Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part1-4)

17 1K 5
Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part1-4)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part1-4)

trong định nghĩa B cua dién tich mat kín, gọi hình "vành khăn chỏm cẩu" có bề dày d, gồm hai mặt chỏm cầu toàn That vậy, ta có : 2xRh = 8[Q/8) x R2 hỊ/R bán Hệ Diện tích mặt cầu độ dài đường trịn lớn nhân với đường kính, lần điện tích hình trịn lớn : § (cầu) = 4x2 hình vành khăn chỏm cầu F_ hiệu thể thể tích hình cầu chia cho bán kính hình cầu phần, đồng tâm : mặt chỏm cẩu bán kính #, chiều cao bè cho, mặt chỏm cầu kính R - đ, chiều cao h = 2d Hỉnh biểu diễn thiết diện qua tâm hình "vành khăn chỏm cầu" Ƒ,„ Thể tích V(đ,F) tích hai khối chỏm cầu, nghĩa theo cơng thức thể tích chỏm cẩu : Hệ Diện tích mặt cẩu ba lần That vay, ta có 4z R? = [(4/3) R3]/R Chú thích : Để tìm diện tích mặt cầu, ta tính trực tiếp cách sử dụng định nghỉa A định nghĩa B Chứng mỉnh nhanh gọn vô đơn giản, đề nghị bạn đọc thử nghiệm lại, tự tÌm lại cơng thức diện tích mặt cầu » b A] Hình Diện trụ, Vịd, E) = x h2 (2-4) — a (h - 2d?x quanh nón cụt =a [5+ 40=#(R- “$“ )]a = Dinh li Diện tích xung quanh hình xung quanh hình nón cụt Do : Vid , F) id= xh(4R — h)— And(R — d/8) S = lim Vid ,Fyid = h (AR — h) = = 2nRh+xhQR-h) Nhưng lại có : z h (2R — h) = z r2 điện tích đáy khối chỏm cầu Từ suy tÌm Ching minh Trước hết ta tìm diện tích tồn phần Š, cách phụ thêm vào mặt xung quanh mặt đáy cho điện tích chỏm phẩn hình nón cụt) Vật thể #„ mà ta phải dựng, nói định nghĩa B diện tích mặt kín, có bề dày đ, gồm hai mặt nón cụt tồn phần, đồng trục : mặt tồn phần hình nón cụt có bán kính đáy R, R’, chiều cao # cho, mặt tồn phần hình nớn cụt nhỏ dựng bền hình nón cụt cho, có khoảng cách đến mặt nớn cụt cho ở, bán kính hai đáy R,, R’, va chiéu cao 8` = h — 2d Hình biểu diễn cầu) = % —xr?=2xRh Trường hợp đới cầu (hay cầu phân hai đáy), muốn tÌm diện tích nơ, ta lấy hiệu điện tích hai chỏm cầu, cuối đến công thức (8) ‘ Hé qué 1, Dién tich chém cầu hay đới cầu ba lần thể tích hình quạt cẩu tương ứng chia cho bán kính hình cầu (4) thành mặt kín F (nghia 1A mat toan =ad [MAR ~ 4) - 4Rd + 5a? | (3) cần hình nón cụt nửa tổng chu vi đáy nhân S=x(R+R)l = S (chém xung hÌnh +?' đường sinh co độ dài ¿ thỉ diện tích Sau tính tốn rút gọn ta cơng thức cầu : tích nón với đường sinh Nếu bán kính đáy la R, x [œ-»-*$“] Vid) hình thiết diện qua trục vật thể F, Nếu gọi góc đường sinh với mặt phẳng đáy hình nón cụt, từ hình đế dàng tính bán kính đáy theo thứ tự lớn nhỏ #,, FR’, cla hình nón cụt nhỏ đựng : R,=R-áP, Rị =1 ta đặt : tg(p/2) — dt — (6) = £ cotg(g/2) = £' (= 1/9 (0 < ø < 90°) Sau tính tốn rút gọn, ta 58 > = lim Vid, Fy id = nón cụt có bán kính đáy E, Đ' đường sinh ‡ cần tìm = (18) w AIR (E+ IP) + RE + 98] + + (2/8) x (R? + RR’ + R2) Nhung : h= (R- R’yigp= [3/(1— 22)]@#~ R°) Cuối cùng, ta kết :- S, = (1/a3) R? (1 + 8/eos@) + + (1/8)xR2(1— 8/cosp)+ (2/8)m(R2+ R2) = = x(R?+ R2)+z(ït + R)(R~ R'Vcosp Nhung (R ~ R’)/cos = 1, độ dài đường sinh hình nón cụt, z(R2+ R'2 Hệ Diện tích xung quanh hình nón nửa chu vi đáy nhân với đường sinh, nghĩa gọi P bán kính đáy ¿ đường sinh hình nón cụt Senin =1 (6) That vay, bang c&ch dat R’ = vio cơng thức (4) điên tích xung quanh hình nón cụt, ta cơng thức (6) diện tích xung quanh hình nón “Hệ ð trụ chụ gọi R cao hình Diện tích xung quanh hình vi đáy nhân với chiều cao nghĩa bán kính day b chiều trụ Sự, = 2h Œœ Thật vậy, ta có nhận xét rang cho R’ din t6i # thi hinh ndn cut dan trở thành hình tru Noi khác đi, ta xem hình trụ trường hợp giới hạn hình nón cụt Do đến giới hạn, nghĩa cho Ð' = đ, dé i = A đặt vào (4) ta công thức (7) Chú thích Tuy nhiên, ta trực tiếp suy công thức (7) diện tích xung Hình diện tích hai đáy nớ, dé ta cơng thức (4) diện tích xung quanh S hình DUNG quanh hình trụ cách đơn giản cách dùng định nghĩa B diện tích mặt kín Đề nghị bạn đọc thử nghiệm lại điều đó, tự minh tìm lại cơng thức (7) TRẬT TỰ ĐỀ GIẢI CÁC BÀI TỐN CĨ CÁC YẾU TỐ BÌNH ĐẲNG VŨ QUANG SỬU Khi làm tốn, bạn gặp khơng Ít tốn mà yếu tố tham gia bình đẳng với nhau, nghĩa ta trao đổi yếu tố cho khơng làm thay đổi tốn Chẳng hạn tốn : "Tìm tất số nguyên tố a, ở, e cho abe < ab + be + ca", "Tìm số nguyên dương * }, cho xyz = +x+y +z", tốn có tính chất vừa nêu 54 Để giải tốn dạng có nhiều cách khác nhau, tùy thuộc vào cụ thể Trong báo nhỏ muốn giới thiệu với bạn phương pháp giải toán Ta biết rằng, néu cho n s& thực a), 4, ;#„, ta cớ thể chúng theo thứ tự tăng dần giảm dần Cho nên đ), #;, , ø„ tham gia vào tốn bình đẳng với nhau, ta giải toán với giả thiết a, #, >xị„ > Tn giải phương trình Bài tốn Tim /ố! cúc số nguyên tố a, b, œ cho abc < qb + bc + Giải : VÌ số a, b, e bình đẳng với nên khơng tính tổng qt ta giả thiết a b *b = =c *®b =83=c= c = Tom < nguyên tố Jai nghiém tốn dương Giải toán Tim x, y, z cho xyz = +x +y +2, gia vào tốn bình đẳng với nên, khơng tính tổng qt ta giả thiết x > y > z > Th có khả sau : Cá ba số : không thỏa 3.x>xy>1z=1—=xzy=10+x+y 11 = &- Uớ - 1),vìx-1>„xy-1 nénx-1= 11,y-1 y=2,z =1 4x >> z> Đặt ø =xT— 2, = vax = 12, 0=yT—2, œzT— 16+ u tut w= (u + 2)(0 + 2)(ø + 9) = = uvwt Ð(w0 + 00+ 0u) + AT 0£ w)t Suy ra: = uvwt 2(uvt vwt wu)t But v + w)(*) số lớn có số lớn Do xảy ð trường hợp 1# =#¿= : >0 > u > 0ð > 2uu + 3(u + 0) > : vơ lí "Tóm lại nghiệm phương trình : l1 hốn vị >4; =#¡„ = 1, không thỏa mãn #2 SX x,=11+x,= = 1, từ (2) suy : 11 = nên chúng thỏa mãn (2) 8.4, 2X, B23 =X, = = Hy = L suy ra: => XX, = 10 + xị +7; Œ,¿~1@¿—1=11=11.1 vin, -Lex,-lsx,-1=1lx,-1=1 Từ suy x,=12,%,52 quy ZiX„x Theo Hay al vax, =x, 4.x, Bx, Bx, > a= zạ=1, từ (2) = +x + x; + toán 2, ta cố xị = 12 Xy = 2, X, = 1: khong théa man xạ > Từ xg, x, 2x) Baye X,H Ke (2) = tx, J»ị=# T2, #4 =*4—2, = Xl suy tx, +x, +x, 3„=1#ạ—2_, (4) Dat #2=#4—2 suy ray,> Vi = 1, 2, 3,4 › ta có (4) tương đương với 16 +y¥, +¥2 +93 4% = Ớ0,+2)0;+ = 8u khéng thể xẩy x=12,y=2,z= @® hon Vay 12 s6 x, , x, %,) khéng thé =u>u>u >Ô ta có : ø = 0= ey < 12, 11 số x;zx; *¡„ khơng thể có mãn phương trình 2.x>1,y=z=1l=x=ll+z: vơlí hay (2) hay x; zụ„ < 12 2.3) : tốt cỏ số nguyễn : Do x, y, z tham Từ (1) = xi + taxi, — phương trình (2) a= 2,6 = 2,¢ =p ngun té va hoán vị, a = 2, = 8, ¢ = hốn Bài #1; Xị¿ =xị +3; Vì 22 = 16 > 12 nên từ (3) ta thấy Néua = = 8be < abc > ab + be +a < aòc, mâu thuẫn với Vậy ø = (vì a nguyên tổ) Do : 2be < 2b+ be+ 2e = @) 2) 0+ 0+ 2) 16 + By, ty, ty, + ¥4) + hay suy 0= Tới #3; ty + X4) + I, =I =Ig=IG=O > 2, HX) Hay 5X, = 55 Tóm lại số cần tìm x= 1,3; = 2, Xà =1; “mu ma =1 Vay v6i a, > a, >a, >a, thi nghiém cia hệ : 22,20, XH x= Bài thục tốn đơi =ãi =1 Cho trình sau : khác Œị,02,d2,0, số Giải la,~ a,| x,+ Ja,~ a,lx,+ Ja,- Lộ +z=1 la,~a,1x,+ 1a, a,lzy+ |øạ~ a,lx„= (Đ la a,|x,+ |a¿~ ø2]x„+ Giải : Ta thấy @|,@,,0,,a, la,- @,|x,= số đơi tham bình đẳng với nhau, nên tổng quát, ta giả thiết gia vào không khác tốn tính với : (ị— @))t,+ (@,— a5)x,+ (a,— @,)x,= (a) (@,~ a,)x,+ (a,— a,}x,+ (a, — a,)x,= 16) (@)— @,)x,+ {(@.~ a3)x,+ (a,- a,x, = 1¢0) (a, 4,)x,+ (a, @,)x,+ (a,— a,)t,= 1(d) Từ hệ (2), thực phép tính (a) - (8); (b) — (@) ; (e) — (đ) ta hệ tương đương : Trên đây, ta xét số toán giải phương trình Bây ta xét số toán loại khác Bài toán B5 Các số đương œ, b, ¢ thỏa mãn diều kiện để uới số tự nhiên q, số a", b*, c? độ dài cạnh tam giác ? Giải : Khơng tính chất tổng qt, ta giả thiết a >c >0 1) Nếu ø >b >e > thì1 > ư/g > cự tự nhiên n đủ lớn cho (b/a)" + {clay" ¢ > O thi n số tự nhiên độ dài cạnh rõ tam VÌ điều kiện cần tim cia a, 5, ¢ 1& hai số lớn phải (a ~ a3) (— x, —x) +x, +x,) =0 (a, — a) (~ x, ~#¿~1¿ +x¿) =0 Bài toán Chứng minh rồng đoạn thơng, đoạn có độ đời Ì tùy ý, uới 1, 2" - khéng chia hét cho n Giải : Giả sit od sin > cho 2"~-1i n Khi n lẻ Gọi p ước số nguyên tố bé n Do p lẻ nên (2, p) = theo định H Phéc-ma ta có #~Ì— chứng p minh Rõ ràng wœ‡ k«0;f(l)=ab,b6>0; xty Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thu (om) = "pm = VAG)FO) = 0, Ta có : g(0) = g(1) f(g) =“£ te +a z—) fx) = 1a nghiém nhat y= ier (5) = “TP b-a x, ty 2) Gia thiét f(x) > Vx Vớiy = I : Từ điều kiện tốn, 1) Néu f(x,) = tai x =x, nao dé thi Tiép theo, cho x = ta XY) thi Ñ8) = 2ƒ2) — ÑU = 3b - 2a Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thu fix) = (cx + a) Giải toán f(2) = 2f(1) ~ f(0) = 26 ~ a = ; y = tốn Vậy có đạo hàm (hàm khả vi) Ở đây, trình bày vai vin tắt phương pháp sơ cấp dựa tính chất liên tục nghiệm ƒ(7) _ 8) +8) g(a) chon y = ta cho & (5) = W8) r= lthig (5) =1 Cho x = 1/2 thi g ( Ale Bài toán g (Fr) )=1 Từ đớ suy =1,meNn Mặt khác gŒ@) = [g(x/2)12, #55") = BOE) Suy với x = 2, ø(2) = Vớix = 1,y = =ÝzŒ)z(3, z() = 63 V6ix = 2,y= thi = Vg(2)g(@), vay g(4) = Do g(0) = Ye) g(—x) với suy g(-n) = &() = véi moi n nguyén Ket hop (7) va ta thu 8(/2”") = 1, Sử dụng tính chất liên tục ham s6 g(x) ta suy g(x) = Vay f(x) =a 6*;a,b > tiy ý Giải toán : Cho y = ta AO) x Efex) — f0) = Vậy nghiệm tổn fœ) = fix)#0 thi fx) =/0)>0 la Th xét (0) = Néu giá trị x„ > cho fŒ,) = nghiệm Do đó, giả thiết ƒœ) > 0, Vx > Đặt x=c!⁄, y=e—œ

Ngày đăng: 12/09/2012, 16:21

Hình ảnh liên quan

sinh của hình nĩn cụt, và z(R2+ R'2 là - Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part1-4)

sinh.

của hình nĩn cụt, và z(R2+ R'2 là Xem tại trang 2 của tài liệu.
3, Để cĩ được ý nghĩa hình học của tích vơ  hướng,  ta  hãy  quy  ước  rằng  nếu tru  là  hai  vectơ  đơn  vị  (tức  |z]  =|p[  =1)  và  uuơng  gĩc  uới  nhau  thì  :  - Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part1-4)

3.

Để cĩ được ý nghĩa hình học của tích vơ hướng, ta hãy quy ước rằng nếu tru là hai vectơ đơn vị (tức |z] =|p[ =1) và uuơng gĩc uới nhau thì : Xem tại trang 13 của tài liệu.
hướng với z (xem hình 2), thì ta cĩ - Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part1-4)

h.

ướng với z (xem hình 2), thì ta cĩ Xem tại trang 14 của tài liệu.

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan