Perfect matchings for the three-term Gale-Robinson sequences Mireille Bousquet-Mélou (LaBRI), James Propp, Julian West (Submitted on 17 Jun 2009) ∗ † ∗ † the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 1 s(n) = (s(n − 1)s(n − 3) + s(n − 2) 2 )/s(n − 4), s(n)s(n − 4) = s(n − 1)s(n − 3) + s(n − 2) 2 , s(n)s(n − k) = s(n − 1)s(n − k +1)+s(n−2)s(n−k + 2)+· · ·+ s(n − ⌊k/2⌋)s(n − ⌈k/2⌉). s(0) = s(1) = · · · = s(k − 1) = 1 k k = 4, 5 , 6, 7 a(n)a(n − m) = a(n − i)a(n − j) + a(n − k)a(n − ℓ), a(0) = a(1) = · · · = a(m−1) = 1 m = i +j = k + ℓ (i, j, k, ℓ) (3, 1, 2, 2) (4, 1, 3, 2) i, j, k, ℓ > 0 i + j = k + ℓ = m a(0), a(1), . . . a(n)a(n − m) = a(n − g)a(n − h) + a(n − i)a(n − j) + a(n − k)a(n − ℓ) g, h, i, j, k, ℓ, m the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 2 P (n; i, j, k, ℓ) n  0 n a(n) i = j = k = ℓ = 1 P (25; 6, 2, 5, 3) a(25) a(n) (i, j, k, ℓ) = (6, 2, 5, 3) P (n; i, j, k, ℓ) P (n ′ ; i, j, k, ℓ) n ′ < n P (n; i, j, k, ℓ) a(n) P (n) ≡ P (n; i, j, k, ℓ) a(0), a(1), a(2), a(0) = a(1) = · · · = a(m − 1) = 1 P (n) a(n) n a(n) a(n 1 )a(n 2 ) p(n) ≡ p(n; w, z) p(n)p(n − m) = w p(n − i)p(n − j) + z p(n − k)p(n − ℓ), i+j = k +ℓ = m p(0) = p(1) = · · · = p(m−1) = 1 w z p(n; u 2 , v 2 ) P (n; i, j, k, ℓ) the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 3 u v p(n) Z a(n) A(n, p, q) A(n, p, q)A(n−m, p, q) = A(n−i, p−1, q)A(n−j, p+1, q)+A(n−k, p, q+1)A(n−ℓ, p, q−1). (−1, 0), (1, 0), (0, 1), (0, −1) the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 4 A(n, p, q) = x n,p,q n m − 1 p, q x n,p,q A(n, p, q) n  m n, p, q, r, s A(n, p, q) A(n, r, s) A(n, p, q) x n,r,s A(n, p, q) Z[x ±1 n,r,s ] x n,r,s A(n, p, q) a(n) 1 i = j = k = ℓ = 1 A(n, p, q) A(n, p, q) A(n, p, q) n the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 5 G (V, E) V E V v E v G H = (V ′ , E ′ ) V ′ ⊂ V E ′ ⊂ E V ′ = V H G G = (V, E) H = (V ′ , E ′ ) G ∩ H = (V ∩ V ′ , E ∩ E ′ ) G ∪ H = (V ∪ V ′ , E ∪ E ′ ) G = (V, E) H = (V ′ , E ′ ) G \ H (V ′′ , E ′′ ) V ′′ = V \ V ′ E ′′ E \ E ′ V ′′ G = (V, E) E ′ E V E ′ G m(G) G E E ′ G M(G) :=  E ′  e∈E ′ e, E ′ G e n e n e x y e = {x, y} E x y {x, y} E n e G e n e = 1 2k − 1 1, 3, . . . , 2k − 3, 2k − 1, 2k−3, . . . , 3 , 1 A the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 6 9 e s n w 9 2k − 1 A N 2k − 3 A 2k − 3 A A N A A A S , A W A E A C A 2k − 5 A M(A)M(A C ) = nsM(A W )M(A E ) + ewM(A N )M(A S ), n, s, w, e A a(n) n  2 2n − 3 a(n)a(n − 2) = 2a(n − 1) 2 n  2 a(0) = a(1) = 1 a(n) i = j = k = ℓ = 1 a(n) = 2 ( n 2 ) A G A n, s, w e G N = G ∩ A N G S , G W , G E G C M(G)M(G C ) = nsM(G W )M(G E ) + ewM(G N )M(G S ). the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 7 A E A W A C A N A S 9 G A G A M(G) a = 0 M(A) a A G M(G N ) M(A N ) a = 0 a A G 2k − 1 P = (V, E) a 1. i + j + 1 (0, 1), (1, 2) . . . , (i−1, i) (0, 0), (1, −1), . . . , (j, −j) i  1 j  0 L m m L −j < · · · < L −1 < L 0 = 2k − 1 = L 1 > L 2 > · · · > L i . 2. V the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 8 3. e = {(a, b), (a, b + 1)} V a + b e E e P e E a e (0, 0) ( 0 , 1) (a, b) (a, b + 1) a + b b. c.a. (0, 0) 15 a b c b c a c 1 b (0, 0) (1, 1) R 2 P P 2k − 1 2k −1 ℓ r P P (ℓ, r) P ℓ (0, 0) 0 1 −1 P P the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 9 [...]... P Ú ×Ø Ị × Ð Ư Ư ÐĨ× × ÐÝ Ơ Ị ĨỊ ¸ ×Ø Ị ×Ø ÐĨ× ÙØ Ư ×Ø Ị ×Ù ¹Ơ Ị ĨỊ × Ĩ Ơ Ị ĨỊ Pº Ị Ư ĨƯ ĨƯ Ơ Ư Ø ¯ P Ư ´ ××Ĩ Ø Đ Ø Ư × × Ø Đ Ø Ị Ø ĨƯ Ị Ø Ø Ø Ị ¸ Ĩ Ư Ị P Ü ĐƠÐ P¸ Ị Ø ×¸ P Ĩ Ị Ĩ ĨƯ Ơ Ị ĨỊ P¸ Ĩ ƯĨĨØ the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 ØÛĨ ÐĨ× ×Ø Ị Ị Đ Ðݸ Ø P Ø Ư Ø Ð ×º Ì ĨỊØ Ị ĨØ Ø Ư ØĨ Ị Ư Ø Ị غ ÁỊ Ø × ×Đ ÐÐ Ư ÐĨ× ¯ Pº ØĨ Ø× ĨƯ × ½¸ ׺ ỊØ Ư× Ø ĨỊ Ĩ P Ư Ø ĐÙ×Ø ÙỊ ĨỊ ĨƯ ỊØ Ư×... Ĩ Ø ØƯ Ị×Ð Ø ´ĐĨƯ ×Ø Ị Ø P0 Ĩ ØØ ỊØ ĨỊ ØĨ ×Ø Ị Ị b1 Ơ Ị ĨỊ ĨƯ P ĨƯ º Ä Ø Ư × Ø Ø Ị ¯ Pº ĨÙỊ v Đ Û Ø × Ø Ý Ù× Ị Ø Á × Đ Q × ỊĨØ ÐĨ× ƯÝ Ĩ Ư ƠƯĨ Đ Ø Qº Ä Ø ÙƯ Ø Ị ỊÙĐ ¸ Ø Ị Ø v = (a, b) ØĐĨ×Ø Ú Ừ Ü Ị ĨỊ the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 Ø Ư Ù × Ưº Ä Ø Ư ×Ù ¹Ơ Ị ĨỊ Q ĐÙ×Ø ĨỊ Ĩ Ø Ĩ Ø Q ×Ù ¹Ơ Ị ĨỊ Ø Ð Ø ƯĨÛ× Ĩ Ư Qº ×Ø ĨỊ Ĩ Ĩ P P Ú Ừ Ü Ĩ ØĐĨ×Ø Ú Ừ × ××ÙĐ ĨƯ Ø 11 v ĐĨĐ ỊØ Ø Ø Ĩ ĨƯ ÙƯ... m(Q) = m(Q ) = ¯ ¯ m(Q∗∗ ) = · · · Ị P = Q = Q∗ = Q∗∗ = · · · º Ú ỊØÙ ÐÐÝ Û ƯƯ Ú Ø ÐĨ× ×Ù ¹ Ơ Ị ĨỊ Ĩ P Û Ĩ× ĨƯ ĨỊ×ØỨ Ø ĨỊ ƠƯ × ƯÚ × × ¯ P m(Q)¸ Û Ø Ø ×¸ Û ĨỊ ÐÙ ¯ Ø P Ø× Ð º ¯ ) = m(P )¸ m(P ƯƯ Ú Ø Ø the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 Ị × Ị × Ð Đ ×Ø Ơ Ĩ ĨÙƯ º 12 ¾º ĨỊ Ị× Ø ĨỊ Ø ĨƯ Đ ĨƯ ÐĨ× Ä Ø P ÐĨ× ×Đ ÐÐ ×Ø Ä Ø Ơ Ị ĨỊ ¸ Û Ø ĐĨỊ G ỊĨØ Ư Ơ Ø ĨƯ ÞĨỊØ Ð A¸ × Ĩ Ơ Ị ĨỊ º ÅĨƯ ĨÚ Ư¸... ×Ø ÐĨ× ×Ù ¹Ơ Ị ĨỊ ƯĨĨØ ĨỊ (ℓ′0 , r0 )º Ì × ƠƯĨƠĨ× Ø ĨỊ ĐƠÐ ×ÕÙ Ư ÁỊ Ị ¸ Ø × Ø Ư ĨỊ×ØỨ Ø Ơ Ừ Ĩ P ÐĨ Ø Ø Ơ Ị ĨỊ ƯĨĐ Ø× ×ØƯ ØÐÝ P Ø Ø × Ị ĨÙƯ Đ ĨÚ ĐỜݸ ỊĨƯ Ư Ù ØĨ N S E Ị ×Ù ¹Ơ Ị ĨỊ × P ¸ P ¸ P Ị Ø× ÐĨỊ the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 Ø Ư ×Ø ƯĨÛ Ĩ Ị × Û Ø Ø Ð W P º ØĨƠ Ơ Ừ Ĩ 13 r1 PN ℓ0 ℓ′0 ′ r0 r0 PC PW PE r−1 PS ÙƯ P N º ÅĨƯ ĨƯ r < 0¸ Ì Ú ×Ù ¹Ơ Ị ĨỊ × Ĩ Pº Ơ Ị ĨỊ r > 0 Ĩ Ị ×... Ị ĨỊ × ỊØƯĨ Ù ỊÙĐ ¾Ì Ư Ĩ Ơ Ư × Ư Ø Ị Ð Ø Đ Ø × Ị × ỊÙĐ Ị× Ø ĨỊ Ư ×ÙÐØ Ư¸ Ĩ ÐĨ× Ð ¹ÊĨ Ị Ø ƠƯ Ú ĨÙ× × Ø ĨỊ Ị × Ĩ Ø ĐĨỊ ØÙ ÐÐÝ ĨỊÐÝ Ù× ÙÐ PW × Ư Ơ Û Ø Ø Đ Ø Ị ĨƯ Đ ½¿µº Ị×ĨỊ × ÕÙ Ị × Ị Ư Ð Þ Ĩ Û ĐỜÝ ĨƯ Ư the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 Ð Ị Ơ Ị ĨỊ × ´Ì Ù Ø ÞØ 2n − 3 ØĨ × Ị Ð ĐĨỊ × Ø Ð nØ Ư Ơ ׺ Ì Ø ƯĐ Ị Ø ×ÕÙ Ư º 14 Ư ÙƯƯ Ị a(n)a(n − 2) = a(n − 1)a(n − 1) + a(n − 1)a(n − 1), Û Ø... Û ÐÐ Ø Ị ℓ ƠÐ Ý ×ÝĐĐ ØƯ ƯĨР׺ ÙƠƠ Ư Ơ Ừ Ĩ Ý ĨỊÚ ỊØ ĨỊ¸ Ø Ø× ËĨÙØ ¹Ï ×Ø ĨƯỊ Ư Ð c = 0, 1, k × Ø ĨĨƯ × ´×ØƯ ØÐݵ ÐĨỊ Ị Ø × Ị ƯĨÛ Ư Ø Ð×Ĩ¸ Ơ Ị ĨỊ ¸ Û ×Ø ƯĨÛ Ĩ ×Ø Ị (0, 0)¸ × × ĨÛỊ Ị r 0¸ Ð ÙÐ Ø Ø × Ị the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 × ÕÙ Ị ¸ × Ị U(n, 0, c) = L(n, 0, c)º Ð L Û ÐÐ × Ư Ø× Ư Ơ Ị ĨỊ × ƯĨÛ 0 ÙƯ º U(n, r, c) 2j ´Ư ÐÐ Ø Ú ÐÙ × m ĨƯ Ø 15 i+j = m j iµº rØ (U(n, r, c),... ÁỊ ƯĨÛ 1¸ Ø Ư × ĨỊ Ĩ Ù× U(12, 2, 0) = 1 < 2º ÌÙƯỊ Ị Û Ø ÐĨÛ Ư Ú Ừ Ü (2, −1) Ị Ư Đ × ỊĨÛ ƯĨÙØ Ị ¸ Ø Ø Ư Û Ø Û Ø Ø× ½ Ơ Ư (5, 2, 3, 4) Ị Ø Đ Ø × Ø × × Ú × Ø Ị ׺ Ơ Ị ĨỊ ĨƯ Ị Ðݸ a(12) = 14º ĨƯĨÐÐ ƯÝ ½¼º the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 16 (0, 0) ÙƯ ½¼ Đ Ø Ì Ị × ´ Ì (4) × ´ĨƯ¸ P (12; 5, 2, 3, 4)¸ Ơ Ị ĨỊ ƯĨ×× ×Ø Ị × ĨƯ Ơ Ị ĨỊ × × ĨỊ Ø ÕÙ Ú Ð ỊØÐݸ Ø Ð ØÛ Ị ØÛĨ Ð ×ÕÙ Ư × 0¸ Ø 0¸ Ø... ظ ÙƠ ØĨ ØƯ Ị×Ð Ø ĨỊ¸ P (n)W = P (n − i)¸ P (n)E = P (n − j)¸ P (n)N = P (n − k)¸ P (n)S = P (n − ℓ) P (n)C = P (n − m)º Ì × ÕÙ Ú Ð Ị × Û ÐÐ ĨÐÐĨÛ ƯĨĐ Ø ỊØ ƯÐ Ú Ị ƠƯĨƠ ỪÝ Ị ĨÐÐĨÛ Ị Ð Ư ÕÙ Ð Ø Ị Ø ×º the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 17 Ä ĐĐ × Ø×Ý ĨƯ ỊÝ Ĩ Ĩ Ơ Ư Đ Ø Ư× (i, j, k, ℓ)¸ Ø U(n − i, r, c − 1) U(n − j, r, c) U(n − k, r − 1, c) U(n − ℓ, r + 1, c − 1) U(n − m, r, c − 1)... ƯĨÛ × ƠƠ ÙØ × Ư׺µ Ì ỊỊ Ị Ị Ø × ØƯ Ị×Ð Ø ĨỊº Ø Ø Í× Ị Ø × Ư Ờ ĨỊ Ĩ Ø Ø Ø Ø Ð ×ÕÙ Ư × Ĩ P (n) W Ị P (n) Ư Ø Ĩ× Ĩ P (n)¸ Ü Ờ Ø Ị Ư ĐĨÚ Ư P (n)W = P (n − i)º ĨƯ Û Ø º ´Á Ø W × Û × Ø P (n) Ị c = 1, 2, the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 Ĩ ỊØ ƯÐ Ú ¸ Û Ý Ø Ø Ư Ị Ø ĨỊÐÝ Ĩ ĨỊ×ØỨ Ø Ị×Ø Ư ƯĨÛ¸ Ø ĨÐÐĨÛ Ị c = 0, 1, º Ì Ø × Đ P (n)W × Ú Ị Ø Ø ØĐĨ×Ø Ĩ Ị Ø ỊØ Ư ĨỊ×ØỨ Ø ĨỊ ĨƯ Ị× Ø Ø Ị ƯĨÛ... P (n − j), P (n − k), P (n − ℓ)µ × Ø× ËĨÙØ ¹Ï ×Ø ĨƯỊ Ư Ø (0, 0) ´Ư ×Ơº (2, 0)¸ (1, 1)¸ (1, −1)µ¸ Û Ð Ø 2¹ ݹ1 Ư Ø Ị Ð × Ø× ËĨÙØ ¹Ï ×Ø ĨƯỊ Ư Ø (0, 0)º ´Ì × Ư Ø Ị Ð × ØÙ ÐÐÝ ĨỊÐÝ Ị ×× ƯÝ P (n − i) × ĐỜÝ the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 19 P (4) = P (5) = P (6) = P (7) = E P (5) = P (4) P (8) = P (6)E = P (5) P (9) = P (8)N = P (8)S = P (6) ÙƯ ½½ Ê ÙƯ× Ú × ÕÙ Ị º Ø Ø Ơ Ị ĨỊ P (n . Perfect matchings for the three-term Gale-Robinson sequences Mireille Bousquet-Mélou (LaBRI), James Propp, Julian West (Submitted on 17 Jun 2009) ∗ † ∗ † the electronic. . . . a(n)a(n − m) = a(n − g)a(n − h) + a(n − i)a(n − j) + a(n − k)a(n − ℓ) g, h, i, j, k, ℓ, m the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 2 P (n; i, j, k, ℓ) n  0 n a(n) i = j. k)p(n − ℓ), i+j = k +ℓ = m p(0) = p(1) = · · · = p(m−1) = 1 w z p(n; u 2 , v 2 ) P (n; i, j, k, ℓ) the electronic journal of combinatorics 16 (2009), #R125 3 u v p(n) Z a(n) A(n, p, q) A(n, p, q)A(n−m,