101 102 X (I) = X (I) - A (I, J) * X (J) END DO END DO RETURN END Chương 4 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Hàm ngẫu nhiên là hàm mà trong kết quả thí nghiệm có thể nhận dạng cụ thể nào đó không biết trước được. Dạng cụ thể mà hàm ngẫu nhiên nhận trong kết quả thí nghiệm gọi là hiện của hàm ngẫu nhiên. Nếu thực hiện một nhóm thí nghiệm với hàm ngẫu nhiên, thì ta nhận được một nhóm hay một họ hiện của hàm đó. Rõ ràng mỗi hiện là một hàm bình thường (không ng ẫu nhiên). Nếu ta cố định một giá trị nào đó của biến t của hàm ngẫu nhiên )(tX , thì hàm )(tX lúc này trở thành đại lượng ngẫu nhiên, đại lượng ngẫu nhiên này được quy ước gọi là mặt cắt của hàm ngẫu nhiên tương ứng với t đã cho. 4.1. Các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên Kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên )(tX là một hàm không ngẫu nhiên )(tm x mà tại từng giá trị của đối số t bằng kỳ vọng toán học của mặt cắt tương ứng của hàm ngẫu nhiên: )]([)( tXMtm x = . (4.1) Về ý nghĩa, kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên là một hàm trung bình nào đó mà các hiện cụ thể biến thiên xung quanh nó (hình 4.1). 103 104 0 X(t) t t m x (t) Hình 4.1. Mô tả các hiện và kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên Phương sai của hàm ngẫu nhiên )(tX là hàm không ngẫu nhiên )(tD x , giá trị của nó tại từng giá trị t bằng phương sai của mặt cắt tương ứng của hàm ngẫu nhiên: )]([)( tXDtD x = . (4.2) Độ lệch bình phương trung bình: )()( tDt xx = σ . (4.3) Hàm tương quan của hàm ngẫu nhiên )(tX là hàm không ngẫu nhiên hai đối số ),( ttK x ′ mà ứng với từng cặp giá trị tt ′ , bằng mô men tương quan của các mặt cắt tương ứng của hàm ngẫu nhiên: )]()([),( tXtXMttK oo x ′ = ′ , (4.4) trong đó )()()();()()( tmtXtXtmtXtX x o x o ′ − ′ = ′ −= . Hàm tương quan chuẩn hóa: )()( ),( ),( tt ttK ttr xx x x ′ ′ = ′ σσ . (4.5) 4.2. Khái niệm về hàm ngẫu nhiên dừng Trong thực tế rất hay gặp những quá trình ngẫu nhiên diễn ra trong thời gian gần như đồng nhất và có dạng những dao động ngẫu nhiên liên tục xung quanh một giá trị trung bình nào đó; cả biên độ, cả đặc điểm của những dao động ấy không có những biến đổi đáng kể với thời gian. Những quá trình ngẫu nhiên này gọi là các quá trình ngẫu nhiên dừng. Điều kiện của quá trình ngẫu nhiên dừng: const)( = = xx mtm , (4.6) const)( = = xx DtD , (4.7) )(),(),( τ τ xxx KttKttK = + = ′ . (4.8) Nhận thấy rằng từ hàm ngẫu nhiên )(tX luôn luôn có thể chuyển thành hàm ngẫu nhiên quy tâm )(tX o có kỳ vọng toán học bằng không, do đó, thỏa mãn (4.6). Như vậy, nếu quá trình ngẫu nhiên không dừng chỉ do kỳ vọng toán học biến đổi, thì điều kiện đó vẫn không cản trở chúng ta nghiên cứu nó như quá trình ngẫu nhiên dừng. Điều kiện (4.7) là trường hợp bộ phận của điều kiện (4.8): khi cho tt = + τ , tức 0 = τ , ta có const)(),()( = = = 0 xxx kttKtD , vậy điều kiện (6.8) là điều kiện đáng kể duy nhất để hàm ngẫu nhiên là dừng. Trong thực tế, thay cho hàm tương quan )( τ x K thường dùng hàm tương quan chuẩn hóa: x x x D K )( )( τ τρ = , (4.9) ở đây − = )0( xx KD phương sai không đổi của quá trình ngẫu nhiên dừng. Hàm )( τ ρ x chính là hệ số tương quan giữa các mặt cắt của hàm ngẫu nhiên cách nhau bởi khoảng τ theo thời gian. Rõ ràng 10 =)( x ρ . 105 106 4.3. Tính chất egođic của những hàm ngẫu nhiên dừng Xét hàm ngẫu nhiên )(tX 1 (hình 4.2) đặc trưng bằng tính chất sau: mỗi hiện của nó có cùng một dấu hiệu: giá trị trung bình mà xung quanh đó xảy ra dao động và quy mô trung bình của những dao động. Ta chọn tùy ý một trong số các hiện ấy và tiếp tục kéo dài ra một đoạn thời gian T . Khi T khá lớn, một hiện này có thể cho ta khái niệm khá rõ về tính chất của hàm ngẫu nhiên về toàn cục. Cụ thể, nếu lấy trung bình các giá trị của hiện này dọc theo trục hoành - theo thời gian, ta phải nhận được giá trị gần đúng của kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên; nếu lấy trung bình các bình phương của độ lệch so với trung bình này, ta phải nhận được giá trị gần đúng của phương sai, v.v Hình 4.2. Hàm ngẫu nhiên có tính chất egođic t 0 X 1 (t) Hình 4.3. Hàm ngẫu nhiên không có tính chất egođic t 0 X 2 (t) Trong trường hợp này, ta nói rằng hàm ngẫu nhiên )(tX 1 có tính chất egođic. Tính chất egođic biểu hiện ở chỗ mỗi hiện riêng lẻ của hàm ngẫu nhiên như là “đại biểu toàn quyền” của tập hợp tất cả các hiện có thể có; một hiện đủ độ dài có thể thay thế tập hợp các hiện cùng độ dài tổng cộng trong khi xử lý. Hàm ngẫu nhiên )(tX 2 (hình 4.3) không có tính chất egođic. Dấu hiệu để xác định hàm ngẫu nhiên có tính chất egođic hay không: Hàm tương quan của hàm ngẫu nhiên dừng khi tăng τ không giảm mà bắt đầu từ τ nào đó giữ nguyên gần như không đổi, thì điều đó là dấu hiệu rằng trong thành phần của hàm ngẫu nhiên có số hạng dưới dạng đại lượng ngẫu nhiên thông thường và quá trình là không egođic. Sự tiến dần của hàm tương quan tới không khi ∞ → τ nói lên tính chất egođic của quá trình. 4.4. Xác định các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên dừng egođic theo một hiện Giả sử có một hiện của hàm ngẫu nhiên )(tX trên khoảng thời gian đủ dài T : ∫ ≈ T x dttx T m 0 1 )( ; (4.10) ∫ − + − ≈ τ τ τ T oo x dttxtx T k 0 1 )()( , (4.11) trong đó x o mtxtx −= )()( . (4.12) Trong thực tế, thường các tích phân (4.10) và (4.12) được thay thế bằng các tổng hữu hạn. Người ta làm như sau. Chia khoảng ghi hàm ngẫu nhiên ra n phần bằng nhau dài t Δ và ký hiệu các điểm giữa , 1 t n tt ,, 2 (hình 4.4): 107 108 t x ( t ) m x t 1 Δ t t 2 t 3 t 4 t n-1 t n Hình 4.4. Biểu diễn quan trắc về hàm ngẫu nhiên ∑∑ == == n i i n i ix tx n tx n T T m 11 1 )( 1 )( . (4.13) Tính hàm tương quan đối với các giá trị τ tuần tự bằng ,,, tt ΔΔ 20 Cho τ bằng n mT tm =Δ= τ , chia khoảng tích phân T n mn n mT TT − =−=− τ thành mn − đoạn bằng nhau dài tΔ ∑ − = + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ mn i mi o i o x txtx mnn mT k 1 1 )()( . (4.14) Tính ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n mT k x cho các ,,, 210=m cho tới khi hàm tương quan trở nên thực tế bằng không hoặc dao động ít nhiều xung quanh không. Chọn tΔ theo đặc điểm của sự biến đổi hàm ngẫu nhiên: nếu )(tX biến đổi khá đều thì t Δ chọn lớn, khi nó biến đổi đột ngột thì chọn tΔ nhỏ hơn. Số lượng điểm chia n khá lớn (hàng trăm hoặc vài trăm). Nếu dao động có thành phần cao tần càng lớn thì số điểm chia càng mau. Nên chọn tΔ sao cho trong một chu kỳ của thành phần điều hòa cao tần nhất trong hàm ngẫu nhiên phải có khoảng từ 5 đến 10 điểm chia. Nhiều khi việc chọn các điểm chia không phụ thuộc vào người tính, mà do máy ghi quyết định. Trong trường hợp này phải xử lý trực tiếp số liệu quan trắc, không nên nội suy thêm những giá trị giữa các quan trắc, vì điều đó không làm tăng độ chính xác của kết quả mà chỉ gây phức tạp vô ích. 4.5. Khai triển phổ hàm ngẫu nhiên dừng trên khoảng thời gian hữu hạn Tồn tại mối liên hệ giữa đặc điểm của hàm tương quan và cấu trúc bên trong của quá trình ngẫu nhiên tương ứng. Tùy thuộc vào những tần số nào và tỷ lệ ra sao giữa các tần số ấy trong thành phần của hàm ngẫu nhiên, mà hàm tương quan của nó có dạng này hoặc dạng khác. Nếu quá trình dao động biểu thị dưới dạng tổng của các dao động tần số khác nhau (các thành phần điều hòa), thì phổ của quá trình dao động là hàm mô tả phân bố của biên độ theo các tần số khác nhau. Đối với quá trình ngẫu nhiên cũng có thể mô tả bằng phổ. Chỉ có khác là đối với quá trình ngẫu nhiên các biên độ dao động sẽ là các đại lượng ngẫu nhiên. Phổ của hàm ngẫu nhiên dừng sẽ mô tả sự phân bố của phương sai theo các tần số khác nhau. Xét hàm ngẫu nhiên dừng )(tX o quan trắc được trên khoảng ),( T0 . Cho hàm tương quan của hàm ngẫu nhiên )(tX o : 109 110 )(),( τ τ xx KttK =+ . Hàm )( τ x K là hàm chẵn: )()( τ τ − = xx kk và trên đồ thị được biểu diễn bằng đường cong đối xứng (hình 4.6). Khi thay đổi t từ 0 đến T đối số tt − ′ = τ biến đổi từ T − đến T + . Hình 4.6. Hình dạng của một hàm tương quan điển hình Ta biết rằng hàm chẵn trên khoảng ),( TT − có thể khai triển thành chuỗi Fourier, dùng các thành phần điều hòa chẵn (các hàm cosin): ∑ ∞ = = 0 cos)( k kkx Dk τωτ , (4.15) trong đó TT k k π π ωωω === 2 2 , 11 , còn các hệ số k D xác định theo công thức ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ≠= = ∫ ∫ − − T T kxk T T x kdk T D dk T D 0khicos)( 1 )( 2 1 0 ττωτ ττ (4.16) Hoặc, vì )( τ x k và τ ω k cos là các hàm chẵn, có thể biến đổi thành dạng ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ≠= = ∫ ∫ T kxk T x kdk T D dk T D 0 0 0 0khicos)( 2 )( 1 ττωτ ττ (4.17) Nếu trong biểu thức (4.15) ta chuyển đổi từ đối số τ thành hai đối số t và t ′ : tttttt kkkkkk ω ω ω ω ω τ ω sinsincoscos)(coscos ′ + ′ = ′ − = (4.18) và đặt (4.18) vào công thức (4.15): )sinsincoscos(),( 0 ∑ ∞ = ′ + ′ = ′ k kkkkkkx ttDttDttK ωωωω . (4.19) Biểu thức (4.19) chính là khai triển chuẩn hàm tương quan ),( ttK x ′ . Các hàm tọa độ là cosin và sin của tần số là bội của 1 ω : ),1,0(sin,cos = ktt kk ω ω . Do đó, hàm ngẫu nhiên )(tX & có thể biểu thị dưới dạng khai triển chuẩn: 111 112 ∑ ∞ = += 0 )sincos()( k kkkk tVtUtX ωω & , (4.20) trong đó − kk VU , các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan có kỳ vọng toán học bằng không và các phương sai như nhau đối với mỗi cặp đại lượng ngẫu nhiên với cùng một chỉ số k : kkk DVU = = ][D][D . (4.21) Các phương sai k D ứng với k khác nhau được xác định bằng các công thức (4.17). Như vậy, ta nhận được trên khoảng ),0( T khai triển chuẩn của hàm ngẫu nhiên )(tX & mà các hàm tọa độ là tt kk ω ω sin,cos ứng với các k ω khác nhau. Khai triển kiểu như vậy gọi là khai triển phổ hàm ngẫu nhiên dừng. Khai triển phổ biểu diễn hàm ngẫu nhiên dừng thành chuỗi những dao động điều hòa tần số khác nhau: ,, ,,, 21 k ω ω ω và các biên độ của những dao động này là các đại lượng ngẫu nhiên. Ta xác định phương sai của hàm ngẫu nhiên )(tX & cho bởi khai triển phổ (4.20). Theo định lý về phương sai của hàm tuyến tính của các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan: ∑∑ ∞ = ∞ = =+== 00 22 )sin(cos)]([D k k k kkkx DDtttXD ωω & . (4.22) Như vậy, phương sai của hàm ngẫu nhiên dừng bằng tổng phương sai của tất cả các hàm điều hòa của khai triển phổ của nó. Công thức (4.22) cho thấy rằng phương sai của hàm )(tX & phân bố theo các tần số. Sự phân bố của các phương sai theo các tần số có thể thể hiện bằng đồ thị dưới dạng phổ (phổ phương sai) (hình 4.7). Rõ ràng, tổng của tất cả các tung độ của phổ được dựng như vậy sẽ bằng phương sai của hàm ngẫu nhiên )(tX & . Công thức khai triển phổ trên khoảng thời gian vô tận. Hàm mật độ phổ ∫ ∞ = 0 cos)()( ωωτωτ dSk xx , (4.23) ∫ ∞ = 0 cos)( 2 )( τωττ π ω dkS xx , (4.24) trong đó − )( ω x S mật độ phổ của hàm ngẫu nhiên dừng. Mật độ phổ chuẩn hóa: x x x D S s )( )( ω ω = . (4.25) Hình 4.7. Đồ thị phổ phương sai của hàm ngẫu nhiên Các hàm tương quan và mật độ phổ chuẩn hóa liên hệ với nhau cũng bằng cặp công thức biến đổi Fourier: 113 114 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = ∫ ∫ ∞ ∞ .cos)( 2 )( ,cos)()( 0 0 τωττρ π ω ωωτωτρ ds ds xx xx (4.26) Cho 0 = τ , ta có 1)0( = x ρ , vậy 1)( 0 = ∫ ∞ ωω ds x . (4.27) Thí dụ 4.1: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > <<− = .0 ,01 )( 0 0 0 khi khi ττ ττ τ τ τρ x . )cos1( 2 cos1 2 cos)( 2 )( 0 2 0 0 0 0 0 ωτωπτ τωτ τ τ π τωττρ π ω τ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −== ∫∫ ∞ ddS xx Hình dạng của các hàm được biểu diễn trên hình 4.8. Hình 4.8. Hình dạng của hàm tương quan và phổ theo thí dụ 4.1 Hình 4.9. Hình dạng của hàm tương quan và phổ theo thí dụ 4.2 Thí dụ 4.2: 12 1 )( ωω ω − = x s , , 2 sin 2 cos )( 2 cos 1 cos)()( 1212 12 12 2 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = − == ∫∫ τ ωω τ ωω ωωτ ωωτ ωω ωωτωτρ ω ω ω ω dds xx (hình 4.9). Trong toán học, hàm thời gian )(tf có thể biểu diễn bằng tích phân Fourier theo công thức: ∫ ∞ ∞− = σσ σπ deFtf ti2 )()( , (4.28) trong đó ∫ ∞ ∞− − = dtetfF ti σπ σ 2 )()( . (4.29) Hàm )( σ F biểu diễn trong miền tần số σ gọi là hàm phổ, hay mật 115 116 độ phổ, nó mô tả sự phân bố của biên độ dao động theo các tần số trong hàm )(tf . Cặp công thức (4.28)−(4.29) gọi là những công thức biến đổi Fourier. Khi cho trước hàm )(tf , công thức (4.29) gọi là biến đổi Fourier thuận. Công thức (4.28) cho phép khôi phục lại hàm thời gian )(tf theo hàm phổ của nó gọi là biến đổi Fourier ngược. Đại lượng 2 |)(| σ F gọi là phổ công suất. Khi hàm )(tf được cho tại những điểm rời rạc trên khoảng hữu hạn NtN ≤≤− , người ta có thể khai triển Fourier theo công thức: ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= 1 0 coscos 2 )( k kk dt N kt Bdt N kt A A tf ππ , (4.30) trong đó ∫ − == N N k kdt N kt tf N A ),2,1,0(cos)( 1 π , (4.31) ∫ − == N N k kdt N kt tf N B ),2,1(sin)( 1 π . (4.32) hoặc dưới dạng phức: ∑ ∞ −∞= = k N kti k eCtf π )( với dtetf N C N N N kti k ∫ − − = π )( 2 1 . Tương tự như trong công thức (4.29), đại lượng )( 22 kk BA + được gọi là công suất của dao động tần số k và được biểu diễn dưới dạng phổ không liên tục. Khi hàm )(tf được cho tại n2 điểm cách đều nhau trên trục thời gian, các hệ số Fourier được tính theo công thức: )0(cos 2212 fUU N k nA nnk +−= −− π , 12 sin − = nk U N k nB π , 0 0 = U , )12( 1 − = nfU , )12 ,,3,2()2(cos2 21 −=−+−= −− nmmnfUU n k U mmm π . Trong hải dương học thịnh hành tập quán tính hàm phổ của chuỗi thời gian thông qua biến đổi Fourier đối với hàm tự tương quan. Quan hệ giữa hàm tự tương quan và hàm mật độ phổ cũng là cặp công thức biến đổi Fourier: ∫ ∞ ∞− − = ττ π ω ωτ deRS i )( 2 1 )( , (4.33) ∫ ∞ ∞− = ωωτ ωτ deSR i )()( . (4.34) Nếu hàm thời gian là hàm thực, thì hàm tự tương quan và hàm phổ của nó cũng là các hàm thực và do tính chẵn của các hàm tự tương quan và phổ, cặp công thức biến đổi Fourier tương ứng có dạng đơn giản: ∫ ∞ = 0 cos)(2)( ωωτωτ dSR , (4.35) 117 118 ∫ ∞ = 0 cos)( 1 )( τωττ π ω dRS . (4.36) Khi xác định mật độ phổ theo số liệu quan trắc gián đoạn trên khoảng thời gian hạn chế T (độ dài quan trắc), chúng ta có ước lượng thống kê của hàm tương quan )( * τ x R của chuỗi thực đo )(tX trên đoạn m T như sau: ∫ − −+− − = τ τ τ τ T x dtXtXXtX T R 0 00 * ])([])([ 1 )( , (4.37) ∫ = T dttX T X 0 0 )( 1 . (4.38) Vì không tính tới các trị số của hàm tự tương quan khi m T> τ và ước lượng )( * τ x R khác với hàm tự tương quan thực sự )( τ x R , nên trong thực tế phải ước lượng hàm phổ theo công thức: ∫ = m T xx dRS 0 ** cos)()( 1 )( τωτττλ π ω , (4.39) trong đó hàm )( τ λ gọi là hàm là trơn tỷ trọng và m T gọi là điểm cắt của hàm tự tương quan. Thí dụ về những hàm là trơn của các tác giả khác nhau được dùng trong phân tích các chuỗi thời gian những yếu tố hải dương học (xem [1]): - hàm Bartlett: ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = m m T T τ τ τλ khi0 khi1 )( - hàm Bartlett cải biên: ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = m m T T τ τ τλ khi0 khi1 )( - hàm Tukey: ⎩ ⎨ ⎧ > ≤=+− = m mm T TaTaa τ τπτ τλ khi0 khi25,0)/cos(221 )( - hàm Hanning: ⎩ ⎨ ⎧ > ≤− = m mm T TT τ τπτ τλ khi0 khi)]/cos(1[5,0 )( - hàm Parsen: ⎩ ⎨ ⎧ > ≤− = m mm T TT τ ττ τλ khi0 khi)/(1 )( 2 - hàm Hamming: ⎩ ⎨ ⎧ > ≤+ = m mm T TT τ τπτ τλ khi0 khi)/cos(46,054,0 )( Kinh nghiệm xử lý chuỗi thời gian trong hải dương học cho thấy hàm tự tương quan trong nhiều trường hợp giảm rất chậm theo thời gian và có tính chu kỳ rõ rệt. Khi sử dụng công thức (4.39), do không tính đến những trị số khác không đáng kể ở đoạn m T> τ , nên ước lượng phổ sẽ bao hàm sai số hệ thống và có tính chất chệch, nhưng nếu tăng m T thì sai số ước lượng )( * τ x R sẽ lớn tại những m T lớn và sẽ làm tăng độ tản mạn của ước lượng )( * ω S . Biểu hiện của hiệu ứng này thể hiện ở chỗ khi lấy m T nhỏ, thì các đỉnh phổ trên đồ thị sẽ bị là trơn, còn khi tăng dần m T , thì các đỉnh phổ dần dần thể hiện rõ hơn, nhưng khi tăng m T tiếp nữa, thì 119 120 đồ thị phổ không còn phản ánh được đặc điểm của hàm phổ nữa mà tiến tới đồ thị của chính hàm thời gian )(tX mà từ đó hàm tương quan được xác định. Như vậy, để có được ước lượng phổ khả dĩ hiện thực trong trường hợp này thực sự là một quá trình khó khăn. Trong thực tế, việc tính toán phổ là cả một quá trình thử nghiệm và đòi hỏi kinh nghiệm của người phân tích. Theo [5] trong thực hành có thể lấy m T bằng khoảng T 5 1 đến T 10 1 . Các công thức tính hàm tương quan và hàm phổ áp dụng với chuỗi thời gian )(tX được quan trắc tại n điểm thời gian với độ gián đoạn t Δ không đổi: mi xxxx in t R in j ijj i ,,1,0, ))(( 2 1 = −− − Δ = ∑ − = + σ , (4.40) trong đó ∑ = = n j j x n x 1 1 , ∑ = −= n j j xx n 1 2 )( 1 σ , − m bước trễ cực đại của hàm tương quan. ∑ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += m j ji mij m i R mm R S 1 0 ,,1,0,cos 2 π . (4.41) Công thức là trơn phổ: 00 5,0 SS = , mm SS 5,0 = , 1,1),(25,05,0 11 − = ++ = +− mkSSSS kkkk . Ghi chú: Khi tính ra hàm tương quan và hàm phổ, người ta vẽ đồ thị các hàm này với trục hoành biểu diễn ở thang logarit, do đó tương ứng với giá trị của hàm tương quan i R bước trễ i được biểu diễn thành ilog . Ứng với giá trị hàm phổ i S chu kỳ sẽ là i tm Δ 2 log . Thí dụ 4.3: Tính hàm tương quan và hàm phổ thực nghiệm dựa trên số liệu quan trắc về một quá trình ngẫu nhiên. Cho chuỗi số liệu quan trắc độ cao sóng biển ngày 6/12/1988 tại vùng biển mỏ dầu Bạch Hổ. Trên hình 4.10 thể hiện kết quả tính các ước lượng hàm tương quan và hàm phổ theo các công thức (4.40) và (4.41). Trục ngang của đồ thị hàm phổ biểu diễn thành chu kỳ. Trên hình 4.10 trục ngang của đồ thị hàm phổ bi ểu diễn thành chu kỳ dao động (giây). Nhận thấy rõ đỉnh phổ ứng với chu kỳ sóng gió bằng khoảng 4,5 giây, các chu kỳ sóng lừng bằng khoảng 9,1 và 10,8 giây. Trong phụ lục chương 4 có mã chương trình tính hàm tương quan và phổ cho trường hợp chuỗi quan trắc với độ gián đoạn t Δ không đổi theo các công thức (4.40) và (4.41). [...]... Là trơn phổ theo Turkey B Mã Fortran của thủ tục tính các hàm phổ theo công thức (4.41) SUBROUTINE TinhHP (r, lag, disp, s) C biến r − lưu giá trị của hàm tương quan C biến lag − bước trễ cực đại của hàm tương quan s(i) = 0.5*hp(i) + 0.25*(hp(i-1) + hp(i+1)) ENDDO RETURN END C biến disp − lưu giá trị phương sai của chuỗi quan trắc C biến s lưu chuỗi giá trị của hàm phổ PARAMETER (pi=3.141593,n0=1000000,m0=n0/8)...Phụ lục chương 4 A Mã Fortran của thủ tục tính các hàm tương quan theo công thức (4.40) SUBROUTINE TinhHTQ (miss, n, x, lag, r) C biến x − lưu chuỗi số liệu với độ dài quan trắc n giá trị C biến miss − giá trị khuyết thường quy ước bằng -99999 C biến lag − bước trễ cực đại của hàm tương quan C biến r − lưu các giá trị của hàm tương quan PARAMETER (n0 = 1000000, m0... x(n0), r(0:m0) INTEGER n DO i = 0, lag n1 = n - i t1 = 0.0 t2 = 0.0 s1 = 0.0 s2 = 0.0 r(i) = 0.0 s = 0.0 DO j = 1, n1 k=j+i IF (x(j).NE.miss.AND.x(k).NE.miss) THEN s=s+1 t1 = t1 + x(j) Hình 4.10 Hàm tương quan và hàm phổ độ cao sóng quan trắc ngày 6/12/1988 tại vùng mỏ Bạch Hổ 121 122 t2 = t2 + x(k) s1 = s1 + x(j)*x(j) s2 = s2 + x(k)*x(k) r(i) = r(i) + x(j)*x(k) ENDIF ENDDO t1 = t1/s t2 = t2/s s1 = s1/s . Chương 4 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Hàm ngẫu nhiên là hàm mà trong kết quả thí nghiệm có thể nhận dạng. cắt của hàm ngẫu nhiên tương ứng với t đã cho. 4.1. Các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên Kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên )(tX là một hàm không ngẫu nhiên )(tm x mà tại từng giá trị của. hiện và kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên Phương sai của hàm ngẫu nhiên )(tX là hàm không ngẫu nhiên )(tD x , giá trị của nó tại từng giá trị t bằng phương sai của mặt cắt tương ứng của hàm