Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên 1. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên Mệnh đề 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là f(x,y). Giả sử U = 1 (X,Y) và V = 2 (X,Y) với 1 , 2 là các hàm đơn trị sao cho (X,Y) được xác định duy nhất từ giá trị của (U,V) là X = 1 (U,V) và Y = 2 (U,V). Giả thiết 1 , 2 tồn tại các đạo hàm riêng liên tục theo u và v. Khi đó hàm mật độ đồng thời của U và V được xác định bởi g UV (u,v) = f( 1 (u,v), 2 (u,v)) với J = Chú ý: Công thức trên có thể mở rộng cho trường hợp n biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,…, X n . Ví dụ 1.2. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối mũ tham số Xác định hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên U = X + Y và . Chứng minh U, V là các biến ngẫu nhiên độc lập. Giải. Do X, Y độc lập nên hàm mật độ đồng thời của X và Y là Xét phép biến đổi và . Với x, y > 0 thì u > 0 và 0 < v < 1. Theo Mệnh đề 1.1, hàm mật độ đồng thời của U và V là Từ đó, hàm mật độ của U là và hàm mật độ của V là Cuối cùng, do f U,V (u, v) = f U (u).f V (v) nên U, V độc lập. 2. Tích chập của các phân phối Bài toán 2.1. Giả sử X 1 , X 2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có hàm mật độ tương ứng là f 1 (x) và f 2 (x). Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên U = X + Y. Giải. Xét phép biến đổi và Theo Mệnh đề 1.1, hàm mật độ đồng thời của U và V là g UV (u,v) = f X,Y (v; u - v).1 = f X,Y (x, u - x) Vì X 1 , X 2 độc lập nên hàm mật độ của U là g U (u) = và hàm phân phối của U là Định nghĩa 2.2. Hàm phân phối F U (u) xác định như trên được gọi là tích chập của hai hàm phân phối F 1 (x) và F 2 (x) của các biến X 1 , X2, kí hiệu là F 1 *F 2 . Tích chất 2.3.  F 1 * F 2 = F 2 * F 1  (F 1 * F 2 )* F 3 = F 1 *( F 2 * F 3 )  F 1 * (F 2 + F 3 ) = F 1 * F 2 +F 1 * F 3 Bằng cách tương tự, có thể mở rộng tích chập ra trường hợp n phân phối của các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,…,X n là F 1 * F 2 *…* F n . Ví dụ 2.4. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối mũ tham số chuẩn tắc N(0, 1). Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên U = X + Y. Giải. Ta có X, Y có cùng hàm mật độ là Theo công thức tích chập, hàm mật độ của U là Vậy U là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(0; 2). Ví dụ 2.5. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson tham số lần lượt là Xác định phân phối của biến ngẫu nhiên X + Y. Giải. Ta có Vậy X + Y cũng có phân phối Poison tham số 3. Các số đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên  Kỳ vọng của tổng các biến ngẫu nhiên Mệnh đề 3.1. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y và g là hàm Borel. Khi đó  Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất đồng thời P(X=x i , Y=y j ) =p ij thì  Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ đồng thời f(x,y) thì Trường hợp đặc biệt của mệnh đề trên là khi X, Y có kỳ vọng hữu hạn thì E(X + Y) = E(X) +E(Y) Tổng quát, nếu X i , i = 1,2, , n là các biến ngẫu nhiên bất kỳ có kỳ vọng hữu hạn thì E(X 1 + X 2 + + X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) + + E(X n ) Ví dụ 3.2. Một tai nạn có thể xảy ra tại điểm ngẫu nhiên X có phân phối đều trên đoạn đường có độ dài L. Vào thời điểm đó, một xe cấp cứu đang ở vị trí Y ngẫu nhiên trên đường, độc lập với X . Xác định khoảng cách trung bình giữa vị trí của xe cấp cứu và địa điểm xảy ra tai nạn. Giải. Hàm mật độ đồng thời của X và Y là . Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên 1. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên Mệnh đề 1. 1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là f(x,y). Giả sử U = 1 (X,Y). X n . Ví dụ 1. 2. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối mũ tham số Xác định hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên U = X + Y và . Chứng minh U, V là các biến ngẫu nhiên độc lập Vậy U là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(0; 2). Ví dụ 2.5. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson tham số lần lượt là Xác định phân phối của biến ngẫu nhiên X +