Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10 Tài liệu lưu hành nội bộ 1 CHƯƠNG I. VECTƠ oOo  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Đoạn thẳng, đường thẳng và tia: Cho hai điểm A, B ta có một đoạn thẳng duy nhất, kí hiệu: AB hoặc BA. (Giới hạn hai đầu) Đường thẳng d (Khơng giới hạn - dài vơ tận) Tia Ax (Giới hạn một đầu) 2. Trọng tâm tam giác: Trọng tâm G của tam giác là giao điểm ba đường trung tuyến, và AMAG 3 2  . 3. Đường trung bình của tam giác: Đường trung bình trong tam giác song song và bằng 2 1 cạnh đáy. 4. Hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD. Ta có: AB // DC và AB = DC BC // AD và BC = AD AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường . Khi đó O gọi là tâm của hình bình hành.  Ghi chú: B A d x A M G c b a B C A N M B A C O D A B C Ti liu hng dn t hc mụn Hỡnh hc 10 Ti liu lu hnh ni b 2 Đ1. CC NH NGHA 1. Khỏi nim vect: Cho on thng AB. Nu ta chn im A lm im u, im B lm im cui thỡ on thng AB cú hng t A n B. Khi ú ta núi AB l mt on thng cú hng. nh ngha: Vect l mt on thng cú hng. Vect cú im u A, im cui B c kớ hiu l: AB Khi khụng cn ch rừ im u v im cui ca mt vect thỡ vect c kớ hiu l: a , b , x , y , gi l cỏc vect t do. T hai im phõn bit ta cú bao nhiờu vect? Nhn xột s khỏc nhau gia on thng v vect? 2. Vect cựng phng, vect cựng hng: ng thng i qua im u v im cui ca mt vect c gi l giỏ ca vect ú. nh ngha: Hai vect c gi l cựng phng nu giỏ ca chỳng song song hoc trựng nhau. Nhn xột: Nu hai vect cựng phng thỡ chỳng cú th cựng hng hoc ngc hng. Ba im phõn bit A, B, C thng hng khi v ch khi hai vect AB v AC cựng phng. Khng nh: "Nu ba im A, B, C thng hng thỡ hai vect AB v BC cựng hng" ỳng hay sai? vỡ sao? 3. Hai vect bng nhau: Mi vect cú mt di, ú l khong cỏch gia im u v im cui ca vect ú. di vect AB c kớ hiu l AB . Vy: BAABAB Vect cú di bng 1 gi l vect n v. Hóy nhn xột v hng v di ca hai vect AB v DC trong hỡnh v sau: Hai vect a v b c gi l bng nhau nu chỳng cú cựng hng v cựng di, kớ hiu ba . A B x a giaự cuỷa vectụ AB A B Hai vectụ cuứng phửụng, ngửụùc hửụựng Hai vectụ cuứng phửụng, cuứng hửụựng S R Q P F E D C B A D A B C Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Tài liệu lưu hành nội bộ 3  Hãy dựng vectơ OA bằng vectơ a  . * Chú ý: Khi cho trước vectơ a  và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho aOA   . 4. Vectơ - không:  Vectơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối đều là A (điểm đầu và điểm cuối trùng nhau), được kí hiệu là: AA và gọi là vectơ - không.  Vectơ - không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.  Độ dài vectơ - không: AA = 0, nên mọi vectơ - không đều bằng nhau.  Vectơ - không được kí hiệu: 0  .  Ghi chú: O a Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Tài liệu lưu hành nội bộ 4 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho ba vectơ cba    ,, đều khác vectơ 0  . Các khẳng định sau đúng hay sai? a) Nếu hai vectơ ba   , cùng phương với c  thì a  và b  cùng phương. b) Nếu ba   , cùng ngược hướng với c  thì a  và b  cùng hướng. Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, BC. a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0  có điểm đầu và điểm cuối là một trong số các điểm A, B, C, D, O, M, N. b) Chỉ ra hai vectơ có điểm đầu, điểm cuối lấy trong số các điểm A, B, C, D, O, M, N mà: i/ cùng phương với AB ; ii/ cùng hướng AB ; iii/ ngược hướng với AB . c) Chỉ ra các vectơ bằng vectơ MO , OB . Bài 3: Chỉ ra các vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau trong hình sau: Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi AB = DC . Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. a) Tìm các vectơ khác 0  và cùng phương với OA ; b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB . Bài 6: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Chứng minh EF = CD . Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. Chứng minh NCAM  , NIDK  . y z w x u v b a Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10 Tài liệu lưu hành nội bộ 5 §2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 1. Tổng của hai vectơ: Định nghĩa: Cho hai vectơ a  và b  . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ aAB   và BC = b  . Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a  và b  . Ta kí hiệu tổng hai vectơ a  và b  là ba    . Vậy: baAC    2. Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì: ACADAB  3. Tính chất của phép cộng các vectơ: Với ba vectơ cba    ,, tùy ý ta có: abba      (tính chất giao hốn) )()( cbacba        (tính chất kết hợp) aaa       00 (tính chất của vectơ - khơng) 4. Hiệu của hai vectơ:  Hãy nhận xét về hướng và độ dài của hai vectơ AB và CD trong hình bình hành ABCD: a) Vectơ đối: Cho vectơ a  . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a  được gọi là vectơ đối của vectơ a  , kí hiệu là - a  . * Chú ý:  Vectơ đối của vectơ AB là BA , nghóa là BA AB    Vectơ đối của vectơ 0  là vectơ 0  . Ví dụ: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Tìm ít nhất ba cặp vectơ đối nhau? Giải: b a D A B C D A B C B A D E F B A C Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10 Tài liệu lưu hành nội bộ 6 b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ: Cho hai vectơ a  và b  . Ta gọi hiệu của hai vectơ a  và b  là vectơ )( ba    , kí hiệu ba    . Vậy: )( baba      * Chú ý: Phép tốn tìm hiệu hai vectơ còn gọi là phép trừ vectơ. c) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: ACBCAB  CBACAB  Ví dụ: Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta ln có CBADCDAB  . Giải: 5. Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác:  Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi 0   IBIA .  Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi 0   GCGBGA .  Ghi chú: b a O Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Tài liệu lưu hành nội bộ 7 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có a) 0   DACDBCAB ; b) CDCBADAB  . Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng a) BAOBCO  ; b) DBBCAB  ; c) OCODDBDA  ; d) 0 DCDBDA . Bài 3: Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng MDMBMCMA  . Bài 4: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì. Chứng minh rằng: RQNPMSRSNQMP  . Bài 5: Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Tính độ dài các vectơ BCAB  , ACAB  , ACAB  , BCAB  . Bài 6: Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng 0   PSIQRJ . Bài 7: Chứng minh rằng CDAB  khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau. Bài 8: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ MB MA  và MB MA  . Bài 9: Cho ba   , là hai vectơ khác 0  . Khi nào có đẳng thức a) baba      ; b) baba      . Bài 10: Cho 0 ba   . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a  và b  . Bài 11: Cho ba lực MAF  1 , MBF  2 và MCF  3 cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Biết cường độ của 21 , FF đều là 100N và góc AMB bằng 60 0 . Tìm cường độ và hướng của lực 3 F . Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10 Tài liệu lưu hành nội bộ 8 §3. TÍCH CỦA VETƠ VỚI MỘT SỐ 1. Định nghĩa: Cho số k  0 và vectơ a   0  . Tích của vectơ a  với số k là một vectơ, kí hiệu là k a  , cùng hướng với a  nếu k > 0, ngược hướng với a  nếu k < 0 và có độ dài bằng k a  . Ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ. Quy ước: 0. a  = 0  , k. 0  = 0  . 2. Tính chất: Với hai vectơ a  và b  bất kì, với mọi số h và k, ta có:  k( ba    ) = bkak     (h + k) akaha       h(k a  ) = (hk) a  1. a  = a  , (-1). a  = - a  .  1) Cho hình bình hành MACB, gọi I là giao điểm của AB và MC. Nhận xét gì về mối quan hệ giữa MB MA  với MI . 2) Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Dựa vào đẳng thức 0   GCGBGA , chứng minh MGMCMBMA 3 . 3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác: a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có: MI MB MA 2   . b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có: MGMCMBMA 3 Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng ACADACAB 32  . Giải: 4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương:  Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a  và b  ( b   0  ) cùng phương là có một số k để a  = k b  .  Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để ACkAB  . 5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ a  và b  không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x  đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a  và b  , nghóa là có duy nhất cặp số h, k sao cho bkahx     Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt AFvAEu    , . Hãy phân tích các vectơ DCDEAGAI ,,, theo hai vectơ vu   , . I B M A C C x b a A' B'B A O Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Tài liệu lưu hành nội bộ 9 Giải: Ví dụ 2: Cho 4 điểm A, B, C, M thỏa mãn 032   MCMBMA . Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. Giải:  Ghi chú: Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Tài liệu lưu hành nội bộ 10 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: ACADACAB 2 . Bài 2: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng: a) 02   DCDBDA ; b) ODOCOBOA 42  , với O là một điểm túy ý. Bài 3: Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: ADBCBDACMN 2 Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ CABCAB ,, theo hai vectơ BMvAKu    , . Bài 5: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MCMB 3 . Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ ABu   và ACv   . Bài 6: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho: 023   KBKA . Bài 7: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho 02   MCMBMA . Bài 8: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Bài 9: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng MOMFMEMD 2 3  . [...]... ≠ 900, cot chỉ xác định khi  ≠ 00 và  ≠ 1800 2 Tính chất: y 0 sin (108 -  = sin cos (108 0 -  = -cos tan (108 0 -  = -tan cot (108 0 -  = -cot N M y0  -x0 3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:  00 Giá trị 30 0 450 - Tài liệu lưu hành nội bộ - O 600 x0 x 90 0 19 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10 lượng giác sin 0 cos 1 tan cot 0  1 2 3 2 1 3 3 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3 1 0  1 1 0 3... 3 ), C(2; 1) Hãy chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng 2 Hai vectơ AB và AC cùng hướng hay ngược hướng? Giải: Ví dụ 2: Cho ba điểm A(-2; -1), B(3; - Tài liệu lưu hành nội bộ - 13 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10 ... theo a và  Bài 6: Cho hình vng ABCD Tính: cos(AC, BA) , sin(AC, BD) , cos(AB,CD) CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 22 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10 §2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ... 24 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = a Tính các tích vơ hướng AB.AC , AC.CB Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a, có trọng tâm G a) Tính các tích vơ hướng: AB.CA, GA.GB theo a b) Tính sin(GA, GB) , cos(AB,CG)... - Tài liệu lưu hành nội bộ - 17 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10 CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1 Các điểm đặc biệt trong tam giác: A A A ha b c A b c G H hc b c O R I hb B a a B r C B... d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng: 12 - Tài liệu lưu hành nội bộ - 2 3 x Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10 Với hai điểm A(x A; yA) và B(x B; yB) thì: AB = (xB - xA; yB - yA) Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2; 5), B(1; 2) và C(4; 1) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành Giải: ... Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n Chứng minh ta có đẳng thức sau: m2 + n2 = 2(a2 + b 2) CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 30 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10. .. ∽MNP nếu chúng có hai góc tương ứng bằng nhau AB MN  Nếu ABC ∽MNPthì  AC MP C B AM AN MN   AB AC BC §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 18 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10 1 Định nghĩa: y 1 Nửa đường tròn đơn vị: Nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hồnh bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị x R=1 O -1 1  Nếu cho trước... 14 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10 ... - Tài liệu lưu hành nội bộ - 21 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10 . xác định khi  ≠ 0 0 và  ≠ 180 0 . 2. Tính chất: sin (108 0 -  = sin cos (108 0 -  = -cos tan (108 0 -  = -tan cot (108 0 -  = -cot 3. Giá trị lượng giác của các góc. Hình học 10 Tài liệu lưu hành nội bộ 10 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: ACADACAB 2 . Bài 2: Gọi AM là trung tuyến của. ngha: Hai vect c gi l cựng phng nu giỏ ca chỳng song song hoc trựng nhau. Nhn xột: Nu hai vect cựng phng thỡ chỳng cú th cựng hng hoc ngc hng. Ba im phõn bit A, B, C thng hng khi v ch