CHỦ ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. Giải phương trình vô tỉ bằng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả. A. Lý thuyết: 1)    = ≥ ⇔= 2 0 BA B BA 2) Dạng: CBA =+ 3) Dạng: DCBA +=+ . * Nếu A+B = C+D (hoặc A.B = C.D) thì bình phương 2 vế ta được phương trình tương đương. * Nếu A+C = B+D (hoặc A.C = B.D) thì phải đưa phương trình về dạng: BDCA −=− sau đó bình phương hai vế, tìm nghiệm sau đó thử lại để chọn nghiệm. 4) Dạng: 3 33 CBA =+ * Lập phương hai vế ta được: CBAABBA =+++ )(.3 333 . Sau đó thay thế: 3 33 CBA =+ vào phương trình, ta được: CABCBA =++ 3 .3 Chú ý: sự thay thế này có thể dẫn đến nghiệm ngoại lai, vì vậy phải thử lại nghiệm. B. Bài tập: Bài 1. Giải các phương trình: 1) xxx 41143 2 −=+− 2) 98214 +=+++ xxx 3) 1321533 +=−−+ xxx 4) 1352134 22 −=+−+−− xxxxx Bài 2. Giải các phương trình: 1) 8434312 ++−=+++ xxxx 2) xxxx −++=−+− 4233256 3) 3 2 1 1 1 3 3 x x x x x x + + + = − + + + + 4) 1321 1 32 2 +=+−−+ − + xxx x x Bài 3. Giải các phương trình: 1) 1334 33 =−−+ xx 2) 333 3221 −=−+− xxx 3) 333 13112 +=−+− xxx Bài 4. Giải các phương trình sau: 1) xx x x −=−− − 123 23 2 2) 2 2 12 5 1 x xx + =−+ 3) 16 40 16 2 2 + =++ x xx 4) x x x x x =−+− 22 2 77 II. Giải phương trình vô tỉ bằng cách trục căn thức. * Áp dụng cho các trường hợp sau: - Đưa được về dạng đơn giản hơn. - Nhẩm được phương trình có một nghiệm x = x 0 . Bài tập: Giải các phương trình sau: 1) 165 7212 4 −= −−+ x xx 2) ( ) 2 2 2 2 3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x − + − − = − − − − + 3) 23132 22 −++=++− xxxxx III. Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng 1. Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng đại số: Bài 1. Giải các phương trình: 1) xxxx 271105 22 −−=++ 2) 211 2 4 2 =+++++ xxxx 3) 2)3)(1(31 =−+−−++ xxxx 4) 2311121 2 −+−=−−+ xxxx Bài 2. Giải các phương trình 1) 224222 2 +−−=+−− xxxx 2) 352163132 2 +++−=+++ xxxxx Bài 3. Giải các phương trình: 1) 8 2 73 )2(3 2 = − + −−+ x x xxx 2) 0122152 3 5 )3( 2 =−−++ + − + xx x x x Bài 4. Giải các phương trình: 1) 4 2 1 2 2 5 5 ++=+ x x x x 2) 2222 4.344 xxxx −+=−+ Bài 5. Giải các phương trình: 1) 3 1 2 2 2 1 = + + − + + x x x x 2) 4 2 5.556 xxxx −=−+ Bài 6. Giải các phương trình: 1) 2 1 2 3 1x x x x x + − = + 2) 2 4 23 2 1x x x x+ − = + (HD: Chia cả hai vế cho x ) Dạng 2. Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng lượng giác: * Có thể áp dụng cho các phương trình mà ĐK của biến số thuộc một đoạn [a; b] Giải các phương trình: 1) 3 2 4 3 1x x x− = − 2) 2 2 2 4 3 1x x x− = − (Chia 2 vế cho x 3 ) 3) 3 2 2 4 12 9 1 2x x x x x− + − = − (Đặt (x-1) = sint) 4) ( ) 2 2 1 1 1 2 1x x x+ − = + − 5) 3 6 1 2x x+ = (lập phương 2 vế) 6) [ ] 3262 )1(8135 xxx −+=−+ Dạng 2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ: Bài 1. Giải các phương trình: 1) 312 2323 =−++++ xxxx 2) 35212 3 =−−+ xx 3) 3111 44 4 2 =++−+− xxx 4) 3118 44 =−+− xx Bài 2. Giải các phương trình: 1) 3 3 12.21 −=+ xx ,(y = 3 12 −x ) 2) 332 2 +=−− xxx , (y-1 = 3+x ) 3) 826 2 +=−− xxx , (y-3 = 8+x ) 4) 263 3 4 2 −−= + xx x IV. Một số bài toán về phương trình vô tỉ có chứa tham số: A. Lý thuyết : * Phương trình : f(x) = m có nghiệm trên tập D )()(min xfMaxmxf D D ≤≤⇔ * Chú ý : Xét bài toán : tìm m để phương trình f(x,m)=0 có nghiệm, ta có thể làm như sau : Bước 1 : Tìm ĐK tồn tại của phương trình, giả sử x thuộc tập D (tập D là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) Bước 2 : Đưa phương trình f(x,m) = 0 về dạng g(x) = m. Bước 3 : Xét sự biến thiên, tìm GTLN và GTNN nếu có, của g(x) trên tập D. Bước 4 : Lâph BBT, từ BBT suy ra ĐK có nghiệm của phương trình. * Thường thì đây là các bài toán ta phải đặt ẩn phụ (như các dạng đã được nêu trong phần giải phương trình vô tỉ trên đây), Chú ý rằng ĐK của ẩn phụ phải chính xác. Ví dụ 1 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 127 3 −=+− xmxx Giải: Với ĐK 2/1 ≥ x , phương trình đã cho 1447 23 +−=+−⇔ xxmxx ⇔ x 3 – 4x 2 – 3x – 1 = – m <=> f(x) = - m. (1) Xét hàm số f(x) trên       +∞; 2 1 , ta có f ’(x) = 3x 2 – 8x – 3 ; f ‘(x) = 0    −= = ⇔ )(3/1 3 loaix x f(3) = - 19, f(1/2) = - 27/8. * BBT (hình bên). Từ BBT suy ra (1) có nghiệm trên       +∞; 2 1 (tức phương trình đã cho có nghiệm) 1919 ≤⇔−≥−⇔ mm Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 11 2215)53( 2 −≤−++−++ mxxxxm (1) Hướng dẫn: * ĐK: 53 ≤≤− x * Đặt xxt −++= 53 , 422 ≤≤ t Suy ra: 2 8 215 2 2 − =−+ t xx Nên (1) trở thành: mtgm t t m t mt 2)(2 2 3 2 11 2 2 8 22 −≤⇔−≤ − + ⇔−≤ − + * Khảo sát sự biến thiên của hàm số g(t) trên đoạn [ ] 4;22 , * Lập BBT và từ BBT suy ra các giá trị cần tìm. B. Bài tập: Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình 3 2 2 1 x 2 1 x m- + - = 1) có nghiệm thực duy nhất, 2) có nghiệm thực. x f’(x) f(x) 1/2 3 + _ 0- + -27/8 -19 + _ Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất: 3 4 x 1 x 2m x(1 x) 2 x(1 x) m+ - + - - - = . Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình 2 x 2x m 2x 1+ - = - có 2 nghiệm thực phân biệt. Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình 1 1 x x x m 2 4 + + + + = có nghiệm thực. Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình 2 2 m 16 x 4 0 16 x - - - = - có nghiệm thực. Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình x 1 x 2 m 2 0 x 2 x 1 - + - + = + - có nghiệm thực. Bài 7. Tìm điều kiện của m để phương trình 4 2 x 1 m x 1 2 x 1 0+ - - + - = có nghiệm thực (A-2007). Bài 8. Chứng minh mọi m > 0 phương trình )2(82 2 −=−+ xmxx (B-2007) Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình mxxxx =−+−++ 626222 44 có hai nghiệm thực phân biệt (A-2008) Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình x 4 x 4 x x 4 m+ - + + - = có nghiệm thực. Bài 11. Tìm điều kiện m để phương trình x m x 6 x 9 x 6 x 9 6 + + - + - - = có nghiệm thực. Bài 12. Tìm m để phương trình x 1 3 x (x 1)(3 x) m- + - - - - = có nghiệm thực. Bài 13. Tìm m để phương trình 4 4 4 x 4x m x 4x m 6+ + + + + = có nghiệm thực. Bài 14. Chứng tỏ rằng phương trình 2 3x 1 2x 1 mx 2x 1 - = - + - luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m. Bài 15. Tìm m để phương trình x 1 (x 3)(x 1) 4(x 3) m x 3 + - + + - = - có nghiệm thực. Bài 16. Tìm m để phương trình 3 3 1 x 1 x m- + + = có nghiệm thực. Bài 17 (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình: ( ) 2 2 4 2 2 m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x+ - - + = - + + - - có nghiệm thực. Bài 18. Tìm m để phương trình 2 m x 2 x m+ = + có 2 nghiệm thực phân biệt. . xxxxx III. Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng 1. Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng đại số: Bài 1. Giải các phương trình: 1) xxxx 2 711 05 22 −−=++ 2) 211 2 4 2 =+++++ xxxx 3) 2)3) (1( 31 =−+−−++ xxxx 4) 2 311 1 21 2 −+−=−−+. 3 2 1 1 1 3 3 x x x x x x + + + = − + + + + 4) 13 21 1 32 2 +=+−−+ − + xxx x x Bài 3. Giải các phương trình: 1) 13 34 33 =−−+ xx 2) 333 32 21 −=−+− xxx 3) 333 13 112 +=−+− xxx Bài 4. Giải các phương. nghiệm. B. Bài tập: Bài 1. Giải các phương trình: 1) xxx 411 43 2 −=+− 2) 98 214 +=+++ xxx 3) 13 215 33 +=−−+ xxx 4) 13 5 213 4 22 −=+−+−− xxxxx Bài 2. Giải các phương trình: 1) 8434 312 ++−=+++ xxxx 2)