Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo trình : Giải tích lồi
GIẢI TÍCH LỒIHuỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế20/10/2005 1Mục lụcMục lục 1Chương 1 Tập lồi 31.1. Tập lồi - Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3. Nón lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4. Định lý Carathéodory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Định lý tách tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1. Định lý Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2. Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii. . . . . . 61.2.3. Định lý tách tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1. Không gian tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2. Không gian tôpô tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.3. Không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.4. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.5. Không gian tích - Phần bù tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Tập lồi trong không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . 121.4.1. Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn. . . . . . . 131.4.2. Các tính chất tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.3. Nón lùi xa của tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Chương 2 Không gian liên hợp - Tôpô yếu 162.1. Định lý tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2. Định lý Tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3. Định lý Tách mạnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 22.2. Tôpô yếu - Tôpô yếu*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.1. Tôpô yếu trên X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2. Tôpô yếu* trên X∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.3. Cặp đối ngẫu tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.4. Không gian Banach phản xạ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Chương 3 Hàm lồi 233.1. Cấu trúc hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.1. Định nghĩa hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2. Các phép toán trên hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.1. Hàm nửa liên tục dưới. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.2. Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3. Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.1. Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine. . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.2. Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4. Dưới vi phân hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.2. Quan hệ với đạo hàm theo hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4.3. Các phép toán qua dưới vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.4. Ứng dụng khảo sát bài toán Quy hoạch lồi. . . . . . . . . . . . 32 Chương 1TẬP LỒI1.1. Tập lồi - Đa tạp affine.1.1.1. Đa tạp affine.Cho X là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(x, y), [x, y], (x, y) lần lượt làđường thẳng đi qua x, y, đoạn thẳng và đoạn thẳng mở nối hai điểm x và y. Tức làL(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ R},[x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]},(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)}.Một tập M ⊂ X được gọi là đa tạp affine, hay đơn giản là tập affine, nếu với mọicặp điểm x, y ∈ M ta có L[x, y] ⊂ M. Từ định nghĩa này ta có ngay tính chất saua) Giao của một họ bất kỳ các đa tạp affine là một đa tạp affine.Nếu A ⊂ X là một tập con bất kỳ của X ta gọi bao affine của A, ký hiệuAff(A), là giao của tất cả các đa tạp affine chứa A. Từ tính chất a) Aff(A) là mộtđa tạp affine và là đa tạp affine bé nhất chứa A.Thật ra tập Aff(A) có thể được biểu diễn một cách tường minh hơn. Ta gọivéctơ có dạngx =mi=1λiai, với λi∈ R thoả mãnλi= 1là một tổ hợp affine của các véctơ {a1, a2,··· , am}. Ta nhận được các tính chất saub) Aff(A) = {x | x là tổ hợp affine của các vectơ thuộc A}.c) A là đa tạp affine khi và chỉ khi A = Aff(A), tức làA =m1λiai| m ∈ N∗; ai∈ A; λi∈ R :λi= 1 4d) M là đa tạp affine khi và chỉ khi với mọi m ∈ M ta có M − m ≤ X, tức làM = m + V, với V là một không gian con của X.Lúc đó, ta gọi chiều và đối chiều của M chính là chiều và đối chiều của V :dim M := dim V ; codim M := codim V.Nếu codim M = 1 ta nói M là một siêu phẳng.Bây giờ nếu Y cũng là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(X, Y ) là không giancác ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . Đặc biệt nếu Y = R, ta đặt X#:= L(X, R), làkhông gian các phiếm hàm tuyến tính trên X.e) M ⊂ X là siêu phẳng khi và chỉ khi tồn tại f ∈ X#\ {0} và α ∈ R sao choM = f−1(α) = {x ∈ X | f(x) = α}.f) Nếu codim M = k ∈ N thì tồn tại các siêu phẳng M1, M2,··· , Mksao choM =k1Mi.1.1.2. Tập lồi.Tập hợp C ⊂ X được gọi là lồi nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ C ta có (x, y) ⊂ C.a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là lồi.Tương tự bao affine, ta gọi bao lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu co A, là giaocủa tất cả các tập lồi chứa A. Từ tính chất trên co A cũng là một tập lồi và là tậplồi bé nhất chứa A.Một tổ hợp affine x =mi=1λiaivới các λi≥ 0 sẽ được gọi là một tổ hợp lồicủa các véctơ {a1,··· , am}.b) co A = {x | x là tổ hợp lồi của các vectơ thuộc A}.c) C là tập lồi khi và chỉ khi C = co C, tức làC =m1λiai| m ∈ N∗; ai∈ C; λi≥ 0 :m1λi= 1.Nếu C là tập lồi, ta định nghĩa số chiều của C chính là số chiều của Aff(C):dim C := dim Aff(C).d) Nếu A và B là các tập lồi và α ∈ R, thì các tập A + B, αA cũng lồi. 51.1.3. Nón lồi.Một tập K ⊂ X được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0 ta cóλk ∈ K. Nếu hơn nữa, K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lồi. Một tổ hợp tuyếntínhmi=1λiaisẽ được gọi là một tổ hợp dương nếu λi≥ 0 với mọi i, là tổ hợpdương không tầm thường nếu tồn tại ít nhất một hệ số λidương chặt.a) Giao của một họ bất kỳ các nón lồi là một nón lồi.Ta gọi bao nón lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu con co A, là nón lồi bé nhấtchứa A. Lúc đó,b) con co A = {x | x là tổ hợp dương không tầm thường các vectơ thuộc A}.c) K là nón lồi khi và chỉ khi K = con co K, tức làK =m1λiki| m ∈ N; ki∈ K; λi≥ 0 :m1λi> 0}.d) Nếu K1, K2là các nón lồi chứa gốc thì K1+ K2= co(K1∪ K2).1.1.4. Định lý Carathéodory.Định lý 1.1. Cho A ⊂ X. Lúc đó, với mọi k ∈ con co A \ {0}, tồn tại hệ độc lậptuyến tính {a1, a2,··· , am} ⊂ A và các số dương λ1,··· , λmsao chok =m1λiai.Định lý 1.2 (Carathéodory). Giả sử dim X = n < ∞ và A ⊂ X. Lúc đó, với mọix ∈ co A, x là tổ hợp lồi của một họ không quá n + 1 vectơ thuộc A. Tức là, tồn tạihệ {a0, a1,··· , am} ⊂ A và các số λ0,··· , λm≥ 0, với m ≤ n, sao chom0λi= 1 và x =m0λiai.1.2. Định lý tách tập lồi.1.2.1. Định lý Hahn-Banach.Cho X là một không gian vectơ. Một ánh xạ ϕ : X → R được gọi là một phiếmhàm dưới tuyến tính nếua) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với mọi x, y ∈ X;b) ϕ(λx) = λϕ(x) với mọi λ > 0, x ∈ X. 6Định lý 1.3 (Hahn-Banach). Cho ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên X, Mlà một không gian con của X và f ∈ M#thoả mãnf(m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M.Lúc đó, tồn tại F ∈ X#sao choa) F (m) = f(m) với mọi m ∈ M;b) F (x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ X.Hệ quả 1.1. Cho X là không gian định chuẩn và M là không gian con của X. Lúcđó, với mọi f ∈ M∗, tồn tại F ∈ X∗sao choF|M= f và F = f.Hệ quả 1.2. Cho X là không gian định chuẩn và x0∈ X \ {0}. Lúc đó, tồn tạix∗∈ X∗sao chox∗ = 1 và x∗, x0 = x0.1.2.2. Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii.Một tập con A của không gian vectơ X được gọi là hấp thụ nếu∀x ∈ X, ∃ > 0, (−x, x) ⊂ Ahay, một cách tương đương,∀x ∈ X, ∃δ > 0, ∀|t| ≥ δ, x ∈ tA.Một điểm x0được gọi là điểm bọc của A nếu A− x0là hấp thụ. Tập tất cả cácđiểm bọc của A, ký hiệu core A, được gọi là lõi của A. Rõ ràng, khái niệm điểm bọclà một mở rộng của khái niệm điểm trong của không gian định chuẩn. Hơn nữa, tacó kết quả sauMệnh đề 1.4. Nếu X là một không gian định chuẩn và A ⊂ X, thìa) Int A ⊂ core A.b) Nếu dim X < ∞ và A lồi, thì Int A = core A.Mệnh đề 1.5. Nếu C ⊂ X là tập lồi, thì các tập core C vàlin C := {y ∈ X | ∃ c ∈ C, [c, y) ⊂ C}cũng lồi. 7Bây giờ, cho C là một tập lồi hấp thụ trong X. Ta định nghĩa phiếm hàmMinkowskii của C là hàm được xác định bởipC(x) := inf{λ > 0 | x ∈ λC}; x ∈ X.Rõ ràng, 0 ≤ pC(x) < ∞ với mọi x ∈ X.Định lý 1.6. pClà phiếm hàm dưới tuyến tính và{x ∈ X | pC(x) < 1} ⊂ C ⊂ {x ∈ X | pC(x) ≤ 1}.Cụ thể hơn, ta có {x ∈ X | pC(x) < 1} = core C và {x ∈ X | pC(x) ≤ 1} = lin C.1.2.3. Định lý tách tập lồi.Cho A và B là hai tập con của không gian vectơ X. Một phiếm hàm tuyến tínhf ∈ X#\ {0} được gọi là tách A và B nếuf(a) ≤ f(b) (hoặc f (a) ≥ f(b)); ∀a ∈ A, b ∈ B.Điều này tương đương với nói rằng, tồn tại một số α ∈ R sao chof(a) ≤ α ≤ f (b); ∀a ∈ A, b ∈ B.Lúc đó, ta nói siêu phẳngH(f; α) := f−1(α) = {x ∈ X | f(x) = α}tách A và B. Trường hợp B là tập một điểm: B = {x0}, ta nói đơn giản siêu phẳngH(f; α) tách A và x0. Rõ ràng, siêu phẳng tách hai tập, nếu có, là không duy nhất.Định lý 1.7 (Định lý tách cơ bản). Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng, core A = ∅và A ∩ B = ∅. Lúc đó, tồn tại siêu phẳng tách A và B.Bổ đề 1.1. Nếu C là tập lồi hấp thụ và x0∈ C thì tồn tại siêu phẳng tách C và x0.1.3. Không gian tôpô lồi địa phương.1.3.1. Không gian tôpô.Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một họ τ ⊂ P(X) được gọi là một tôpô trênX nếu nó thoả mãn các tính chất sau:i) ∅, X ∈ τ,ii) Giao của một số hữu hạn phần tử thuộc τ thì thuộc τ, 8iii) Hợp của một họ tuỳ ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ.Lúc đó, X được gọi là một không gian tôpô và mỗi phần tử U ∈ τ được gọi là mộttập mở trong X.Bây giờ cho A ⊂ X, x0∈ X, ta nói x0- là một điểm trong của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U ⊂ A,- là một điểm ngoài của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U và U ∩ A = ∅,- là một điểm biên của A nếu hai mệnh đề trên đều sai.Ta nói phần trong (phần ngoài, biên) của A là tập hợp gồm tất cả các điểmtrong (điểm ngoài, điểm biên tương ứng) của A và ký hiệu là Int A (Ext A, ∂A).Nếu x0là điểm trong của A ta cũng nói A là một lân cận của x0. Tập A được gọi làđóng nếu ∂A ⊂ A. Với A là tập bất kỳ, ta gọi bao đóng của A là tập A := A∪ ∂A.Các kết quả dưới đây có thể được kiểm chứng dễ dàng.a) A là đóng khi và chỉ khi X \ A là mở.b) Với A là tập tuỳ ý, Int A là tập mở, và là tập con mở lớn nhất của A, A mởkhi và chỉ khi A = Int A.c) Với A là tập tuỳ ý, A là tập đóng, và là tập đóng bé nhất chứa A, A đóngkhi và chỉ khi A = A.Từ tính chất a) và các tính chất của tập mở ta suy ra các tính chất của tậpđóng:i) ∅ và X là các tập đóng,ii) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng,iii) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng.Một tập được sắp thứ tự (I, <) được gọi là tập định hướng nếu với mọi λ, µ ∈ Itồn tại γ ∈ I sao cho λ < γ và µ < γ. Một dãy suy rộng trong X là một ánh xạϕ từ một tập được định hướng I vào X. Nếu ký hiệu xλ:= ϕ(λ) thì ta có thể nói(xλ) là một dãy suy rộng trong X. Giả sử (xλ)λ∈Ilà một dãy suy rộng, J là một tậpđịnh hướng khác và φ là một ánh xạ từ J vào I, với λµ:= φ(µ); µ ∈ J, thoả mãn:+ Với mọi µ < µta có λµ< λµ;+ Với mọi λ ∈ I tồn tại µ ∈ J sao cho λ < λµ.Lúc đó, ta gọi ϕ ◦ φ là dãy (suy rộng) con của dãy ϕ hay (xλµ) là dãy con củadãy (xλ).Dãy suy rộng (xλ) trong không gian tôpô (X, τ) được gọi là hội tụ đến ¯x nếuvơi mọi lân cận V của ¯x, tồn tại λ0sao cho với mọi λ > λ0ta có xλ∈ V . Lúc đó, taký hiệu xλ→ ¯x. Một tập con A của X được gọi là compact nếu mọi dãy suy rộngtrong A đều tồn tại dãy con hội tụ đến một điểm thuộc A. Ta có thêm các kết quảsau 9d) A là tập đóng ⇐⇒ với mọi dãy (xλ) ⊂ A, nếu xλ→ ¯x thì ¯x ∈ A.Ta gọi một phủ mở của A là một họ {Uα| α ∈ Λ} các tập mở sao choA ⊂α∈ΛUα.Lúc đó, nếu có họ hữu hạn H = {α1, α2,··· , αk} ⊂ Λ sao choA ⊂α∈HUα,thì ta nói đây là một phủ con hữu hạn của phủ trên.e) A là tập compact ⇐⇒ mọi phủ mở của A đều tồn tại phủ con hữu hạn.1.3.2. Không gian tôpô tuyến tính.Cho không gian vectơ X. Lúc đó, một tôpô τ trên X được gọi là tương thíchvới cấu trúc đại số trên X nếu dưới tôpô này, các ánh xạ sau liên tục.+ :X × X → X,. :R × X → X.Tức là:Với mọi x, y ∈ X và mọi lân cận W của x + y, tồn tại các lân cận U của x, Vcủa y sao cho U + V ⊂ W.Với mọi λ ∈ R, x ∈ X và mọi lân cận W của λx, tồn tại > 0 và lân cận Vcủa x sao cho µV ⊂ W với mọi µ ∈ (λ− , λ + ).Lúc đó, τ được gọi là tôpô tuyến tính trên X và X được gọi là một không gianvectơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính.Bổ đề 1.2. Trong không gian tôpô tuyến tính X,Phép tịnh tiến: Ta(x) := a + x,Phép vị tự: ϕα(x) := αx,với a ∈ X, α ∈ R \ {0}, là các phép đồng phôi từ X lên X.Hệ quả 1.3. Trên không gian tôpô tuyến tính ta cóa) V là lân cận gốc ⇔ V + a là lân cận của a;b) V là lân cận gốc ⇔ αV là lân cận gốc, với mọi α = 0.Hệ quả 1.4. Nếu V là lân cận gốc trong không gian tôpô tuyến tính X, thìa) V là tập hấp thụ. [...]... R là tập lồi. Lúc đó f F là hàm lồi trên X. Bây giờ cho f 1 , f 2 ,··· , f m là những hàm lồi chính thường trên X. Ta gọi tổng chập của họ các hàm (f i ) 1≤i≤m là hàm f được xác định bởi: f(x) := inf m 1 f i (x i ) x i ∈ X : m 1 x i = x ; x ∈ X và ký hiệu f = m 1 f i . Mệnh đề 3.8. Tổng chập của họ các hàm lồi, chính thường cũng là hàm lồi. Cho f : X → R. Ta định nghĩa bao lồi của f... −∞, ∀x ∈ X, và được gọi là lồi nếu epi f là tập lồi trong khơng gian X × R. Nếu −f là hàm lồi thì f được gọi là hàm lõm. Mệnh đề 3.1. Nếu f lồi thì dom f lồi. Mệnh đề 3.2. Nếu f lồi thì C(f; α) lồi với mọi α ∈ R. Mệnh đề 3.3. Cho f : X → (−∞, +∞]. Lúc đó, f lồi ⇔ f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y); ∀x, y ∈ X; ∀λ ∈ (0, 1). 21 Hệ quả 2.8. Giả sử (X, τ) là một không gian lồi địa phương Hausdorff với... 3 HÀM LỒI 3.1. Cấu trúc hàm lồi. 3.1.1. Định nghĩa hàm lồi. Cho (X, τ) là một không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff và f : X −→ [−∞,∞] là một phiếm hàm trên X. Các tập hợp dom f := {x ∈ X | f(x) < ∞}, epi f := {(x, γ) ∈ X × R | f(x) ≤ γ} lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và epi đồ thị của f. Ngoài ra, với mỗi α ∈ R ta gọi tập hợp sau là tập mức dưới của hàm f tương ứng với mức : C(f; α) := {x... : X → R, ba phát biểu sau là tương đương a) f l.s.c. b) C(f ; α) đóng, với mọi α ∈ R, c) epi f là tập đóng trong X × R. Từ kết quả này mà một hàm nửa liên tục dưới còn được gọi là hàm đóng. Hệ quả 3.4. Một hàm lồi, l.s.c. thì cũng l.s.c. theo tôpô yếu. Cho f : X → R. Ta gọi bao đóng của f là hàm ¯ f := f epi f . Tức l : ¯ f(x) := inf{γ ∈ R | (x, γ) ∈ epi f}; x ∈ X và bao lồi đóng của f là hàm cof := ... gian tôpô lồi địa phương. Với mỗi f ∈ X ∗ , tập hợp V (f; 1) := {x ∈ X | |f(x)| < 1} là một tập lồi cân đối hấp thụ trong X. Do đó, từ kết quả Định lý 1.8, họ B 0 := {V (f; 1) | f ∈ X ∗ } sẽ xác định một tôpô lồi địa phương τ w trên X. Tôpô này nhận họ sau làm cơ sở lân cận gốc: B = m i=1 V (f i ; ) | m ∈ N ∗ ; > 0; f i ∈ X ∗ , 1 ≤ i ≤ m . Dễ kiểm chứng được rằng đây là tôpô lồi địa phương... chặt. a) Giao của một họ bất kỳ các nón lồi là một nón lồi. Ta gọi bao nón lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu con co A, là nón lồi bé nhất chứa A. Lúc đó, b) con co A = {x | x là tổ hợp dương không tầm thường các vectơ thuộc A}. c) K là nón lồi khi và chỉ khi K = con co K, tức là K = m 1 λ i k i | m ∈ N; k i ∈ K; λ i ≥ 0 : m 1 λ i > 0}. d) Nếu K 1 , K 2 là các nón lồi chứa gốc thì K 1 + K 2 = co(K 1 ∪... = ϕ∈A(f) ϕ. Hệ quả 3.6. Cho f là hàm chính thường, thuần nhất dương. Lúc đó, f lồi đóng khi và chỉ khi f = ϕ∈L(f) ϕ. Hệ quả 3.7. Cho f : X → R. Lúc đó, cof = ϕ∈A(f) ϕ. Hệ quả 3.8. Cho f là hàm lồi, đóng, chính thường trên X. Lúc đó, tồn tại x ∗ ∈ X ∗ sao cho hàm g(x) := x ∗ , x − f(x) bị chặn trên. Chương 1 TẬP LỒI 1.1. Tập lồi - Đa tạp affine. 1.1.1. Đa tạp affine. Cho X là một không gian vectơ,... 3.13. ¯ f (cof) là hàm đóng (lồi đóng) lớn nhất trong số các hàm đóng (lồi đóng) non hơn f. Hơn nửa, epi ¯ f = epi f; epi(cof ) = co(epi f). Chú : co ¯ f không nhất thiết là hàm đóng và do đó, nói chung co ¯ f = cof. Mệnh đề 3.14. Một hàm lồi, đóng, khơng chính thường thì khơng nhận giá trị hữu hạn nào. Mệnh đề 3.15. a) f đóng khi và chỉ khi f = ¯ f. b) Nếu f lồi thì ¯ f lồi và do đó cof = ¯ f. c)... hàm f α : X → R, α ∈ I. Ta gọi cận trên và cận dưới của họ hàm này lần lượt là các hàm f α = α∈I f α := sup f α ; f α = α∈I f α := inf f α . Mệnh đề 3.11. Nếu f α lồi (lõm) với mọi α ∈ I, thì ∨f α (∧f α ) cũng lồi (lõm). 3.2. Sự liên tục của hàm lồi. 3.2.1. Hàm nửa liên tục dưới. Cho f : X → R. f được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại x 0 nếu lim inf x→x 0 f(x) ≥ f(x 0 ). Nếu f(x 0 ) hữu... Ngược lại, nếu C lồi đóng thì ta cũng có (σ C ) ∗ = δ C . Vậy, nếu C lồi đóng thì δ ∗∗ C = δ C . Mệnh đề 3.18. a) f ∗ (x ∗ ) + f(x) ≥ x ∗ , x với mọi x ∗ ∈ X ∗ , x ∈ X. b) f ∗∗ ≤ f. c) f ∗ là hàm lồi đóng trên X ∗ . Hệ quả 3.9. f ∗∗ ≤ cof. Mệnh đề 3.19. Nếu f lồi, đóng, chính thường thì f ∗ cũng vậy. Định lý 3.20 (Fenchel-Moreau). Cho f : X → (−∞, +∞]. Lúc đó, f = f ∗∗ khi và chỉ khi f lồi, đóng. Hệ . GIẢI TÍCH LỒIHuỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế20/10/2005 1Mục lụcMục lục 1Chương 1 Tập lồi 31.1. Tập lồi - Đa tạp affine.. ai∈ C; λi≥ 0 :m1λi= 1.Nếu C là tập lồi, ta định nghĩa số chiều của C chính là số chiều của Aff(C):dim C := dim Aff(C).d) Nếu A và B là các tập lồi và α ∈