CHƯƠNG CHỈNH LÝ SỐ LIỆU KHÍ HẬU 6.1 ĐẶT VẤN ĐỀ Như biết, số liệu phận quan trọng mà từ ta tiến hành tính tốn, thống kê, thực vấn đề nghiên cứu khí hậu phương pháp thống kê Ngoài việc lựa chọn phương pháp nghiên cứu, chất lượng số liệu yếu tố định đến xác kết Nói đến chất lượng số liệu trước hết cần xem xét đến độ xác chúng Có nhiều nguyên nhân gây nên thiếu xác, hay nói sai số, thân chuỗi sử dụng để tính tốn, sai sót quan trắc, nhầm lẫn trình xử lý ban đầu tiến hành lấy mẫu, tác động ngẫu nhiên nhân tố bên ngồi, Bởi vậy, tốn đặt cần loại bỏ sai số chứa đựng chuỗi số liệu ban đầu trước đưa vào xử lý, tính tốn Mặt khác, thực tế, nước ta, nhiều lý khác nhau, chuỗi số liệu khí tượng thuỷ văn nói chung, số liệu khí hậu nói riêng, đảm bảo tính liên tục Điều gây khơng khó khăn cho việc triển khai nghiên cứu ứng dụng loạt toán Chẳng hạn, điều kiện chiến tranh, chuỗi số liệu trạm A bị khuyết số tháng năm đó; điều kiện lưu trữ không tốt, số liệu trạm B bị phai mờ lẻ tẻ số điểm, Vấn đề đặt cách phục hồi lại số liệu khuyết thiếu để chuỗi trở thành liên tục Một vấn đề khác đặt tiến hành xử lý số liệu Đó trì, thành lập trạm phụ thuộc vào nhiều điều kiện khách quan chủ quan mà kết chuỗi thời gian quan trắc trạm dài ngắn khác Điều làm nảy sinh hai vấn đề: Khi độ dài chuỗi ngắn số liệu trạm 189 khơng mang đầy đủ tính tiêu biểu; độ dài chuỗi khác số liệu tồn mạng lưới trạm khơng bảo đảm tính so sánh Vậy vấn đề cần giải bổ khuyết số liệu cho trạm có độ dài chuỗi ngắn, tạo sở để tính toán đặc trưng thống kê chuỗi 6.2 KHỬ SAI SỐ TRONG SỐ LIỆU BAN ĐẦU Thực tế khẳng định rằng, chuỗi số liệu quan trắc luôn chứa đựng sai số tiềm ẩn người ta chia sai số làm loại: Sai số thô, sai số hệ thống sai số ngẫu nhiên Sai số thô sinh chủ yếu thao tác nhầm lẫn, sơ suất trình đo đạc lấy mẫu Chẳng hạn, qui ước ban đầu, số liệu nhiệt độ lấy xác đến phần mười độ khơng ghi dấu phẩy thập phân, tiến hành thu thập số liệu từ báo biểu quan trắc, thói quen người ta ghi lẫn lộn vài số có dấu phẩy thập phân (tách phần nguyên phần mười độ - ví dụ, trị số 240 bị ghi sai thành 24) Như vậy, vơ tình giá trị bị giảm mười lần so với trị số thực Trong nhiều trường hợp giá trị có chứa sai số kiẻu khó phát chúng bị ẩn dấu chuỗi số liệu Ví dụ, với kiểu xảy sai sót nói khơng phải nhiệt độ mà lượng mưa, khơng thể số liệu nghi ngờ Sai số hệ thống gây nên nhiều nguyên nhân khác nhau, nguyên nhân mang dáng vẻ Đây loại sai số khó phát khơng có khảo sát tỷ mỷ Ví dụ, xem xét báo biểu quan trắc người ta nhận thấy hiệu đính dụng cụ không nên số liệu nhiệt độ bị lệch lượng đó, thói quen, đọc nhiệt biểu quan trắc viên thường đọc giá trị nhiệt độ nhiệt kế thấp so với qui định chung v.v Sai số ngẫu nhiên sai số lại sau khử bỏ sai số thô sai số hệ thống Sai số ngẫu nhiên gây nên lượng vô lớn nguyên nhân mà ảnh hưởng chúng bé đến mức ta phân định mức đóng góp ngun nhân, chúng ln ln tồn chuỗi số liệu quan trắc 190 Trong ba loại sai số nêu trên, sai số ngẫu nhiên khử bỏ thành phần chuỗi quan trắc Tuy vậy, phương pháp lý thuyết xác suất ta tính ảnh hưởng chúng đến việc xác định ước lượng thống kê Đối với sai số hệ thống, phát biết nguyên nhân gây nên sai số ta hồn tồn loại trừ chúng Song, nói chung việc phát sai số hệ thống đòi hỏi phải khảo sát công phu Sau ta đề cập đến phương pháp phát loại bỏ sai số thô 1) Cách phát sai số thơ Giả sử ta có chuỗi quan trắc {xt}={x1,x2, ,xn} đại lượng khí hậu X Khi sai số thơ (nếu có) thường ẩn chứa giá trị nằm vị trí đầu cuối chuỗi trình tự {x(t)}={x(1), ,x(n)}, ( x(1)< > x + 3s ∂R(ao,a1) ∂R(ao,a1) = = 0, ∂ao ∂a1 x s trung bình độ lệch chuẩn X - ước lượng n ( μ σ Như vậy, trước hết ta tính giá trị trung bình ∑y−y$) độ lệch chuẩn s t= t t chuỗi Sau xác định giá trị x(t) lớn bé đánh dấu chúng, xem giá trị nghi ngờ có chứa sai số thơ, hay gọi cách ngắn gọn giá trị đột xuất Điều đáng ý là, giá trị xem có chứa sai số thơ hay giá trị đột xuất nhiều giá trị số liệu đúng, ẩn chứa thơng tin lý thú biến đổi bất thường tự nhiên ta cần quan tâm đến chúng 2) Cách khử bỏ sai số thô Ký hiệu giá trị đột xuất x* tách chúng khỏi chuỗi ban đầu Giả sử chuỗi cịn lại m thành phần {x1, ,xm}, ta tính trung bình chuỗi này: x* = m ∑ xt n t =1 191 - Trường hợp biết độ lệch bình phương trung bình σ X, ta tính đại lượng: u= x* − x* m +1 σ m (6.2.1) Đại lượng u (6.2.1) có phân bố chuẩn chuẩn hoá: u∈N(0,1) Với σ $ m cố định, rõ ràng trị tuyệt đối hiệu x * − x * lớn yt lớn Kết đánh giá x* có chứa sai số hay khơng tuỳ thuộc vào độ lớn u Đặt giả thiết “x* khơng chứa sai số”, với xác suất sai phạm sai lầm loại I (α) cho trước ta có: $ P( yt ≥uα)=α (6.2.2) Từ tính uα Và tiêu để kiểm nghiệm giả thiết là: 1) Nếu u ≥ u α x* có chứa sai số thơ ta loại bỏ với xác suất phạm sai lầm loại I α 2) Nếu u < u α x* khơng chứa sai số thơ, có nghĩa ta chấp nhận x* với độ tin cậy 1-α - Trường hợp chưa biết độ lệch bình phương trung bình σ X, ta tính đại lượng: t= s* = x* − x* s* ( m ∑ x t − x* m − t =1 (6.2.3) ) Trị số t (6.2.3) so sánh với giá trị tới hạn t(p,m): Nếu t ≥ t ( p , m) x* có chứa sai số thơ bị khử bỏ Nếu t < t ( p, m) x* khơng chứa sai sơ thơ, tức ta chấp nhận với độ 192 tin cậy p Bảng 6.1 dẫn giá trị tới hạn t(p,n) ứng với giá trị độ tin cậy p dung lượng mẫu m khác Để định xem có nên khử bỏ giá trị đột xuất x* hay khơng ta tính t theo (6.2.3), sau chọn độ tin cậy p vào dung lượng mẫu m, tra bảng 6.1 ta tìm t(p,m); kết luận cuối dựa sở so sánh t t(p,n) Ví dụ 6.2 Giả sử số liệu nhiệt độ trung bình tháng trạm A (ghi đến phần mười độ) cho bảng 6.2 Sau xem xét ta thấy giá trị 275 đáng nghi ngờ, mắc sai số thơ Vậy có nên loại bỏ giá trị không? Bảng 6.1 Giá trị tới hạn t(p,m) để loại bỏ sai số thô p p m 0.950 0.980 0.990 0.999 m 0.950 0.980 0.990 0.999 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3.04 2.78 2.62 2.51 2.43 2.37 2.33 2.29 2.26 2.24 2.22 2.20 2.18 2.17 4.11 3.64 3.36 3.18 3.05 2.96 2.89 2.83 2.78 2.74 2.71 2.68 2.66 2.64 5.04 4.36 3.96 3.71 3.54 3.41 3.31 3.23 3.17 3.12 3.08 3.04 3.01 2.98 9.430 7.41 6.37 5.73 5.31 5.01 4.79 4.62 4.48 4.37 4.28 4.20 4.13 4.07 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 2.145 2.105 2.079 2.061 2.048 2.038 2.030 2.018 2.009 2.003 1.998 1.994 2.602 2.541 2.503 2.476 2.456 2.441 2.429 2.411 2.399 2.389 2.382 2.377 2.932 2.852 2.802 2.768 2.742 2.722 2.707 2.683 2.667 2.655 2.646 2.639 3.979 3.819 3.719 3.652 3.602 3.565 3.532 3.492 3.462 3.439 3.423 3.409 ∞ 1.960 2.326 2.576 3.291 Ghi chú: Những trường hợp 204.07=t(0.999,18) Do đó, với độ tin cậy 99.9% ta khẳng định số 275 có chứa sai số thơ ta loại bỏ khỏi chuỗi ban đầu Bảng 6.2 Số liệu nhiệt độ trung bình tháng trạm A 161 182 170 172 176 161 181 145 191 190 151 173 171 178 275 162 164 176 166 Ghi chú: Như nói trên, việc phát loại bỏ sai số thô lúc thực Mặt khác, xem xét chuỗi số liệu số đặc trưng yếu tố khí hậu ta giá trị đột xuất phương pháp nêu ta có đủ sở để loại bỏ chúng Tuy vậy, thực tế chúng không chứa sai số thô Trong trường hợp ta loại bỏ giá trị đột xuất phát vấp phải sai lầm Bởi trước định loại bỏ giá trị đột xuất xem có chứa sai số thô phải cân nhắc, suy xét cách kỹ lưỡng 6.3 BỔ KHUYẾT SỐ LIỆU VÀ KÉO DÀI CHUỖI 6.3.1 Đặt toán Giả sử khu vực có M trạm quan trắc Khi tiến hành xử lý số liệu cho mục đích nghiên cứu, người ta thấy có K số M trạm có độ dài chuỗi đủ lớn, cịn M-K trạm khác độ dài chuỗi bé Điều dẫn đến việc đặc trưng tính tốn M-K chuỗi dung lượng bé khơng bảo đảm tính ổn định thống kê điều kiện khí hậu, chúng khơng có ý nghĩa sử dụng việc so sánh, phân tích 194 Vậy, vấn đề đặt là, từ lượng thông tin K trạm dài năm, bổ sung số liệu cho M-K trạm ngắn năm để đặc trưng thống kê chúng trở nên có ý nghĩa Giải vấn đề nội dung toán bổ khuyết số liệu Ở hiểu khái niệm bổ khuyết bao hàm việc kéo dài chuỗi số liệu Cơ sở lý luận việc giải toán sau: Đối với trường khí tượng giả thiết mà thực tế thường chấp nhận tính đồng đẳng hướng địa phương Tức khu vực có nhiều trạm phân bố địa điểm khác nhau, nhìn chung trạm nằm phạm vi tác động nhân tố khí hậu Như hai trạm kế cận khu vực chịu tác động đồng thời nhân tố khí hậu Và từ thơng tin có mức độ tác động trạm ta suy mức độ tác động trạm Mặt khác, xét chuỗi số liệu hai trạm kế cận A B, giả sử trạm A có chuỗi dài hơn, dù số liệu hai trạm có tản mạn (các chuỗi đứt quãng) ta qui chúng vào ba nhóm: Nhóm n năm bao gồm khoảng thời gian mà hai trạm đồng thời có số liệu; nhóm m năm có trạm A có số liệu cịn trạm B khơng có; nhóm p năm trạm B có số liệu cịn trạm A khơng có Như độ dài thực chuỗi trạm A N=n+m, trạm B n+p Tuy vậy, mục đích tốn khơng đề cập đến p năm có số liệu trạm B Trên sở qui luật phụ thuộc thống kê hai chuỗi xây dựng từ nhóm n năm mà hai trạm có số liệu, ta bổ khuyết cho trạm B Phép suy diễn tiến hành tương tự sử dụng số liệu nhiều trạm để bổ khuyết cho trạm 6.3.2 Các phương pháp bổ khuyết số liệu Xét chuỗi số liệu hai trạm A B, chuỗi trạm A có N thành phần {xt}={x1,x2, ,xn,xn+1, ,xN), chuỗi trạm B có n thành phần 195 {yt}={y1,y2, ,yn}, n thành phần {yt, t=1 n} chuỗi trạm B tương ứng thời gian với n thành phần {xt, t=1 n} chuỗi trạm A Tức ta có n năm hai chuỗi đồng thời có số liệu Từ tập {(xt,yt), t=1 n} ta tiến hành xây dựng phương trình hồi qui tuyến tính (xem mục 5.3.2): $ y = ao + a1x $ y t = a0 + a1xt, t=1 n hay ao = y ( n ) − a x ( n ) , a1 = rxy đó: x sy = ( n) ( (6.3.1) sy sx ( n n n ( n) = ∑ x t , y = ∑ y t , sx= ∑ x t − x ( n) n t =1 n t =1 n t =1 n ∑ y − y( n) n t =1 t ) ( )( ) , ) ⎤ ⎡1 n , rxy= ⎢ ∑ x t − x ( n ) y t − y ( n) ⎥ / (sx s y ) ⎦ ⎣ n t =1 (Trong chương này, ký hiệu số phía nằm ngoặc đơn độ dài chuỗi sử dụng để tính tốn Ví dụ, đại lượng y ( n ) giá trị trung bình chuỗi {yt,t=1 n}, cịn y ( N ) trung bình chuỗi {yt, t=1 N} Hệ thức (6.3.1) viết thành: $ y t = y ( n ) + rxy sy sx (xt − x ( n ) ), (t=1 n) (6.3.2) Phương trình (6.3.2) mơ tả qui luật phụ thuộc tuyến tính chuỗi {yt} vào chuỗi {xt} thời gian n năm Nếu giả thiết qui luật phù hợp với thời đoạn N−n năm mà trạm B bị khuyết, ta có cơng thức bổ khuyết sau: yn+i = y ( n ) + rxy sy sx (xn+i − x ( n ) ), (i=1 N−n) (6.3.3) Công thức (6.3.3) gọi phương pháp hồi qui bổ khuyết số liệu Nếu hai trạm A B có chung nhịp điệu dao động trị số khí hậu, cách gần xem rxy≈1 (6.3.2) trở thành: 196 $ yt = y (n) + sy sx (xt − x ( n ) ), (t=1 n) (6.3.4) Người ta gọi phương pháp Wild Tương ứng với (6.3.3) (6.3.4) ta có công thức bổ khuyết cho trạm B là: yn+i = y ( n ) + sy sx (xn+i − x ( n ) ), (i=1 N−n) (6.3.5) Nếu giả thiết số liệu hai chuỗi đồng thời có nhịp điệu dao động mức độ dao động, tức xem rxy=1 sx=sy cơng thức bổ khuyết gọi công thức hiệu số (hay phương pháp hiệu số) yn+i= y ( n ) + (xn+i − x ( n ) ), (i=1 N-n) (6.3.6) Trong trường hợp chuỗi số liệu hai trạm A B quan hệ với theo qui luật tỷ lệ thuận: yt = kxt, (t=1 n) Ta có: n n ∑ y t = k ∑ x t , hay: k = t =1 t =1 (6.3.7) y (n) x (n) (6.3.8) Với giả thiết qui luật cho N−n năm cịn lại, ta có cơng thức bổ khuyết: yn+i = y (n) x (n) xi, (i=1 N−n) (6.3.9) Người ta gọi công thức bổ khuyết phương pháp tỷ số Ta nhận thấy rằng, công thức bổ khuyết theo phương pháp Wild phương pháp hiệu số trường hợp riêng phương pháp hồi qui tuyến tính Trong trường hợp hai chuỗi quan hệ với theo qui luật phi tuyến tính ta tiến hành tương tự Đặc biệt, lân cận trạm cần bổ khuyết (trạm B) có nhiều trạm có chuỗi số liệu dài (chẳng hạn có K trạm) ta phân chuỗi số liệu 197 thành hai nhóm: Nhóm n năm tất trạm đồng thời có số liệu nhóm N-n năm trạm khác có số liệu, trừ trạm cần bổ khuyết: Trạm A1 Trạm A2 Trạm Ak Trạm B x11 x12 xik y1 x21 x22 x2k y2 xn1 xn2 xnk yn xn+1,1 xn+1,2 xn+1,k xN1 xN2 xNK Từ số liệu {y1,xt1,xt2, xtk} (t=1 n) ta tiến hành xây dựng phương trình hồi qui tuyến tính (xem mục 5.5.2): $ y = a0+a1x1+a2x2+ +akxk ) y t =a0+a1xt1+a2xt2+ +aKxtK, (t=1 n) hay (6.3.10) (6.3.11) ai, i=0 K hệ số hồi qui Phương trình (6.310) biểu thị phụ thuộc hàm tuyến tính số liệu trạm B vào số liệu K trạm A1, Ak Với giả thiết qui luật phù hợp thời gian N-n năm mà trạm B khơng có số liệu ta có cơng thức bổ khuyết là: $ y n + i =a0+a1xn+i,1+a2xn+i,2+ +aKxn+i,K, (i=1 N-n) (6.3.12) Đây công thức bố khuyết hồi qui tuyến tính nhiều biến (hay cịn gọi hồi qui nhiều trạm) 6.4 QUI SỐ LIỆU TRUNG BÌNH VỀ CÙNG THỜI KỲ DÀI Trong ứng dụng thực hành người ta thường quan tâm đến đặc trưng có tính ổn định điều kiện khí hậu Một đặc trưng quan trọng thường ý đến trị số trung bình 198 Đối với trạm có chuỗi số liệu ngắn trị số trung bình tính nhiều khơng đảm bảo độ ổn định khơng có tác dụng so sánh Bởi vậy, vấn đề đặt cần phải qui trị số trung bình trạm ngắn năm thời kỳ dài sở mối quan hệ thống kê trạm dài năm Giả sử cần qui số liệu trung bình trạm ngắn năm B thời kỳ dài vào mối quan hệ tương quan với trạm dài A Ta nhận thấy thời kỳ n năm (mà hai trạm đồng thời có số liệu), ta xác định đặc trưng thống kê trung bình, hệ số tương quan, độ lệch chuẩn Mặt khác trạm A ta tính giá trị trung bình thời kỳ N năm (thời kỳ dài) Vấn đề cần xác định giá trị trung bình chuỗi B thời kỳ N năm Việc tính trung bình chuỗi B gọi qui số liệu trung bình thời kỳ dài Nếu chuỗi số liệu trạm A đủ dài coi trạm chuẩn phép qui trung bình trạm B thời kỳ dài theo trạm A gọi phép qui chuẩn Trong q trình tiến hành phép qui ta sử dụng phép qui nhiều bước Chẳng hạn, số liệu trạm B qui thời kỳ dài theo trạm A ta thực phép qui từ trạm C thời kỳ dài theo trạm A phép qui không đạt tiêu chuẩn, ta tiến hành qui số liệu trạm C thời kỳ dài theo trạm B trạm qui theo A, với điều kiện phép qui đạt tiêu chuẩn Sau ta xét số phương pháp qui dựa sở phương pháp bổ khuyết số liệu trình bày Ký hiệu y ( N ) giá trị trung bình qui trạm B (trung bình thời kỳ dài), y ( n ) trung bình B tính số liệu thực có, x ( N ) x ( n ) tương ứng trung bình trạm A thời kỳ dài (N năm) thời kỳ ngắn (n năm) Từ công thức (6.3.2) (6.3.3) ta có: y ( N ) = a + a1 x ( N ) = y ( n) − a1 x ( n) + a1 x ( N ) = y ( n) + a1 (x ( N ) − x ( n) ) 199 y ( N ) = y ( n ) + rxy Hay sy sx (x ( N ) − x ( n) ) (6.4.1) Công thức (6.4.1) gọi phép qui theo phương pháp hồi qui Bằng cách tương tự ta nhận được: - Phép qui theo phương pháp Wild: y ( N ) = y ( n ) + sy (x ( N ) − x ( n) ) (6.4.2) - Phép qui theo phương pháp hiệu số: y ( N ) = y ( n ) + ( x ( N ) − x ( n ) ) (6.4.3) - Phép qui theo phương pháp tỷ số: y ( N ) = y ( n) x ( n) sx x(N) (6.4.4) ) (6.4.5) - Phép qui theo hồi qui nhiều trạm: K ( y ( N ) = y ( n ) + ∑ a i x i( N ) − x ( n) i i =1 x ( N ) x ( n ) trung bình thời kỳ N năm n năm trạm Ai, i i hệ số hồi qui (i=1 K) Một số nhận xét Việc bổ khuyết số liệu qui số liệu trung bình thời kỳ dài trình bày nói chung thuận tiện cho q trình tính tốn thủ cơng tính tốn cơng cụ thô sơ Khi xử lý với tập số liệu dài cần xử lý với nhiều tập số liệu mà khối lượng tính tốn lớn phương pháp cho phép làm giảm thời gian tính tốn cách đáng kể Tuy nhiên, với phát triển mạnh mẽ công nghệ tin học máy tính, thời gian tính tốn khối lượng tính tốn nhiều khơng cịn vấn đề lo ngại Do mà người ta quan tâm độ xác phương pháp Bởi phương pháp bổ khuyết số liệu qui số liệu trung bình thời kỳ dài xét phương pháp hồi qui áp dụng nhiều 200 6.5 LIÊN TỤC HOÁ CHUỖI SỐ LIỆU 6.5.1 Đặt tốn Liên tục hố (hay cịn gọi lấp đầy) chuỗi số liệu thực việc bổ sung vào vị trí khuyết số liệu chuỗi để biến chuỗi ban đầu thành chuỗi có bước thời gian Hình 6.1 đưa sơ đồ ví dụ minh họa yêu cầu toán liên tục hố chuỗi số liệu Ta thực việc liên tục hoá phương pháp bổ khuyết trình bày Người ta gọi phương pháp sử dụng trạm tựa Nó phương pháp có hiệu dựa giả thiết tính đồng nhất, đẳng hướng địa phương trường khí tượng Tuy nhiên vài trường hợp phương pháp tỏ không hiệu lực chuỗi bị gián đoạn vào thời điểm trạm cách xa, làm cho giả thiết tính đồng đẳng hướng địa phương bị vi phạm; mối liên hệ tương quan chuỗi mà q yếu, khơng đảm bảo độ xác Trong trường hợp phương pháp nội suy chuỗi cần bổ khuyết tỏ có ưu t1 t k-2 t k-1 t k t k+1 t k+2 Giá trị cần bổ khuyết §iĨm cã sè liƯu Hình 6.1 Sơ đồ chuỗi số liệu cần liên tục hoá Về toán liên tục hoá chuỗi số liệu đặt sau: Cho chuỗi thời gian x(ti), (i=1,2, ,n) từ t1 đến tn, ti thời điểm có số liệu Về nguyên tắc thời điểm ti cách Nhưng thực tế chuỗi bị khuyết số giá trị x(to) (t1 < to < tn- hình 6.1) u cầu cần tính giá trị x(to) bị khuyết thiếu 201 6.5.2 Phương pháp nội suy tuyến tính tối ưu lấp đầy chuỗi Phương pháp nội suy tuyến tính tối ưu áp dụng sở giả thiết chuỗi x(ti), (i=1,2, ,n) giá trị thể trình ngẫu nhiên dừng X(t) n lát cắt ti Giá trị cần nội suy x(to) xem kết việc tác dụng tốn tử tuyến tính lên tập hợp giá trị x(tk), với tk ≠ to k=1,2, ,m lát cắt sử dụng để nội suy giá trị x(to): m x(to) = ∑ α k x(t k ) (6.5.1) k =1 αk (k=1 m) gọi trọng số nội suy, hệ số phải tìm Bài tốn dẫn đến việc xác định số αk (k=1 m) sai số bình phương trung bình phép nội suy đạt cực tiểu: σ (α , α , , α m ) = m ⎡⎛ m ⎞ ⎤ ⎢⎜ X( t o ) − ∑ α k X( t k )⎟ ⎥ ⎯→ ⎠ ⎥ ⎢⎝ k =1 ⎣ ⎦ (6.5.2) Điều kiện cần đủ để thoả mãn (6.5.2) tất đạo hàm riêng σ (α , α , , α m ) theo αk phải triệt tiêu: m ∂σ (α , α , , α m ) m = , (k=1 m) ∂α k (6.5.3) Không làm tính tổng qt, ta giả thiết kỳ vọng tốn học M[X(t)] = 0, điều có nghĩa chuỗi ban đầu qui tâm, đó, từ (6.5.2) ta có: m m m k =1 k =1 j=1 σ (α , , α m ) = X ( t o ) − ∑ α k X( t o ) X( t k ) + ∑ ∑ α k α j X( t k ) X( t j ) = m m = Rx(0) − ∑ α k R x ( t o − t k ) + k =1 m m ∑ ∑ α k α jR x ( t j − t k ) (6.5.4) k =1 j = Trong Rx(tj−tk) Rx(to−tk) giá trị hàm tương quan trình ngẫu nhiên X(t) Thay (6.5.4) vào (6.5.3) ta nhận được: 202 ∂σ (α , , α m ) m = −2 R x ( t o − t k ) + ∂α k m ∑ α R (t − t j x j k)= 0, (k=1 m) j=1 m ∑ α jR x ( t j − t k ) = R x ( t o − t k ) , (k=1 m) Hay (6.5.5) j=1 Đây hệ phương trình đại số tuyến tính có m phương trình m ẩn số Trong hàm tương quan Rx(τ) xác định theo công thức sau: Rx(τk) = Rx(kΔτ) = n−k ∑ x( t i ) x( t i + k ) n − k i =1 (6.5.6) với Δτ bước thời gian chuỗi Thơng thường khí hậu Δτ không đổi năm Giải hệ (6.5.5) ta nhận số nội suy αk phải tìm Sau có αk, thay vào cơng thức (6.5.1) ta tính giá trị cần nội suy x(to) Thay (6.5.5) vào (6.5.4) ta có biểu thức để đánh giá sai số phép nội suy: σ (α , , α m ) = Rx(0) − m m m ∑ ∑ α k α jR x ( t j − t k ) (6.5.7) k =1 j = Vì hàm tương quan xác định dương nên hạng thứ hai vế phải không âm: m m ∑ ∑ α k α jR x ( t j − t k ) ≥ k =1 j = từ ta có: σ (α , , α m ) ≤ Rx(0) = Dx m Tức sai số phép nội suy khơng vượt q phương sai q trình ngẫu nhiên X(t) Ta xét số trường hợp đặc biệt: 1) Giả sử Rx(to−tk) = 0, tức giá trị cần nội suy không tương quan với điểm chọn để nội suy, đó: m ∑ α jR x ( t j − t k ) = 0, (k=1 m) j=1 203 (6.5.8) Từ suy α1=α2= =αm=0, tức giá trị nội suy kỳ vọng (trung bình) chuỗi Đây tính chất quan trọng áp dụng thực tế: nhiều để đơn giản người ta gán giá trị khuyết thiếu (giá trị cần nội suy) trung bình chuỗi Sai số nội suy trường hợp phương sai chuỗi 2) Giả sử Rx(tj−tk) = j≠k, tức giá trị chọn làm nội suy khơng tương quan với có tương quan với giá trị cần nội suy, ta có: αkRx(0) = Rx(to−tk), (k=1 m) Suy ra: αk = R x (t o − t k ) = rx(to−tk) R x ( 0) (6.5.9) Trong trường hợp này, trọng số nội suy αk giá trị hệ số tương quan điểm cần nội suy điểm chọn để nội suy 6.5.3 Nội suy parabol Nội suy parabol dựa sở xem chuỗi ban đầu hàm thời gian: x(t) = f(t) (6.5.10) x(t0), t0≠ti, điểm cần nội suy ta gọi điểm tii=1 n, l nút nội suy Đa thức P(t) dược xác định nút giá trị chuỗi nút Yêu cầu phép nội suy giữ nguyên giá trị chuỗi nút nội suy, nên sai số quan trắc, có, bảo toàn Đa thức nội suy P(t) thiết lập theo công thức Lagrange: P(t) = n ∑ Li ( t ) x i (6.5.11) i =1 xi = x(ti) giá trị chuỗi Đa thức Li(t) xác định 204 nút nội suy: Li(t) = ( t − t ) ( t − t i−1 )( t − t i+1 ) ( t − t n ) , (i=1 n) ( t i − t ) ( t i − t i−1 )( t i − t i+1 ) ( t i − t n ) ⎧1 lấy giá trị nút đó: Li(tj) = δij = ⎨ ⎩0 (6.512) i = j i ≠ j (6.513) Như ta dễ dàng xác định giá trị nội suy x(to): x(to) = P(to) = n ∑ L i ( t o ) x( t i ) i =1 với Li(to) = ( t o − t ) ( t o − t i−1 )( t o − t i+1 ) ( t o − t n ) , (i=1 n) ( t i − t ) ( t i − t i−1 )( t i − t i+1 ) ( t i − t n ) Khi n=2 ta có cơng thức nội suy tuyến tính quen thuộc: x( t o ) − x( t ) t o − t t −t t −t = hay x(to) = o x( t ) + o x( t ) x( t ) − x( t ) t − t t1 − t t − t1 205 (6.5.14) ... thức (6 .3. 2) (6 .3. 3) ta có: y ( N ) = a + a1 x ( N ) = y ( n) − a1 x ( n) + a1 x ( N ) = y ( n) + a1 (x ( N ) − x ( n) ) 199 y ( N ) = y ( n ) + rxy Hay sy sx (x ( N ) − x ( n) ) (6 .4. 1) Công... y ( N ) = y ( n ) + ( x ( N ) − x ( n ) ) (6 .4. 3) - Phép qui theo phương pháp tỷ số: y ( N ) = y ( n) x ( n) sx x(N) (6 .4. 4) ) (6 .4. 5) - Phép qui theo hồi qui nhiều trạm: K ( y ( N ) = y ( n ). .. ⎩0 (6 .51 2) i = j i ≠ j (6 .51 3) Như ta dễ dàng xác định giá trị nội suy x(to): x(to) = P(to) = n ∑ L i ( t o ) x( t i ) i =1 với Li(to) = ( t o − t ) ( t o − t i−1 )( t o − t i+1 ) ( t o − t n )