73 74 DO j=1, 13 t(j)= t(j)+(d(j)-t(j))/(n2-n1)*(n-n1) ENDDO ENDIF IF (beta.LT.b(1)) THEN j=1 ELSE IF (beta.GT.b(13)) THEN j=12 ELSE j=1 3 IF (beta.GE.b(j).AND.beta.LE.b(j+1)) GOTO 4 j=j+1 GOTO 3 ENDIF 4 TraB24 = t(j)+(t(j+1)-t(j))*(beta-b(j)) * /(b(j+1)-b(j)) RETURN END Chương 3 KHÁI NIỆM VỀ HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG 3.1. Hệ các đại lượng ngẫu nhiên Trong nhiều bài toán thực tế, các kết quả thí nghiệm được mô tả bằng hai hoặc nhiều hơn đại lượng ngẫu nhiên. Người ta thường biểu diễn hệ hai đại lượng ngẫu nhiên X , Y bằng một điểm ngẫu nhiên trên mặt phẳng với tọa độ x và y (hình 3.1). 0 Y y x X Hình 3.1. Điểm ngẫu nhiên 0 (x,y) y x 0 Hình 3.2. Góc phần tư ứng với xác suất ),( yxF Xác suất cùng thực hiện hai bất đẳng thức x X < và y Y < được gọi là hàm phân bố hệ hai đại lượng ngẫu nhiên ) ,( YX : 75 76 () )( ),( ) ,( yYxXPyxF < <= . (3.1) Về ý nghĩa hình học thì hàm phân bố ) ,( yxF chính là xác suất điểm ngẫu nhiên ) ,( YX rơi vào góc phần tư vô cùng có đỉnh ở điểm ) ,( yx , nằm ở bên trái và phía dưới điểm đó (hình 3.2). Δ y RΔ y y x x Δ x 0 Hình 3.3. Biểu diễn miền Δ R trong mặt phẳng Xét xác suất điểm ngẫu nhiên rơi vào hình chữ nhật nhỏ Δ R có kích thước x Δ và y Δ ở lân cận điểm ) ,( yx trong mặt phẳng biểu diễn điểm ngẫu nhiên (hình 3.3). Xác suất rơi vào hình chữ nhật Δ R sẽ tính bằng () ) ,( ) ,( ) ,( ) ,( ),( yxFyyxF yxxFyyxxFRYXP +Δ+− −Δ+−Δ+Δ+=⊂ Δ Chia xác suất này cho diện tích hình chữ nhật, ta sẽ được xác suất trung bình mà điểm ngẫu nhiên rơi vào một đơn vị diện tích tại điểm ) ,( yx . Khi 0→ Δ x , 0→ Δ y , ta có ( ) = ΔΔ +Δ+−Δ+−Δ+Δ+ = ΔΔ ⊂ →Δ →Δ Δ →Δ →Δ yx yxFyyxFyxxFyyxxF yx RyX y x y x ),(),(),(),( lim ),( lim 0 0 0 0 ) ,() ,( ) ,( '' yxfyxF yx yxF yx == ∂∂ ∂ = 2 . (3.2) Hàm ) ,( yxf gọi là mật độ phân bố của hệ. Mật độ phân bố ) ,( yxf thường được biểu thị bởi một mặt gọi là mặt phân bố. Khi biết mật độ phân bố, có thể tìm hàm phân bố theo công thức ∫∫ ∞−∞− = x y ydxdyxfyxF ) ,( ),( . (3.3) Các đại lượng ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu như quy luật phân bố của từng đại lượng trong chúng không phụ thuộc vào việc đại lượng kia nhận giá trị nào. Trong trường hợp ngược lại X và Y được gọi là phụ thuộc. Mật độ phân bố của hệ các đại lượng ngẫu nhiên độc lập bằng tích của các mật độ phân bố của từng đại lượng trong hệ )()(),( yfxfyxf 21 = . (3.4) Khái niệm “phụ thuộc” ở đây phải được hiểu là phụ thuộc “xác suất”, hay phụ thuộc “ngẫu nhiên”. Nếu đại lượng Y liên hệ với đại lượng X bằng mối phụ thuộc xác suất, thì nếu biết giá trị của X cũng không thể chỉ ra chính xác giá trị của Y , mà chỉ có thể chỉ ra quy luật phân bố của nó tùy thuộc vào đại lượng X nhận giá trị nào. Phụ thuộc xác suất có thể chặt chẽ nhiều hoặc ít. Tùy mức độ tăng độ chặt chẽ của phụ thuộc xác suất mà mối phụ thuộc này càng dần tới phụ thuộc hàm. Phụ thuộc xác suất biểu hiện ở chỗ với sự biến đổi của 77 78 đại lượng X , đại lượng Y có xu thế cũng biến đổi (thí dụ, tăng hoặc giảm khi tăng X ). Xu thế này chỉ được bảo tồn “về trung bình”, ở những nét tổng quát và trong từng trường hợp riêng lẻ có thể có ngoại lệ. 3.2. Các đặc trưng số của hệ hai đại lượng ngẫu nhiên. Mô men tương quan. Hệ số tương quan Mô men gốc bậc sk , của hệ ) ,( YX : [ ] ýk sk YX M , = α . (3.5) Mô men tâm bậc sk , : [ ] sk sk YX && M , = μ , (3.6) ở đây x mXX −= & , y mYY −− & . Những mô men gốc bậc một chính là những kỳ vọng toán học của Y X , : [ ] [ ] XYXm x M M , === 01 01 α , [ ] [ ] YYXm y M M , === 10 10 α . Có hai mô men tâm bậc hai có ý nghĩa quan trọng là phương sai của các đại lượng Y X , : [ ] [ ] ][ D M M , XXYXD x ==== 202 02 &&& μ , [ ] [ ] ][ D M M , YYYXD y ==== 220 20 &&& μ . Mô men tâm hỗn hợp bậc hai ][ M , YX && = 11 μ có vai trò đặc biệt được ký hiệu là yx K và gọi là mô men tương quan (mô men liên hệ) của các đại lượng YX , : )]( )[( M][ M yxyx mYmXYXK −−== && . (3.7) Công thức tính yx K : − Đối với các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: ji ij yjxiyx pmymxK )( )( ∑ ∑ − − = , (3.8) − Đối với các đại lượng ngẫu nhiên liên tục: ∫∫ ∞ ∞− ∞ ∞− −−= ydxdyxfmymxK yxyx ),()( )( . (3.9) Mô men tương quan là đặc trưng của hệ, ngoài mô tả sự tản mạn của các đại lượng Y X , , nó còn đặc trưng cho sự liên hệ giữa các đại lượng. Người ta chứng minh được rằng đối với những đại lượng ngẫu nhiên độc lập mô men tương quan bằng không. Xét theo cấu trúc của công thức (3.7), thấy rằng nếu mức độ tản mạn của một trong hai đại lượng X hay Y mà nhỏ, thì yx K sẽ có giá trị nhỏ. Để đặc trưng đơn thuần về sự liên hệ giữa các đại lượng Y X , người ta dùng hệ số tương quan: yx yx yx K r σσ = . (3.10) Những đại lượng ngẫu nhiên mà yx K hay yx r bằng 0 được gọi là những đại lượng không tương quan. Hệ số tương quan đặc trưng không phải cho sự phụ thuộc bất kỳ mà chỉ cho sự phụ thuộc tuyến tính. Công thức ước lượng các đặc trưng số của hệ hai đại lượng ngẫu nhiên có dạng sau: n x m n i i x ∑ = = 1 ~ ; n y m n i i y ∑ = = 1 ~ ; 79 80 1 1 2 − − = ∑ = n mx D n i xi x ) ~ ( ~ ; 1 1 2 − − = ∑ = n my D n i yi y ) ~ ( ~ ; 1 1 − −− = ∑ = n mymx K n i yixi yx ) ~ ( ) ~ ( ~ . (3.11) Đối với trường hợp xử lý những quan trắc về một hệ m đại lượng ngẫu nhiên ) , , ,( m XXX 21 người ta cũng thực hiện những tính toán tương tự. Giả sử có n quan trắc, kết quả quan trắc viết dưới dạng bảng số: mỗi dòng chứa m giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên m XXX , , , 21 trong một lần quan trắc, bảng này sẽ gồm n dòng: i 1 x 2 x k x m x 1 11 x 21 x 1k x 1m x 2 12 x 22 x 2k x 2m x i i x 1 i x 2 ki x mi x n n x 1 n x 2 kn x mn x Ước lượng của các kỳ vọng toán học được tìm như là các trung bình số học: ) , , ,( ~ mk n x m n i ik x k 21 1 == ∑ = . Ước lượng không chệch của các phương sai: 1 1 2 − − = ∑ = n mx D n i xik k k ) ~ ( ~ . Ước lượng của các mô men tương quan: 1 1 − −− = ∑ = n mxmx K n i xilxik lk lk ) ~ )( ~ ( ~ . Từ những giá trị của các mô men tương quan, xác định những giá trị của các mô men tương quan chuẩn hóa: lk lk lk K r σσ ~~ ~ ~ = , trong đó llkk DD ~ ~ , ~ ~ == σσ . Các mô men tương quan hay các mô men tương quan chuẩn hóa của hệ các đại lượng ngẫu nhiên thường được viết thành dạng ma trận tương quan: ~ mm m m ji K KK KKK K 222 11211 = ; hay ma trận tương quan chuẩn hóa: ~ mm m m ji r rr rrr r 222 11211 = . 81 82 Do tính chất đối xứng, các ma trận chỉ cần điền một nửa. Ở đường chéo chính của ma trận tương quan là các phương sai của các đại lượng m XXX , , , 21 , tức mmm DKDKDK ~~ .; . . ; ~~ ; ~~ === 222111 . Ma trận tương quan thường được dùng để nghiên cứu sự phụ thuộc tuyến tính giữa các đại lượng ngẫu nhiên trong hệ các đại lượng được quan trắc. Thí dụ 3.1: Tính ma trận tương quan đối với bảng giá trị ngày của nhiệt độ nước biển Tw , nhiệt độ không khí Ta , độ ẩm tuyệt đối H , độ ẩm tương đối H r và khí áp Pa quan trắc trong năm 1980 ở Hòn Dấu. Ta ghi bảng số liệu quan trắc dưới dạng: TT Tw Ta H H r Pa 1 22,2 22,2 23,9 89 1013,2 2 22,4 22,1 24,2 91 1013,6 3 22,4 21,5 23,5 92 1014,2 4 21,8 20,6 21,3 88 1018,1 5 21,0 16,4 14,3 77 1020,9 6 20,5 17,7 15,6 77 1020,5 7 19,0 15,3 11,4 66 1023,7 8 18,8 16,4 12,8 68 1020,4 9 19,1 17,0 15,2 78 1019,5 10 19,4 18,4 17,2 82 1015,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kết quả tính các phần tử nửa trên bên phải của ma trận các mô men tương quan chuẩn hóa được ghi thành bảng như sau: Tw Ta H Hr Pa Tw 1,00 0,96 0,88 0,04 -0,75 Ta 1,00 0,93 0,12 -0,80 H 1,00 0,42 -0,87 Hr 1,00 -0,41 Pa 1,00 Trong khí tượng thủy văn, bảng này thường được gọi là ma trận tương quan, nó thể hiện sự liên hệ thống kê với nhau của các yếu tố quan trắc. Mỗi phần tử của ma trận này gọi là hệ số tương quan giữa hai yếu tố quan trắc cùng hàng và cùng cột. Các hệ số tương quan có giá trị tuyệt đối lớn thể hiện sự liên hệ chặt chẽ về mặ t thống kê, hệ số nhỏ thể hiện sự liên hệ yếu. Từ ma trận tương quan của trạm Hòn Dấu, thấy rằng nhiệt độ nước biển liên hệ chặt chẽ nhất với nhiệt độ không khí, sau đó với độ ẩm tuyệt đối và cuối cùng với khí áp, trong đó liên hệ giữa nhiệt độ nước và khí áp là liên hệ nghịch, thể hiện bởi hệ s ố tương quan mang dấu âm (-0,75). Giữa nhiệt độ nước biển với độ ẩm tương đối hầu như không có liên hệ, biểu hiện ở hệ số tương quan rất nhỏ (0,04). Nhiệt độ không khí và áp suất khí quyển liên hệ với nhau bằng mối phụ thuộc nghịch khá chặt chẽ. Nhiệt độ không khí thường cao khi áp thấp quan trắc thấy trên vùng biển. 3.3. Phép là trơn các mối phụ thuộc th ực nghiệm bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất Giả sử ta có bảng các số liệu thực nghiệm, trong đó ghi các giá trị của đại lượng biến số i x và các giá trị tương ứng của đại lượng phụ thuộc vào nó i y . Từ những suy luận nào đó về bản chất của hiện tượng hoặc theo hình dạng bề ngoài, chúng ta có thể chọn dạng phụ thuộc tổng 83 84 quát )( xy ϕ = cho mối phụ thuộc giữa y và x . Hàm )( xy ϕ = phụ thuộc vào một số tham số , , , cba Chính những tham số này cần được xác định để sao cho tổng các bình phương độ lệch của i y khỏi )( i x ϕ cực tiểu. Có thể viết hàm )( xy ϕ = rõ hơn dưới dạng ) , , , ;( cbaxy ϕ = . (3.12) Cần chọn , , , cba sao cho thỏa mãn điều kiện sau min )] , , , ;( [ =− ∑ = 2 1 cbaxy n i ii ϕ . (3.13) Từ (3.13) suy ra hệ phương trình: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )] , , , ;( [ )] , , , ;( [ )] , , , ;( [ 0 0 0 1 1 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∑ ∑ ∑ = = = i n i ii i n i ii i n i ii c cbaxy b cbaxy a cbaxy ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (3.14) Hệ (3.14) có số phương trình đúng bằng số tham số cần xác định. Không thể giải hệ (3.14) ở dạng tổng quát, mà phải cho trước dạng cụ thể của hàm ϕ . 1. Trường hợp bxabaxy + == ) , ;( ϕ (tức dạng phụ thuộc tuyến tính) ta có: x a = ∂ ∂ ϕ ; i i x a = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ϕ ; 1= ∂ ∂ b ϕ ; 1= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ i b ϕ . Thế các biểu thức trên đây vào (3.14) ta được hệ hai phương trình để xác định a và b: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =+− ∑ ∑ = = n i ii n i iii bxay xbxay 1 1 0 0 )]([ )]([ hay ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−− =−− ∑∑ ∑∑∑ == === 0 0 11 11 2 1 nbxay xbxayx n i i n i i n i i n i i n i ii ⇒ ⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−− =−− ∑∑ ∑∑∑ == === 0 0 11 11 2 1 b n x a n y n x b n x a n yx n i i n i i n i i n i i n i ii Các tổng trong những phương trình trên chính là những mô men thống kê khác nhau, do đó ta viết hệ thành: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−− =−− 0 0 ],[ ** ** 2 * 1,1 bmam bmaYX xy x αα Tìm b từ phương trình thứ hai và thế vào phương trình thứ nhất: ** xy mamb −= , 85 86 0 ) (][ ] ,[ **** 2 * 1,1 =−−− xxy mmamXaYX αα , * 2** 2 *** 1,1 )(][ ],[ x yx x yx D K mX mmYX a = − − = α α . Vậy * x yx D K a = ; ** xy mamb −= . (3.15) hay * * * x y ra σ σ = , ** xy mamb −= (3.16) Phương trình tuyến tính bxaxy + == )( ϕ có dạng * * * * * * x x yx y x yx m D K mx D K y −+= hay )( * * * * x x yx y mx D K my −=− . 2. Trường hợp cxbxay ++= 2 (dạng phụ thuộc parabôn): Hệ phương trình để xác định các hệ số cba , , như sau: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =++ =++ =++ ].,[][][][ ];,[][][][ ];,[][][][ * , *** * , *** * , *** YXcXbXaX YXcXbXaX YXcXbXaX 10012 11123 12234 αααα αααα αααα (3.17) Lưu ý quy luật tạo thành những hệ số trong các phương trình (3.17) như sau: ở vế trái chỉ có các mô men thống kê của đại lượng X theo thứ tự bậc giảm dần; ở vế phải có các mô men của hệ ) ,( YX , trong đó bậc của mô men theo X giảm từ phương trình này tới phương trình khác, còn bậc theo Y luôn giữ nguyên là bậc một. Các hệ số của parabôn bậc bất kỳ cũng được xác định bằng những phương trình có cấu trúc tương tự. 3. Trường hợp ) , , , ;( k aaaxy 21 ϕ = là tổng của các hàm cho trước bất kỳ )( , ),( ),( xxx k ϕ ϕ ϕ 21 với các hệ số k aaa , , , 21 : ∑ = =+++= k i iikk xaxaxaxay 1 2211 )()( )()( ϕϕϕϕ . (3.18) Thí dụ: xaxaxaxaaaaax 2sin2cossincos) , , , ;( 43214321 ω ω ω ω ϕ + + + = hay xxx eaeaeaaaax ) , , ;( γβα ϕ 321321 ++= . Hệ phương trình để tính các hệ số k aaa , , , 21 trong trường hợp tổng quát (3.18) có dạng 87 88 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = =+++ = =+++ = =+++ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑∑ = === = === = === n i iki n i ikk n i iki n i iki n i ii n i iikk n i i n i ii n i ii n i iikk n i ii n i i xy xaxxaxxa xy xxaxaxxa xy xxaxxaxa 1 1 2 1 22 1 11 1 2 1 2 1 2 22 1 211 1 1 1 1 1 122 1 2 11 ).( )]([ )( )()( )( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . );( )( )( )] ([)( )( ;)( )( )( )( )()]([ ϕ ϕϕϕϕϕ ϕ ϕϕϕϕϕ ϕ ϕϕϕϕϕ (3.19) 4. Bài toán là trơn sẽ phức tạp hơn nếu trong các biểu thức của hàm ) , , , ;( cbaxy ϕ = các tham số bằng số , , , cba nằm dưới dạng phi tuyến. Trong trường hợp này thường người ta có được cách giải bằng một phương pháp khá đơn giản qua thí dụ sau đây. Thí dụ: 2 ax ey − = hay axy sin= . Ta viết ),( axy ϕ = , trong đó −a hệ số cần tìm theo phương pháp bình phương nhỏ nhất. Ta có thể đưa ra một loạt các giá trị của a và với từng a tìm tổng các bình phương của hiệu i y và :),( ax i ϕ ∑∑ = −= n i ii axya 1 2 )],([)( ϕ . Tổng này là một hàm phụ thuộc vào a . Nếu biểu diễn sự biến thiên của ∑ )(a lên đồ thị, ta sẽ tìm được giá trị thích hợp của a ứng với giá trị ∑ )(a cực tiểu (hình 3.4). ),( axy ϕ = a 0 0 ∑ )(a ∑ )(a a 1 b 2 b 3 b 4 b a x a 0 Hình 3.4. Khảo sát bằng đồ thị để tìm hệ số a tối ưu trong trường hợp phi tuyến Trong hải dương học, phương pháp là trơn phụ thuộc thực nghiệm bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất thường được áp dụng khi người ta cần tìm những biểu thức liên hệ giữa các tham số hải dương học dựa trên số liệu quan trắc. Thí dụ tìm biểu thức liên hệ giữa hệ số nhớt của nước với nhiệt độ, độ muối của n ước biển; tìm công thức tính tốc độ truyền âm trong biển theo nhiệt độ, độ muối và áp suất khi những liên hệ này khó rút ra bằng lập luận lý thuyết. Bài toán là trơn cũng hay được sử dụng để lập biểu thức khôi phục các giá trị quan trắc của một yếu tố nào đó bị khuyết trong khi biết giá trị quan trắc của một yếu tố khác mà nó có liên hệ một cách rõ ràng xuất phát từ suy luậ n lý thuyết, lập mối liên hệ giữa yếu tố khó quan trắc với yếu tố dễ quan trắc, lập mối phụ thuộc giữa giá trị của cùng một yếu tố ở tầng sâu này với tầng sâu khác Đặc biệt, người ta hay sử dụng phương pháp là trơn thực nghiệm để thiết lập các 89 90 phương trình dự báo yếu tố hải dương học nào đó theo các yếu tố khí tượng và hải dương khác ảnh hưởng tới nó. Thí dụ 3.2: Tìm phương trình liên hệ giữa nhiệt độ nước biển w T và nhiệt độ không khí a T trên biển theo tập số liệu trung bình tháng của hai yếu tố này tại trạm Hòn Dấu trong ba năm 1979-1981. Các số liệu được sắp xếp trong bảng dưới đây: Năm 1979 Năm 1980 Năm 1981 Tháng w T a T w T a T w T a T 1 19,9 18,2 19,7 18,0 19,6 18,2 2 20,2 19,2 17,0 15,2 19,7 18,2 3 20,6 19,6 21,3 20,7 21,6 20,9 4 23,4 22,6 23,6 22,7 25,7 25,4 5 27,9 26,4 27,9 26,9 27,9 26,2 6 29,6 28,1 30,1 28,3 30,2 28,6 7 31,0 29,8 29,8 28,7 29,8 28,8 8 29,3 28,1 29,9 28,7 30,7 29,5 9 28,9 27,4 28,8 27,3 29,8 28,3 10 27,5 25,8 28,1 25,7 26,9 24,7 11 23,7 21,9 25,7 23,9 23,6 21,5 12 21,1 20,4 21,9 19,3 19,4 17,4 Ta có tổng cộng 36 cặp giá trị nhiệt độ nước và nhiệt độ không khí tương ứng, 36 = n . Trên hình 3.5 biểu diễn các cặp giá trị nhiệt độ không khí và nhiệt độ nước tương ứng thành các điểm chấm trên mặt phẳng TaTw − . Các điểm tập trung trên một dải hẹp bên cạnh một đường thẳng cho thấy có sự liên hệ tuyến tính, tỷ lệ thuận khá rõ rệt giữa hai yếu tố nhiệt độ nước biển và nhiệt độ không khí. Hình 3.5. Đồ thị thể hiện mối liên hệ tuyến tính giữa nhiệt độ nước biển và nhiệt độ không khí trạm Hòn Dấu Ta tuần tự tính các đại lượng trong công thức (3.16) để lập phương trình biểu diễn định lượng của mối liên hệ này: 906,23 36 1 36 1 , * === ∑ =j jaax TTm ; 328,25 36 1 36 1 , * === ∑ =j jwwy TTm ; 285,4)( 35 1 36 1 2 , * =−== ∑ =j ajaTax TT σσ ; 91 92 253,4)( 35 1 36 1 2 , * =−== ∑ =j wjwTwy TT σσ ; 993,0))(( 35 1 36 1 ,, * , =−−= ∑ =j wjwajaxy TTTTr ; 985,0 285,4 253,4 993,0 * * * , === x y xy ra σ σ ; 775,1906,23985,0328,25 ** =×−=−= xy ammb . Vậy phương trình liên hệ giữa nhiệt độ nước biển và nhiệt độ không khí sẽ là: aw TT 985,0775,1 += . Thí dụ 3.3: Xác định xu thế nước biển dâng tại trạm Hòn Dấu. Số liệu độ cao mực nước trung bình năm (cm) tại trạm Hòn Dấu được sắp xếp theo thứ tự năm trong bảng dưới đây: 1957 185 1966 189 1975 188 1984 204 1993 189 2002 193 1958 184 1967 186 1976 188 1985 201 1994 192 2003 197 1959 185 1968 183 1977 184 1986 189 1995 192 2004 191 1960 186 1969 187 1978 190 1987 186 1996 193 2005 190 1961 186 1970 181 1979 191 1988 186 1997 193 2006 194 1962 183 1971 189 1980 192 1989 190 1998 192 2007 190 1963 180 1972 187 1981 192 1990 187 1999 193 2008 194 1964 188 1973 192 1982 188 1991 191 2000 194 1965 196 1974 189 1983 191 1992 189 2001 197 Giả sử mực nước biển phụ thuộc tuyến tính vào thời gian, tức tăng hoặc giảm tuyến tính theo năm. Áp dụng trường hợp 1 đã xét trên đây, ta thiết lập một mối phụ thuộc tuyến tính baxy += , trong đó biến y là độ cao mực nước, biến x là thời gian (số hiệu năm quan trắc). Các hệ số a và b tính được theo công thức (3.15) hoặc (3.16) bằng: 176,0 = a ; 981,158 − = b . Giá trị của hệ số a chính là tốc độ biến thiên của − y mực nước khi thời gian tăng lên một năm. Vậy tại trạm Hòn Dấu, trung bình mực nước dâng lên 0,176 cm hay ≈ 1,8 mm mỗi năm. Để trực quan, ta có thể biểu diễn biến thiên của mực nước Hòn Dấu theo năm nh ư trên hình 3.6. Đường đậm nét là đường thằng hồi quy 981,158176,0 − = xy . Hình 3.6. Biến thiên của mực nước Hòn Dấu thời kỳ 1957-2008 5. Trường hợp bài toán hồi quy tuyến tính nhiều biến Giả sử có n quan trắc đối với đại lượng phụ thuộc y và các đại lượng độc lập m xxx , , , 21 . Phương trình hồi quy được thiết lập như sau mm xaxaxaay + + + + = 22110 . (3.20) Các hệ số ) , ,( mia i 1 = được chọn sao cho thoả mãn [...]... hiện là một hàm bình thường (không ngẫu nhiên) Nếu ta cố định một giá trị nào đó của biến t của hàm ngẫu nhiên X (t ) , thì hàm X (t ) lúc này trở thành đại lượng ngẫu nhiên, đại lượng ngẫu nhiên này được quy ước gọi là mặt cắt của hàm ngẫu nhiên tương ứng với t đã cho 4.1 Các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên Kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên X (t ) là một hàm không ngẫu nhiên m x (t ) mà tại từng giá trị... - A (I, J) * X (J) END DO END DO RETURN END Chương 4 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Hàm ngẫu nhiên là hàm mà trong kết quả thí nghiệm có thể nhận dạng cụ thể nào đó không biết trước được Dạng cụ thể mà hàm ngẫu nhiên nhận trong kết quả thí nghiệm gọi là hiện của hàm ngẫu nhiên Nếu thực hiện một nhóm thí nghiệm với hàm ngẫu nhiên, thì ta nhận được một nhóm hay một họ... một số ngày Những vấn đề về chọn các yếu tố tiên lượng phải được xem xét kỹ hơn trên cơ sở các suy luận vật lý và kinh nghiệm của người xử lý số liệu Trong phụ lục chương 3 có dẫn mã Fortran của các thủ tục tính các hệ số hệ phương trình chuẩn tắc và giải hệ này bằng phương pháp Gauss 97 Y là mảng một chiều để lưu n giá trị của biến phụ thuộc X là mảng n dòng m cột để lưu các giá trị m biến độc lập... (3.22) Trong hệ phương trình (3.22), vectơ A ký hiệu cho ma trận vuông hai chiều các hệ số của hệ (3.21) 93 [xm ] ⎞ ⎟ [xm x1 ] ⎟ [xm x2 ] ⎟ ⎟ ⎟ [xm xm ]⎟ ⎠ vectơ b - ma trận một chiều các hệ số tự do ⎛ b0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b1 ⎟ ⎜b ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ bm ⎠ [xm ] [x1 xm ] [x2 xm ] Hệ phương trình này gọi là hệ phương trình chính tắc để xác định các hệ số hồi quy a Dưới dạng ma trận ta viết hệ này như sau... từ 0,4 trở lên, có thể tạm cho rằng, nhiệt độ nước có sự liên hệ nhất định với nhiệt độ không khí, độ ẩm tuyệt đối, áp suất khí quyển, các thành phần gió kinh hướng và vĩ hướng Ta sẽ lập phương trình hồi quy tuyến tính biểu diễn sự liên hệ giữa nhiệt độ nước với các yếu tố này, bỏ qua các yếu tố độ ẩm tương đối, lượng bốc hơi, lượng mưa và lượng mây, dưới dạng: Tw = −14,82 + 0,30 Ta + 0,48 H − 0,02 Pa... trình hồi quy, kể cả đơn biến và nhiều biến, cũng thường dùng để lập các phương trình dự báo Trong trường hợp này, có thể thiết lập phương trình liên hệ giữa yếu tố cần dự báo với các yếu tố mà nó phụ thuộc (gọi là các yếu tố tiên lượng) nhưng với thời gian trễ khác nhau, tức các giá trị của yếu tố dự báo (trong thí dụ vừa xét là nhiệt độ nước biển) được lấy sau các giá trị của các yếu tố khí tượng một,... M) DO I = M - 1, 0, -1 X (I) = A (I, M + 1) DO J = I + 1, M B Mã Fortran của thủ tục Gauss giải hệ phương trình (3.21) C C C C C A là mảng từ 0 đến m dòng và từ 0 đến m + 1 cột để lưu các giá trị của ma trận A Cột m + 1 của mảng A lưu giá trị của hệ số b X là mảng một chiều để lưu nghiệm của hệ, tức các hệ số ai trong phương trình (3.19) SUBROUTINE GAUSS (M, A, X) INTEGER M REAL A (0 : 50, 0 : 51),... hàm ngẫu nhiên X (t ) là một hàm không ngẫu nhiên m x (t ) mà tại từng giá trị của đối số t bằng kỳ vọng toán học của mặt cắt tương ứng của hàm ngẫu nhiên: m x ( t ) = M [ X ( t )] (4.1) Về ý nghĩa, kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên là một hàm trung bình nào đó mà các hiện cụ thể biến thiên xung quanh nó (hình 4.1) 101 102 ... hồi quy tuyến tính biểu diễn sự phụ thuộc của nhiệt độ nước biển vào các yếu tố khí tượng Số liệu cho trước là bảng giá trị trung bình ngày của nhiệt độ nước biển Tw , nhiệt độ không khí Ta , độ ẩm tuyệt đối H , độ ẩm tương đối Hr , khí áp Pa , lượng bốc hơi Ev , lượng mưa Ra , thành phần gió kinh hướng Vk , thành phần gió vĩ hướng Vv và lượng mây Cd , quan trắc từ năm 1980 đến 1981 ở Côn Đảo 94 731a... [x1 ] ⎜ [x ] ⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎝ [x m ] δ = ∑ ( y j − a 0 − a1 x1 j − a 2 x 2 j − − a m x mj ) 2 = min j =1 Lần lượt lấy đạo hàm biểu thức trên theo a0 , a1 , a 2 , , a m và cho các đạo hàm bằng không, ta có hệ m + 1 phương trình để xác định các hệ số a na0 [x1 ]a0 [x 2 ]a0 + + [x1 ]a1 [x1 x1 ]a1 [x1 x 2 ]a1 + [x1 x m ]a1 + [x m ]a0 + + [x 2 ]a2 [x 2 x1 ]a2 [x 2 x 2 ]a2 + [x 2 x m ]a2 + + + + + + + . 18 6 19 96 19 3 2005 19 0 19 61 186 19 70 18 1 19 79 19 1 19 88 18 6 19 97 19 3 2006 19 4 19 62 18 3 19 71 189 19 80 19 2 19 89 19 0 19 98 19 2 2007 19 0 19 63 18 0 19 72 18 7 19 81 192 19 90 18 7 19 99 19 3 2008 19 4 19 64 18 8. 18 5 19 66 18 9 19 75 18 8 19 84 204 19 93 18 9 2002 19 3 19 58 18 4 19 67 18 6 19 76 18 8 19 85 2 01 1994 19 2 2003 19 7 19 59 18 5 19 68 18 3 19 77 18 4 19 86 18 9 19 95 19 2 2004 19 1 19 60 18 6 19 69 18 7 19 78 19 0 19 87 18 6. 92 10 14,2 4 21, 8 20,6 21, 3 88 10 18 ,1 5 21, 0 16 ,4 14 ,3 77 10 20,9 6 20,5 17 ,7 15 ,6 77 10 20,5 7 19 ,0 15 ,3 11 ,4 66 10 23,7 8 18 ,8 16 ,4 12 ,8 68 10 20,4 9 19 ,1 17,0 15 ,2 78 10 19,5 10 19 ,4 18 ,4 17 ,2