Vậy với độ tin cậy 95%, tối thiểu ứng cử viên A chiếm được 57% số phiếu bầu của cử tri A. b. Khoảng ước lượng của kỳ vọng a trong mẫu từ phân phối chuẩn N(a; 2 ). Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn N(a; 2 ).  Trường hợp đã biết Xét xác suất P với 1 - là độ tin cậy đã cho. Ta có (2) Vì X 1 , X 2 ,…, X n là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn như nhau dạng N(a; 2 ) nên cũng có phân phối chuẩn với kỳ vọng E( ) = a và phương sai . Vì vậy có phân phối chuẩn kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng 1. Nếu đặt thì từ (2) ta suy ra và từ đó . Giải ta nhận được khoảng ước lượng của a là  Trường hợp chưa biết. Tương tự như trường hợp trên ta xét xác suất . Biến đổi vế trái (3) trong đó . Ta đã biết là độc lập với nhau; có phân phối chuẩn dạng N(0;1) và có phân phối 2 (n - 1) với n - 1 bậc tự do. Vì vậy = có phân phối Student với n - 1 bậc tự do. Nếu đặt thì từ (3) ta suy ra hay Vậy khoảng ước lượng của a với độ tin cậy 1 - là trong đó t tra ở bảng phân phối Student với n - 1 bậc tự do và mức ý nghĩa . Khi kích thước mẫu n thì phân phối xác suất của tiến tới phân phối chuẩn N(0; 1). Vì vậy với n > 30 (ta xem như kích thước mẫu lớn) ta xấp xỉ nó với phân phối chuẩn dạng N(0; 1) sao cho . Ví dụ 2.3. Quan sát chiều cao của 100 nam sinh viên trong một khoá học ta có chiều cao trung bình là với độ lệch mẫu S = 8,25 Chứng minh. Với độ tin cậy 95%, xác định khoảng ước lượng của chiều cao trung bình của nam sinh viên. Giải. Do n =100 khá lớn nên t được tra bảng chuẩn. Có t = 1,96. Từ đó  Khoảng ước lượng của phương sai 2 trong mẫu từ phân phối chuẩn N(a; 2 ). Từ kết quả có phân phối 2 với n - 1 bậc tự do ta tìm khoảng ước lượng của 2 bằng cách sau: Tìm t 1 , t 2 sao cho P[t 1 £ <t 2 ] = 1 - . Ta có thể viết biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên dưới dạng Chọn t 1 , t 2 sao cho P[ 2 > t 1 ] = 1 - và P[ 2 > t 2 ] = . Khoảng ước lượng của 2 với độ tin cậy 1 - là Ví dụ 2.4. Để xác định chiều cao trung bình của các cây bạch đàn trong một khu rừng, tiến hành đo ngẫu nhiên 35 cây và thu được kết quả sau Chiều cao X (m) 6,5 – 7,0 7,0 – 7,5 7,5 – 8,0 8,0 – 8,5 8,5 – 9,0 9,0 – 9,5 Số cây (n i ) 2 4 10 11 5 3 Giả thiết chiều cao của các cây bạch đàn là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Với độ tin cậy 95%, xác định khoảng ước lượng cho phương sai DX. Giải. Ta có và . Tra bảng tìm được t 1 = = 16,8 và t 2 = = 47. Từ đó . Khoảng ước lượng của phương sai 2 trong mẫu từ phân phối chuẩn N(a; 2 ). Từ kết quả có phân phối 2 với n - 1 bậc tự do ta tìm khoảng ước lượng của 2 bằng cách sau: Tìm t 1 , t 2 sao cho. £ <t 2 ] = 1 - . Ta có thể viết biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên dưới dạng Chọn t 1 , t 2 sao cho P[ 2 > t 1 ] = 1 - và P[ 2 > t 2 ] = . Khoảng ước lượng của 2 với độ. b. Khoảng ước lượng của kỳ vọng a trong mẫu từ phân phối chuẩn N(a; 2 ). Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn N(a; 2 ).  Trường hợp đã biết Xét xác suất