Ch ươ ng 3. HÀM NHI Ề U BI Ế N  1.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x 1 , x 2 ,… x n ) (xi  R, i = 1, n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là R n . R n = {x = (x 1 , x 2 ,… x n ): x i  R, i = 1, n} Trong đó x i là toạ độ thứ i của điểm x. Khoảng cách 2 điểm: x = (x 1 ,x 2 ,… x n ), y = (y 1 ,y 2 ,… y n )  R n : Một số tính chất của d: a) d(x,y)  0; d(x,y) = 0  x i = y i , I  x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y)  d(x,z) + d (z,y) Lân cận: Cho x 0 R n và số r > 0. Tập S(x 0 , r) = {x  R n : d(x,x 0 ) < r} được gọi là một lân cận của x 0 . Điểm trong: Điểm x 0 R n được gọi là điểm trong của D  R n nếu D chứa một lân cận của x 0    n i ii yxyxd 1 2 )(),( Điểm biên: Điểm x 0  R n được gọi là điểm biên của D  R n nếu mọi lân cận của x 0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x  D, y  D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D. Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D. Hàm 2 biến: D  R 2 , một ánh xạ f: D  R, được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: • D: miền xác định • f(D) = {zD: z = f(x,y), (x,y)  D} gọi là miền giá trị Ví dụ: Tìm miền xác định: z = 2x – 3y +5 z = ln(x + y -1) Hàm n biến: D  R n , một ánh xạ f: D  R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu:  2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M 0 (x 0 ,y 0 ), có thể không xác định tại M0. Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M 0 (x 0 ,y 0 ), nếu:  > 0,  > 0: d(M,M 0 ) <  => f(M) – L <  22 1 yxz  ), ,(), ,(: 2121 nn xxxfzxxxf  2 0 2 00 )y-(y)x-(x)Md(M,  • Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. Ví dụ: Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x 0 ,y 0 ) nếu Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D  R 2 thì: • Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M • f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3)  3. ĐẠO HÀM RIÊNG LMf MM   )(lim 0 Lyxf yxyx   ),(lim ),(),( 00 Lyxf yy xx    ),(lim 0 0 22 22 )0,0(),( )sin( lim yx yx yx    22 )0,0(),( lim yx xy yx   ),(),(lim 00 ),(),( 00 yxfyxf yxyx   Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x 0 ,y 0 )  D. Nếu cho y = y 0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y 0 ) có đạo hàm tại x = x 0 , được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M 0 . Ký hiệu: Đặt xf = f(x 0 + x, y 0 )-f(x 0 ,y 0 ): Số gia riêng của f tại M 0 . Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y. Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n3). Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: ),( z ),,( f ,),( 000000 ' yx x yx x yxf x     x f x x     0 ' x limf y f y y     0 ' y limf 4234 25 yyxxz  y xu  Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2. Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,… Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M 0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M 0 thì fxy = fyx tại M 0 . Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n3) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng u x , u y , v x , v y thì tồn tại các đạo hàm riêng: Ví dụ: Tính z = e u cosv, u = xy, v = x/y 4. ĐẠO HÀM HÀM ẨN ),( '' 2 2 yxf x f x f x xx               ),( '' 2 yxf xy f x f y yx               ),( '' 2 yxf yx f y f x xy                 ),( '' 2 yxf yy f y f y yy                 x v v f x u u f x z             y v v f y u u f y z             . z = ln(x + y -1) Hàm n biến: D  R n , một ánh xạ f: D  R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu:  2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại.  y xu  Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng. đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n3) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng u x ,