ltđh viết phương trình tiếp tuyến

8 751 3
  • Loading ...
1/8 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 07/08/2014, 16:06

Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 CHUYÊN  LUYN THI TT NGHIP THPT VÀ TUYN SINH I HC, CAO NG 2009 MÔN: TOÁN BIÊN SON: T TOÁN - TT BI DNG VN HÓA HOCMAI.VN CHUYÊN : VIT PHNG TRÌNH TIP TUYN CA  TH HÀM S I. MC ÍCH CHUYÊN  - Giúp các bn nm vng v bài toán v vit phng trình tip tuyn. - Hc sinh s thành tho trong các bài toán liên quan v tip tuyn II. KIN THC C BN Trong mc này ta ch trình bày ng dng ca đo hàm trong các bài toán v tip xúc, nói riêng trong các bài toán liên quan đn tip tuyn.  làm tt đc điu này ta cn chun b tt các ni dung sau: a) Hiu các công thc c bn sau: 0 () tt afx ′ = 00 ()( ) 0 y yfxxx ′ − =− b) Cn phân bit rõ hai khái nim - Tip tuyn vi đng cong ti đim M nm trên đng cong - Tip tuyn vi đng cong đi qua đim M (có th M không nm trên đng cong) 1.1. Tip tuyn vi đng cong ti đim M nm trên đng cong Ví d: Vit phng trình tip tuyn vi đng cong y = 2x 3 – 3x 2 . Bit rng tip tuyn song song vi đng thng y = 12x + 1 Bài gii : Gi hoành đ tip đim là 0 x . Khi đó () '2 00 66 tt ayx x x==− 0 Vì tip tuyn song song vi đng thng y = 12x + 1, nên 12 tt a = , hay - 2 00 6612 ⇔ xx−= 2 00 20xx−−= ⇔ 0 0 1 2 x x = − ⎧ ⎨ = ⎩ + Nu , khi đó tip tuyn phi trên có dng : 0 1x =− 00 ()( ) 0 y yfxxx ′ − =− Áp dng vào đây vi 0 x = - 1, 0 4y = − , ' 00 ()12yfx ′ = = suy ra Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 1 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 y – (– 4) = 12(x + 1) hay y = 12x + 8 + Nu , khi đó , 0 2x = 0 4y =− ' 0 12y = và tip tuyn có dng y + 4 = 12(x –2) hay y = 12x – 28 Tr li: Có 2 tip tuyn phi tìm là y = 12x + 8 hoc y = 12x – 28 Nhn xét : Trc ht tìm tip đim sau đó s dng công thc vit phng trình tip tuyn ti M nm trên đng cong 1.2. Tip tuyn vi đng cong đi qua đim M không nm trên đng cong Ví d : Cho đng cong y = 3x – 4x 3 . Vit phng trình tip tuyn bit rng tip tuyn đi qua đim M (1, 3) Bài gii : - Trc ht có nhn xét sau: im M (1, 3) không nm trên đng cong đã cho (vì khi x = 1, thì y = - 1). Do vy nu ai “máy móc” áp dng công thc 00 ()( ) 0 y yfxxx ′ − =−  đây là sai - Khi gii các bài toán v s tip xúc gia các đng, ngi ta s dng mnh đ sau: Mnh đ: Hai đng y = f(x) và y = g(x) ct nhau ti đim M có hoành đ 0 x nu nh h sau đây tho mãn () () () 00 '' 00 ()fx gx f xgx ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ Quay tr v bài toán ca ta: Gi tip tuyn cn tìm là y = ax + b. Vì tip tuyn đi qua M(1,3) nên ta có: 3 = a + b ⇒ b = 3 – a. Do đó tip tuyn phi tìm có dng: y = ax + 3 – a Gi 0 x là hoành đ tip đim, ta có h sau: 3 00 0 2 0 34 ax3( 312 (2) 1) x xa xa ⎧ −=+− ⎪ ⎨ −= ⎪ ⎩ Thay (2) vào (1) ta đi đn phng trình sau đ xác đnh 0 x 3 0 8- 12 2 0 x x = 0 0 0 0 3 2 x x = ⎡ ⎢ ⇔ ⎢ = ⎣ - Nu 0 x = 0 ⇒ a = 3. Lúc này tip tuyn có dng: y = 3x Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 2 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 - Nu 0 3 2 x = ⇒ a = - 24. Bây gi tip tuyn có dng: y = –24x + 27 Tr li: Qua đim M (1, 3) có hai tip tuyn y = 3x và y = - 24x + 27 Ví d : Cho đng cong y = x 3 + 2x 2 . Vit phng trình tip tuyn vi đng cong, bit rng tip tuyn đi qua đim M (1, 3) Bài gii: Hãy xem và bình lun li gii sau: Vì đim M (1, 3) nm trên đng cong y = x 3 + 2x 2 . Vy áp dng công thc và phng trình tip tuyn đã hc, ta có: 00 ()( ) 0 y yfxxx ′ −= − ( đây 0 x = 1, 0 y = 3, = 7) '2 000 ()3 4yfx x x ′ ==+ 0 y – 3 = 7(x – 1) hay y = 7x - 4 Li gii trên s là đúng , nu đu bài vit là: Vit phng trình tip tuyn ti đim M (1, 3) nm trên đng cong Tuy nhiên li gii đó là cha đúng vi yêu cu ca đu bài (đòi hi tip tuyn đi qua M(1,3). Li gii đúng nh sau : Tip tuyn phi tìm có dng y = ax + b, trong đó 3 = a + b (do tip tuyn đi qua M (1, 3). Vy y = ax + 3 – a là dng ca tip tuyn. Gi 0 x là hoành đ ca tip đim và ta có h sau: 32 000 2 00 23 34 (2) (1) x xax a xxa ⎧ +=+− ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ Thay (2) vào (1) và có phng trình sau: () 2 00 (1)23xx − + = 0 - Nu 0 x - 1 = 0⇒ 0 x = 1 ⇒ a = 7. Lúc này tip đim có dng y = 7x – 4 - Nu 0 x = 3 2 − ⇒ a = 3 4 . Lúc này tip tuyn có dng : y = 39 44 x + Nh th qua đim M (1, 3) có hai tip tuyn vi đng cong đã cho: y = 7x – 4 và y = 39 44 x + Nhn xét : Vì M (1, 3) nm trên đng cong nên tip tuyn đi qua M có hai loi 1) Ti M: ó là y = 7x – 4 2) i qua M mà không ti M: ó là y = 39 44 x + Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 3 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 Vì l đó mc du nu M nm trên đng cong, nhng nu đu bài đòi hi: Vit phng trình tip tuyn đi qua M thì phi gii theo phng pháp s dng mnh đ c bn v s tip xúc, nu máy móc áp dng công thc y - 0 y = ( ' 0 y 0 x x − ) thì s mt nghim. Ta có th hình dung d dàng s kin này bng hình nh trc giác sau: Trên hình v cho đim M nm trên đng cong y = f(x). Có hai tip tuyn - 1 y = ax + b là tip tuyn vi y = f(x) ti M - 2 y = cx + d là tip tuyn vi y = f(x) đi qua M nhng không ti M. Nh vy trong thí d trên qua M có hai tip tuyn vi y = f(x) (mc dù M nm trên đng cong) 1.3. Lp các bài toán v s tip xúc rt đa dng. Có th lit kê ra đây các loi bài toán thông dng nht 1. Tìm điu kin đ hai đng tip xúc vi nhau (đc xét riêng bài sau) 2. Bài toán v tip tuyn xut phát t mt đim 3. Bài toán v tip tuyn chung 4. Các bài toán đnh tính v tip tuyn. Xin đa ra vài ví d mu. Ví d : Cho hai đng cong y = x 2 – 5x + 6 và y = x 3 + 3x – 10. Vit phng trình tip tuyn chung. Bài gii : Gi y = ax + b là tip tuyn chung. Gi 0 x và 1 x tng ng là các tip đim ca tip tuyn vi y = x 2 – 5x + 6 và y = x 3 + 3x – 10 Theo mnh đ c bn v tip tuyn ta có h phng trình sau (có 4 n là a, b, 01 , x x ) 2 00 0 0 3 11 1 2 1 56 (1) 25 (2 310ax (3) 33 (4 xx axb xa xx b xa ⎧ −+=+ ⎪ −= ⎪ ⎪ ⎨ +−=+ ⎪ ⎪ += ⎪ ⎩ ) ) T (2) và (4) suy ra: 2 0 x - 5 = 2 1 3 x + 3 hay 0 x = 2 1 3 2 x 8 + (5) T (1) và (2) ta có: b = ⇒ b = 6 - 2 00 00 56(25)xx xx−+− − 2 0 x (6) Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 4 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 Thay (5), (6) và (2) vào (3) ta có: 3 11 310xx+−= ( ) 2 11 33 x x+ + 6 - ( ) 2 2 1 38 4 x + ⇔ 32 11 8948 1 x x−−x = 0 = 0 ⇔ 22 11 1 (9 8x 48)xx−+ ⇔ = 0 1 x Vì th t (4) có a = 3, ri t (5) suy ra 0 x = 4. T đó theo (6) đi đn b = - 10 Tóm li hai đng cong đã cho có duy nht mt tip tuyn chung. ó là đng y = 3x – 10 III. CNG C KIN THC Bài 1. (i hc, cao đng khi B – Nm 2004) Cho hàm s y = 32 1 23 3 x x−+x ( C) Vit phng trình tip tuyn vi (C) ti đim un và chng minh rng Δ Δ là tip tuyn ca (C) có h s góc bé nht. Bài gii : ' y = x 2 – 4x + 3 , '' y = 2x – 4 '' y = 0 khi x = 2 và đo hàm '' y đi du khi qua x = 2. Vy (C) có đim un ti: A 2 2, 3 ⎛ ⎜ ⎝⎠ ⎞ ⎟ . Khi x = 2 thì ' y = - 1 Vy phng trình tip tuyn ca (C) ti đim un là: y - 2 3 = - (x – 2) hay y = - x + 8 3 Ta có = -1 (1) tt a H s góc ca mt tip tuyn bt k ti đim M (có hoành đ x) nm trên (C) là: k = ' y (x) = x 2 – 4x + 3. Ta có k = (x – 2) 2 – 1 - 1 (2) ≥ T (2) suy ra h s góc ca tip tuyn ca (C) ti đim un có h s góc bé nht ⇒ đpcm Bài 2. (i hc, cao đng khi D – Nm 2005) Gi ( ) là đ th ca hàm s y = m C 32 1 32 m xx 1 3 − + , m là tham s Gi M là đim thuc ( ) có hoành đ bng -1 . Tìm m đ tip tuyn ca ( ) ti đim M song song vi đng thng 5x – y = 0 m C m C Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 5 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 Bài gii: y = 32 11 32 m xx −+ ' 3 ⇒ y = x 2 – mx tip tuyn vi ( ) ti M có h s góc m C tt a= y(- 1) = 1 + m Tip tuyn này có phng trình y - 0 y = ( ' 0 y 0 x x − ) ( đây 0 x = - 1 = = 1 + m và ' o y⇒ tt a 0 y = - 2 m ) Vy y + 2 m = (1 + m)(x + 1) hay y = (m + 1)x + 2m m + ng tip tuyn này song song vi đng 5x – y = 0 (tc y = 5x), nu 15 20 m m += ⎧ ⎨ +≠ ⎩ 4m ⇔ = Vy có duy nht giá tr cn tìm ca m là m = 4 Chú ý: Hai đng thng y = và y = 1 ax b+ 1 22 ax b + song song vi nhau khi và ch khi 12 12 aa bb = ⎧ ⎨ ≠ ⎩ Vì lý do y nu không có thêm điu kin m + 2 0 ≠ thì li gii ca hc sinh cha hoàn chnh. Bài 3 . (i hc, cao đng khi B – Nm 2006) Cho hàm s y = 2 1 2 x x x +− + (C) Vit phng trình tip tuyn ca (C), bit tip tuyn này vuông góc vi tim cn xiên ca (C) Bài gii: Ta có a = 2 2 () 1 lim lim 2 xx f xxx x x x →∞ →∞ + − = + = 1 b = 2 2 1 lim ( ( ) ax) = lim 2 xx xx f xx xx →∞ →∞ ⎛⎞ +− − − ⎜⎟ ⎜⎟ + ⎝⎠ = 1 lim 2 x x x →∞ −− + = - 1 Vy (C) có tim cn xiên là: y = x - 1 D thy ' y = () 2 2 43 2 xx x + + + . Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 6 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 Vì tip tuyn ca (C) vuông góc vi tim cn xiên y = x - 1 nên = -1 tt a Gi 0 x là hoành đ tip đim ca tip tuyn vi (C) thì : = tt a () 2 ' 0 2 43 () 2 xx yx x ++ = + Ta có phng trình: () 2 0 2 0 43 1 2 xx x ++ = − + ⇔ 0 0 2 2 2 2 x2 2 x ⎡ =− + ⎢ ⎢ ⎢ =− − ⎢ ⎣ - Khi 0 2 2 2 x =− + 0 32 3 2 y⇒= − . Lúc này tip tuyn có dng: 22 5yx = −+ − - Tng t khi 0 2 x2 2 =− − thì tip tuyn là 22 5yx = −− − Vy có hai tip tuyn cn tìm: 22 5yx=− + − và 22 5yx = −− − IV. BÀI TP V NHÀ Bài 1.Vit phng trình tip tuyn vi đng cong y = 2 9x x − , bit rng nó đi qua đim M(1,8). áp s: y = 2x + 6 và y = 50x – 42 Bài 2. Vit phng trình tip tuyn vi đng cong y = x 4 – 4x 2 , bit rng nó đi qua đim M(2, 0) áp s: y = o, y = 16x – 32 và y = 32 64 27 27 x − Bài 3. Tìm m đ đng cong y = 2x 3 – 3(m + 3)x 2 + 18mx – 8 tip xúc vi trc hoành áp s: m = 35 27 , m = 1, m = 4 + 2 6 và m = 4 - 26 Bài 4*. Cho đng cong y = x 3 – 3x + 2 (C). Tìm đim M trên đng thng y = - 2, sao cho t M có th v đc hai tip tuyn ti (C) sao cho hai tip tuyn y vuông góc vi nhau áp s: M 55 ,2 27 ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 7 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 Bài 5. Cho đng cong y = x 2 – 5x + 6. Vit phng trình tip tuyn vi đng cong bit rng nó song song vi đng thng y = 3x + 1 Bài 6. Cho y = x 2 – 5x + 6 và đim M (5, 5). Vit phng trình tip tuyn vi đng cong đi qua M Bài 7. Cho y = x 2 – 3x và y = - 2x 2 + 5x. Vit phng trình tip tuyn chung ca 2 đng cong. Ngun: Hocmai.vn Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 8 . VN HÓA HOCMAI.VN CHUYÊN : VIT PHNG TRÌNH TIP TUYN CA  TH HÀM S I. MC ÍCH CHUYÊN  - Giúp các bn nm vng v bài toán v vit phng trình tip tuyn. - Hc sinh s thành tho. vit phng trình tip tuyn ti M nm trên đng cong 1.2. Tip tuyn vi đng cong đi qua đim M không nm trên đng cong Ví d : Cho đng cong y = 3x – 4x 3 . Vit phng trình tip. TP V NHÀ Bài 1.Vit phng trình tip tuyn vi đng cong y = 2 9x x − , bit rng nó đi qua đim M(1,8). áp s: y = 2x + 6 và y = 50x – 42 Bài 2. Vit phng trình tip tuyn vi đng
- Xem thêm -

Xem thêm: ltđh viết phương trình tiếp tuyến, ltđh viết phương trình tiếp tuyến, ltđh viết phương trình tiếp tuyến

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay