Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Phương Pháp Tính - Chương III + IV
Chương 3GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆTI.Tìm nghiệm thực của một phương trình.a. Nghiệm thực của phương trình một ẩn – Ý nghĩa hình học.f(x) = 0; ( 1 )f – hàm cho trước của đối số xα - nghiệm thực của ( 1 )f(α) = 0; ( 2 )- Vẽ đồ thị y = f(x) Hoành độ điểm M nghiệm α.OyxαMf(x)OyxMαg(x)h(x)~ g(x) = h(x)đồ thị y1 = g(x) và y2 = h(x)- hoặc (1) b. Sự tồn tại của nghiệm thực.Định lý. Nếu có hai số thực a, b (a < b) sao cho f(a) và f(b) trái dấu, tức làf(a).f(b) < 0 ( 3 )đồng thời f(x) liên tục trên [a, b] thì trong khoảng [a, b] ít nhất cómột nghiệm thực của phương trình f(x) = 0.OyxABabc. Khoảng phân ly nghiệm (tách nghiệm)Định nghĩa. Khoảng [a, b] nào đó gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0 nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó.Muốn thế:trong [a, b] :- hàm f(x) đơn điệuOyxABabf’(x) không đổi dấu II. Các phương pháp xác định gần đúng nghiệm thực của một phương trình.1. Phương pháp đồ thị2. Phương pháp thử.Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình: f(x) = xlogx – 1,2 = 0;xf(x)1 2 3 4- 1,2 - 0,5980 0,2313 1,2084- [2, 3] - khoảng phân ly nghiệm;- tiếp tục chia nhỏ khoảng [a, b];- Tính thử giá trị ở các nút; khoảng chứa nghiệm mới;- Lặp lại các bước trên cho đến khi đạt độ chính xác cần thiết.Định lý. Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng [a, b], đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. 3. Phương pháp chia đôi. Cho phương trình f(x) = 0;- Giả sử [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình.- Chia đôi khoảng [a, b];2bac+=- Tính f(c)f(c) = 0 c = α (nghiệm);f(c) ≠ 0 Xét dấu f(c).f(a) và f(c).f(b);Khoảng phân ly nghiệm mới [a1, b1];);(2111abab −=−- Tiếp tục quá trình chia đôi[a2, b2]);(21)(2121122ababab −=−=−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .);(21ababnnn−=−Với an ≤ α ≤ bn. - Lấy an hoặc bn làm giá trị gần đúng của nghiệm;- Sai số:;2nnnnababa−=−≤−α( 4 );2nnnnababb−=−≤−α( 5 )Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình f(x) = x4 + 2x3 –x – 1 = 0;f(0) = -1; f(1) = 1[ ];1,0∈αf(0,5) = -1,9 [ ];1,5,0∈αf(0,75) = -0,59 [ ];1,75,0∈αf(0,875) = +0,05 [ ];875,0,75,0∈αf(0,8125) = -0,304 [ ];875,0,8125,0∈αf(0,8438) = -0,135 [ ];875,0,8348,0∈αf(0,8594) = -0,043 [ ];875,0,8594,0∈αLấy[ ];867,02875,08594,0=+≈αSai số mắc phải:;21222)1(12677==−−=−≤−nnabaα Các bước tính:Cho phương trình f(x) = 0;- Ấn định sai số cho phép;- Xác định khoảng phân ly nghiệm (p2 đồ thị, p2 thử . . .);- Giải theo sơ đồ: c = (a+b)/2; f(c)f(c).f(a)<0Thay b = cThay a = ce = b - ae < εα ≈ a; α – a < εα ≈ b; α – b < εđsđsNhận xét: - Thuật toán đơn giản; - Hội tụ chậm. 4. Phương pháp lặp.Cho phương trình f(x) = 0 có nghiệm thực trong khoảng [a, b];- Viết lại x + f(x) – x = 0; Đặt φ(x) = x + f(x);x = φ(x);- Sơ bộ chọn giá trị gần đúng đầu tiên của nghiệm: [ ];,baxo∈( 6 )( 6 ): x1 = φ(xo);x2 = φ(x1);. . . . . . . . .xn = φ(xn-1); n = 1, 2, . . . ( 7 )- Hàm φ(x) gọi là hàm lặp.- Giả sử khi n ; xn nghiệm α của ph/trình (1)∞phương pháp lặp hội tụ, có thể coi xn là nghiệm gần đúng của ( 1 ).-Quá trình tính cũng có thể phân kỳ, xn ngày càng đi xa khỏi nghiệm.Sự hội tụ của quá trình tính. xx2x1x3x0αy=φ(x)y=xOyy=xy=φ(x)Oyxx1x2xox3αĐịnh lý về sự hội tụ. Giả sử:- [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình f(x) = 0;- Mọi xn tính theo ( 7 ) đều [ ];,ba∈- Hàm φ(x) có đạo hàm hạng nhất thoả mãn điều kiện:q - hằng số;- Phương pháp lặp ( 6) hội tụ với mọi x[ ];,ba∈;)(nnqabx −≤−α xn α khi n ∞;,1)(' bxaqx <<<≤ϕ ( 8 )( 9 ) Sai số của phép tính:Có thể dùng ( 9 ) nhưng công thức này thường cho sai số quá lớn so với thực tế ước lượng sai số theo công thức:;;)('min bxaxfm <<=;(mxfxnn≤−α( 10 )Chú ý:[ ];,ba∈- Nếu φ’(x) > 0; Có thể chọn xo bất kỳ- Nếu φ’(x) < 0: xét dấu +2).(bafafCác bước tính.- Tìm khoảng phân ly nghiệm [a, b].- f(x) =0 x = φ(x) đảm bảo điều kiện hội tụ:φ’(x) < 1 ; a ≤ x ≤ b;2baaaxo+<<=αkhi;2bbabxo<<+=αkhi Để đảm bảo điều kiện hội tụ, có thể làm như sau:Đặt );()( xfxxλϕ−=Chọn λ từ điều kiện:;0)('1)(' =−= xfxλϕ( < 1 );)('1oxf=λ- Lập bảng tính các giá trị của x và φ(x) theo ( 7 ).- Trong thực tế, thường dừng q/trình tính khi: xn – xn-1 < sai số cho phép ε-Kết quả xn ≈ α với sai số tính theo (10). [...]... ;2210,001154,01056,0 ;1553,00485,001068,0 ;147,0098,0049,00 3 1 3 3 1 2 3 1 1 =++ = =++ = =++ = ∑ ∑ ∑ = = = j j j j j j b b b r 0 = max (0,147; 0,1553; 0,2207) = 0,2210 < 1 phương pháp lặp hội tụ với mọi đầu x (0) bất kỳ. - Chọn x (0) = ( 0, 0, 0 ) T - Kiểm tra điều kiện hội tụ - Tính lặp theo ( b ), kết quả cho trong bảng sau: Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Zayden: Đưa về dạng x = Bx + g: ;141022 ;13102 ;1210 321 321 321 =++ =++ =++ xxx xxx xxx ;4,12,02,0 ;3,11,02,0 ;2,11,01,0 213 312 321 + −= + −= + −= xxx xxx xxx Trong... Xét hệ phương trình ;20408,004,0 ;915,0309,0 ;808,024,04 321 321 321 =+ = + = + xxx xxx xxx ( a ) Tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác ε = 1.10 -3 bằng phương pháp lặp đơn. Giải. - Đưa ( a ) về dạng x = Bx + g ;502,001,0 ;305,003,0 ;202,006,0 213 312 321 ++ −= ++ −= ++ −= xxx xxx xxx 0 - 0,06 0,02 B = - 0,03 0 0,05 - 0,01 0,02 0 ; 2 g = 3 5 - Kiểm tra điều kiện hội tụ ( 31 ) Các bước tính: 1/... trình có n ẩn số: a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . +a 1n x n = f 1 ; a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . +a 2n x n = f 2 ; a n1 x 1 + a n2 x 2 + . . . +a nn x n = f n ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 20 ) 3. Phương pháp chia đơi. Cho phương trình f(x) = 0; - Giả sử [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình. - Chia đơi khoảng [a, b] ; 2 ba c + = - Tính f(c) f(c) = 0 c = α (nghiệm); f(c)... g: ;141022 ;13102 ;1210 321 321 321 =++ =++ =++ xxx xxx xxx ;4,12,02,0 ;3,11,02,0 ;2,11,01,0 213 312 321 + −= + −= + −= xxx xxx xxx Trong đó B = 0 -0 ,1 -0 ,1 -0 ,2 0 -0 ,1 -0 ,2 -0 ,2 0 g = 1,2 1,3 1,4 Kiểm tra điều kiện hội tụ ;4,002,02,0 ;3,01,002,0 ;2,01,01,00 3 1 3 3 1 2 3 1 1 =++ = =++ = =++ = ∑ ∑ ∑ = = = j j j j j j b b b Sơ đồ tóm tắt các bước giải: 1/ Cho phương trình f(x) = 0; 2/ Ấn định sai số cho phép ε; 3/ Tìm khoảng phân... hệ phương trình phi tuyến. 1. Phương pháp Niutơn. a. Hệ hai phương trình: f(x, y) = 0; g(x, y) = 0; ( 34 ) ( 35 ) Đặt bài toán: - Cho các hàm liên tục f(x, y) và g(x, y); - Tìm các giá trị x = x* và y = y* sao cho f(x*, y*) = 0; và g(x*, y*) = 0. Cơ sở của phương pháp: Khai triển các hàm f(x, y) và g(x, y) theo chuỗi Taylo hai biến: x*, y* - nghiệm của hệ phương trình. 0 2 ).( < +. .. 4. Phương pháp lặp. Cho phương trình f(x) = 0 có nghiệm thực trong khoảng [a, b]; - Viết lại x + f(x) – x = 0; Đặt φ(x) = x + f(x); x = φ(x); - Sơ bộ chọn giá trị gần đúng đầu tiên của nghiệm: [ ] ;,bax o ∈ ( 6 ) ( 6 ): x 1 = φ(x o ); x 2 = φ(x 1 ); . . . . . . . . . x n = φ(x n-1 ); n = 1, 2, . . . ( 7 ) - Hàm φ(x) gọi là hàm lặp. - Giả sử khi n ; x n nghiệm α của ph/trình (1) ∞ phương pháp. .. = ∆ ∆ = ( 24 ) Nhận xét: - Công thức đẹp, gọn; - Khi n lớn phải thực hiện một số lượng rất lớn các phép tính. N C (n) - số lượng phép tính cần làm khi hệ có n ph/trình. N C (n) = (n+1)!n Với n = 15: N C (15) = 3.10 14 . - Δ = 0 ma trận A suy biến hệ ( 20 ) suy biến. Chương 4 TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. Nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính. I. Khái niệm chung. Xét hệ n phương trình có n... phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn: ;398,104,112,011,0 ;849,005,003,111,0 ;795,01,005,002,1 321 321 321 =+ − = + =−− xxx xxx xxx ;344,11154,01056,0 ;8243,00485,01068,0 ;779,0098,0049,0 213 312 321 ++ = ++ = ++ = xxx xxx xxx Giải. - Chọn sai số cho phép ε = 0,5.10 -3 . - Đưa hệ về dạng x = Bx + g; 0 0,049 0,098 0,1068 0 0,0485 0,1056 0,1154 0 B = ; 0,749 0,8243 1,344 g = ( a ) ( b ) ... -0 ,59 [ ] ;1,75,0 ∈ α f(0,875) = +0 ,05 [ ] ;875,0,75,0 ∈ α f(0,8125) = -0 ,304 [ ] ;875,0,8125,0 ∈ α f(0,8438) = -0 ,135 [ ] ;875,0,8348,0 ∈ α f(0,8594) = -0 ,043 [ ] ;875,0,8594,0 ∈ α Lấy [ ] ;867,0 2 875,08594,0 = + ≈ α Sai số mắc phải: ; 2 1 2 2 2 )1(1 2 677 == −− = − ≤− n n ab a α Q trình tính: - Chọn sơ bộ x (i) , y (i). - Thay vào ( 39 ) Δx, Δy ; - - Lặp lại cho đến khi một hoặc cả hai... đúng của ( 1 ). - Quá trình tính cũng có thể phân kỳ, x n ngày càng đi xa khỏi nghiệm. Sự hội tụ của q trình tính. - Lấy a n hoặc b n làm giá trị gần đúng của nghiệm; - Sai số: ; 2 n nnn ab aba − =−≤− α ( 4 ) ; 2 n nnn ab abb − =−≤− α ( 5 ) Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình f(x) = x 4 + 2x 3 –x – 1 = 0; f(0) = -1 ; f(1) = 1 [ ] ;1,0∈ α f(0,5) = -1 ,9 [ ] ;1,5,0 ∈ α f(0,75) = -0 ,59 [ ] ;1,75,0 ∈ α f(0,875) . xo:);()!1()()(!)()("!2)()(')()()()1(1)(2cFnxxxFnxxxFxxxFxxxFxFnnoonnoooooo ++ + + ++ ⋅⋅ + + += ;10);( << += θθooxxxc- Giả sử f(x) =0 :- Có nghiệm thực α phân ly trong [a, b] ;- Có đạo hàm f’(x) ≠ 0 tại x [a, b]; - Có. trình.1. Phương pháp đồ thị2. Phương pháp thử.Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình: f(x) = xlogx – 1,2 = 0;xf(x)1 2 3 4- 1,2 - 0,5980 0,2313 1,208 4- [2, 3] -
![Từ nhận xét trên hình vẽ, thử với khoảng [φa,φb] = [30o, 40o] Kiểm tra điều kiện phân ly nghiệm: - Bài giảng Phương Pháp Tính - Chương III + IV](https://media.store123doc.com/figures/000/941/xet-hinh-thu-khoang-kiem-kien-phan-nghiem-941712.png)
