Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị CÁC MƠ HÌNH LÝ THUYẾT GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ NĂNG LƯỢNG TỐI QUAN SÁT THẤY TRONG THIÊN VĂN I Năng lượng tối Năng lượng tối dạng lượng khơng phát sáng, có áp suất âm phân bố dàn trãi vũ trụ Theo số đo kính thiên văn vũ trụ Hubble, lượng tối đẩy vũ trụ giãn ra, dường lượng khơng đổi mà Albert Einstein dự đốn Năng lượng dạng lượng lạ, tác động theo cách đối lập với lượng hấp dẫn Năng lượng tối làm cho thiên hà vũ trụ di chuyển xa với tốc độ ngày tăng Einstein ám lượng số gọi "hằng số vũ trụ" Lý thuyết ông cho vũ trụ lượng tối tự sụp đổ suy sụp hấp dẫn nên tồn lượng tối để làm cho vũ trụ cân với lực hấp dẫn bình thường làm cho khỏi tự sụp đổ Cuối cùng, Einstein bác bỏ lý thuyết quan sát thiên văn Hubble chứng tỏ vũ trụ giản nở Tuy nhiên, quan sát vụ nổ siêu tân tinh hay xa nổ tung cách từ lâu, tăng thêm tính tin cậy lý thuyết Các nhà khoa học cho lượng tối nguyên nhân làm vũ trụ giãn tăng tốc độ Theo tính tốn nhà khoa học, lượng tối chiếm khoảng 73% vũ trụ, vật chất tối chiếm khoảng 23% vũ trụ, lại 4% vật chất mà thấy Như biết lượng tối giả thuyết dạng lượng tạo áp suất âm Thuyết tương đối rộng rằng, áp suất âm có tác dụng ngược chiều với lực hấp dẫn thang đo khoảng cách lớn Chính nguyên nhân gia tốc giãn nở vũ trụ Năng lượng tối có nơi chống đầy vũ trụ Để hiểu chất lượng tối cần phải sâu vào vật lý lượng tử Trang Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị giới hạ nguyên tử Như biết, thang vi mô, không gian coi trống rỗng hay chân khơng hồn hảo khơng hồn tồn trống rỗng mà chống đầy trường gọi Higgs Chính trường đưa làm cho quark lepton có khối lượng Trường Higgs làm chậm chuyển động hạt, cho chúng khối lượng giữ cho cấu trúc ngun tử ổn định Nếu khơng có trường Higgs, electron chuyển động với tốc độ ánh sáng, nguyên tử bị phá vỡ cấu trúc tan rã Năng lượng chân không với hạt lượng tử chân khơng hồn hảo giới vi mơ nguồn gốc lượng tối Việc khám phá lý thuyết siêu đối xứng, phát biểu quan trọng lý thuyết dây, cho phép hiểu rõ mối liên hệ lượng tối trường Higgs Nếu tồn tại, boson Higgs đóng vai trị quan trọng thành phần lượng tối.Sau tìm hiểu số mơ hình lượng tối II Các mơ hình lượng tối Mơ hình số vũ trụ Λ Mơ hình đơn giản để giải thích cho tồn lượng tối số vũ trụ.Thuyết tương đối rộng Einstein rằng, vũ trụ phải suy sụp sức mạnh hấp dẫn Cũng nhiều khoa học gia thời đó, ơng cố chỉnh sửa phương trình thuyết tương đối rộng cách thêm vào số, gọi số vũ trụ , để mô tả vũ trụ tĩnh không thay đổi theo thời gian Tuy nhiên, số lại ám lực đẩy cân với lực hấp dẫn khoảng cách lớn để giữ cho vũ trụ không giãn nở không co lại theo thời gian (nghiệm phương trình Einstein nghiệm dừng) Lúc đó, Einstein cho hiệu chỉnh tốn học khơng nghĩ số lại phản ánh thực Năm 1929, nhà thiên văn người Mỹ Endwin Hubble khám phá giãn nở vũ trụ Einstein nói rằng, ngu ngốc lớn đời ơng Các quan sát với kính thiên văn không gian mặt đất khẳng định chắn thực tế đó, nữa, cho thấy, vũ trụ tăng tốc Các thiên hà lao vút không gian rời xa Trang Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị Nhưng ngày nay, số vũ trụ học lại hồi sinh Einstein Nó liên hệ chặt chẽ với loại lượng chân không lượng tử tràn ngập vũ trụ chúng ta, mà ta gọi lượng tối Chúng ta thử xem liệu số vũ trụ học đóng vai trị lực đẩy bí mật lượng tối gia tốc giãn nở vũ trụ hay khơng Như đề cập trên, để có vũ trụ tĩnh Einstein đưa vào phương trình số hạng vũ trụ để thực chế đẩy Chúng ta biết phân kỳ hiệp biến tensor Einstein Gμν tensor năng-xung lượng Tμν triệt tiêu nhau; tensor mêtric có phân kỳ hiệp biến zero Vì ta có số sữa đổi phương trình trường phù hợp với định luật bảo toàn: Rμν − 8π G g μν + Λg μν = − Tμν c (1.1) Λ phương trình gọi số vũ trụ c4 Vì Λ có dạng giống tensor năng-xung lượng, nên nhà vật lý cho 8π G số vũ trụ diện vũ trụ hồn tồn khơng có vật chất xạ, Λ dùng mật độ lượng chân không c4 Λ eV = 8π G (1.2) Trong mơ hình vũ trụ có chứa số vũ trụ Λ , độ cong khơng gian khơng cịn phụ thuộc vào mật độ khối lượng nữa; mật độ tới hạn ρc tham số mật độ Ω0 cho: ρc = 8π G ρ o 3H 02 − Λc , Ω0 = 8π G 3H 02 − Λc (1.3) Để ước lượng Λ , ta dựa vào điều kiện mật độ tới hạn ρc ≥ , suy ra: Trang Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị Λ≤ 3H 02 ≈ 3.5 ×10−56 cm −2 c2 (1.4) Chú ý bậc hai nghịch đảo Λ có thứ nguyên độ dài Với diện số khác không Λ tương lai vũ trụ khơng thể suy luận mật độ vật chất Hằng số vũ trụ xem lại lý thuyết trường lượng tử Trong lý thuyết trường lượng tử chân khơng xác định trạng thái có lượng thấp Bất dạng đóng góp vào mật độ lượng chân khơng đóng góp vào số vũ trụ Có ba đóng góp khác nhau: Λ tot = Λ ein + Λ quan + Λ int (1.5) Trong Λ ein đưa vào Einstein; Λ quan số lệ thuộc vào thăng giáng lượng tử; Λ int số ( tương tự Λ int ) lệ thuộc vào hạt tương tác trường Higgs boson Higgs.lượng tử Chúng ta bỏ qua Λ int khảo sát Λ quan Các thăng giáng lượng tử biểu thị cặp hạt ảo xuất tự phát, tương tác thời gian ngắn sau biến Mặc dù hạt ảo phát quan sát khơng gian trống rỗng, có tác dụng đo vật lý, đặc biệt đóng góp vào mật độ lượng chân khơng Sự đóng góp tạo thăng giáng chân khơng mơ hình chuẩn phụ thuộc cách phức tạp vào khối lượng cường độ tương tác tất hạt mà ta biết Một ví dụ đơn giản, xem xét dao động điều hòa lượng tử Giá trị cho bởi: 1⎞ ⎛ En = ⎜ n + ⎟ hω , 2⎠ ⎝ n=0,1,2 Trang Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị Chân không ( n = ) có lượng lượng xác định Một trường vơ hướng xem tổng dao động điều hòa theo tất tần số có Năng lượng chân khơng cho tổng: E0 = ∑ hω j j Tổng viết lại tích phân cách đặt hệ vùng tích L3 cho Nếu ta dùng điều kiện biên tuần hồn, tổng trở thành: E0 = Đặt h = 1, k = 2π λ d 3k L ωk ∫ ( 2π )3 sử dụng mối quan hệ: ωk2 = k + m Ta có: E0 ρV = lim = L →∞ L kmax 4π k ∫ ( 2π ) dk k4 k + m = max2 ; 16π ( kmax m) (1.6) Tính tương đối rộng có giá trị phía thang đo Planck, đặt kmax = l p ta được: ρV ≈ 1092 g.cm −3 (1.7) Kết (1.7) 121 lần giá trị thực nghiệm Dĩ nhiên khơng xác mơ tả cách định tính tồn lượng tối Mặc dù việc đưa vào số vũ trụ Λ chứng chứng tỏ có diện lượng tối mà kịch dựa lại vấp phải khó khăn vấn đề điều chỉnh Để hiểu rỏ điều xem xét tỉ lệ bên dưới: ρΛ ( ) 3H t ⎛ H ⎞ = ΩΛ ⎜ o ⎟ ⎜ H (t ) ⎟ ⎝ ⎠ (1.8) 8π G Trang Bài tiểu luận cuối học phần Với Ω Λ = Nguyễn Quốc Trị ρΛ ≈ 0.7 giả sử ngày xạ chiếm ưu Ta có: ρc ρΛ ( ) 3H t ⎛T ⎞ = 0.7 ⎜ o ⎟ ⎝T ⎠ (1.9) 8π G Tại thời đại Planck T0 T 10−31 tỉ lệ ρΛ ( ) 3H t cỡ 10-123 Trên lý thuyết tinh chỉnh 8π G liên quan đến mơ hình số vũ trụ lượng tối chấp nhận Điều dẫn đến khảo sát mơ hình trường vơ hướng cho lượng tối theo hướng rộng Các mơ hình mà sau ta đề cập đến Các mơ hình trường vơ hướng cho lượng tối 2.1 Mơ hình ngun tố thứ năm (Quintessence) Thay cố đưa số vũ trụ vào để giải thích tồn lượng tối, ta có đến mơ hình trường vơ hướng tổng qt để giải thích tồn dạng lượng Một mơ hình trường vơ hướng tiêu biểu mơ hình nguyên tố hạt thứ năm (Quintessence) Quintessence trường vô hướng φ đồng không gian liên kết với trường hấp dẫn thông qua đặc biệt V( φ ) Hàm tác dụng Quintessence cho bởi: ⎡ ⎤ S = ∫ dx -g ⎢ − ( Δφ ) − V (φ ) ⎥ ⎣ ⎦ (2.1) Với ( Δφ ) = g μν ∂ μφ∂ν φ , g = det g μν Trang Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị Lấy biến phân hàm tác dụng (2.1) theo số hạng g μν ta được: ⎡ ⎛ 1⎞ ⎝ ⎠ ⎞⎤ ⎠⎦ ⎛1 ⎝ δ S = ∫ dx ⎜ − ⎟ -g δ g μν ⎢∂ μφ∂ν φ − g μν ⎜ g αβ ∂α φ∂ β φ + V (φ ) ⎟ ⎥ 2 ⎣ Đại lượng: ⎛1 ⎞ Tμν = ∂ μφ∂ν φ − g μν ⎜ g αβ ∂α φ∂ β φ + V (φ ) ⎟ ⎝2 ⎠ (2.2) tenxơ năng-xung lượng trường Quintessence Từ tensor năng-xung lượng ta tìm mật độ áp suất Quintessence ⎡ dr ⎤ Trong mêtric FRW ds = − dt + a (t ) ⎢ + r dθ + sin θ dφ ⎥ Ta có: ⎣1 − Kr ⎦ - 2 ( ) Mật độ lượng: ⎡1 ⎣2 ⎤ ⎦ ρ = −T00 = − g 00∂ 0φ∂ 0φ + δ 00 ⎢ g 00∂ 0φ∂ 0φδ 00 + g ii ∂ iφ∂ iφ + V (φ ) ⎥ Với g 00 = −1 , ∂ iφ = , ( i = 1, 2,3) Ta được: ρ= - & φ2 + V (φ ) (2.3) Mật độ áp suất tính: ⎡1 ⎤ p = −Ti i = g ii ∂ iφ∂ iφ − δ ii ⎢ g 00 ∂ 0φ∂ 0φδ 00 + g ii ∂ iφ∂ iφ + V (φ ) ⎥ ⎣2 ⎦ Nên Trang Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị p= & φ2 − V (φ ) (2.4) & Thế (2.3) (2.4) phương trình liên tục ρ + 3H ( ρ + p ) = ta phương trình chuyển động trường φ là: && & φ + 3H φ + dV =0 dφ (2.5) Phương trình (2.5) cho thấy mối quan hệ thay đổi giá trị trường φ với V (φ ) hệ số giản nở Hubble Tiếp theo, ta biểu diễn phương trình Friedmann phương trình gia tốc mơ hình Quintessence - & ⎛ a ⎞ 8π G ρ K Phương trình Friedmann H = ⎜ ⎟ = − vũ trụ phẳng K = a ⎝a⎠ nên H = 8π G ρ sử dụng (2.3) ta thu phương trình Friedmann mơ hình Quintessence cho vũ trụ phẳng H2 = - Phương trình gia tốc & ⎤ 8π G ⎡ φ ⎢ + V (φ ) ⎥ ⎣2 ⎦ (2.6) & a 4π G =− ( ρ + p ) , sử dụng (2.3) (2.4) ta được: a && a 8π G &2 ⎡φ − V (φ ) ⎤ =− ⎦ a ⎣ (2.7) & && Phương trình (2.7) cho thấy vũ trụ giản nở tăng tốc a ( t ) > tức φ < V (φ ) , trường vô hướng phải thỏa muốn gây giản nở tăng tốc phải thỏa điều kiện: Trang Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị & φ < V (φ ) (2.8) Phương trình trạng thái trường φ ωφ = & φ − 2V (φ ) = &2 ρ φ + 2V (φ ) p (2.9) Phương trình trạng thái Quitessence nằm miền −1 ≤ ωφ ≤ Mật độ lượng ρ mơ hình Quitessence biểu diển theo ωφ a(t) cách lấy tích phân phương trình liên tục: ⎡ ⎣ ρ = ρ0 exp ⎢ −3 (1 + ωφ ) ∫ da ⎤ a⎥ ⎦ (2.10) Phương trình (2.10) cho thấy xác định cụ thể phương trình trạng thái trường Quintessence, ta xác định tiến triển mật độ lượng ρ trường theo hệ số kích thước vũ trụ a(t) • & Trường hợp φ V (φ ) & φ − 2V (φ ) ωφ = &2 → −1 kết hợp với (2.10) ta φ + 2V (φ ) ρ = ρ0 = co nst , tức mật độ lượng khơng phụ thuộc vào hệ số kích thước a(t) cũa vũ trụ • & Trường hợp φ & φ − 2V (φ ) V (φ ) ωφ = → kết hợp với (2.10) ta & φ + 2V (φ ) ρ = ρ0 a −6 • Trong trường hợp khác −1 < ωφ < mật độ lượng ρ ∝ a − m , < m < Trang Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị Ta biết giản nở tăng tốc xảy ωφ < − ứng với m = kết hợp trường 3 hợp ta suy −1 ≤ ωφ ≤ − vũ trụ xuất giản nở tăng tốc mật độ lượng lúc ρ ∝ a − m với ≤ m ≤ 2.2 Trường Tachyon Trường Tachyon tác động nguồn lượng tối phụ thuộc vào dạng thích hợp Hàm tác dụng cho trường Tachyon đề nghị Sen có dạng: ⎧ ⎫ Mp ⎪ ⎪ S = ∫ dx ⎨ -g R − V (φ ) det ( g μν + ∂ μφ∂ν φ ) ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ (2.11) Với V (φ ) Tachyon, φ trường Taychyon liên kết với trườnng hấp dẫn, Mp khối lượng Plank R độ cong vô hướng Tenxơ xung lượng trường có dạng: Tμν = V (φ ) ∂ μφ∂ν φ + g ∂α φ∂ β φ αβ - g μν V (φ ) + g αβ ∂α φ∂ β φ (2.12) ⎡ dr ⎤ + r dθ + sin θ dφ ⎥ với g 00 = −1 , ∂ iφ = , ⎣1 − Kr ⎦ ( Trong mêtric FRW ds = − dt + a (t ) ⎢ ) ( i = 1, 2,3) ta thu được: - Mật độ lượng trường Tachyon: ρ= V (φ ) & 1−φ (2.13) Trang 10 Bài tiểu luận cuối học phần - Nguyễn Quốc Trị Mật độ áp suất: & p = V (φ ) − φ - (2.14) Phương trình chuyển động trường Tachyon có cách (2.13) (2.14) & vào phương trình liên tục ρ + 3H ( ρ + p ) = && φ dV & & + H φ + V (φ ) d φ = 1−φ (2.15) Ta thu phương trình Friedmann cho vũ trụ phẳng phương trình gia tốc mơ hình Tachyon sau: - Phương trình Friedmann cho vũ trụ phẳng: H2 = - 8π GV (φ ) & 1−φ (2.16) Phương trình gia tốc: && a 8π GV (φ ) ⎛ &2 ⎞ = 1− φ ⎟ & ⎜ a 1−φ ⎝ ⎠ (2.17) && Điều kiện để giản nỡ tăng tốc a(t ) > từ suy & φ2 < (2.18) Trang 11 Bài tiểu luận cuối học phần - Nguyễn Quốc Trị Phương trình trạng thái: ωφ = & −V (φ ) − φ & & = − 1− φ = φ −1 V (φ ) & 1−φ ( ) (2.19) Phương trình trạng thái trường Tachyon biến đổi -1 Từ phương trình (2.10) ta suy mật độ lượng trường Tachyon ρ ∝ a − m với < m < 2.3 Mô hình K-essence Mơ hình K-essence đặc trưng hàm tác dụng: S = ∫ dx -g p (φ , X ) (2.20) Trong p (φ , X ) hàm mật độ Lagrangian tương đương với mật độ áp suất, φ trường vô hướng, X = − ( ∇φ ) số hạng động Thơng thường mơ hình K-essence, mật độ Lagrangian giới hạn dạng: & p (φ , X ) = f (φ ) p ( X ) (2.21) Mơ hình tiêu biểu mật độ Lagrangian K-essence ( p (φ , X ) = f (φ ) − X + X - ) (2.22) Mật độ lượng trường: ρ = 2X ∂p − p = f (φ ) − X + X ∂X ( ) (2.23) Trang 12 Bài tiểu luận cuối học phần - Nguyễn Quốc Trị Phương trình trạng thái trường: ωφ = ( ) = ( X − 1) f (φ ) ( − X + X ) ( X − 1) f (φ ) − X + X (2.24) Phương trình chứng tỏ động X giữ vai trò quan trọng việc xác định hương trình trạng thái ωφ trường K-essence φ Nếu −1 < ωφ < −