CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác: Phương trình dạng : a.f 2 (x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác, a ≠ 0. Cách giải: + Đặ t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì 1t ≤ ) + Giải phương trình at 2 + bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện. + Giải phương trình f(x) = t. II. Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung: Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b ≠ 0 + Điều kiện phương trình có nghiệm : a 2 + b 2 ≥ c 2 . + Cách giải : + Chia 2 vế phương trình cho 2 2 a b+ ta được : 2 2 2 2 2 2 cosasinx b x c a b a b a b + = + + + + Đặt 2 2 2 2 sin a b cos a b a b α α = ⇒ = + + và đặt 2 2 sin c a b β = + ta có phương trình: sin( ) sinx α β + = III. Phương trình đẳng cấp thuần nhất theo sin và côsin cùng một cung: Phương trình có dạng : asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x + d = 0. (1) Cách giải 1: (Dạng công thức hạ bậc đưa về PT bậc 1 theo sin và cosin cùng 1 cung) (1) ⇔ 1 cos2 1 cos 2 sin 2 0 2 2 2 x b x a x c d − + + + + = sin 2 ( )cos2 (2 )b x c a x d a c⇔ + − = − + + . Cách giải 2: (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx), xét hai trường hợp : + Nếu x = ; 2 k k Z π π + ∈ có là nghiệm phương trình hay không. + Nếu x ; 2 k k Z π π ≠ + ∈ , chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được: IV. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và cosin cùng một cung: 1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và côsin) Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R∈ (1) Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2 4 sin2 ≤⇒       + tx π (*) 2 1 cossincossin21 2 2 − =⇒+=⇒ t xxxxt (1) )1.1(0220 2 1 . 2 2 =−++⇔=+ − +⇔ bcatbtc t bat . Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t 0 thỏa mãn 2 0 ≤t . Thay giá trị t 0 vô PT (*) và giải PT sin2x = 1 2 0 −t để tìm x. 2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng) Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R∈ (2) Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 2 4 sin2 ≤⇒       − tx π (**) 2 1 cossincossin21 2 2 t xxxxt − =⇒−=⇒ (1) )1.2(0220 2 1 . 2 2 =−−−⇔=+ − +⇔ bcatbtc t bat . Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t 0 thỏa mãn 2 0 ≤t . Thay giá trị t 0 vô PT (**) và giải PT sin2x = 1- 2 0 t để tìm x. Giải các phương trình lượng giác cơ bản sau 1. sinx = 3 2 . 2. sinx = 1 3 3. sin(x + 45 0 ) = 2 2 − 4. cosx = 1 2 − 5. cosx = 2 3 6. cos(x + 30 0 ) = 2 2 − 7. cos(x - 3 π ) = 3 2 − 8. cos(x+ 4 π ) = 2 2 − 9. tan2x = tan(x - 3 π ) 10. tanx = 2/3 11. tan(3x – 15 0 ) = - 3 12. cot4x = cot(x - 3 π ) 13. cotx = -3 14. cot(2x – 10 0 ) = - 3 15. sin ( x – 2) = 1/3 16. 0 1 sin( 60 ) 2 x − = 17. cot(4 ) 3 6 x π − = 18. 3 cos(3 ) 6 2 x π − = − 19. sin2 sin( ) 3 x x π = − 20. 2cos2 0 1 sin2 x x = − 21. cos2x tan x = 0 22. sin3x cotx = 0 23. sin3x – cos 5x = 0 24. tan3x tanx = 1 25. 3cosx + 5 = 0 26. 3 cotx – 3 = 0 27. 5cosx – 2sin2x = 0 28. 8sinxcosxcos2x = -1 29. sin2x – 2cosx = 0 30. cos3x – sin2x = 0 31. sin3x + sin5x = 0 32. tanx.tan2x = -1 33. cot2x.cot3x = 1 Giải các phương trình lượng giác sau 1. 2 2sin 5sin 3 0x x+ − = 2. 2 cot 3 cot 3 2 0x x− − = 3. 2cos 2 2cos 2 0x x+ − = 4. 5tan 2cot 3 0x x− − = 5. 2 2 cos 1 0;2sin 3sin 1 0x x x− = − + = ? 6. sinx + cosx = 1 7. 3 sin cos 1x x− = 8. 2sin 3 5 cos3 3x x+ = − 9. Tìm m để phương trình 2sin 3 5 cos3x x m+ = có nghiệm? 10. 3sinx + 4cosx = -5 11. 2 2 4sin 5sin cos 6cos 0x x x x− − = 12. 2 2 2sin 5sin cos cos 2x x x x− − = − 13. 2 2 sin 3 sin cos 2cos 1x x x x− + = 14. ( ) 2 2 4sin 2 1 2 sin cos 2 cos 0x x x x− + + = 15. sin2xsin5x = sin3xsin4x 16. 2 2 2 sin sin 3 2sin 2x x x+ = 17. ( ) 2 2 4sin 2 1 2 sin cos 2 cos 0x x x x− + + = Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác: 18. 2 2cos4 6 s 1 3cos2 0 cos x co x x x + + + = 19. 1 cos1 sin2)1cos2(cos1 = − −+− x xxx 20. 2 3 2 3(1 ).cotcosx cosx x− = − − 21. 6 6 2 sin 2 1x cos x cos x+ = − 22. Tìm các nghiệm trên khoảng ( ) 0; π của phương trình : sin 3 cos3 7 4 cos2 2sin 2 1 x x cosx x x −   − = −  ÷ −   23. 2 2 4sin 2 6sin 9 3cos2 0 cos x x x x + − − = 24. ( ) 2 cos 2 3 2 2 1 1 1 sin 2 x sinx cos x x + − − = + 25. 2 5 2 3(1 ).tansinx sinx x− = − 26. 8 8 2 17 sin 2 16 x cos x cos x+ = 27. Tìm các nghiệm trên khoảng ( ) 0;2 π của phương trình : cos3 sin 3 5 3 cos 2 1 2sin 2 x x sinx x x +   + = +  ÷ +   Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung: 28. xxxx 2cos34cos26sin32cos4 3 +=+ 29. 3 1 8sinx cosx sinx = + 30. 0sincos2cos2sin =−−− xxxx 31. 82cos2sin3cos3sin9 =+−+ xxxx 32. 3 2 cos2 0cos x x sinx+ + = 33. 3 3 sin x cos x sinx cosx+ = − 34. 4 4 4 (sin ) 3 sin 4 2x cos x x+ + = 35. xxxx sin3cos)cos3(sin3 +=− 36. xxxx 3sin43cos29cos33sin3 3 +=− 37. 3 1 8 sin cosx x cosx = + 38. 2 sin 2 2sin 1 4 2 2sin cos 2x x sin xcosx cos x x x+ − = + − 39. 4cos sin 2 2cos 2 1sinx x x x + − + = 40. 3 2sin cos2 0x x cosx− + = 41. 3 3 sin x cos x sinx cosx− = + 42. ( ) 24sin33cossin8 66 =−+ xxx 43. xxxx cos3sin)sin3(cos3 −=+ Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung: 44. cos 2 x - 3 sin2x = 1 + sin 2 x 45. 4sin 2 x – 3sinxcosx + ( ) 3 4+ cos 2 x = 4 46. 10cos 2 x – 5sinxcosx + 3sin 2 x = 4 47. cos 2 x + sinxcosx + 3sin 2 x = 3. 48. 3sin 2 x - 5 3 sinxcosx – 6cos 2 x = 0 49. sin 2 x + 2 (1 3)sin cos 3 0x x cos x+ + = 50. 2sin 2 x + sinxcosx – 5cos 2 x = 1 51. cos 2 x – 3sin 2 x – 4sinxcosx = 0 Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và cosin cùng một cung: 52. ( ) 02cos12)sin(cos122sincossin =+−+− xxxxxx 53.       +−=− 4 sin27cos2sin3sin2sin32cos8 π xxxxxx 54. 02cos2sinsin 23 =−++ xxx 55. 12cossin)2sincos(sin12cossin 22 =−+−+ xxxxxxx 56. 1)1(sin2sin2coscossinsin 2 =−++− xxxxxx 57. 0sincos2cos)1cos(sin =−+− xxxxx 58. 2 4 cos2)1cos(sin2sin2 =       −+−+ π xxxx . 59. xxxxx cossin4sin 2 1 cossin 44 −=+− 60. 02sin2coscos 23 =−++ xxx 61. ( ) ( ) )cos2(8sin3sin3 2 xxx −=++ 62. 0sincos)cossin1(2cos =+++ xxxxx 63. 06cos6sin3sin 23 =+−− xxx Giải các phương trình lượng giác sau Bài 1:Giải các phương trình sau : a) (KA-2003) xx x x x 2sin 2 1 sin tan1 2cos 1cot 2 −+ + =− b) (KB-2003) x xxx 2sin 2 2sin4tancot =+− c) (KD-2003) 0 2 costan. 42 sin 222 =−       − x x x π Bài 2:Giải các phương trình sau : a) (KB-2004) xxx 2 tan)sin1(32sin5 −=− b)(KD-2004) xxxxx sin2sin)cossin2)(1cos2( −=+− Bài 3:Giải các phương trình sau : a) (KA-2005) 0cos2cos.3cos 22 =− xxx b) (KB-2005) 02cos2sincossin1 =++++ xxxx c) (KD-2005) 0 2 3 ) 4 3sin(). 4 cos(sincos 44 =−−−++ ππ xxxx Bài 4:Giải các phương trình sau : a) (KA-2006) ( ) 0 sin22 cossinsincos2 66 = − −+ x xxxx b) (KB-2006) 4) 2 tan.tan1(sincot =++ x xxx c) (KD-2006) 01cos2cos3cos =−−+ xxx Bài 5:Giải các phương trình sau : a) (KA-2007) xxxxx 2sin1sin)cos1(cos)sin1( 22 +=+++ b) (KB-2007) xxx sin17sin2sin2 2 =−+ c) (KD-2007) 2cos3 2 cos 2 sin 2 =+       + x xx Bài 6:Giải các phương trình sau : a) (KA-2008)       −=       − + x x x 4 7 sin4 2 3 sin 1 sin 1 π π b) (KB-2008) xxxxxx cossin3cossincos3sin 2233 −=− c) (KD-2008) xxxx cos212sin)2cos1(sin2 +=++ Bài 7:Giải các phương trình sau : a) (KA-2009) Giải phương trình ( ) ( ) ( ) 1 2sin x cos x 3. 1 2sin x 1 sinx − = + − b) (KB-2009) Giải phương trình 3 sin x cos xsin 2x 3cos3x 2(cos4x sin x)+ + = + c) (KD-2009) Giải phương trình 3cos5x 2sin3x cos2x sin x 0− − = . Bài 8: 1. (2sinx – 1)(2sin2x + 1) = 3 – 4cos 2 x 2. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 3. cos 3 xcos3x + sin 3 xsin3x = 2 4 4. cos 3 4x = cos3xcos 3 x + sin3xsin 3 x 5. 1 + sin 2 x sinx - cos 2 x sin 2 x = 2cos 2 ( 4 2 x π − ) 6. sin 2 2x – cos 2 8x = sin( 17 10 2 x π + ) 7. 4cosx – 2 cos2x – cos4x = 1 8. cos10x + 2cos 2 4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos 3 3x 9. sin 8 x + cos 8 x = 17 16 cos 2 2x 10. cos 4 x – cos2x + 2sin 6 x = 0 11. sin 4 x + cos 4 ( 4 x π + ) = 1 4 12. sin 3 xcos3x + cos 3 xsin3x = sin 3 4x PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC NÂNG CAO Bài 1: Giải phương trình a. sin 6 x + cos 6 x = 2(sin 8 x + cos 8 x) b. sin 3 x + cos 3 x = 2(sin 5 x + cos 5 x) c. sin 8 x + cos 8 x = 2(sin 10 x + cos 10 x) + 5 4 cos2x d. cos 4 x + sin 6 x = cos2x e. 4 4 sin cos 1 (tan cot ) sin 2 2 x x x x x + = + f. cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + cos 2 4x = 3 2 Bài 5: Giải phương trình lượng giác sau: ĐH Khối A 2010 ĐH Khối B 2010 ĐH Khối D 2010 . CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác: Phương trình dạng : a.f 2 (x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác, a ≠ 0. Cách. một cung: Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b ≠ 0 + Điều kiện phương trình có nghiệm : a 2 + b 2 ≥ c 2 . + Cách giải : + Chia 2 vế phương trình cho 2 2 a b+ ta được : 2. được: IV. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và cosin cùng một cung: 1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và côsin) Dạng phương trình: a(sinx