Đang tải... (xem toàn văn)
Một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán ở trường THPT trình bày về các kiến thức chuẩn bị, một số bài toán giải bằng phương pháp tọa độ, như: các bài toán tính toán, các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, các bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình, các bài toán chứng minh bất đẳng thức...và một so61 bài toán vận dụng.
TRƯờng đại học hùng vơng Khoa khoa học tự nhiên Một số ứng dụng của phơng pháp toạ độ trong việc giảI toán ở trờng thpt Ngời hớng dẫn: Ths. Nguyn Chớ Thanh Ngời thực hiện : Nguyn Phng Tho Lớp K 4 ĐHSP Toán Phú Thọ, Tháng 06 năm 2009 2 2 MC LC Li núi ủu. .3 Mc lc 4 Chng I: Các kiến thức chuẩn bị 6 Chơng II: Mt s lp bi toán gii bng phng phỏp to ủ 2.1. Các bài toán tính toán 15 2.2. Các bài toán giải phơng trình, hệ phơng trình 18 2.3. Các bài toán giải bất phơng trình, hệ bất phơng trình 20 2.4. Các bài toán chứng minh bất đẳng thức 22 2.5. Các bài toán tìm cực trị 23 2.6. Các bài toán tìm quỹ tích 26 2.7. Các bài toán dựng hình 28 Chng III: Mt s bi toỏn vn dng 30 Kt lun 51 Ti liu tham kho.52 3 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn ñề tài Hình học giải tích là môn học cơ bản của chương trình toán phổ thông cũng như ở ñại học, nó là cơ sở ñể học tốt các môn toán khác. Chính vì vậy, việc hiểu và nắm vững môn học này là rất cần thiết. Hình học giải tích ñược sáng lập ra ñồng thời do hai nhà bác học người Pháp là Descartes(1596- 16500 và Ferma(1601-1655). Đặc trưng của môn học này là dùng phương pháp tọa ñộ ñể giải các bài toán hình học. Phổ biến ở nước ta từ những năm 90 của thế kỉ XX, phương pháp tọa ñộ ñã chứng tỏ ưu ñiểm của mình. Phương pháp này không chỉ dùng ñể giải các bài toán hình trong mặt phẳng hay trong không gian 3 chiều mà còn giải ñược các bài toán trong không gian n chiều với hình dạng phức tạp mà việc vẽ hình ñể giải toán là ñiều không thể. Gần ñây, trong nhiều kì thi tuyển sinh ñại học, thi học sinh giỏi hay trên các tạp chí toán học có nhiều bài toán không liên quan tới hình học nhưng ñược giải bằng phương pháp tọa ñộ. Đó là các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. Hoặc ñó là các bài toán chứng minh bất ñẳng thức hay tìm cực trị. Điều ñó ñã gợi cho chúng tôi ñề xuất ñề tài: “Một số ứng dụng của phương pháp tọa ñộ trong việc giải toán ở trường THPT”. Qua việc nghiên cứu nội dung này, chúng tôi ñã có ñiều kiện củng cố lại kiến thức ñã học, bổ sung thêm nhiều ñiều bổ ích. 4 4 O i j x x y y M(x, y) Chương 1 : C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ 1. Các khái niệm cơ bản. 1.1. Khái niệm hệ trục tọa ñộ trong mặt phẳng Hệ tọa ñộ afin (O; i , j ) có cơ sở ( , i j ) gồm hai vectơ ñơn vị vuông góc với nhau ñược gọi là hệ tọa ñộ trực chuẩn ( hay còn gọi là hệ tọa ñộ Descartes vuông gãc). KÝ hiÖu: Oxy (hình 1.1). 1.2. Tọa ñộ vectơ- Tọa ñộ ñiểm Đối với hệ trục tọa ñộ (O; i , j ), nếu vectơ a ñược Hình 1.1 viết dưới dạng: a = xi y j + thì cặp số (x, y) ñược gọi là tọa ñộ của vectơ a . Kí hiệu: a =(x, y). Trong mặt phẳng Oxy, tọa ñộ của vectơ OM ñược gọi là tọa ñộ của ñiểm M. Kí hiệu: M(x, y) ⇔ OM xi y j = + . 1.3. Phép tính vectơ: Trong mặt phẳng cho các véctơ: 1 2 ( , ) a a a = ; 1 2 ( , ) b b b = vµ c¸c ®iÓm A(x A , y A ); B(x B , y B ) Ta có: • a = b ⇔ 1 1 2 2 a b a b = = • a + b = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 ) • ( ) 1 1 2 2 , a b a b a b − = − − • k 1 2 ( , ) a ka ka = • a = 2 2 1 2 a a + • AB= ( ) ( ) 2 2 y y x x B A B A − + − • 1 2 2 1 a b a b a b ⇔ = . • 1 1 2 2 0 a b a b a b ⊥ ⇔ + = . 5 5 • Nếu a , b khác 0 thì: cos( , a b ) = 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . ab a b a a b b + + + . 1.4. Các công thức liên quan §iÓm M( , x y M M )chia ñoạn AB theo tỉ số k ≠ -1 ⇔ MA kMB = ⇔ 1 1 x kx B A x M k y ky B A y M k − = − − = − §iÓm I (x 1 , y 1 ) là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB 1 2 1 2 x x B A x y y B A y + = ⇔ + = §iÓm M là trọng tâm cña ∆ ABC ⇔ 3 3 x x x B A C x M y y y B A C y M + + = + + = Phương trình ñường thẳng: Ax + By+ C =0 (1), A 2 + B 2 ≠ 0. §ường thẳng cho bởi (1) có vect¬ ph¸p tuyÕn n = ( A, B); vect¬ chØ ph−¬ng u (-B, A). Đường thẳng ñi qua ñiểm M ( 0 0 , x y ) và có vect ơ pháp tuyến n =( A, B) có phương trình là: A(x- x 0 ) + B( y- y 0 ) =0. Phương trình tham số của ñ−êng thẳng ñi qua ñiểm M ( 0 0 , x y ) và có vect¬ chØ ph−¬ng u ( a, b) là: 0 0 x x at y y bt = + = + Phương trình chính tắc của ñường thẳng ñi qua ñiểm M ( 0 0 , x y ) và cã vectơ chỉ phương u ( a, b) là: 0 0 x x y y a b − − = . Phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M ( 0 0 , x y ) và có hệ số góc k cho tr ước: y = k(x- x 0 ) + y 0 . 6 6 a a' n n' O x y z M i k j M' Phng trỡnh ủng thng ủi qua A( a, 0) v B(0, b) cú phng trỡnh: 1 x y a b + = . (còn gọi là phơng trình đoạn chắn) Cho chựm ủ ng th ng xỏc ủ nh b i hai ủ ng th ng cắt nhau: (d 1 ): 1 1 1 0 Ax B y C + + = v ủng thng (d 2 ): 2 2 2 0 A x B y C + + = . Khi ủú mi ủng thng ca chựm cú phng trỡnh dạng: ( ) 1 1 1 2 2 2 ( ) 0 Ax B y C A x B y C + + + + + = vi 2 2 0 + . Khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng Trong hệ toạ độ trực chuẩn cho đờng thẳng (d 1 ) có phơng trình: Ax + By +C = 0 và một điểm M( 0 0 , x y ). Khoảng cách từ M đến đờng thẳng (d 1 ) đợc tính theo công thức: d(M, d 1 )= 0 0 2 2 Ax By C A B + + + . Góc giữa hai đờng thẳng Trong hệ toạ độ trực chuẩn cho đờng thẳng (a) có phơng trình: Ax + By +C = 0 và (a) có phơng trình: Ax + By +C = 0. Khi đó: góc giữa hai đờng thẳng (a) và (a) đợc tính theo công thức: cos = 2 2 2 2 ' ' . ' ' AA BB A B A B + + + . Hỡnh 1.2 Nh vậy: 2 đờng thẳng (a) và (a) vuông góc với nhau ' ' 0 AA BB + = . Đờng tròn có tâm I( a, b); bán kính R > 0 có phơng trình là: (x- a) 2 + (y- b) 2 = R 2 . 1.5. Khỏi nim h trc ta ủ trong khụng gian Cho 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz ủụi mt vuụng gúc với nhau và chung một điểm gốc O. Gọi i , j , k là các vectơ đơn vị tơng ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ 3 trục nh vậy gọi là hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay (O; , , i j k ). 1.6. Ta ủ vect - Ta ủ ủim Hỡnh 1 .3 7 7 + Đối với hệ trục tọa ñộ (O; i , , j k ),nếu vectơ a ñược viết dưới dạng: a = xi y j zk + + thì cặp số (x, y, z) ñược gọi là tọa ñộ của vectơ a , kí hiệu: a =(x, y, z). + Trong không gian Oxyz, tọa ñộ của vectơ OM ñược gọi là tọa ñộ của ñiểm M. Kí hiệu: M(x, y, z) ⇔ OM xi y j zk = + + . 1.7. Phép tính vectơ: Trong không gian cho các véctơ: 1 2 3 ( , , ) a a a a = ; 1 2 3 ( , , ) b b b b = và các ñiểm 1 M ( 1 1 1 , , x y z ); 2 M ( 2 2 2 , , x y z ). Ta có: a + b = ( 1 1 2 2 3 3 , , a b a b a b + + + ). ( ) 1 1 2 2 3 3 , , a b a b a b a b − = − − − . k 1 2 3 ( , , a ) a ka ka k = . ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 , , M M x x y y z z = − − − . Khoảng cách d giữa hai ñiểm ( ) 1 1 1 1 , , M x y z và ( ) 2 2 2 2 , , M x y z là ñộ dài của vectơ 1 2 M M , ñược xác ñịnh bởi: d = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z − + − + − . Điểm M(x, y, z) chia ñoạn thẳng M 1 M 2 theo tỉ số k: 1 2 MM kMM = ñược xác ñịnh bởi công thức: 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x kx x k y ky y k z kz z k − = − − = − − = − • Đặc biệt: Nếu k= -1 thì M là trung ñiểm của ñoạn thẳng M 1 M 2 . Khi ñó tọa ñộ của ñiểm M là: ( , , ) 2 2 2 x x y y z z B B B A A A M + + + . 8 8 A B C D A B C A B C D A' B' C' D' Nếu ( ) 1 1 1 , , u x y z = ; ( ) 2 2 2 , , v x y z = thì: 1 2 1 2 1 2 . u v x x y y z z = + + . Đặc biệt: u v . 0 u v = . Nếu 0 u , v 0 thì: cos( , u v ) = . . u v u v = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . x x y y z z x y z x y z + + + + + + . Tớch vevt (hay tớch cú h ng) c a hai vect ( ) 1 1 1 , , u x y z v ( ) 2 2 2 , , v x y z kớ hi u l , u v l m t vect xỏc ủ nh b i: , uv = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , , y z z x x y y z z x x y . Cỏc tớnh ch t: u v v c ng tuy n , 0 u v = . , u u v v , v u v , . .sin u v u v = trong ủ ú l gúc gi a hai vect u v v . , , u v v u = , , , ku v u kv k u v = = k R. , , , u v t u v u t + = + Điều kiện cần và đủ để 3 vectơ u , v , t đồng phẳng là: , 0 u v t = . 1.8. Các công thức liên quan. Diện tích của tam giác có các đỉnh A(x 1 , y 1 , z 1 ), B(x 2 , y 2 , z 2 ), C(x 3 , y 3 , z 3 ) đợc cho bởi công thức: 1 , 2 S AB AC ABC = . hay: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 y y z z z z x x x x y y S ABC y y z z z z x x x x y y = + + Thể tích hình hộp dựng trên 3 vectơ AB , AD , ' AA là: V hộp = ; . ' AB AD AA . 9 9 Thể tích hình tứ diện ABCD là: V tứ diện = 1 ; . 6 AB AC AD . Điểm G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi: G = ( , , ) 3 3 3 x x x y y y z z z B B B A C A C A C + + + + + + . Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi: G = ( , , ) 4 4 4 x x x x y y y y z z z z B D B D B D A C A C A C + + + + + + + + + . Vectơ 0 n nằm trên đờng thẳng vuông góc với mp(P) gọi là vectơ pháp tuyến của (P). Mặt phẳng (P) qua M( 0 0 0 , , x y z ) có vectơ pháp tuyến là ( , , ) n A B C có phơng trình là: A(x - x 0 )+ B(y - y 0 )+ C(z - z 0 )= 0. Phơng trình tổng quát của mp(P) là: Ax+By+Cz+D=0 với ( 2 2 2 0 A B C + + > ). Một số trờng hợp đặc biệt: mp: Ax + By + Cz = 0 qua O(0, 0, 0). mp: Ax + Cz+D = 0 song song với Oy. mp: Ax+ D = 0 song song với mp(yOz). mp: x= 0 là mp(yOz). ABC có , n AB AC = là vectơ pháp tuyến của mp(ABC). Phơng trình 1 x y z a b c + + = đợc gọi là phơng trình đoạn chắn của mặt phẳng qua A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) (a.b.c 0). Vị trí tơng đối của 2 mặt phẳng- Chùm mặt phẳng Cho 2 mặt phẳng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P): Ax+ By+ Cz+ D= 0. Khi đó: (P) (P) A:B:C:D=A:B:C:D (P) (P) : : ': ': ' : : : ': ': ': ' A B C A B C A B C D A B C D = (P) cắt (P) A:B:C A:B:C 10 10 M Mo d d' u u' Nếu (P) cắt (P) theo đờng thẳng ( ) thì mọi mặt phẳng qua ( ) có phơng trình: (Ax+ By+ Cz+D) + à (Ax+ By+ Cz+ D)=0, ( 2 2 0 à + ). Phơng trình của đờng thẳng: Cho 2 mặt phẳng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P): Ax+ By+ Cz+ D= 0, (P) (P)= ( ). Khi đó phơng trình tổng quát của ( ) là: Ax By Cz D 0 (1) Ax By Cz D 0 (2) + + + = + + + = mp(1) có vectơ pháp tuyến 1 ( , , ) n A B C = , mp(2) có vectơ pháp tuyến 2 ( ', ', ') n A B C = . Khi đó: 1 2 , u n n = là vectơ chỉ phơng của (). Đờng thẳng ( ) qua điểm M( 0 0 0 , , x y z ) có vectơ chỉ phơng ( , , ) u a b c có: + Phơng trình tham số là: 0 0 0 x x at y y bt z z ct = + = + = + + Phơng trình chính tắc là: 0 0 0 x x y y z z a b c = = (a.b.c 0). Vị trí tơng đối của các đờng thẳng Cho đờng thẳng (d) qua M 0 ( 0 0 0 , , x y z ) có vectơ chỉ phơng ( , , ) u a b c , đờng thẳng (d) qua M( 0 0 0 ' , ' , ' x y z ) có vectơ chỉ phơng ( ', ', ') u a b c . Khi đó: + d và d đồng phẳng 0 , ' 0 u u MM = . + d cắt d 0 , ' 0 : : ': ': ' u u MM a b c a b c = + d d a: b: c = a: b: c ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ' : ' : ' x x y y z z ( tức là , ' u u cùng phơng nhng không cùng phơng 0 0 ' M M ). + d d u ; ' u ; 0 0 ' M M cùng phơng. [...]... pháp toạ độ 2.1 Cỏc bi toỏn tớnh toỏn Phơng pháp giải: + Chọn hệ tọa độ thích hợp: - Trong mặt phẳng, chọn hệ tọa độ có 2 đờng thẳng vuông góc với nhau, gốc tọa độ l giao điểm của 2 đờng thẳng đó - Trong không gian, chọn hệ tọa độ có đỉnh v các trục Ox, Oy, Oz l tam diện vuông hoặc ta vẽ thêm một số đờng để đợc một tam diện vuông Gắn các trục Ox, Oy, Oz thích hợp + Biểu diễn các điểm đ cho qua hệ tọa. .. trỡnh Phơng pháp giải: + Sử dụng bất đẳng thức vectơ: u + v u + v dấu = xảy ra u = k.v (k >0), u v u v dấu = xảy ra u = k v (k > 0) + Sử dụng sự tơng giao của các đờng trong mặt phẳng: Trong mặt phẳng cho phơng trình các đờng y= f(x), y= ax+ b Khi đó: nghiệm của f(x) = ax+ b l ho nh độ giao điểm của 2 đờng y= f(x) v y= ax+ b B i 4 Giải phơng trình: x 2 + 2 x + 10 + x 2 6 x + 13 = 41 (1) Giải: Ta... < m < 3 3 2 < m; m< -2 3 2.3 Cỏc bi toỏn gi i b t phng trỡnh, h b t phng trỡnh Sử dụng bất đẳng thức vectơ: u.v u v ; u.v u v ; u v u v ; u+v+w u + v + w ; Sử dụng sự tơng giao của các đờng trong mặt phẳng B i 7 Giải bất phơng trình: x + 1 + 2 x 3 + 50 3x 12 19 x 20 Giải: 3 50 Tập xác định: x , 2 3 Trong khụng gian Oxyz chọn: u = ( x + 1 , 2 x 3 , 50 3x ) u= x + 1 + 2 x 3 + 50... a1 c '1 a1 ' 2 + a1 b1 2 a '1 b '1 Góc Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho 2 đờng thẳng (d) v (d) có vectơ chỉ phơng lần lợt l : u = ( p, q, r) v u ' =(p, q, r) Góc giữa 2 đờng thẳng (d) v (d) đợc tính theo công thức: cos((d), (d)) = pp '+ qq '+ rr ' p 2 + q 2 + r 2 p '2 + q '2 + r '2 Đặc biệt: (d) (d) pp + qq+ rr = 0 Góc giữa hai mặt phẳng: Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho: (P): Ax + By + Cz... M(x, m) thoả m n (2) thuộc phần trong hình tròn tâm O(0, 0) bán kính R= 2 (kể cả đờng viền) + Các điểm thoả m n hệ thuộc miền gạch trong hình vẽ 2.5, với toạ độ A, D A( 2, 2) xm =0 l nghiệm của hệ: 2 2 x + m = 4 D( 2, 2) B(0,2) x 2 + m = 0 Toạ độ của B, C l nghiệm của hệ: 2 2 x +m =4 C (2,0) 20 ... = 41 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn các vectơ có toạ độ: u = ( x + 1,3) u = ( x + 1)2 + 9 ; v = ( x + 3,2) v = ( x 3)2 + 4 u + v = ( x + 1)2 + 9 + ( x 3)2 + 4 Mặt khác: u + v = ( x + 1 + 3 x,3 + 2) = (4,5) u + v = 42 + 52 = 41 M : u + v u + v nên: x 2 + 2 x + 10 + x 2 6 x + 13 41 Dấu = xảy ra u = kv với k > 0 nên : x +1 3 = 2 x + 2 = 9 3x 3 x 2 7 5x = 7 x = 5 7 Vậy nghiệm của phơng... tiếp xúc ngo i 2 nhau + Trờng hợp 2: (C) v (C) tiếp xúc trong: Tức l : I1I2 = R1 R2 hay: 2 1 1 5 5 2 2 2 2 2 m 2 + 3 = 2 m + 1 m m + 4 + 9 = m + 1 5(m + 1) + 4 m=2 2m + 7m 22 = 0 m = 11 2 2 Vậy có hai giá trị của m để hệ đ cho có nghiệm duy nhất 18 19 B i 6 Biện luận số nghiệm của phơng trình sau theo m: 4 x 2 = mx + 2 m Giải: y Ta xét đờng cong y= 4 x 2 (1) ( x 2,2 ) v ... điểm đ cho qua hệ tọa độ vừa chọn Tìm phơng trình các đờng, mặt đ cho + Sử dụng các kiến thức hình học giải tích, phơng trình đờng, mặt, các công thức tính khoảng cách, diện tích, góc, thể tích để l m sáng tỏ yêu cầu b i toán B i 1 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có 3 kích thớc l a, b, c H y tính khoảng cách giữa hai đờng chộo nhau BD v CD theo các kích thớc a, b, c Gi i: Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho các... Tìm m để hệ có nghiệm 2 Tìm m để hệ có đúng một nghiệm x= m C 2 x x+ m- 2= 0 A -2 3 Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt Giải: D Hỡnh 2.5 ( x m)( x 2 + m) 0 (1) (I) x 2 + m2 4 (2) Xét hệ toạ độ Oxm, ta có: + Các điểm M(x, m) thoả m n (1) thuộc phần mặt phẳng giới hạn bởi 2 đờng thẳng x- m = 0 v x- 2+ m= 0 + Các điểm M(x, m) thoả m n (2) thuộc phần trong hình tròn tâm O(0, 0) bán kính R= 2 (kể... mặt phẳng Trong không gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0, ( A2 + B 2 + C 2 0 ) x = x0 + at v đờng thẳng (d) có phơng trình: y = y0 + bt , ( a 2 + b 2 + c 2 0 ) z = z0 + ct 12 13 Khi đó: góc giữa (d) v (P) đợc tính theo công thức: sin = Aa + Bb + Cc A + B +C a +b +c 2 2 2 2 2 2 , 0 900 Đặc biệt: (d) (P) hoặc (d) (P) khi v chỉ khi: Aa+ Bb+ Cc = 0 13 14 Chng 2: Một số lớp bài toán giảI bằng . các bài toán chứng minh bất ñẳng thức hay tìm cực trị. Điều ñó ñã gợi cho chúng tôi ñề xuất ñề tài: Một số ứng dụng của phương pháp tọa ñộ trong việc giải toán ở trường THPT . Qua việc nghiên. TRƯờng đại học hùng vơng Khoa khoa học tự nhiên Một số ứng dụng của phơng pháp toạ độ trong việc giảI toán ở trờng thpt Ngời hớng dẫn: Ths học. Phổ biến ở nước ta từ những năm 90 của thế kỉ XX, phương pháp tọa ñộ ñã chứng tỏ ưu ñiểm của mình. Phương pháp này không chỉ dùng ñể giải các bài toán hình trong mặt phẳng hay trong không