7/2/2010 1 Chương 2: Bài toán mã trường hợp kênh không bị nhiễu 2.2 Sự tồn tại của bộ mã tiền tố và giải được Mở ñầu • Cho biến ngẫu nhiên X có các giá trị x 1 , x 2 , …, x M. Tập các ký tự mã a 1 , a 2 , …, a D • Cho trước các số nguyên dương n 1 , n 2 , …, n M • Bài toán đặt ra là: có thể xây dựng bộ mã giải được sao cho từ mã ứng với x k có chiều dài là n k ? • Mã tiền tố có thể giải mã từng bước • Trong bài toán kênh không bị nhiễu, mã giải được có thể quy về mã tiền tố • Đầu tiên ta sẽ xét sự tồn tại của bộ mã tiền tố, sau đó mở rộng cho bộ mã giải được 7/2/2010 2 Huỳnh Văn Kha 7/2/2010 2 Ví dụ • Ví dụ 1: M = 3, D = 2, n 1 = 1, n 2 = 2, n 3 = 3 Có thể chọn bộ mã {0, 10, 110} • Ví dụ 2: M = 3, D = 2, n 1 = n 2 = 1, n 3 = 2 Không có bộ mã giải được nào thỏa yêu cầu bài toán (sẽ chứng minh sau) • Khi nào có thể xây dựng được bộ mã thỏa yêu cầu, khi nào không? 7/2/2010 3 Huỳnh Văn Kha ðịnh lý 2.2 Một bộ mã tiền tố với chiều dài các từ mã n 1 , n 2 , …, n M là tồn tại khi và chỉ khi Trong đó D là số các ký tự mã 7/2/2010 4 Huỳnh Văn Kha 7/2/2010 3 Chứng minh ñịnh lý 2.2 • Cây bậc D kích thước k là một hệ thống các điểm và đoạn thẳng • Mỗi dãy s được tạo thành từ các ký tự trong {0, 1, …, D – 1} có chiều dài không lớn hơn k được biểu diễn bởi một điểm V s khác nhau • Nếu dãy t có được do thêm duy nhất một ký tự vào sau s thì nối V s và V t bằng một đoạn thẳng • Các điểm ứng với dãy có chiều dài k gọi là các điểm ngọn của cây kích thước k 7/2/2010 5 Huỳnh Văn Kha Chứng minh ñịnh lý 2.2 0 00 01 000 001 010 011 1 10 11 100 101 110 111 Cây bậc 2 kích thước 3 0 00 01 02 1 10 11 12 2 20 21 22 Cây bậc 3 kích thước 2 7/2/2010 6 Huỳnh Văn Kha 7/2/2010 4 Chứng minh ñịnh lý 2.2 • Giả sử n 1 ≤ n 2 ≤ … ≤ n M • Mỗi từ mã được đồng nhất với một điểm trên cây bậc D kích thước n M 0 1 10 11 111 Cây ứng với bộ mã {0, 10, 111} 7/2/2010 7 Huỳnh Văn Kha Chứng minh ñịnh lý 2.2 • Do bộ mã là tiền tố nên khi điểm P đại diện cho một từ mã, thì không điểm nào trên nhánh bắt đầu từ P đại diện cho một từ mã khác • Điểm ứng với từ mã chiều dài n k sẽ che điểm ngọn của cây • Số điểm ngọn bị toàn bộ bộ mã che ≤ Tổng số các điểm ngọn của cây 7/2/2010 8 Huỳnh Văn Kha 7/2/2010 5 Chứng minh ñịnh lý 2.2 • Ngược lại, giả sử và n 1 ≤ n 2 ≤ … ≤ n M • Chọn điểm bất kỳ trên cây ứng với dãy có chiều dài n 1 . Điểm này che điểm ngọn • Còn lại ít nhất 1 điểm ngọn, chọn được điểm ứng với n 2 . Lúc đó, do ta chọn được điểm ứng với n 3 . Và cứ thế cho đến hết 7/2/2010 9 Huỳnh Văn Kha Định lý 2.3: Nếu bộ mã giải được có chiều dài từ mã lần lượt là n 1 , n 2 , …, n M thì: Mở rộng cho bộ mã giải ñược • Điều kiện ở định lý 2.2 cũng là điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của bộ mã giải được • Do bộ mã tiền tố là giải được nên chỉ cần chứng minh định lý sau là đủ. 7/2/2010 10 Huỳnh Văn Kha 7/2/2010 6 Chứng minh ñịnh lý 2.3 • Gọi ω j là số từ mã chiều dài j và r là chiều dài lớn nhất của các từ mã, ta có: • Với mỗi số tự nhiên n cho trước, nhân phân phối và rút gọn, ta được: 7/2/2010 11 Huỳnh Văn Kha Chứng minh ñịnh lý 2.3 • Trong đó: • N k chính là tổng số mẫu tin được tạo thành từ n trạng thái x i sao cho đoạn mã của các mẫu tin này đều có chiều dài k • Bộ mã là giải được nên mỗi dãy ký tự mã tương ứng với nhiều nhất một mẫu tin • N k không vượt quá tổng số các dãy ký tự mã có chiều dài k 7/2/2010 12 Huỳnh Văn Kha 7/2/2010 7 Chứng minh ñịnh lý 2.3 • Như vậy N k ≤ D k và ta có: • Lấy căn bậc n: • Cho n tiến ra vô cực ta được điều cần chứng minh 7/2/2010 13 Huỳnh Văn Kha . 7 /2/ 2010 1 Chương 2: Bài toán mã trường hợp kênh không bị nhiễu 2. 2 Sự tồn tại của bộ mã tiền tố và giải được Mở ñầu • Cho biến ngẫu nhiên X có các giá trị x 1 , x 2 , …, x M. Tập các ký tự mã. bài toán kênh không bị nhiễu, mã giải được có thể quy về mã tiền tố • Đầu tiên ta sẽ xét sự tồn tại của bộ mã tiền tố, sau đó mở rộng cho bộ mã giải được 7 /2/ 2010 2 Huỳnh Văn Kha 7 /2/ 2010 2 Ví. thước k 7 /2/ 2010 5 Huỳnh Văn Kha Chứng minh ñịnh lý 2. 2 0 00 01 000 001 010 011 1 10 11 100 101 110 111 Cây bậc 2 kích thước 3 0 00 01 02 1 10 11 12 2 20 21 22 Cây bậc 3 kích thước 2 7 /2/ 2010 6 Huỳnh