Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 CHUYÊN  LUYN THI TT NGHIP THPT VÀ LUYN THI I HC, CAO NG 2009 Môn: TOÁN. Chuyên đ: DA VÀO  TH BIN LUN S NGHIM CA PHNG TRÌNH I. MC ÍCH CHUYÊN  Dùng đ th hàm s gii bài toán bin lun phng trình trong nhiu trng hp s đn gin hn II. KIN THC C BN - Da vào nhn xét “S nghim ca phng trình f(x) = g(x) chính là s giao đim ca hai đng y = f(x) và y = g(x), bài toán bin lun phng trình trong nhiu trng hp có cách gii đn gin, rõ ràng nu da vào các đ th đã bit ca đng cho trc (thng da vào kt qu ca v đ th hàm s trong các phn trc). -  đm đúng s giao đim ca hai đng y = f(x), y = g(x) ngi ta s dng đn các đim ti hn, và các v trí ti hn ca các đng (thng là các v trí mà các đng tip xúc vi nhau). Vì th các kt qu trong mc này có liên quan đn các kt qu v tính tip xúc ca các đng Xét các thí d sau đây: Thí d 1: 1. Kho sát và v đ th hàm s y = 4x 3 - 3x 2. Bin lun s nghim ca phng trình theo m 4 3 3 x xm − = 3. Chng minh rng phng trình 4x 3 - 3x = 2 1 x − có 3 nghim Gii :Ta có: y ’ = 12x 2 - 3, vy có bng bin thiên sau: x - ∞ 1 2 − 1 2 + ∞ y ’ + 0 - 0 + y 1 -1 y ’’ = 24x T đó suy ra đ th có dng sau (các bn t v đ th): S nghim ca phng trình 4 3 3 x xm − = chính là s giao đim ca hai đng y = 4 3 3 x x− và y = m. T đ th  câu 1 suy ra đ th ca y = 4 3 3 x x− nh sau (các bn t v đ th): y = m là đng thng song song vi trc hoành và ct trc tung ti đim có tung đ = m, nên t đ th suy ra: Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 1 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 2 - Nu m > 0: Có 2 nghim - Nu m = 0: Có 3 nghim - Nu -1 < m < 0: Có 4 nghim - Nu m = -1: Có 2 nghim - Nu m < -1: Vô nghim 3.  th y = 4x 3 - 3x đã có  câu 1. Xét hàm s: y = 2 1 x − Ta thy nó có th vit di dng y 0≥ x 2 + y 2 = 1 T đó suy ra đ th ca y = 2 1 x − là na đng tròn tâm ti gc to đ bán kính 1 (ly na trên ng vi y ) (các bn t v đ th) 0≥ T đó suy ra phng trình 4x 3 - 3x = 2 1 x − có 3 nghim phân bit => đpcm. Thí d 2: Tìm m đ phng trình 4 3 31 x xmxm − −= − có bn nghim phân bit. Làm tng t nh ví d 14, ta thy đng cong y = 4 3 31 x x − − có đ th nh sau (t v đ th) ng thng y = mx - m = m(x - 1) vi mi m luôn đi qua đim A(1,0) và có h s góc = m. Xét hai v trí ti hn ca h đng thng y = m(x-1) Trc ht là đng thng qua A (1,0) và B(0, -1). ng thng này có h s góc m 1 = 1 Th hai xét tip tuyn vi đng cong y = 4 3 3 x x− v qua A. Rõ ràng tip tuyn này tip xúc vi nhánh ca đng cong vi x < 0. (khi đó y = -4x 3 + 3x). Gi x 0 là hoành đ ca tip đim (x 0 < 0) ,và m 2 là h s góc ca tip tuyn. Ta có: -4x 3 0 + 3x 0 =m 2 (x 0 - 1) (1) -12x 2 0 + 3 = m 2 (2) x 0 < 0 (3) Thay (2) vào (1) vì đi đn h 4x 3 0 - 6x 2 0 + 1 = 0 m 2 = -12x 2 0 + 3 x 0 = < 0 x 0 = 13 2 − m 2 = 6 39− Phng trình đã cho có 4 nghim khi và ch khi đng thng y =m(x-1) nm gia hai đng thng ti hn trên (d nhiên không tính ti hai đng chn trên, và chn di y). Nói cách khác: 1 < m < 6 3 - 9 là các giá tr cn tìm ca tham s m. ú Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 3 Thí d 3 . (i hc và Cao đng khi A - 2002) 1. Kho sát và v đ th y = -x 3 + 3x 2 (C) 2. Tìm k đ phng trình -x 3 + 3x 2 + k 3 - 3k 2 = 0 có 3 nghim phân bit 1. Ta có y’ = -3x 2 + 6x, ’ = 6 +6 à có ng bin thiên sau: Bài gii: y’ - x v b x - ∞ + 0 2 ∞ y’ - 0 + 0 - y’’ 0 4  th ca (C) nh sau (t v đ th) im hân b a vào đ th ca (C) khi và ch khi T (2) và l  ca (C)  câu 1 trên suy ra. s k là: -1 < k < 0; 0 < k < 2, 2 < k < 3 NHÀ 2. Ta thy: -x 3 + 3x 2 + k 3 - 3k 2 = 0 ú -x 3 + 3x 2 = -k 3 + 3k 2 (1) T (1) suy ra (1) có 3 ngh p it (d 0 < -k 3 + 3k 2 < 4 (2) i da vào đ th -1 < k < 3 k ≠ 0, k ≠ 2 Vy các giá tr cn tìm ca tham III. BÀI TP V Bài 1 . Cho hàm s: y 32 x 4x 4x = −+ ,đ th (C). Bin lun theo k s giao đim ca đ th (C) vi đng thng y=k Bài 2 : ( i hc, Cao đng khi A nm 2006). 1. Kho sát và v đ th hàm s y = 2x 3 – 9x 2 + 12x – 4 (C) 2. Tìm m đ PT 32 2912 x xxm − += Bài 3 : Bin lun theo a s nghim ca phng trình : 2 2| | 3 ||1x − xx a −+ = Bài 4 : 1. Kho sát và v đ th ca hàm s 2 (1) 2 y x = x + + 2. Bin lun theo tham s m v s ngh ca phng trình sau: im 2 (1) .| 2|0xmx+− += Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 4 Bài 5 : Cho hàm s 3 3x 2yx = −+ − 1. Kho sát và v đ th (C) ca hàm s . 2. Bin lun theo m s nghim ca ph : 2 log 0m+ = ng. ng trình 3 3xx−+ 2 vi m là tham s d Bài 6 : Cho hàm s 32 3x 9x y xm = +−+(m là tham s ) 1. Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s khi m = 6 2. Vi nhng giá tr nào ca m thì phng trình 32 3x 9x 0xm + −+=có 3 nghim phân bit . Bài 7 : Tìm nhng giá tr ca  phng trình t đ 2sin 1 sin 2 t x x + = + có đúng hai nghim thuc khong [0; ]. Tr H Hocmai.vn  T Toán ung tâm BDV Ngun: Hocmai.vn . trình trong nhiu trng hp có cách gii đn gin, rõ ràng nu da vào các đ th đã bit ca đng cho trc (thng da vào kt qu ca v đ th hàm s trong các phn trc). -  đm đúng. toán bin lun phng trình trong nhiu trng hp s đn gin hn II. KIN THC C BN - Da vào nhn xét “S nghim ca phng trình f(x) = g(x) chính là s giao đim ca hai đng y = f(x).  LUYN THI TT NGHIP THPT VÀ LUYN THI I HC, CAO NG 2009 Môn: TOÁN. Chuyên đ: DA VÀO  TH BIN LUN S NGHIM CA PHNG TRÌNH I. MC ÍCH CHUYÊN  Dùng đ th hàm s gii