Phương pháp hợp lý cực đại - Bài toán ước lượng khoảng 1. Phương pháp hợp lí cực đại Định nghĩa 1.1. Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối f(x, ), Î U. Hàm L(X/ ) = f(X 1 , )f(X 2 , ) … f(X n , ) được gọi là hàm hợp lí. Định nghĩa 1.2. Thống kê được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của nếu L(X/ (X) L(X/ ) với mọi . *(X) = được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của hàm tham số t( ). Ø Trường hợp một tham số. Để tìm ước lượng hợp lí cực đại, ta có thể sử dụng phương pháp tìm cực đại hàm L(X/ ) mà chúng ta đã từng quen biết. Ta biết rằng để cho hàm L(X/ ) có cực trị địa phương tại = điều kiện cần là . Giải phương trình này, tìm các nghiệm của nó sau đó ta xét dấu của đạo hàm hạng nhất hay hạng hai để tìm cực đại hàm L(X/ ). Ví dụ 1.3. Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối Poisson với tham số > 0. Tìm ước lượng hợp lí cực đại của . Giải. Phân phối của X i là P[X i = x i ] = ; x i = 0, 1, 2,… Hàm hợp lý => lnL(X, ) = (ln ) - n - ln => Vậy nếu => Ta lại có " . Vậy tại thì tức là hàm L(X, ) đạt cực đại. Từ đó suy ra là ước lượng hợp lý cực đại của . Ø Trường hợp tham số là một vectơ = ( 1 ,…, r ) Làm tương tự như trường hợp 1 tham số. Ta giải hệ phương trình (*) Giải hệ này ta tìm được Đặt . Nếu ma trận là xác định không âm thì tại = 0 hàm hợp lí L(X, ) đạt cực đại. Ví dụ 1.4. Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối chuẩn N(a; 2 ). Tìm ước lượng hợp lí cực đại của (a; 2 ). Giải. Ta có => Lnf(X i , a, 2 ) = => và Thay vào hệ (*) ta có => là ước lượng hợp lí cực đại của (a; 2 ). 2. Ước lượng khoảng Định nghĩa 2.1. Khoảng ( 1 (X), 2 (X)) được gọi là khoảng ước lượng của tham số với độ tin cậy 1 - nếu P[ 1 (X) < < 2 (X)] = 1- . Khoảng ( 1 (X), 2 (X)) được gọi là khoảng tin cậy. Giá trị 1- gọi là độ tin cậy. Hiệu 1 - 2 gọi là độ chính xác của ước lượng. Chú ý: Thông thường người ta chọn ( 1 , 2 ) sao cho là nhỏ nhất. a. Khoảng ước lượng của xác suất p trong phân phối nhị thức Giả sử k là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Bernoulli. Giả thiết xác suất biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử là p. Xét xác suất; . với 1 - là độ tin cậy cho trước. Biến đổi ở vế trái của đẳng thức trên ta có Đặt x = và thay ở biểu thức dưới căn bậc hai p bằng thì (1) Mặt khác, theo Định lí Laplace ta có Trong đó Suy ra Từ đó ta có . Vậy nếu cho ta tính được và tra bảng phân phối chuẩn N(0;1) ta tìm được x . Từ (1) ta có . Biến đổi suy ra khoảng ước lượng cho p là Ví dụ 2.2. Trong đợt vận động bầu cử, phỏng vấn 1600 cử tri được biết 960 người trong số đó sẽ bỏ phiếu cho ứng cử viên A. Với độ tin cậy 95% , tối thiểu ứng cử viên A sẽ chiếm được bao nhiêu phần trăm phiếu. Giải. Ta có = và x =1,96. Thay vào công thức trên ta có . Phương pháp hợp lý cực đại - Bài toán ước lượng khoảng 1. Phương pháp hợp lí cực đại Định nghĩa 1. 1. Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên độc. => là ước lượng hợp lí cực đại của (a; 2 ). 2. Ước lượng khoảng Định nghĩa 2 .1. Khoảng ( 1 (X), 2 (X)) được gọi là khoảng ước lượng của tham số với độ tin cậy 1 - nếu P[ 1 (X) <. f(X 1 , )f(X 2 , ) … f(X n , ) được gọi là hàm hợp lí. Định nghĩa 1. 2. Thống kê được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của nếu L(X/ (X) L(X/ ) với mọi . *(X) = được gọi là ước lượng hợp lí cực