PHẦN HÌNH HỌC HỌA HÌNH Bài Mở đầu Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật( giấy) được sử dụng sản xuất và trao đổi thông tin giữa các nhà thiết kế Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng chiều còn hầu hết vật thể đều là các vật thể chiều Vậy làm để biểu diễn các đối tượng chiều lên mặt phẳng chiều? Gaspard Monge Hình họa I- Đối tượng môn học - Nghiên cứu phương pháp biểu diễn hình khơng gian mặt phẳng - Nghiên cứu phương pháp giải tốn khơng gian mặt phẳng S II- Các phép chiếu 1- Phép chiếu xuyên tâm a) Xây dựng phép chiếu - Cho mặt phẳng Π, điểm S không thuộc Π điểm A - Gọi A’ giao đường thẳng SA với mặt phẳng Π *Ta có định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi mặt phẳng hình chiếu + Điểm S gọi tâm chiếu + Điểm A’ gọi hình chiếu xuyên tâm điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π + Đường thẳng SA gọi tia chiếu điểm A A A’ П Hình 0.1 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm b) Tính chất phép chiếu П S C S B A C’ C A A’ E F’ B D B’ F D D’ C’=D’ A’ E’ B’ b) П a) T’ Hình 0.2a,b Tính chất phép chiếu xun tâm - Nếu AB đoạn thẳng không qua tâm chiếu S hình chiếu xun tâm đoạn thẳng A’B’ - Nếu CD đường thẳng qua tâm chiếu S C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình 0.2.a) - Hình chiếu xuyên tâm đường thẳng song song nói chung đường đồng quy (Hình 0.2.b) 2- Phép chiếu song song a) Xây dựng phép chiếu - Cho mặt phẳng Π, đường thẳng s không song song mặt phẳng Π điểm A không gian - Qua A kẻ đường thẳng a//s A’ giao đường thẳng a với mặt phẳng Π * Ta có định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi mặt phẳng hình chiếu + Đường thẳng s gọi phương chiếu + Điểm A’ gọi hình chiếu song song điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π theo phương chiếu s + Đường thẳng a gọi tia chiếu điểm A a s A A’ П Hình 0.3 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm b) Tính chất phép chiếu C - Nếu đường thẳng AB không song song a) với phương chiếu s hình chiếu song song đường thẳng A’B’ - Nếu CD song song với phương chiếu s hình chiếu song song điểm C’=D’ - Nếu M thuộc đoạn AB M’ thuộc A’B’ + Tỷ số đơn điểm không đổi: b) D A C’=D’ A’ П I' K' //IK  I' K' = IK M’ N A' M' AM = M' B' MB - Nếu MN//QP thì: M' N' //P' Q'  M' N' MN  P' Q' = PQ  - Nếu IK// Π thì: s B M M Q B’ K I s P N’ M’ П Q’ P’ Hình 0.4a,b Tính chất phép chiếu song song I’ K’ 3- Phép chiếu vuông góc a a) - Phép chiếu vng góc trường hợp đặc biệt phép chiếu song song phương chiếu vng góc với mặt phẳng hình chiếu - Phép chiếu vng góc có đầy đủ tính chất phép chiếu song song, ngồi có thêm tính chất sau: + Chỉ có phương chiếu s b) + Giả sử AB tạo với П góc φ thì: A’B’=AB.cosφ A’B’ ≤ AB - Sau ứng dụng phép chiếu vng góc mà ta gọi phương pháp hình chiếu thẳng góc s A A’ П B s A φ П A’ B’ Hình 0.5a,b Phép chiếu vng góc Bài Điểm S1 b) Trường hợp mặt phẳng (α) song song với đường sinh SM, giao tuyến parabol (P) (Hình 6.6) Giải: - (α) cắt nón theo parabol (P) có hình chiếu đứng đoạn A1B1 α1 B1 I1 J1 - Tìm hình chiếu bằng: tốn điểm thuộc mặt nón M1 B2 đỉnh parabol (P) A1 - Để vẽ parabol, ta tìm điểm trung gian, ví dụ điểm I A2 I2 M2 S2 B2 J2 (P) Hình 6.6 Mặt phẳng (α) cắt nón theo parabol A’2 I’2 S1 c) Trường hợp mặt phẳng (α) song song với hai đường sinh SM SP, giao tuyến hypecbol (H) (Hình 6.7) Giải: - (α) cắt nón theo hypecbol (H) có hình chiếu đứng đoạn A1B1 - Tìm hình chiếu bằng: tốn điểm thuộc mặt nón B2 đỉnh hypecbol (H) - Để vẽ hypecbol, ta tìm điểm trung gian, ví dụ điểm I α1 B1 J1 I1 A1 M1 ≡ P1 A2 M2 I2 J2 S2 B2 (H) Hình 6.7 Mặt phẳng (α) cắt nón theo hypecbol I’2 P2 A’2 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến mặt phẳng α(mα, nα) với mặt trụ 21 chiếu cho hình 6.8 (Trụ chiếu trụ có trục hay đường sinh vng góc với mặt phẳng hình chiếu П2) Giải: Giao tuyến (α) với trụ đường elíp Vì mặt trụ mặt trụ chiếu nên biết trước hình chiếu giao tuyến + Tìm điểm giới hạn thấy khuất U, V + Tìm điểm thấp cao A, B + Tìm CD: đường kính liên hợp với AB B1 X1 B C mα mα x O U Y1 11 X2 D1 C2 22 d2 B2 O2 V2 f2 nα 12 A2 D2 Y2 O2 α A1 U2 D A V1 h1 O1 U1 d V d1 C1 Π1 nα Hình 6.9 Giao (α ) với trụ chiếu đứng khơng gian f1 Π2 h2 Hình 6.8 Tìm giao tuyến α(mα, nα) với mặt trụ chiếu I1 IV- Giao tuyến đường thẳng với mặt cong Ví dụ 1: Vẽ giao đường thẳng l với mặt trụ chiếu đứng cho hình 6.9 Giải: - Giả thiết cho mặt trụ mặt trụ chiếu đứng, đường thẳng l - Ta biết giao điểm I, K có hình chiếu đứng I 1, K1 K1 l1 nằm vòng tròn đáy trụ I1, K1∈ l1 - Tìm I2, K2 : Bài tốn điểm thuộc đường thẳng l2 K2 Chú ý: Nhất thiết đoạn I1K1, I2K2 phải khuất I2 Hình 6.9 Ví dụ 1: Vẽ giao đường thẳng l với mặt trụ chiếu Ví dụ 2: Vẽ giao đường thẳng chiếu l với mặt nón cho hình 6.10 l1 T1 K1 H1 Giải: - Vì l đường thẳng chiếu , biết hình chiếu I2 ≡ K2≡ l2 - Tìm I1, K1: Bài tốn điểm thuộc mặt nón S1 O1 G1 I1 T’1 S2 l2 ≡I2≡K2 H2 ≡ G2 O2 Hình 6.10 Ví dụ 2: Vẽ giao đường thẳng chiếu bắng l với mặt nón Ví dụ 3: Vẽ giao đường mặt f với mặt cầu (S) cho hình 6.11 Giải: - Trong tốn này, chưa biết hình chiếu giao điểm, ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ - Lấy mặt phẳng φ(φ2) chứa đường f(f1, f2), f1 (C1) 11 K1 (S1) O1 I1 φ(φ2) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến phụ đường tròn (C): (C2) ≡ (φ2) - Tìm (C1) - Ta có: I1, K1 ≡ (C1)∩ f1 (S2) I , K2 ∈ f2 Hình 6.11 Ví dụ 1: Vẽ giao đường mặt f với mặt cầu (S) O2 I2 12 (C2) K2 f ≡ φ2 * Chú ý: Để tìm giao điểm đường thẳng với mặt cong trường hợp tổng quát chưa biết hình chiếu giao điểm ta dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ Mặt phẳng phụ trợ phải cắt mặt cong theo giao tuyến cho hình chiếu giao tuyến phải đường thẳng đường trịn Muốn vậy: + Với mặt nón, mặt phẳng phụ qua đường thẳng đỉnh nón + Với mặt trụ, mặt phẳng phụ qua đường thẳng song song với trục +Với mặt cầu ta sử dụng mặt phẳng phụ qua đường thẳng tâm cầu xoay quanh đường đường mặt, thay mặt phẳng hình chiếu * Tìm giao đường thẳng với mặt nón trường hợp tổng quát (Hình 6.12) α a) S l S b) α T l T I I K F J F R K J Hình 6.12 Tìm giao đường thẳng với mặt nón trường hợp tổng quát phương pháp mặt phẳng phụ trợ - Lập mặt phẳng phụ trợ α(S, l) Kéo dài đường thẳng l cắt mặt phẳng đáy nón J Trên l lấy điểm T tùy ý, kéo dài ST cắt mặt phẳng đáy nón F JF cắt đáy nón hai điểm 1, Nối S1, S2 cắt l I K I, K giao điểm cần tìm * Trường hợp giao điểm đường thẳng l với mặt phẳng đáy nón xa, ta lấy thêm điểm R đường thẳng l (Hình 6.12.b) * Tìm giao đường thẳng với mặt trụ trường hợp tổng quát (Hình 6.15) a) α l b) T α l T K I I R K O O F J F J Hình 6.15 Tìm giao đường thẳng với mặt trụ trường hợp tổng quát - Lập mặt phẳng phụ trợ α qua l song song với trục trụ Kéo dài đường thẳng l cắt mặt phẳng đáy trụ J Trên l lấy điểm T tùy ý, qua T kẻ đường thẳng song song với trục trụ, cắt mặt phẳng đáy trụ F - JF cắt đáy nón hai điểm 1, Qua điểm 1, kẻ hai đường thẳng song song với trục trụ cắt l I K * Trường hợp giao điểm đường thẳng l với mặt phẳng đáy trụ xa, ta lấy thêm điểm R đường thẳng l (Hình 6.15.b) S1 V- Giao đa diện với mặt cong Mỗi mặt đa diện cắt mặt cong bậc theo đường bậc 2.Vì vậy, giao đa diện với mặt cong tổ hợp đường bậc 11 A1 ≡A’1 B1 ≡B’1 21 Ví dụ 1: Tìm giao tuyến lăng trụ chiếu đứng với hình nón trịn xoay cho hình 6.16 41 Giải: - Vì lăng trụ cho lăng trụ chiếu đứng, biết hình chiếu đứng giao tuyến đoạn 1-2-3-4 - Tìm hình chiếu giao tuyến : tốn điểm thuộc mặt nón Bổ xung thêm điểm 5-6 để vẽ giao tuyến xác - Nhận xét: + Mặt (AA’B’B) song song với đáy hình nón, mặt phẳng cắt mặt nón theo cung trịn 1-2 + Mặt (BB’C’C) song song với đường sinh hình nón, mặt phẳng cắt mặt nón theo cung parabol: 2-5-3 + Mặt (AA’C’C) cắt tất đường sinh hình nón, mặt phẳng cắt mặt nón theo cung elip 3-6-4 51 61 C1 ≡C’1 ≡31 C2 A2 B2 32 52 62 22 42 S2 12 2’2 6’2 3’2 Hình 6.16 Tìm giao tuyến lăng trụ chiếu đứng với nón trịn xoay A’2 C’2 5’2 B’2 S1 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến đa diện với trụ chiếu đứng (Hình 6.17) Giải: - Vì mặt trụ cho mặt trụ chiếu đứng, hình chiếu đứng giao tuyến biết, cung elíp 1-2-3-4 - Có mặt (SAB) (SAC) cắt trụ - Tìm hình chiếu bằng: Giải tốn điểm thuộc đa diện 11 21 41 31 A1 B1≡ C1 C2 Chú ý: Điểm giới hạn thấy khuất ; 2’ 22 32 A2 42 3’2 Hình 6.17 Tìm giao tuyến đa diện với trụ chiếu đứng S2 12 2’2 B2 S1 VI- Giao hai mặt cong Ví dụ 1: Tìm giao trụ chiếu đứng với nón trịn xoay (Hình ) Giải: - Giao trụ chiếu đứng nón trịn xoay đường cong ghềnh bậc - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng giao tuyến - Tìm hình chiếu giao tuyến, xét điểm sau: + Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên nón cắt trụ + Điểm điểm xét giới hạn thấy khuất + Điểm điểm đường sinh thấp - Để vẽ đường cong ghềnh xác tìm thêm điểm X, Y Hình 6.18 Tìm giao trụ chiếu đứng với nón trịn xoay 11 X1 21 41 Y1 31 Y2 32 22 X2 42 12 S2 X’2 2’2 3’2 Y’2 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu (Hình ) Giải: - Giao trụ chiếu đứng mặt cầu đường cong ghềnh bậc - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng giao tuyến - Tìm hình chiếu giao tuyến, xét điểm sau: + Điểm 2,6 điểm xét giới hạn thấy khuất + Điểm điểm đường sinh thấp trụ + Điểm điểm thuộc đường sinh cao trụ + Điểm điểm tiếp xúc trụ với cầu 71 51 61 21 31 32 22 62 52 72 5’2 6’2 Hình 6.19 Tìm giao mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu 2’2 3’2 Chú ý: Hai mặt cong tiếp xúc điểm chúng cắt theo đường cong ghềnh bậc 4, điểm tiếp xúc hai mặt cong đường cong ghềnh bậc tự cắt Hình 6.20 Giao mặt trụ tiếp xúc với mặt cầu S1 Định lý 1: Nếu hai mặt cong bậc hai cắt theo đường bâc hai chúng cắt theo đường bậc hai thứ hai 11 21 31 32 22 S2 Hình 6.21 Minh họa định lý 2’2 3’2 12 ... II ) ? ?1 (I) ( III ) Π2 A1 ( IV ) Hình 1. 4 Góc phần tư I, II, III, IV A2 Π2 C2 B2 x A2 B1 C1 D1 D2 Hình 1. 5 Các ? ?i? ??m A,B,C,D thuộc góc phần tư I, II, III, IV – Mặt phẳng phân giác - Có hai mặt... I1 I1 P1 IP ≠ 2 ⇔ I ∉ PQ I1 Q1 I Q Q I? ? ?1 t - Qua P1 kẻ đường thẳng t hợp v? ?i Q1 P1Q1 góc α tùy ý (nên lấy α