http://www.ebook.edu.vn Trng i hc Nụng nghip H Ni Giỏo trỡnh K thut Thu khớ .76 Chơng 4 Chuyển động một chiều của chất lỏng không nén đợc Nội dung chơng này đi vào tìm hiểu trạng thái chảy của chất lỏng, tổn thất năng lợng trong dòng chảy và xét cụ thể một số dạng chuyển động một chiều của chất lỏng không nén đợc nh nớc chảy trong ống, dầu trong các khe hẹp từ đó rút ra những ứng dụng vào kỹ thuật. 4.1. Hai trạng thái chảy của chất lỏng. Số Reynolds 4.1.1. Thí nghiệm Reynolds Năm 1883 O.Reynolds bằng thực nghiệm đ phát hiện ra sự tồn tại hai trạng thái chảy khác biệt nhau của chất lỏng và chứng minh rằng chúng có liên quan mật thiết với tổn thất năng lợng của nó. Thí nghiệm của Reynolds gồm có một bình nớc lớn A, một bình nớc màu C, một ống thuỷ tinh trong suốt (Hình 4-1). Điều chỉnh khoá để nớc màu đỏ chảy thành một sợi chỉ đỏ căng xuyên suốt ống thủy tinh, nghĩa là các lớp chất lỏng chảy thành tầng riêng rẽ, đó là trạng thái chảy tầng (Hình 4-1a). Tăng vận tốc dòng chảy, đầu tiên sợi chỉ nớc màu đỏ bị đứt đoạn (Hình 4-1b) - chảy quá độ, sau đó chúng hoà trộn hỗn loạn vào nhau (Hình 4-1c), đó là trạng thái chảy rối. Làm thí nghiệm ngợc lại, giảm dần vận tốc dòng chảy thì trạng thái chảy của chất lỏng biến đổi theo chiều ngợc lại: từ chảy rối sang chảy tầng. B a) b) c) K 2 h wd K 1 A Nớc màu Hình 4-1. Sơ đồ thí nghiệm Râynôn Qua thí nghiệm với nhiều ống có đờng kính khác nhau và với nhiều loại chất lỏng, ngời ta nhận thấy trạng thái dòng chảy phụ thuộc vào vận tốc v, độ nhớt và đờng kính ống d. 4.2.1. Số Reynolds và vận tốc phân giới Reynolds đ tìm ra tổ hợp 3 đại lợng (vận tốc v, độ nhớt và đờng kính ống d) là một số không thứ nguyên, mang tên ông - số Reynolds: d Re = (4-1) Vận tốc chuyển từ trạng thái chảy tầng sang chảy rối là vận tốc phân giới trên (v pgt ), tơng ứng có số Reynolds phân giới trên (Re pgt ). http://www.ebook.edu.vn Trng i hc Nụng nghip H Ni Giỏo trỡnh K thut Thu khớ .77 Vận tốc chuyển từ trạng thái chảy rối sang chảy tầng là vận tốc phân giới dới (v pgd ), tơng ứng có số Reynolds phân giới dới (Re pgd ) Khi dòng chảy có : Re < Re pgd thì trạng thái của nó là chảy tầng; Re > Re pgt thì trạng thái của nó là chảy rối; Re pgd < Re < Re pgt thì trạng thái của nó có thể là tầng hoặc rối, nhng thờng là chảy rối, vì ứng với giai đoạn trung gian này trạng thái chảy tầng rất không ổn định. Qua nhiều thí nghiệm thấy rằng Re pgt không có một trị số xác định (dao động từ 12000 đến 50000). Còn Re pgd đối với mọi loại chất lỏng và đờng kính khác nhau đều có một giá trị không đổi (2320). Do đó Re pgd =2320 đợc dùng làm tiêu chuẩn xác định trạng thái chảy. vậy Re < 2320 - Trạng thái chảy tầng; Re > 2320 - Trạng thái chảy rối. 4.2. tổn thất năng lợng trong dòng chảy 4.2.1. Quy luật tổn thất năng lợng trong dòng chảy a) Phân loại tổn thất Khi chất lỏng thực chảy có tổn thất năng lợng do lực cản chuyển động. Căn cứ vào nguyên nhân phát sinh tổn thất năng lợng trong dòng chảy, ngời ta chia ra : - Tổn thất dọc đờng (h wd ); - Tổn thất cục bộ (h wc ). Tổn thất năng lợng dọc đờng là do lực ma sát trong tác dụng lên dòng chất lỏng, hay là do lực cản theo chiều dài của bề mặt bao quanh dòng chảy (bề mặt trong ống dẫn, bề mặt đáy, sờn kênh ). Tổn thất năng lợng cục bộ là do lực cản gây nên khi thay đổi đột ngột mặt cắt dòng chảy hay thay đổi đột ngột chiều dòng chảy nh ở trong khoá nớc ở các chỗ ngoặt b) Qui luật chung về tổn thất năng lợng Bằng thực nghiệm ngời ta đ đa ra qui luật phân bố tổn thất năng lợng dọc đờng trong dòng chaỷ: - Khu vực chảy tầng : h wd = k 1 v - Khu vực chảy rối : h wd = k 2 v 2 trong đó : k 1 , k 2 - hệ số tỷ lệ ; v - vận tốc dòng chảy. - Trong khu vực quá độ, liên hệ giữa vận tốc và tổn thất năng lợng theo quan hệ bậc n với 1< n < 2. 4.2.2. Tổn thất năng lợng dọc đờng a) Tổn thất năng lợng dọc đờng trong chảy tầng Trong chảy tầng, chất lỏng chảy thành những bó dòng riêng biệt song song với nhau. Trên thành ống, có dính chặt những chất điểm không chuyển động, vận tốc của http://www.ebook.edu.vn Trng i hc Nụng nghip H Ni Giỏo trỡnh K thut Thu khớ .78 chúng bằng không. Tổn thất năng lợng trong chảy tầng do tác dụng của lực ma sát là tỷ lệ bậc nhất với vận tốc. Nghiên cứu sự phân bố vận tốc, lực ma sát riêng và tổn thất năng lợng của chảy tầng trong ống tròn nằm ngang (Hình 4-2). Tổn thất năng lợng trong ống: R Lpp h 21 21 WƯ = = (theo phơng trình cơ bản của chảy đều) mà dr du à = (r tăng u giảm) do đó: r L dr du 2 pp 21 à = d o r R o u U max Hình 4-2. Phân bố vận tốc, ứng suất của chảy tầng trong ống tròn Thay R = r/2 ta có: rdr L2 pp du 21 à = (4-2) Tích phân (4-2) từ r dến R 0 ta có; = 0Ro r R r 21 U U rdr L2 pp du à ( ) 2 2 0 21 rR rR L4 pp uu 0 = à Nh đ biết ở trên, u Ro = 0. Vậy đối với bất kỳ điểm nào trong mặt cắt dòng chảy ở khoảng cách r đối với trục ống có vân tốc: ( ) 2 2 or rR l 4 p u = à (4-3) Vận tốc cực đại khi r = 0: http://www.ebook.edu.vn Trng i hc Nụng nghip H Ni Giỏo trỡnh K thut Thu khớ .79 2 omax R l 4 p u à = Ta tính đợc lu lợng: max 2 o R o R o uR 2 = r d r 2dQQ oo == vận tốc trung bình: 2 uQ v max == Tổn thất năng lợng (độ chênh áp): 2 21WƯ d vL 32 p h à == (4-4) ở đây d = 2r. Nhân trên và dới với 2u và thay = g, ta có: g2dud vL 64 h 2 21WƯ à = Đặt à = và Re 1 ud = thì công thức tổn thất năng lợng trong chảy tầng sẽ là: g2 v d L Re 64 h 2 21WƯ = (4-5) Đặt = Re 64 , ta sẽ có: g2 v d L h 2 21WƯ = (4-6) trong đo hệ số cản dọc đờng. Công thức (4-6) gọi là công thức Darcy (do Darcy thiết lập 1856) b) Tổn thất năng lợng dọc đờng trong chảy rối Trong cấu trúc của dòng chảy rối trong ống gồm 2 phần chính (Hình 4-3a): lõi rối và lớp chảy tầng sát thành có chiều dày T : Re d30 T = Trong lõi rối, vận tốc điểm thay đổi về trị số và cả hớng theo thời gian. Nếu xét trong một khoảng thời gian tơng đối dài T, thì thấy u dao động xung quanh một trị số không đổi u (Hình 4-3b) gọi là vận tốc trung bình thời gian u : = o t o udt T 1 u http://www.ebook.edu.vn Trng i hc Nụng nghip H Ni Giỏo trỡnh K thut Thu khớ .80 Lớp chảy tầng sát thành Lớp quá độ Lõi rối a) T u u' u z z+T t b) Hình 4-3. a) Mặt cắt ngang dòng chảy rối trong ống tròn b) Phân bố vận tốc mạch động trong chảy rối Lúc đó vận tốc tức thời u = u + u , u - vận tốc mạch động. Trong thực tế để xác định tổn thất năng lợng dọc đờng trong chảy rối, ta dùng phơng pháp gần đúng với những giả định sau: + Liên hệ bình phơng giữa tổn thất năng lợng và vận tốc; + Có quan hệ giữa độ nhám của thành với tổn thất năng lợng; + Coi trạng thái chảy rối với giả định những dòng nguyên tố song song. Theo quan niệm trên ta coi lực cản của dòng chảy là gồm có lực cản gây nên từ bên trong chất lỏng tiếp xúc với thành dòng chảy. Vậy biểu thức cho lực ma sát riêng trên thành có thể xác định theo công thức: 0 = bv 2 trong đó: b hệ số đợc xác định bằng thực nghiệm (phụ thuộc độ nhám của thành và dạng của dòng chảy). Mặt khác, từ phơng trình cơ bản của chảy đều: 0 = RJ Vậy ta có: bv 2 = RJ Hay RJ b v = Đặt C b = ta có biểu thức tính vận tốc trung bình trong chảy đều: RJCv = (4-7) Công thức (4-7) gọi là công thức Sedi, dùng để xác định vận tốc trung bình trong chảy đều của chất lỏng trong ống, trong kênh và trong thiên nhiên. Hệ số C phụ thuộc hệ số nhám n và bán kính thuỷ lực R, phần lớn đợc xác định bằng công thức thực nghiệm (xem phụ lục 2, 3). Thay L h J W = vào (4-7): http://www.ebook.edu.vn Trng i hc Nụng nghip H Ni Giỏo trỡnh K thut Thu khớ .81 L h RCv W = Do đó: d C Lv4 R C Lv h 2 2 2 2 W == (4-8) Nhân trên và dới với 2g: g2 v d L g2dC gLv8 h 2 2 2 W == (4-9) ở đây C g8 = gọi là hệ số cản dọc đờng. 4.2.3. Tổn thất năng lợng cục bộ Tổn thất năng lợng cục bộ sinh ra khi thay đổi đột ngột mặt cắt, hay hình dạng dòng chảy (trị số, phơng, chiều của vận tốc). ở chỗ có lực cản cục bộ có thể quan sát thấy hiện tợng va đập và chảy xoáy. Sự tơng tác giữa dòng chảy và các chất điểm chảy xoáy. Đó là nguyên nhân phát sinh ra tổn thất năng lợng cục bộ. Nhiều thực nghiệm đ chứng minh rằng tổn thất cục bộ cũng tuân theo các qui luật phân bố nh đối với tổn thất dọc đờng. Thờng dùng công thức Weisbach để tính tổn thất cục bộ: g2 v h 2 wc = (4-10) trong đó: v - vận tốc trung bình dòng chảy thờng lấy ở sau chỗ có sức cản cục bộ; - hệ số tổn thất cục bộ thờng đợc xác định bằng thực nghiệm (xem phụ lục 1). Thực nghiệm cho biết tổn thất cục bộ khi chảy rối tỷ lệ với bình phơng của vận tốc, lúc đó hệ số không phụ thuộc vào số Re; khi chảy tầng phụ thuộc vào số Re. Mức độ phụ thuộc ấy tuỳ theo mức độ dòng chảy tầng bị phá hoại khi có sức cản cục bộ, có thể sử dụng công thức Antosul để tính trong dòng chảy tầng: = + A Re r (4 -11) Trong đó : r - hệ số tổn thất cục bộ trong khu vực bình phơng sức cản. Giá trị của A và r cho trong bảng 4 - 1. Bảng 4-1 http://www.ebook.edu.vn Trng i hc Nụng nghip H Ni Giỏo trỡnh K thut Thu khớ .82 Loại vật cản A r Khoá hình nêm 150 0,40 Van thông dụng 3000 4,00 Van nghiêng 900 2,50 Van bi 5000 4,50 ống ngoặt 90 o 400 1,40 Chạc ba 150 0,30 Trong trờng hợp tổng quát, tổn thất năng lợng giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2 của đờng ống là bằng tổng số các tổn thất dọc đờng và tổng số các tổn thất cục bộ : = = = = += += K 1i n 1i 2 i i 2 i i ii 2w1 K 1i n 1i wcwd2w1 2g v 2g v d l hhay hhh 2g v d l 2 i K 1i i ii = là tổn thất dọc đờng của k đoạn ống; 2g v 2 i n 1i i = là tổn thất cục bộ của n chỗ gây ra sức cản cục bộ. 4.3. Dòng chảy tầng trong ống (dòng Hagen - Poadơi) 4.3.1. Phơng trình vi phân của chất lỏng chuyển động Xét chuyển động một chiều (u o) trong ống nằm ngang do độ chênh áp (p 1 > p 2 ) của chất lỏng chuyển động dừng = 0 t , bỏ qua lực khối = 0F . Với những điều kiện đó xuất phát từ phơng trình liên tục: 0u div = và phơng trình Navier- Stokes: dt ud upgrad 1 =+ suy ra 0 z u y u dx dp1 2 2 2 2 = ++ constC dx dp1 z u y u 2 2 2 2 ===+ à (4-12) http://www.ebook.edu.vn Trng i hc Nụng nghip H Ni Giỏo trỡnh K thut Thu khớ .83 ở đây cho hai vế bằng const, vì vế trái phụ thuộc vào y, z ; còn vế phải phụ thuộc vào x. J l hw l p dx dp === (4-13) J - độ dốc thuỷ lực Để dễ tích phân (4-12), ta đa về hệ toạ độ trụ với giả thiết dòng chảy đối xứng trục: 1 1 r d dr r du dr p l = à (4-14) với điều kiện biên r = 0 : u hữu hạn r = R o : u = 0 Phơng trình (4-14) biểu diễn mối quan hệ về sự biến thiên vận tốc và áp suất thuỷ động của dòng chảy tầng trong ống. 4.3.2. Phân bố vận tốc Tích phân (4-14) với các điều kiện biên ta sẽ tìm đợc sự phân bố vận tốc có dạng Parabol (Hình 4-2) ( ) 2 2 o rR l 4 p u = à (4-15) vận tốc max tại trục ống: 2 omax R l 4 p u à = Ta tính đợc lu lợng: max 2 o R o R o uR 2 = r d r 2dQQ oo == Vận tốc trung bình: 2 uQ V max == Độ chênh áp: 4 o 2 o R lQ 8 R vl 8 p à à == (4-16) Đó là định luật Hagen-Poadơi, đợc ứng dụng để tính độ nhớt. Hệ số hiệu chỉnh động năng: 2 Qv du 3 3 == Phân bố ứng suất tiếp trong dòng chảy R r 2 r l p dy du o à === (4-17) http://www.ebook.edu.vn Trng i hc Nụng nghip H Ni Giỏo trỡnh K thut Thu khớ .84 trong đó ( ) JR 2 R l p Rr o oo === R - Bán kính thuỷ lực. 4.4. Dòng chảy rối trong ống ở trạng thái chảy tầng, theo Newton dy ud = à . ở trạng thái chảy rối, ngời ta đa vào hệ số nhớt bổ sung ( ) dy ud t à += nhng >> à nên dy ud t == Theo Prandtl: dy ud l 2 = trong đó: l = Ky - Chiều dài xáo trộn, đặc trng cho sự chuyển động theo phơng ngang của các phần tử chất lỏng (K = 0,4); dy ud - Gradient vận tốc trung bình thời gian Do đó 2 2 dy ud l dy ud == l 1 u l 1 . dy ud == với u vận tốc động lực d u u l dy u dy Ky = = Cyln K u u + = Tại trục ống y = r , u = u max rln K u u lnY K u u=C maxmax = Vậy: y r ln K u uu max = nghĩa là vận tốc biến thiên theo qui luật Logarit, còn vận tốc trung bình max u 825,0 Q v == 4.5. Dòng chảy tầng có áp trong các khe hẹp http://www.ebook.edu.vn Trng i hc Nụng nghip H Ni Giỏo trỡnh K thut Thu khớ .85 Trong kỹ thuật, giữa các chi tiết máy có những khe hở nên có sự rò rỉ của chất lỏng (xăng, dầu ) do chất lỏng làm việc dới áp suất cao. Nên cần tính toán độ khít cần thiết của những khe hở đó, hạn chế lu lợng rò rỉ 4.5.1. Dòng chảy giữa hai tấm phẳng song song Với những điều kiện nh dòng chảy tầng trong ống (mục 4.2) và do khe hẹp nên u = u (y); (Hình 4-4 ). Phơng trình vi phân chuyển động có dạng: dx dp1 dy ud 2 2 à = với điều kiện biên: tại y = 0 và y = h: u = 0 Sau khi tích phân ta sẽ đợc phân bố vận tốc có dạng Parabol ( ) yhy dx dp 2 1 u = à vận tốc max (tại y = h/2): 2 max h dx dp 8 1 u à = b h l y h p 1 y x dx Hình 4-4. Dòng chảy giữa hai tấm phẳng song song Lu lợng === h o 33 bh l p 12 1 h dx dp 12 b budyQ àà (4-18) Vận tốc trung bình: v Q bh u= = 2 3 max ở đây: b - bề rộng tấm phẳng; l - chiều dài của khe. 4.5.2. Dòng chảy dọc trục giữa hai trụ tròn a) Mặt trụ đồng tâm Ký hiệu: D n - Đờng kính ngoài, D t - Đờng kính trong 2 DD D tn + = - Đờng kính trung bình. 2 DD tn = - Chiều dày của khe. Xét << D / 2 , l - Chiều dài của đoạn dòng chảy cần xét, áp dụng (4-18) tính lu lợng thay b = D ; h = ta có: [...]... U1 =à Lực cản ( 4- 2 0) y y h U1 du U =à 1 dy h T = S = à ( 4- 2 1) h u= x U1 S ; h Hình 4- 6 Dòng chảy giữa hai mặt phẳng song song do ma sát S - diện tích tấm phẳng 4. 6.2 Bôi trơn hình nêm Khi một tấm phẳng nghiêng đi một góc nhỏ , ta có hình nêm (Hình 4- 7 ) Lúc n y, ngo i lực cản F còn có lực nâng P, nghĩa l cần tìm sự phân bố ứng suất tiếp v phân bố áp suất Tơng tự nh b i toán Cu-et (4. 6.1) ta tính đợc... 12 à l b) Mặt trụ lệch tâm (Hình 4- 5 ) Gọi - Chiều d y của khe hở khi mặt trụ đồng tâm; e - Độ lệch tâm; - Góc của một bán kính véc tơ với r2 đờng qua tâm hai mặt trụ (toạ độ cực 0 l tâm); o' o r1 a() - Khe hở theo bán kính véc tơ ứng với d a Xét a Q1 v Q2 = 2,5Q1 khi độ lệch tâm lớn nhất (e = ) ở đây có thể xét thêm b i toán lọc dầu, tức l dòng chảy tầng theo phơng bán kính trong khi hẹp phẳng 4. 6 Dòng chảy trong khe hẹp do ma sát - cơ sở của lý thuyết bôi trơn thuỷ động Trong thực tiễn kỹ thuật ta gặp rất nhiều chuyển động do ma sát trong khe hẹp nh chất lỏng... 2g 16 Q 2 = 2g 2 2 d2 1 d2 1 1 1 2 4 + 1 + 0 ,5 1 3 2 4 0 ,5 + 2 2 d 2 d1 d2 d3 Tr ng i h c Nụng nghi p H N i Giỏo trỡnh K thu t Thu khớ .90 http://www.ebook.edu.vn Thay số v o các biểu thức trên ta tính đợc: Q = 7,1 l/s; hc1 = 6,6 cm; hc2 = 26 ,4 cm; hc3 = 25 cm 2 v1 = 13 ,4 cm ; 2g 2 v2 = 4 ,15 cm ; 2g 2 v3 = 42 cm 2g Đờng năng v đờng đo áp theo áp suất d đợc . l hw l p dx dp === ( 4- 1 3) J - độ dốc thuỷ lực Để dễ tích phân ( 4- 1 2), ta đa về hệ toạ độ trụ với giả thiết dòng chảy đối xứng trục: 1 1 r d dr r du dr p l = à ( 4- 1 4) với điều kiện. R o : u = 0 Phơng trình ( 4- 1 4) biểu diễn mối quan hệ về sự biến thiên vận tốc và áp suất thuỷ động của dòng chảy tầng trong ống. 4. 3.2. Phân bố vận tốc Tích phân ( 4- 1 4) với các điều kiện. Tơng tự nh bài toán Cu-et (4. 6.1) ta tính đợc lu lợng qua mặt cắt chiều cao h theo ( 4- 2 0) 3 1 h dx dp 12 1 2 hU Q à = với h = h(x) = (a - x) tg (a - x) ( 4- 2 2) Giả sử tơng ứng