TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số:03 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: Cho hàm số 2 3 2 5 6 2 2 z x x xy y y = − − + + 1. Tìm cực trị của hàm số. 2. Tại M(2;1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm M theo hướng lập với trục Ox một góc 0 30 . 3. Tại M, hãy tìm hướng để hàm z tăng nhah nhất. Biểu diễn trên hình vẽ. Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ trục Oxyz, dung tích phân mặt tính trọng tâm của tam giác phẳng ABC với A (-2,3,0), B ( 4,0,0) và C (-2,0, 3 2 ) với hàm mật độ ρ (x,y,z) = y. Câu 3: Tính 2 2 C xy dy x ydx − ∫ Ñ trong đó C là đường tròn 2 2 2 x y a+ = lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Kiểm chứng kết quả thông qua sử dụng công thức Green. Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân: , , , 4 sin 3 cos x y z x y y x z xe  − = −   = − +   thoả mãn điều kiện khi x=0 thì y=0 và z=0 Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn Giảng viên ra đề 2: y z x C A B O Câu 1(2đ): , 2 2 6 0 3 x z y x x y = − + − = ⇒ = + , 2 3 5 2 0 y z y y x = + − = (0.25đ) Thay vào ta có : 2 2 3 5 2 6 3 3 6 0y y y y y + − − = + − = 2 1 2 1 2 2 0 1, 2 4, 1y y y y x x ⇒ + − = ⇒ = = − ⇒ = = Hàm số có 2 điểm tới hạn 1 2 (4,1), (1, 2)M M= = − (0.25đ) 1 (4,1)M = 2 (1, 2)M = − ,, 2 xx z = =r 2 2 ,, 2 xy z = − =s -2 -2 ,, 6 5 yy z y= + =t 11 -7 2 s rt− 4-22<0 4+14>0 r=2 hsố đạt cực tiểu không cực trị (0.5) 2. Ta có: ( ) 2 4 6 4 x z N = − + − = − , ( ) 3 5 4 4 y z N = + − = 0 0 3 1 4cos30 4cos60 4( ) 0 2 2 z l ∂ = − + = − > ∂ (0.5đ) Vậy hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi điểm M theo hướng lập với trục Ox một góc 0 30 . 3. Hướng thay đổi nhanh nhất -4i+4j (0.5đ) Câu 2(3đ): +vẽ hình (0.5đ) +) Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ABC. 2 3 9 6 3 0 0 ( 2) 9( 3) 18 0 2 3 3 2 0 x y x y z z    ÷ + −  ÷ − = ⇔ − + − − − =  ÷  ÷ −  ÷   1 1 4 2 4 2 x y x y z z⇔ + + = ⇔ = − − (0.5đ) +) Bước 2: Đưa tích phân mặt về tích phân bội 2 bằng cách chiếu xuống mặt phẳng Oxy. Khi đó ta có: 6 4 2 y -5 x M , 2 , 2 1 ( ) ( ) x y S D m yds y z z dxdy = = + + ∫∫ ∫∫ 2 2 1 1 21 1 ( ) ( ) 4 2 4 D D m y dxdy ydxdy − − = + + = ∫∫ ∫∫ (0.25đ) Tính tích phân này có 2 cách: (0.25đ) Cách 1: 2 4 2 2 0 21 21 9. 4 4 x y y dx ydy − = + − = = ∫ ∫ Cách 2: 2 4 3 0 2 21 21 9. 4 4 x y x dy ydx =− + =− = ∫ ∫ +) Bước 3: Tính toạ độ trọng tâm: , 2 , 2 1 1 1 21 1 ( ) ( ) . 4 G x y S D D x xyds xy z z dxdy ydxdy m m m = = + + = ∫∫ ∫∫ ∫∫ 2 4 2 2 0 4 3 4 2 3 2 2 1 21 . 2 4 4 1 21 1 21 2 1 . ( 2 4 ) . ( 2 ) 2 2 4 4 2 4 16 3 2 x y y dx xydy m x x x x dx x x m m − = + − = − = − = − + = − + = − ∫ ∫ ∫ (0.5đ) 2 2 , 2 , 2 1 1 1 ( ) ( ) G x y S D y y ds y z z dxdy m m = = + + ∫∫ ∫∫ 2 4 2 2 2 2 0 4 3 4 2 2 3 2 1 21 1 21 . . 4 3 4 4 1 21 3 1 21 1 . (8 6 ) . (8 6 ) 2 3 4 2 8 3 4 2 32 18 21 21 27 . 7 4 2 x y D y y dxdy dx y dy m m x x x x dx x x x m m − = + − = − = = = − + − = − + − − = = ∫∫ ∫ ∫ ∫ (0.5đ) , 2 , 2 1 1 1 ( ) ( ) G x y S D z zyds yz z z dxdy m m = = + + ∫∫ ∫∫ 4 2 -2 y 5 x C B A 2 4 2 2 0 4 2 2 2 2 4 3 2 2 1 21 . (1 ) 4 4 2 1 21 . (1 ) 4 4 2 2 1 21 1 . ( ) 2 4 2 8 4 0 1 21 2 37 . ( ) 4 96 8 2 3 72 D x y y x y y dxdy m x y dx y dy m x y xy y y dx m y x x x dx m − = + − = − − = − − = − − − = + = − − = − − = + − − = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (0.5đ) Vậy trọng tâm G( 1 27 37 , , 2 2 72 − − ). Câu 3(2đ): Tham số hoá đường tròn C: cos sin x a t y a t =   =  với 0 2t π ≤ ≤ (0.25đ) 2 2 2 3 2 2 2 0 ( cos sin . cos cos . sin . sin ) C xy dy x ydx a t t a t a t a t a t dt π − = + ∫ ∫ Ñ (0.25đ) 2 2 4 4 2 2 2 0 0 2 4 0 4 4 4 2 cos sin sin 2 2 1 cos 4 2 2 2 sin 4 2 ( ) 0 4 2 4 4 2 a a t tdt tdt a t dt a t t a a π π π π π π = = − = = − = = ∫ ∫ ∫ (0.5đ) Áp dụng công thức Green ta có: Đặt 2 P x y= − , 2 Q xy= . Khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 ( ) C x y a I xy dy x ydx x y dxdy + ≤ = − = + ∫ ∫∫ Ñ (0.5 đ) chuyển sang hệ toạ độ cực cos , sin ,0 2x r y r ϕ ϕ ϕ π = = ≤ ≤ (0.25 đ) Ta có: 2 4 3 0 0 2 a a I d r dr π π ϕ = = ∫ ∫ (0.25 đ) Câu 4(3đ): , , , 4 sin 3 cos x y z x y y x z xe  − = −   = − +   (1) (2) ,, , (2) sin ( 1) x y x z x e⇒ = − − + + . Thế vào (1) ta được : ,, , ,, , sin (4 sin 3 ) ( 1) 4 3 ( 1) x x y x y x y x e y y y x e = − − − + + + ⇔ + + = + (3) (0.5đ) + Phương trình thuần nhất: ,, , 4 3 0y y y+ + = Phương trình đặc trưng 2 1 2 4 3 0 1, 3 λ λ λ λ + + = ⇔ = − = . Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là : 3 1 2 x x C e C e − + . (0.5 đ) + Tìm nghiệm của phương trình (3) bằng phương pháp biến thiên hằng số: ' 2 ' ' 3 1 1 2 ' ' 3 ' 2 1 2 2 1 ( 1) 0 4 1 3 ( 1) ( 1) 4 x x x x x x x C x e C e C e C e C e x e C x e − − −  = − +   + =   ⇔   − + = +    = +   2 * 2 2 * 2 2 2 1 1 3 ( 1) 4 8 16 x x x C x e dx C xe e C − − − − ⇒ = + + = + + ∫ (0.5 đ) 2 * 2 2 * 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 4 8 16 x x x C x e dx C C xe e C⇒ = − + + ⇒ = − + + ∫ (0.5 đ) 2 2 * 2 2 * 3 1 2 * * 3 1 2 1 1 1 3 ( ) ( ) 8 16 8 16 1 1 4 4 x x x x x x x x x x y xe e C e xe e C e y xe e C e C e − − − − − ⇒ = − + + + + + ⇒ = − + + + (0.25 đ) * * 3 1 2 5 3 cos 4 x x x z xe C e C e x − ⇒ = + − + (0.25 đ) Từ điều kiện ta có: * * * 1 1 2 * * * 2 1 2 7 1 0 16 4 3 1 3 0 16 C C C C C C −   =  + + =   ⇔     = + − =    (0.25 đ) 3 1 1 7 3 4 4 16 16 x x x x y xe e e e − ⇒ = − + − + 3 5 9 7 cos 16 4 16 x x x z xe e e x − ⇒ = − − + (0.25) . TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 03 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: Cho hàm số 2 3 2 5 6 2 2 z. -2 -2 ,, 6 5 yy z y= + =t 11 -7 2 s rt− 4-2 2<0 4+14>0 r=2 hsố đạt cực tiểu không cực trị (0.5) 2. Ta có: ( ) 2 4 6 4 x z N = − + − = − , ( ) 3 5 4 4 y z N = + − = 0 0 3 1 4cos30. D y y ds y z z dxdy m m = = + + ∫∫ ∫∫ 2 4 2 2 2 2 0 4 3 4 2 2 3 2 1 21 1 21 . . 4 3 4 4 1 21 3 1 21 1 . (8 6 ) . (8 6 ) 2 3 4 2 8 3 4 2 32 18 21 21 27 . 7 4 2 x y D y y dxdy dx y dy m m x x x