. Nếu một hàm liên tục z = f(x,y) của hai biến độc lập x và y đợc biết tại x = x 0 , thì nó có thể xấp xỉ ở vị trí x = x 0 + x khác bằng chuỗi Taylor: ! )( ! 2 )()(),(),( 000 2 2 2 00 n x x fx x f x x f yxfyxxf n x n n xx với những đạo hàm của f(x,y) lấy tại x = x 0 . Đối với những giá trị nhỏ của x, các số 304 hạng chứa x 2 và cao hơn thờng đợc bỏ qua (chuỗi Taylor cắt cụt). 2. Những đại lợng vô hớng và vectơ Một đại lợng vô hớng là một biến không có hớng (khối lợng, thể tích, năng lợng). Một vectơ là một biến có hớng (vận tốc, lực, động lợng, gia tốc). Vectơ a trong một hệ tọa độ trực giao có thể biểu thị nh sau: kajaiaa 321 với những vectơ đơn vị i , j , k và những độ dài hình chiếu a1, a2, a3 (hình 4). Hình 4. Vectơ trong hệ tọa độ trực giao Độ lớn của a , đợc biểu thị bằng | a |, theo đó: 2 3 2 2 2 1 aaaa . Hớng của a theo cos của các góc giữa a và những trục toạ độ. Ví dụ, a a 1 cos . a) Tích vô hớng Tích vô hớng của hai vectơ bằng: cos. baba với = góc giữa a và b (0 < < ). Tích vô hớng của hai vectơ là một đại lợng vô hớng với độ lớn phụ thuộc vào hớng của các vectơ (hình 5). 305 Giá trị lớn nhất là | a || b | nếu = 0. Giá trị nhỏ nhất là -| a || b | nếu = . Hình 5. Tích vô hớng của hai vectơ Tích vô hớng cũng có thể viết nh sau: 332211321321 )).((. bababakbjbibkajaiaba vì 1 kkjjii và 0 ikkjji . b) Tích có hớng Tích có hớng của hai vectơ là: n ebaba sin. với vectơ đơn vị n e thẳng góc với mặt phẳng đi qua a và b ; hớng của n e xác định theo quy tắc xoáy. Nh vậy, tích có hớng là một vecté có giá trị bằng diện tích bề mặt của a và b (hình 6). Hình 6. Tích véc tơ của hai vectơ Tích có hớng cũng có thể viết nh sau: kbabajbabaibabakbjbibxkajaiabxa )()()()()( 122131132332321321 vì jkxiixk ijxkkxj kixjjxi [...]... m và vận tốc là u = 0 m/s Những đường đặc trưng là: dx/dt = +6 trong mặt phẳng x t ứng với d u /dh = -1 ,67 trong mặt phẳng u ,h dx/dt = -6 trong mặt phẳng x t ứng với d u /dh = +1,67 trong mặt phẳng u ,h Những điểm 1,02, 2,04, 3,06 và 4,08 Những đường đặc trưng từ điểm 0 và điểm 2 trong mặt phẳng x - t cắt nhau tại điểm 1,02 Những giá trị u , h tại điểm 1,02 rút ra từ những đường đặc trưng trong mặt. .. c0 (10) dx trong mặt phẳng x - t và dt dx trong mặt phẳng x t với c 0 gh dt Hình 1 Phương pháp đặc trưng dx trong mặt phẳng x - t gọi là những đường đặc trưng Dọc dt theo những đường này r u 2 gh và r u 2 gh là những đại lượng không đổi Những đường u c 0 Có 2 hướng đặc trưng tại mỗi điểm của mặt phẳng x - t (xem hình 2) Một mặt phẳng với những tọa độ u và 2 gh được đưa ra để vẽ các đường r... yêu cầu một cách tiếp cận ngẫu nhiên, Khuếch tán gây ra sự xáo trộn nhanh của động lượng, nhiệt và khối lượng, Tính ba chiều với những nhiễu động trong tất cả các hướng, Tiêu tán động năng do tác động nhớt 2 Nguồn gốc của rối Trong dòng chảy phân tầng lúc ban đầu, rối được phát sinh bởi các bất ổn định trong dòng chảy Dòng chảy phân tầng trong ống trở thành rối khi số Reynolds ( U D/) vào khoảng... Euler (170 7-1 783) đưa ra một số i mới (số 1 ảo) và liên hệ nó với những số thực bằng yêu cầu rằng: i2 = -1 do vậy i và x2 = - i 1 là căn bậc hai dương của -1 Ví dụ, biểu thức x2 = -1 có những căn x1 = i Một số phức z tuỳ ý có dạng: z = a + ib trong đó a và b là những số thực Thông thường, a gọi là phần thực của z và b là phần ảo của z, viết tắt là a = Re(z) và b = Im(z) Giả sử z1 = a + bi và z2 = c... liệt với việc chất lỏng bị đẩy lên gần như thẳng đứng từ giữa những khe của các phần tử nhám Trong thời gian những pha tràn, chất lỏng bị chậm lại chủ yếu bởi sức cản hình dạng (các áp lực) Cơ chế bùng phát ảnh hưởng trên toàn bộ độ sâu dòng chảy như đã quan sát thấy là do có sự sôi trên mặt tự do của dòng chảy 7 ứng suất rối và mô hình hóa nó Lấy trung bình thời gian phương trình Navier-Stokes xuất... (1 - 2) + i sin (1 - 2)] z 2 r2 Một hệ quả của nó là (đối với mọi giá trị thực của n): zn = rn [cos n + i sin n] = rn [cos + i sin ]n Về mặt toán học, có thể chứng minh rằng (bằng khai triển chuỗi): cos + i sin = ei cos - i sin = e-i Từ đó dẫn đến: cos 308 e i e i 2 và sin e i e i 2i Phụ lục C: Rối 1 Mở đầu Hầu hết những dòng chảy trong tự nhiên là rối Mỗi người từng quan sát dòng chảy. .. chảy trong một dòng sông, đã thấy hiện tượng cơ bản của rối là sự tăng trưởng và phân huỷ những xoáy nước xuất hiện một cách rất không đều và ngẫu nhiên Tuy vậy, đặc biệt khó để đưa ra một định nghĩa chính xác của rối Thông thường, nói rằng rối là một chuyển động chất lỏng không đều, trong đó các biến cho thấy sự biến đổi ngẫu nhiên theo không gian và thời gian Những đặc trưng quan trọng nhất của rối... đi 3 Các loại rối Phụ thuộc vào những điều kiện hình học, phân biệt những loại rối sau đây: - rối đồng nhất, trong đó những thuộc tính rối không đổi trong không gian - rối đẳng hướng tại đó những thuộc tính rối tại một điểm không đổi trong tất cả các hướng - rối tự do, phát sinh bởi những chênh lệch vận tốc khi không có biên cố định (dòng tia, dòng rẽ sau vật cản, dòng lớp xáo trộn, xem hình 1) - rối... cố định (dòng lớp biên ,dòng 309 tia dọc tường, xem hình 1) Hình 1 Các loại dòng chảy rối khác nhau 4 Cường độ và năng lượng rối Một hiện tượng tiêu biểu của dòng chảy rối là đặc tính nhiễu động của vận tốc tại một điểm Hình 2 cho thấy sự biến thiên của vận tốc tức thời theo thời gian tại một điểm Reynolds đề xuất cách thể hiện vận tốc tức thời U, V, W như sau: U = u + u' V=v+v' và W= w+ w' trong đó:... 3,13 x 1 0-5 m-1 -5 -1 q = 3,77 x 10 m px = 0,471 đối với x = 15 000 m qx = 0,566 đối với x = 15 000 m cosh px cos qx = 0,9390 sinh px sin qx = 0,2614 cosh rx = 0,9390 + 0,2614 i -r/(bi) sinh rx = -1 ,16 x 104 - 0,3258 x 1 0-4 i -( bi)/r sinh rx = 3,884 x 102 - 4,347 x 103 i Những điều kiện biên trong dạng phức là: 0 = a + bi với a 2 b 2 = 0,85 và tan15 = b/a cho ta 0 = 0,82 + 0,22 i Tương tự Q0 = -0 ,19 . Nguồn gốc của rối Trong dòng chảy phân tầng lúc ban đầu, rối đợc phát sinh bởi các bất ổn định trong dòng chảy. Dòng chảy phân tầng trong ống trở thành rối khi số Reynolds ( U D/) vào khoảng. 301 Phụ lục B : Toán học dùng trong cơ học chất lỏng 1. Các đạo hàm Thông thờng cách viết /x và /t đợc sử dụng để biểu thị những thay đổi theo không gian và thời gian của những tham. - i sin = e -i . Từ đó dẫn đến: 2 cos ii ee và i ee ii 2 sin . 309 Phụ lục C: Rối 1. Mở đầu Hầu hết những dòng chảy trong tự nhiên là rối. Mỗi ngời từng quan sát dòng