26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 73 Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov – – Thí dụ Thí dụ  Xét tính ổn đònh của hệ thống tại điểm cân bằng: ))(),(()( t u t t x f x = &         +−− = )( 1 )()(sin )( ),( 2 2 2 1 2 tu ml tx ml B tx l g tx uxf trong đó:  Xét hệ con lắc mô tả bởi PTTT: m u l θ + − 0 (a) (b)       = 0 0 e x       = 0 π e x 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 74 Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov – – Thí dụ (tt) Thí dụ (tt)         +−− = )( 1 )()(sin )( ),( 2 2 2 1 2 tu ml tx ml B tx l g tx uxf 0 )0( 1 1 11 = ∂ ∂ = == u x f a 0,x l g tx l g x f a u u −=−= ∂ ∂ = == == )0( 1 )0( 1 2 21 )(cos 0,x 0,x 1 )0( 2 1 12 = ∂ ∂ = == u x f a 0,x 2 )0( 2 2 22 ml B x f a u −= ∂ ∂ = ==0,x  Mô hình tuyến tính quanh điểm cân bằng [ ] T e 00=x u ~ ~ ~ BxAx += &         −− = 2 10 ml B l g A ⇒ ⇒ PTĐT 0 1 det)det( 2 =         + − =− ml B s l g s sI A 0 2 2 =++ l g s ml B s ⇔ Kết luận: Hệ thống ổn đònh (theo hệ quả tiêu chuẩn Hurwitz) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 75 Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov – – Thí dụ (tt) Thí dụ (tt)         +−− = )( 1 )()(sin )( ),( 2 2 2 1 2 tu ml tx ml B tx l g tx uxf 0 )0 0 ( 1 1 11 = ∂ ∂ = =       = u x f a ,x π l g tx l g x f a u u =−= ∂ ∂ = =       = =       = )0 0 ( 1 )0 0 ( 1 2 21 )(cos ,x ,x π π 1 )0 0 ( 2 1 12 = ∂ ∂ = =       = u x f a ,x π 2 )0 0 ( 2 2 22 ml B x f a u −= ∂ ∂ = =       = ,x π  Mô hình tuyến tính quanh điểm cân bằng [ ] T e 0 π =x u ~ ~ ~ BxAx += &         − = 2 10 ml B l g A ⇒ ⇒ PTĐT 0 1 det)det( 2 =         +− − =− ml B s l g s sI A 0 2 2 =−+ l g s ml B s ⇔ Kết luận: Hệ thống không ổn đònh (PTĐT không thỏa điều kiện cần) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 76 Phương pháp trực tiếp Lyapunov Phương pháp trực tiếp Lyapunov – – Đònh lý ổn đònh Đònh lý ổn đònh Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho: ii) 0)0( =V i) x x ∀ ≥ ,0)( V iii) 0 ,0)( ≠∀< xxV & Thì hệ thống (1) ổn đònh Lyapunov tại điểm 0. Giả sử hệ thống có điểm cân bằng x e = 0.  Đònh lý ổn đònh Lyapunov: Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi phương trình trạng thái: 0 ),( = = u uxfx & (1) Chú ý: Hàm V(x) thường được chọn là hàm toàn phương theo biến trạng thái. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 77 Phương pháp trực tiếp Lyapunov Phương pháp trực tiếp Lyapunov – – Đònh lý không ổn đònh Đònh lý không ổn đònh Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho: ii) 0)0( =V i) x x ∀ ≥ ,0)( V iii) 0 ,0)( ≠∀> xxV & Thì hệ thống (1) không ổn đònh tại điểm 0. Giả sử hệ thống có điểm cân bằng x e = 0.  Đònh lý không ổn đònh: Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi phương trình trạng thái: 0 ),( = = u uxfx & (1) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 78 Phương pháp trực tiếp Lyapunov Phương pháp trực tiếp Lyapunov – – Thí dụ Thí dụ  Xét tính ổn đònh của hệ thống tại điểm cân bằng u(t)=0: ))(),(()( t u t t x f x = &         +−− = )( 1 )()(sin )( ),( 2 2 2 1 2 tu ml tx ml B tx l g tx uxf trong đó:  Xét hệ con lắc mô tả bởi PTTT: m u l θ + − 0 (a) (b)       = 0 0 e x       = 0 π e x 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 79 Phương pháp trực tiếp Lyapunov Phương pháp trực tiếp Lyapunov – – Thí dụ Thí dụ () [] 2 2 2 1 2 5.0sin2)( x g l xV +=x  Chọn hàm Lyapunov (a)       = 0 0 e x  Rõ ràng: xx ∀ ≥ ,0)(V 0 khi 0)( = = xxV  Xét )(xV & ()() 22111 5.0cos5.0sin2)( xx g l xxxV && & += x         +−− = )( 1 )()(sin )( ),( 2 2 2 1 2 tu ml tx ml B tx l g tx uxf 0,0)( 2 2 ≠∀<−= xx x mgl B V & ⇒  Kết luận: Hệ thống ổn đònh tiệm cận tại điểm cân bằng [ ] T 00= e x () ()       −−+= 2 2 1212 sinsin x ml B x l g x g l xx 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 80 Phương pháp trực tiếp Lyapunov Phương pháp trực tiếp Lyapunov – – Thí dụ Thí dụ  Chọn hàm Lyapunov chứng tỏ rằng hệ thống không ổn đònh (SV tự làm) (b)         +−− = )( 1 )()(sin )( ),( 2 2 2 1 2 tu ml tx ml B tx l g tx uxf       = 0 π e x . ,0)( V iii) 0 ,0)( ≠∀> xxV & Thì hệ thống (1) không ổn đònh tại điểm 0. Giả sử hệ thống có điểm cân bằng x e = 0.  Đònh lý không ổn đònh: Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi phương. A 0 2 2 =++ l g s ml B s ⇔ Kết luận: Hệ thống ổn đònh (theo hệ quả tiêu chuẩn Hurwitz) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 75 Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov. A 0 2 2 =−+ l g s ml B s ⇔ Kết luận: Hệ thống không ổn đònh (PTĐT không thỏa điều kiện cần) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 76 Phương pháp trực tiếp Lyapunov Phương pháp trực tiếp Lyapunov – – Đònh lý ổn đònh Đònh