Đang tải... (xem toàn văn)
Tuyển tập chuyên đề Toán Học Tuổi Trẻ - Quyển 3
MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Những kí hiệu sách CHUONG I KHAI THAC CAC BAI TOAN TRUNG HOC CO SG Phần TOÁN VỀ TẬP HỢP SỐ NGUYÊN, SỐ HỮU TỈ Bui Quang Truong Có thể làm tốn sinh động khơng ? -5-5-5: Bui Quang Truong Cộng trừ thêm số thích hợp - ác nhu e, Nguyễn Ngọc Hương Tổng chữ số số tự nhiên S0 S222 tre Lé Quang Trung Xây dựng cơng thức tính tổng số tự nhiên đa thức 1] Nguyễn Hữu Bằng Về toán so sánh phân SỐ cà tSnn HH 1102 tr 12 Trần Xuân Đáng Định lí Trung Hoa SỐ đƯ Ặ LH TH HH HH ng no 14 Ngô Hân Phương pháp cực hạn key 16 Lê Hào Suy nghĩ từ lời giải tốn thi vơ địch quốc tế ccce2 18 Bùi Quang Trường Phương trình đồng dang bậc hai che 20 Nguyên Ngọc Bình Phương Một số tốn số hữu tỉ sỐ vơ tỈ teen Lê Quang Trung Tính biểu thức hữu tỉ cách xét dạng đa thức nhiều Trịnh Khôi - HH TH TH TH ye 22 2-81 24 Tập dượt khai thác đẳng thức biết 5-55 ccccccccrecve2 26 Phần hai TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Lê Hải Khôi Về mối quan hệ hai bất đẳng thức Cauchy Bernoulli 28 Vũ Đức Từ tính chất bất đẳng thức -cccccc tre 29 Ngô Văn Thái Một phương pháp đánh giá tổng phân thức cccccce2 31 Tơn Nữ Bích Vân Vận dụng hàng đẳng thức 4A” =ÌA| vào giải tốn - -: 33 Vũ Đức Một số toán giá trị tuyỆt đỐI - neo 35 Nguyễn Đễ Chứng minh bất đẳng thức đạng | AÌ < Ø -:¿ccsccccccsseei 38 Trinh Vinh Ngoc Đôi điều phương pháp giải phương trình cấp trung học sở 39 Phan Ngọc Thảo Bài toán cực trị biểu thức chứa dấu -ccccccccsSe2 4I Vũ Đức Suy luận hợp lí lời giải thiếu tự nhiên cseeie Huỳnh Văn Trọng Một số ý giải tốn tìm cực trị đại SỐ cceeeieinrre 46 Nguyễn Văn Hiến Một số sai lầm giải toán CỰC tTỊ cà cà nhe Hy 48 Lê Văn Tiến Một số lưu ý giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 51 Hồng Hải Dương Giải tốn bất đẳng thức cực trị dựa vào phương trình bậc hai 53 Nguyễn Ngọc Khoa Tìm cực trị biểu thức nhiều cách -cs ccccccrssee 56 Phạm Thị Việt Thái Sử dụng phương pháp tham biến để tìm cực trị biểu thức 58 Nguyễn Ngọc Khoa Giải toán cực trị đại số với biến có điều kiển ccccse¿ 60 Phần ba REN LUYEN TU DUY QUA TOAN HINH HOC PHANG Lê Trường Tùng Về định lí Steiner - Lehimus ác 221211 LH 12111111110 11 cgxee 62 Ngô Văn Thái Trở lại định lí Steiner - Lehmus G SH HH HH vớ, 64 Lê Ngọc Thành Vĩnh Sửa sai thành chưa đÚng Ă TS S S120 11H HH HH nhà hay 65 Võ Kim Huệ Định lí bốn điểm cách chứng minh hai đường thẳng vng góc với g0 66 Vũ Hữu Bình Khi đặc biệt hoá toán - HH HH HH HH ng rệt 69 Nguyễn Minh Thông Hãy giải tốn theo cách nhìn khác - 70 Đàm Hiểu Chiến Khai thác toán nhện 72 Nguyễn Ngọc Nam Từ kết toán tt HH HH 11211111121 re 74 Lê Quốc Hán Từ tốn hình học lớp Ĩ HH HH H0 Hà nho 76 Tạ Toàn, Đỗ Tiến Hải Từ bất đẳng thức đại số đến toán cực trị hình học - 78 Nguyễn Văn Vĩnh Nhận xét lời giải toán ? sen rrrec 81 Phương pháp diện tích tiệt 83 Đăng Văn Biểu Giải toán chưa kết thÚC c5 ccc+ccccccvrvzrcree 86 Nguyễn Đức Tấn Thay đối điều kiện thứ yếu tốn hình học -‹- 88 Nguyễn Đức Trường Ứng dụng hệ thức tỉ số điện tích -2-5 ccccccrxee 90 Hồng Ngọc Cảnh Rèn luyện lực tư thông qua việc khai thác toán 92 Nguyễn Đức Tấn Về tốn cực trị hình học -cà St xe 95 Lê Duy Ninh Phát triển từ tốn hình học cScScnnnnererke 96 Ngô Thế Phiệt 11H TH TT co HH - - cà HH HT TH HH HH Hưng HH HH gà HH CHƯƠNG II - NHÌN BÀI TOÁN TỪ NHIÊU HƯỚNG Phần VẤN ĐỀ NGHIỆM VÀ NGHIỆM KÉP CỦA PHƯƠNG TRÌNH Trần Tử Quảng Về lời giải toán khe, Nguyễn Phú Chiến 9)0)0:9: 0.18 Pham Bao Bậc tham số hình bao họ đường thẳng y = ƒ(x,m) Trần Phương Họ đường cong tiếp xúc với đường cố định co ee Dương Quốc Việt Nhìn lại khái niệm nghiệm kép phương trình 0000 vấn đề đường cong tiếp xúc với trục hoành .- Phạm Ngọc Bội Một số vấn đề nghiệm bội phương trình -«se cecsee Nguyễn Văn Q Bài tốn tiếp tuyến khơng dùng phương pháp nghiệm kép Lê Thống Nhất Lại bàn chuyện tiếp xúc hai đồ thị .- c«cseehieeiee Nguyễn Anh Dũng Về tốn phương trình tiếp tuyẾn Đăng Hùng Thắng Về sở phương pháp nghiệm kép - nà ehHuướ Nguyễn Việt Hải Bàn tiếp xúc hai đồ thị - -á + nH HH rệt HH ưu Phần hai MỐI LIÊN HỆ GIU'A CAC DUONG THANG, DUONG CONIC Phan Nam Hùng Một số dạng khác toán bướm Lê Hào Một số hệ thức liên hệ đường thẳng đường tròn Lê Hào Mở rộng toán bướm cho đường cônic coi Bài Văn Viện Họ tiếp tuyến với đường tTÒN HH HH HH HH nưg Lê Hữu Dũng Giai điệu parabOlÌ Phạm Quốc Phong Viết phương trình parabol phương pháp chùm Cao Trung Chỉnh Đi tìm lời giải đẹp HH HH HH tiệt Trân Văn Minh Khoảng cách từ cônic đến loại đường thẳng Nguyễn Đạo Phương Phương tích điểm đường cônic Nguyễn Đạo Phương Đường cônic đẳng phương hai đường cônic -ccccccsc«2 Nguyễn Thúc Hào Phương trình tiếp dạng đường cÔnIC -sàn cọ TH ng nhe HH HH Hà HƯU Phần ba TỪ HÌNH PHẲNG ĐẾN HÌNH KHƠNG GIAN Hồ Cơng Dũng Giải tốn cực trị hình học cách nhìn đại sỐ cac Nguyễn Minh Hà Điểm Torricelli tứ điện ¿+ 1t tk 111111111511 rxee Trịnh Bằng Giang Thử mở rộng toán Là HH HH ng HH HH nà Hg Võ Giang Giai Một vài kết đẹp hình học chứng minh phương pháp diện tích, thể tích «k1 n 9T HT HT TH Tà TH HH TT cv 160 Hồ Công Dũng Nhìn từ định lí Menelaus . HH kh 163 Trịnh Bằng Giang Đi tìm dạng định lí sin cho tứ diện c1 nh nsnhh re 165 Nguyễn Anh Dũng 167 Hồ Quang Vinh Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng chứa cạnh khối tứ diện 170 Lưu Hùng Vài ứng dụng định lí nhím HH iey 173 Phạm Đăng Long Phát triển toán .-cà c vàn ng HH HH ng re, 176 kg ng CHƯƠNG III 100 ĐỀ TOÁN HAY Phần ĐỀ BÀI kê 210 6:8 .Ầ eee anảỪDDỪ Hình học phẳng - chen Hình học khơng gian ch Phần hai LỜI GIẢI 18]1 191 182 197 185 c 211 186 216 re 188 232 SGuyen chon theo chuyén dé TOAN HOC &v TUOI TRE QUYEN # KHAI THÁC CÁC BÀI TỐN THCS # NHÌN BÀI TỐN TỪ NHIÊU HƯỚNG # 100 ĐỀ TOÁN HAY NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC (z2 KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ Phần TOÁN VỀ TẬP HỢP SỐ NGUYÊN, SỐ HỮU TỈ CO THE LAM TOAN SINH DONG HON DUOC KHONG ? (Về cách giải phương trình nghiệm nguyên ax + by = c) BÙI QUANG TRƯỜNG (Hà Nội) Các sách tham khảo toán giới thiệu hàng loạt mẹo mực để tìm nghiệm ngun phương trình vơ định hai ẩn dạng ax + by = c với ¿, b, c số nguyên Đây toán đơn giản ta phải lặp lặp lại kiểu lí luận để ¿, í¡, /;, ngun Cơng việc thật đơn điệu nhiều bạn ngại phải tìm tỚI ty, ty, fy, Chẳng hạn, lời giải mẫu sách giáo khoa năm 80 cách tìm nghiệm nguyên phương trình 23x + 53y = 109 (1) nhu sau : _ 109-53y _ 2a 23: = 2-374 Muốn y ngun phải có 22 2t =í¡ ngun hay 7t, +2t=3 Tì (3) có (3) / re r f¡ nguyên nên phải có 1-4, =í; nguyên hay 2t, +t, = Từ (4) có (4) 4, =1-2t, va t=1-34 +h = y = —3t+t, =2~-3(-2+ 7th) + (1 — 2h) 17-7y FG Muốn x nguyên phải có / = nguyên, hay 17— Từ (2) có y=~—z (2) - 3(1 - 2t)) + t, hay f= —2 + 7ty Khi d6 ta Từ (1) ta có v= 23/ + 7y = 17 17—7y 23 = — 23t số x= 4—2y+ =4_— 2(9-— 23/2) — + Trạ =-l6 + 530 Phương pháp giải dẫn việc làm thật tẻ nhạt Nếu nghĩ điều sách tuyệt vời, kín thụ động khơng phát huy tới đích, kế khả suy nghĩ sáng tạo Chọn A bội nguyên ø cho c + A chia hết cho b, tức A = ma c + A -+A-by-A A _ kbby kb-b ơn ya ft Achy a Chúng ta thử tìm đường khác a (5) BD qog ` ằ cac OD Giản ước — dé dua dạng tối giản — = — Từ (5) có 7-Ty 7q - y) x=3-5y+ =3-5y+ 12 12 Vì 12 nguyên tố nên để x nguyên a = k=») Xét toán : 7ừn nghiệm nguyên phương trình 12x - 67y = 43 = kb với m, k số nguyên Lúc = phải nguyên Từ suy y= l— 12? x = 67 — Phải phương pháp giải thuận lợi cho việc giải phương trình (5) mà ? Để trả lời thử giải phương trình (1) theo kiểu giải phương trình (5) 17—7y Từ (1) ta có x= 4—2y+ ad chia hết cho (!) Cố tạo số chia hết cho a với (, b} = Muốn x nguyén phải có k—y a =f nguyên Từ suy y = k — đi, x = b't — m Như để tìm tồn nghiệm nguyên phương trình zx + by = c (6) can tìm cặp nghiệm nguyên (*ọ, Yạ) = (Tom, k) Thí trình dụ Giá 23 17 va có ước số chung, hay đẹp nữa: 17 a Tìm nghiệm nguyên phương “12x +35 y =395 we ee 3+2 Lời giải (7) 29 = 7, cộng trừ thêm x = 4-2y+ 1(3-y)-4 Con số xuất 23 gây thêm phiên phức Nếu chia hết cho 23 tốt q (!) Bằng linh cảm trực giác chọn số khác : 46 oy 17-7y Ta viết x =4-2 y+ 23 353 + 108x = 5+2lx 12+3x+ 20 bội số nguyên 29 58, cộng chia hết cho 21) =/ nguyên Muốn y nguyên a et phải số nguyên Vậy x=29/—3 suy y= — 237 va x=2-184+46t+7t Từ 12+3v+ 2? 21X+58~ 5Š (vì nhạn thấy 29 =4- 2y+ 79-y) 23 —2 a „Ắ33 hay —10§x + 29y = 353 y=——>— 17—7y+ 46 - 46 =4~ 2y+ sity” 23 Tuyệt ! Như phải có Do (7) © -12x+ 22 =53t- 16 Nói cách khái quát, dé tim nghiệm nguyên phương trình ax + by = c với số nguyên a, b, c (6) làm sau : y=l10—-9+8§7:?+21 =1+ 108 Vào lúc xuất thần, ln ln nghĩ đến khiến bạn tách vế phải c phương trình zx + by = c (6) thành hai phần : phần chia hết cho z, phần lại Qua câu chuyện cách tìm nghiệm ngun phương trình vơ định này, không muốn Xg» Yo số nguyên dừng mục tiêu giới thiệu với bạn đọc phương pháp giải khác với sách giáo kho mà muốn nói : đừng vội thoả mãn n lịng với kết nêu sách mà phải luôn nghĩ đến tốt đẹp hơn, sáng dũng cảm, kiên trì chia hết cho b, nghĩa c = zxạ + by, (8) với Thế (6) © > x= Do xt ax + by = axạ + by, b(ya (Yo ~ — a (a',b')=1 nên X0— + bya~— Đo y) a yet da số tiếp cạn chúng Ngoài cách giải cịn có cách giải ngun Vậy x=xạ+b't, y=yg -a't Bản chất phương pháp tách c thành hai phần nêu ? Đó biết cặp nghiệm nguyên (xạ,yọ) phương trình vơ định (6) có cơng thức nghiệm (6) Đẳng thức (8) khẳng định (xạ,yạ) cặp nghiệm nguyên (6) nhà toán học Ấn Độ Boơkhatcara đầu kỉ XI, bạn tự tìm cách giải khác, xem sách sau : — Số khoa học số ; G N Becman NXE Giáo dục, Hà Nội, 1962 ; ~— Tìm tịi lời giải phương trình vô định ; Bùi Quang Trường ; NXB Giáo dục, Hà Nội 1995 CỘNG VÀ TRỪ THÊM MỘT CON SỐ THÍCH HỢP BÙI QUANG TRƯỜNG (Hà Nội) Trong Có thể làm toán sinh động Con đường suy luận hợp lôgic không thẳng không ? THTT số 154 tháng 2.1987 tác giả tuột nữa, phải lượn cong ? cách Cách biến (x, y) chùn lại, gây hãng lịng bạn kích thích giải phương trình vơ định zx + by =c cộng trừ thêm số thích hợp giải khơng dùng tới q nhiều bước đổi sách giáo khoa Nghiệm nguyên phương trình tìm sau vài thử nghiệm biến đổi Trong Phương trình vơ định ax + by = c + đxy(*) (Tuyển tập 30 năm, tạp chí Toán học Tuổi trẻ NXB Giáo dục, 2004 trang 58 — 59) tác giả dùng cách cộng, trừ thêm số thích hợp để tìm nghiệm ngun phương trình vơ định ax+by=c+xy dường lúng túng trước phương trình ax+ by =c+dxy (1) Khơng ! Nó thực thẳng Nó dường bạn muốn tiếp tục đường thẳng băng : Cứ cộng, trừ thêm số thích hợp thi dd | Các ban có nghĩ khơng ? ban trẻ yêu toán ham muốn cống hiến cho toán lời giải đẹp sáng Có thể lúc đó, bạn nhìn phương trình (1) trang giấy trắng trước mặt bạn viết : (1)@ ax=c+dxy—by=c+y(de-b) (2) Truong hop dx — b = cho x nguyên, tức b:d ta việc thay x = (nguyên) vào (2) øx =c Nếu x= b c 57 < = p (1) có nghiệm d x= Trong trường hợp dx—b +0 chia hết cho 2), ta viết Thí dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x — 3y = —5xy + 39, (5) (tức b không qX—C Qo Lời giải (3) y= dx —b (5) © - dmx — mb + mb ~c y= dx —b Dé y nguyén Sy de —b phai c6 P (6) © y= a _ „mắc b—c ~~“ =r dx—b 1a số x=——— (3) nguyên dv—b c ax — c = ye dax — dvx—b ` _ nguyên Lúc Fras tea Tóm lại, cộng trừ thêm số thích hợp phương pháp tìm nghiệm ngun phương trình vơ định (1) Nhưng có phải phương pháp hay khơng ? Phương pháp giải phương trình „ ab ~ Geb iêu ` kỉ >Me Điều kiện cần để y nguyên Ä⁄ số 10x+22 tương ứng y = 3, 2, 6, -1 rõ ràng ab Vậy : dx —b _ 3x+lI 2+3 ước số Vậy có x = 2, —5, —l, —2 Con số thích hợp để cộng, trừ thêm vào tử số = (7) Điều kiện cần để y nguyên 2x + = + 1, + Và sớm hay muộn bạn _ dax—abt+ab—cd “T-¬ấyy3 Lời giải (7) © 5x = y(2x + 3) — 11 nảy ý định : nhân hai vế (3) với d dy = mãn đẳng thức 5x — 3y = 2xy — 11 x; Sx |dx — b| Bình phương hai vế suy thích hợp vào tử số ` số nguyên 189 = 3.3.3.7 Tức —5x + = + k với k = 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189 Từ đóx có giá trị nguyên x = —12, 0, 2, Tương ứng y=-1, -13, —5, l (4) ? Ở (*) ta biết cách giải : Điều kiện cần để y= 3-5 Điều kiện cần để y nguyên -5x + ước Tất nhiên giá trị x cho (4) nghiệm nguyên thoả mãn tốn, lúc y=m +t Nhưng a không chia hết cho d thi -Cc 7” J7” với f ước số nguyên mb — c = “ —€, ax = 10x -195 Nhân hai vế với sy_10x=6+6-195 „189 p?mb =c € (6) Cộng, trừ thêm vào tử số nguyên, hay dat — bí = mb—c 2x = y3-5x)+39 Vi x nguyén nén 3- 5x #0, Néu a:d ttc la a = d.m (m nguyên) cộng trừ thêm mb vao tir s6 với M ước số nguyên Lấy hai thí dụ (*) giải cách xay b d ab — cd cho x, y nguyén Chúng ta gọi Cách để giải (1) nhằm phân biệt với Cách đưa (*) tae in gw as ad y số ngun ; cịn - # trường hợp đx —- b = d ab m - ab — tổng quát (1) hay không ? za y= a ™ ; Chúng ta cịn gặp bàn phương trình vơ định Phải không bạn ? TỔNG CÁC CHỮ SỐ CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN NGUYEN NGỌC HƯƠNG (Tiền Giang) Vậy n = 1990, Với số tự nhiên n, ta gọi Š(n) tổng chữ số n viết hệ thập phân I Mot s6 tinh chat cua ham S(n) (các bạn tu chứng minh) 1) 0< S(n) n=1998 Dat n=19ab v6ia,be N;0 m (loại) = n—S(m) +25(m) => 2S(n):9 => S(n): ... nguyên Vậy x=29/? ?3 suy y= — 237 va x= 2-1 84+46t+7t Từ 12+3v+ 2? 21X+58~ 5Š (vì nhạn thấy 29 = 4- 2y+ 79-y) 23 —2 a „? ?33 hay —10§x + 29y = 35 3 y=——>— 17—7y+ 46 - 46 =4~ 2y+ sity” 23 Tuyệt ! Như phải... = 1-2 t, va t= 1 -3 4 +h = y = —3t+t, =2 ~ -3 (-2 + 7th) + (1 — 2h) 1 7-7 y FG Muốn x nguyên phải có / = nguyên, hay 17— Từ (2) có y=~—z (2) - 3( 1 - 2t)) + t, hay f= —2 + 7ty Khi d6 ta Từ (1) ta có v= 23/ ... f,(n) < (9.667)" = 36 036 009 => f,(n) < (2 + 9.7)? = 4225 => fy(n) < (3 + 9 .3) ” = 30 Ỷ Goi S = S(f,(n)) n= (2991999 - ( 239 3- 1 999 _ g5997 „ 05997 S< 30 => a=S(n) < 9.5997 = 539 73 => b=S(a) $< 4+94
