84 Chương 5 UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG 5.1.KHÁI NIỆM. Một thanh chịu uốn là một thanh có trục bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực. Những thanh chủ yếu chịu uốn gọi là dầm. Ví dụ: Dầm chính của một cái cầu (hình 5.1), trục bánh xe lửa (hình 5.2), xà nhà Ngoại lực gây ra uốn có thể là lực tập trung hay lực phân bố có phương vuông góc với trục dầm, hay là những mô men nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm. Một số định nghĩa : - Nếu ngoại lực cùng tác dụng trong một mặt phẳng chứa trục dầm thì mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng tải trọng. - Giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang của dầm gọi là đường tải trọng. - Mặt phẳng quán tính chính trung tâm là một mặt phẳng tạo bởi một trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang và trục dầm. Trên hình 5.3, giả sử y là trục đối xứng của dầm, z là trục dầm, thì mặt phẳng Oyz là mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Nếu trục dầm khi bị uốn cong vẫn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm thì sự uốn đó được gọi là uốn phẳng Trong thực tế, những dầm bị uốn thường là những dầm có mặt cắt ngang là hình đối xứng qua một tr ục. Vì vậy, trong chương này ta chỉ xét các loại dầm có tính chất đó, nghĩa là các loại dầm có ít nhất một mặt đối xứng đi qua trục của dầm (hình 5.3). Ngoài ra, ta cũng giả thiết thêm rằng, ngoại lực tác dụng trong mặt phẳng chứa trục dầm và trục đối xứng của mặt cắt ngang, tức là ngoại lực tác dụng trong một mặt phẳng đối xứng đi qua trục của dầm. Như vậy, trong trường hợp uốn phẳng đang xét, mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng tải trọng và đồng thời là mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Vì tính chất đối xứng, nên trục dầm sau khi bị uốn là một đường cong phẳng nằm trong mặt phẳng đối xứng đó. Trục đối xứng của mặt cắt là đường tải trọng. Ta chia u ốn phẳng làm hai loại: a) Uốn thuần túy phẳng. b) Uốn ngang phẳng. Hình 5.3:Một dầm chịu uốn ph ẳng V x y z M 0 P q( z) O Hình 5.1: Dầm chính ầ Hình 5.2: Trụ c á ử B P q 85 A. DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG Một dầm chịu uốn thuần túy phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của dầm chỉ có một thành phần mô men uốn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Trên hình 5.4, hình 5.5: P, M o nằm trong mặt phẳng đối xứng. Rõ ràng tất cả mọi mặt cắt ngang thuộc đoạn AB của hai dầm chỉ có một thành phần mô men uốn nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm (mặt phẳng quán tính chính trung tâm). Do đó, đoạn AB chịu uốn thuần túy. 5.2. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG. Để tính ứng suất trong dầm chịu uốn thuần túy phẳng, trước hết ta xét biến dạng của dầm. 5.2.1. Quan sát biến dạng: Quan sát một dầm chịu uốn thuần túy phẳng có mặt cắt ngang hình chữ nhật. Trước khi cho dầm chịu lực, ta kẻ những đường thẳng song song với trục để biểu diễn các thớ dọc và những đường thẳng vuông góc với trục để biểu diễ n các mặt cắt ngang (hình 5.6a). Khi có mô men uốn tác dụng vào hai đầu dầm, ta nhận thấy rằng những đường thẳng trước kia song song với trục dầm thì bây giờ trở thành những đường cong và vẫn song song với trục dầm Những đường thẳng trước kia vuông góc với trục dầm, bây giờ vẫn vuông góc với trục dầm. Như vậy, những góc vuông vẽ trước khi biến dạng, thì sau biến dạng vẫn là góc vuông (hình 5.6b). 5.2.2. Giả thuyết. Từ các nhận xét trên, ta đưa ra hai giả thuyết sau để làm cơ sở tính tóan cho một thanh chịu uốn thuần túy: a a A Hình 5.4: Dầm chịu uốn thuần tuý phẳng M O M O (M x ) M O B l Hình 5.5: Dầm chịu uốn thuần tuý ph ẳng P P C AB D P P P P (Q y ) (M x ) Hình 5.6: Biến dạng của dầm chịu uốn p hẳn g thuần tu ý a) b M x M x a b c d 86 a) Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng (Bemili): Trước khi biến dạng mặt cắt ngang của dầm là phẳng thì sau biến đạng vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm. b) Giả thuyết về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không đẩy xa nhau. Ngoài hai giả thuyết trên, ta còn giả thuyết rằng vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi, tức là vật liệu tuân theo đị nh luật Hooke. 5.2.3. Công thức tính ứng suất pháp: * Quan hệ biến dạng. Khi quan sát biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy như trên hình 5.6a, ta nhận thấy: Các thớ dọc phía trên trục dầm bị co lại (thớ ab), các thớ dọc phía dưới trục dầm bị giãn ra (thớ cd). Như vậy, từ thớ bị co sang thớ bị giãn, chắc chắn sẽ có các thớ không bị co cũng không bị giãn, tức là thớ không biến dạng. Các thớ đó gọi là thớ trung hòa (hình 5.7a). Các thớ trung hòa tạo thành một lớp được gọi là lớp trung hòa. Giao tuyến của lớp trung hòa với mặt cắt ngang gọi là đường trung hòa. Vì các thớ trên bị nén, nên bề rộng của mặt cắt ở phía trên phình ra, còn các thớ phía dưới chịu kéo nên bề rộng của mặt cắt ở phía dưới thu hẹp lại (hình 5.7b). Mặt cắt ngang không còn nguyên dạng hình chữ nhật như trước khi bị biến dạng. Đường trung hòa là một đường cong nhưng vì biến dạng nhỏ, nên có thể coi mặt cắt sau khi biến dạng vẫn không đổi (vẫn hình chữ nhật) và coi đường trung hòa là đường thẳng và biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy là sự quay của các mặt cắt xung quanh đường trung hòa. Bây giờ, ta xét một đoạn dầm dz được cắt ra bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình 5.8a). Sau biến dạng, theo giả thuyết mặt cắt ngang phẳng thì hai mặt cắt 1-1 và 2-2 vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm, đồng thời quay với nhau một góc dϕ. Gọi ρ là bán kính cong của thớ trung hòa O 1 O 2 (hình 5.8b). Vì thớ trung hòa không bị biến dạng nên: Hình 5.7: Biến dạng của dầm chịu uốn thuần tuý ẳ Thớ trung hoà Đường t rung hà y x M x M x Lớp trung hoà O a) b) Trục đối x ứng Đường trung hoà a ) Thớ trung hà y d z 12 O 2 O 1 2 1 m n Hình 5.8: Xét sự biến dạng của một th ớ ρ y d ϕ Thớ trung hoà m 1 2 n O 1 O 2 1 2 b ) 87 O 1 O 2 ϕρ=== dOOdz 21 Bây giờ, tính biến dạng dài của một thớ mn cách thớ trung hòa một khoảng cách y. Chiều dài của thớ này trước khi bị biến dạng: ϕρ ddzmn == và sau khi biến dạng : mn= (ρ + y) dϕ Vậy, độ biến dạng dài tỉ đối của thớ mn bằng: ρ = ϕρ ϕ ρ − ϕ + ρ =ε y d dd)y( z Trong đó, giá trị của y và ρ đều chưa biết, vì vị trí của đường trung hòa còn chưa xác định. * Quan hệ vật lý: Ta hãy xét một mặt cắt nào đó, chẳng hạn mặt cắt 2-2. Mặt cắt đó được biểu diễn như trên hình 5.9. Trên mặt cắt đó ta lập hệ tọa độ Oxyz với Ox là đường trung hòa, Oy là trục đối xứng của mặt cắt, Oz song song với trục của dầm. Chiề u của các trục như hình vẽ (hình 5.9a). Bây giờ, ta tách ra một phân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt tọa độ. Phân tố đó được biểu diễn trên hình 5.9b. Theo giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng và với nhận xét các ô vuông sau khi biến dạng vẫn giữ góc vuông, nghĩa là trên các mặt cắt của phân tố không thể có ứng suất tiếp. Nói cách khác, trên mặt cắt ngang của thanh chỉ có ứng suất pháp σ z. .Theo giả thuyết về các thớ dọc thì σ x = σ y = 0. Như vậy, trạng thái ứng suất của một phân tố tách ra ở một điểm A nào đó trên mặt cắt ngang là trạng thái ứng suất đơn. Định luật Hooke cho phép ta biểu diễn quan hệ giữa σ z và ε Z như sau : ρ εσ y EE zz == (b) * Quan hệ ứng suất và nội lực: Xét một phân tố diện tích dF bao quanh điểm A. Phân tố nội lực tác dụng lên phân tố diện tích đó là σ z dF. Nếu quy về gốc tọa độ O của hệ trục trên mặt cắt ngang đang xét, thì chúng ta được các thành phần phân tố nội lực: dN z = σ z dF dM y = (σ z dF)⋅x dM x = (σ z dF)⋅y Vì chúng ta nghiên cứu dầm chịu uốn thuần túy phẳng, cho nên trên mọi mặt cắt ngang của dầm chỉ có mô men uốn M x ; còn M y = 0 và N z = 0. Do đó : N z = 0dF F z = ∫ σ (c) y σ z d F d F z x x y O M x F a ) σ z σ z b ) Hình 5.9: Xác định ứng suất của dầm chịu uốn thu ần tuý phẳng 88 M y = 0xdF F z = ∫ σ (d) M x = ∫ F z ydF σ (e) Trong đó các tích phân lấy trên toàn bộ diện tích F của mặt cắt ngang. a) Lực trục N Z : Mang (b) vào (c) và chú ý tỉ số ρ E là một hằng số ở trên mọi điểm của mặt cắt ngang nên có thể đưa ra ngoài dấu tích phân : N z = ∫∫ == FF 0ydF E ydF E ρρ Rút ra S x = ∫ = F 0ydF Trong đó, S x là mô men tĩnh của mặt cắt ngang đối với đường trung hòa Ox. Điều đó chứng tỏ đường trung hòa Ox trùng với trục trung tâm của mặt cắt ngang. b) Mô men uốn M y : Mang (b) vào (d) ta có : M y = ∫∫ == FF 0xydF p E xydF p E Rút ra : J xy = ∫ = F 0xydF Trong đó J xy là mô men quán tính li tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục Oxy. Vậy, hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. c) Mô men uốn M x : Sau khi xác định vị trí đường trung hòa Ox, ta thiết lập công thức ứng suất pháp. Mang (b) vào (e) ta có: M x = ∫∫ ρ = ρ = ρ FF x 22 J E dFy E dFy E Rút ra : x x EJ M 1 = ρ (5-1) Trong đó EJ x : Độ cứng của dầm khi uốn. Khi thay (5-1) vào (b) ta được: y J M x x z = σ (5-2) Trong đó, M x : Mô men uốn trên mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox và được coi là dương nếu làm căng các thớ ở về phía dương của trục y. J x : Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox . y: Tung độ của điểm đang xét đến trục trung hòa Ox. Ứng suất pháp tính được mang dấu cộng là ứng suất kéo, mang dấu trừ là ứng suất nén .Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng ta có thể viết (5-2) dưới dạng công thức kĩ thuật : |y| J M x x z ±= σ (5-3) Trong đó, ta lấy dấu (+) khi σ z là ứng suất kéo và dấu (-) khi σ z là ứng suất nén ở điểm chúng ta tính ứng suất. 5.3. BIỂU ĐỒ ỨNG SUẤT PHÁP - ỨNG SUẤT PHÁP LỚN NHẤT. 5.3.1. Biểu đồ ứng suất pháp. 89 Theo công thức (5-2), biểu đồ ứng xuất pháp trên mặt cắt ngang là một mặt phẳng (thường gọi là mặt phẳng ứng suất), hình 5.10a. Giao tuyến của mặt phẳng ứng suất với mặt cắt ngang là đường trung hòa. Theo công thức (5-2), ta thấy những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường trung hòa (tức có cùng khoảng cách y) thì có cùng trị số ứng suất pháp. Do đó, ta chỉ cần biểu diễ n sự biến thiên của ứng suất pháp σ z theo chiều cao của mặt cắt ngang (hình 5.10b). Như vậy, ứng suất pháp ở những điểm nằm trên đường thẳng AB song song với đường trung hòa được biểu diễn bằng đoạn thẳng ab trên biểu đồ phẳng (hình 5.10a, b). Trên biểu đồ phẳng (hình 5.10b), dấu (+) chỉ ứng suất pháp kéo, dấu (-) chỉ ứng suất pháp nén. 5.3.2. Ứng suất pháp lớn nhất. Từ biểu đồ ứng suất pháp, ta thấy ở những điểm cách xa đường trung hòa nhất thì ứng suất pháp σ z có giá trị lớn nhất. Kí hiệu: |y k max | là khoảng cách từ điểm chịu kéo cách xa đường trung hòa nhất, |y n ma x | là khoảng cách từ điểm chịu nén cách xa đường trung hòa nhất. Thay các trị số này vào (5-3), ta được các ứng suất pháp cực trị như sau: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − =−= =+= n x x n max x x min k x x k max x x max W |M| |y| J |M| W |M| |y| J |M| σ σ (5-4) Trong đó, ta đặt: |y| J W; |y| J W n max x n x k max x k x == Những đại lượng W k x , W n x được gọi là mô men chống uốn của mặt cắt ngang; thứ nguyên của nó là (chiều dài) 3 , đơn vị m 3 , cm 3 v.v Mô men chống uốn là một đại lượng hình học, ý nghĩa của nó thể hiện trong công thức (5-4); tức W x càng lớn thì dầm có thể chịu M x càng lớn. Như vậy, mô men chống uốn đặc trưng cho ảnh hưởng của hình dáng và kích thước của mặt cắt a ) x z y A B M x O Đường trung hoà a b σ ma x σ mi n y k ma x y n ma x b ) Hình 5.10: Biểu đồ ứng suất pháp y Hình 5.11: Xác định mô men chống uốn của hình chữ h y x O b 90 ngang đối với độ bền của dầm khi ứng suất pháp chưa vượt quá giới hạn tỉ lệ. Dưới đây, ta tính mô men chống uốn của một vài mặt cắt ngang có dạng hình học đơn giản. - Mặt cắt ngang hình chữ nhật (hình 5.11). Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với đường trung hòa Ox: J x = 12 bh 3 Ở đây |y 2 h |y|| n max k max == Vậy, mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình chữ nhật là: 6 bh WWW 2 x n x k x === (5-5) - Mặt cắt ngang hình tròn (hình 5.12). Mô men quán tính của mặt ngang hình tròn đối với đường trung hòa Ox: J x = 64 D 4 R 44 ππ = Ở đây |y 2 D R|y|| n max k max === Vậy, mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình tròn: W === x n x k x WW 32 D 4 R 33 ππ = (5-6) hay: W 3 x n x k x D1,0WW === (5-7) - Mặt cắt ngang hình vành khăn (hình 5.12b) . Nếu gọi α là tỉ số giữa đường kính trong d và đường kính ngoài D, thì mô men quán tính của mặt cắt ngang vành khăn là: )1( 64 D )1( 4 R J 4 4 4 4 x α π α π −=−= với R r D d == α Ơ đây: 2 D R|y|y n max k max === Vậy, mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình vành khăn là: W x n x k x WW == )1( 4 R 4 3 α− π = )1( 32 D 4 3 α− π = (5-8) hay : W ≈== x n x k x WW0,1D 3 (1-α 4 ) (5-9) 5.4. ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG. a) D R r R D d b) Hình 5.12: Xác định mô men chống của hình vành kh ăn 91 Muốn dầm làm việc được bền thì ứng suất lớn nhất khi kéo và nén ở mặt cắt ngang nguy hiểm (nói chung mặt cắt nguy hiểm có max |M x | không vượt quá ứng suất pháp cho phép của vật liệu), đó là điều kiện bền. Đối với vật liệu dẻo, ứng suất pháp cho phép khi kéo bằng khi nén, nhưng đối với vật liệu giòn thì ứng suất pháp cho phép khi kéo khác khi nén, nên ta phải viết điều kiện bền cho cả hai trường hợp: - Dầm bằng vật liệu dẻo. Vì ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén bằng nhau: [σ] k = [σ] n = [σ] Nên trong hai giá trị σ max , σ min ta sẽ chọn ứng suất pháp có giá trị tuyệt đối lớn nhất để so sánh với ứng suất pháp cho phép. Điều kiện bền la: max |σ| ≤ [σ] (5-10) Trong đó [σ] - ứng suất pháp cho phép của vật liệu dẻo. - Dầm bằng vật liệu giòn: Vì ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén khác nhau, nên ta phải có hai điều kiện bền: σ max ≤ [ σ] k ; |σ min | ≤ [ σ] n (5-11) Trong đó [σ] k và [σ] n - ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén. * Ví dụ 1: Một dầm bằng vật liệu giòn có ứng suất pháp cho phép khi kéo |σ| k = 3,5KN/cm 2 và khi nén [σ] n = 11KN/cm 2 chịu lực như hình vẽ (hình 5.13). Kiểm tra độ bền của dầm : Bài giải :Trước hết ta phải tìm trọng tâm và mô men quán tính của mặt cắt ngang (xem chương đặc trưng hình học của mặt cắt ngang phẳng): J x = 362,6667cm 4 Biểu đồ nội lực được biểu diễn trên hình 5.13b. Vì mô men uốn là một hằng nên ở bất kì một mặt cắt ngang: M x = 4,5 KNm Qua biểu đồ mô men ta thấy phía trên bị kéo và phía dưới chịu nén. Tức là những điểm phía trên trục x chịu kéo (điểm A chịu kéo lớn nhất), các điểm phía dưới trục x chịu nén (điểm B chịu nén lớn nhất). Ứng suất pháp kéo lớn nhất trên mặt cắt ngang đó bằng: max σ k = σ A = 2 2 k x x cm/KN31,367,2 6667,362 105,4 W M ≈⋅ ⋅ = Ứng suất pháp nén lớn nhất trên mặt cắt ngang đó bằng: Hình 5.13: Kiểm tra độ bền của dầ m M x 4,5KN 4,5KNm4,5KNm a ) b ) y c) 1 0 14 0 1 0 10 0 2 0 26 7 73 3 x O 3,31KN/c m 2 9,1KN/c m 2 d ) A B 92 |max σ n | = σ B = 2 2 n x x cm/KN11,933,7 6667,362 105,4 W M ≈⋅ ⋅ = Dầm đủ bền vì max σ k < [σ] k và max| σ n | < [σ] n * Ví dụ 2: Xác định đường kính đoạn trục bánh xe hỏa nằm giữa hai bánh, chịu lực như trên hình 5.14a. Cho P = 63KN; a = 22,8 cm. Vật liệu có giới hạn bền bằng 26KN/cm 2 . Lấy hệ số an toàn n = 6,3. Bài giải : Mô men uốn ở mặt cắt ngang trong đoạn nằm giữa hai bánh xe bằng: M x = Pa = 63×22,8 = 1.436 KNcm Mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình tròn : W x ≈ 0,1 d 3 cm 3 Vì trục làm bằng vật liệu dẻo, nên theo điều kiện bền : [] 3,6 26 d1,0 4,1436 W M 3 x x =σ≤= Rút ra: cm2,15 261,0 3,64,1436 d 3 ≅ × × ≥ 5.5. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH DẠNG HỢP LÍ CỦA MẶT CẮT NGANG Hình dạng hợp lý của mặt cắt ngang là hình dạng sao cho khả năng chịu lực của dầm là lớn nhất nhưng đồng thời tốn ít vật liệu nhất. a) Dầm bằng vật liệu giòn: Mặt cắt của dầm sẽ hợp lí nhất khi ứng suất cực trị thỏa mãn các điều kiện: [ ] [ ] n min k max ; σ=σσ=σ Trong đó [σ] k là ứng suất cho phép khi kéo và [σ] n là ứng suất cho phép khi nén. Thay các trị số σ max và σ min được tính theo công thức (5-7) vào các đẳng thức trên, ta sẽ được: n n max x x k k max x x ][|y| J |M| ;][|y| J |M| σ=σ= Chia các vế của đẳng thức trên cho nhau, ta được: n k n max k max ][ ][ |y| |y| σ σ = (5-12) Vì đối với vật liệu giòn [σ] k < [σ] n nên: |y||y|hay1 |y| |y| n max k max n max k max << Vậy, đối với dầm bằng vật liệu giòn, hình dạng hợp lí của mặt cắt ngang là dạng mặt cắt không đối xứng qua trục trung hòa Ox và phải Hình 5.15: Xác định hình á í y z x y k ma x y n ma x M x O Hình 5.14: Kiểm tra bền P P P a P P P a (Q y ) (M x ) b) a) 93 bố trí sao cho tỉ số giữa |y|vaì|y| n max k max thỏa mãn (5-12). Ví dụ mặt cắt hình chữ T (hình 5.15). b) Dầm bằng vật liệu dẻo: Vì với vật liệu dẻo [σ] k = [σ] n nên: |y||y| n max k max = Tức là mặt cắt ngang có dạng đối xứng qua đường trung hòa Ox, ví dụ như mặt cắt ngang hình chữ nhật, chữ I, tròn Ngoài ra, qua biểu đồ ứng suất pháp như trên (hình 5.10), ta nhận thấy ở những điểm càng gần trục trung hòa thì trị số ứng suất pháp càng nhỏ, nghĩa là những nơi đó vật liệu làm việc ít hơn ở những điểm xa đường trung hòa. Vì vậy, để tậ n lượng khả năng làm việc của vật liệu, nên người ta có khuynh hướng bố trí vật liệu ra xa trục trung hòa, ví dụ mặt cắt ngang dạng chữ T, I, . Việc bố trí mặt cắt cũng có một ý nghĩa rất lớn. Đó chính là định hướng của mặt cắt ngang đối với mặt phẳng tải trọng. Ví dụ mặt cắt ngang hình chữ I được bố trí hợp lý nhất là làm sao cho trụ c trung hòa trùng với trục mà đối với trục đó J x = J max . B. DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG Một dầm chịu uốn ngang phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có hai thành phần nội lực là lực cắt và mô men uốn. Các thành phần nội lực này nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm. Ví dụ : Dầm có mặt cắt ngang là hình chữ nhật chịu lực như trên hình vẽ (hình 5.16). Xét một mặt cắt 1-1 nào đó của dầm, thì trên mặt cắt đó có hai thành phần nội lực là lực cắt Q y và mô men uốn M x . Hai thành phần nội lực này đều nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm là Oyz (hình 5.17). 5.6. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG . Công thức tính ứng suất pháp σ z (5-2) được suy ra cho trường hợp M x = const. Nếu mô men uốn M x là một hàm số theo z thì trên mặt cắt ngang sẽ có lực cắt: dz dM Q x y = x y z M x Q y Hình 5.17: Nội lực trên mặt cắt ngang của dầm ch ịuuốn ngang phẳng Hình 5.16: Dầm chịu lực có mặt cắt ngang hình ch ữ nhật b d z y x P l 1 1 2 2 P Pl [...]... trường hợp uốn ngang phẳng mà sai số mắc phải không lớn Vì vậy, chúng ta thừa nhận công thức (5-2) để tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang trong trường hợp uốn ngang phẳng: M σz = x y (5-13) Jx 5.7 ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG Để đơn giản bài toán, ta giả thiết dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật Nói chung, ứng suất tiếp τz ở một điểm bất kì trên mặt cắt ngang có thể... các loại trạng thái ứng suất khi thanh chịu uốn ngang phẳng ? 5.6 Cách kiểm tra độ bền trong uốn thuần túy và uốn ngang phẳng ? 5.7 Dạng hợp lý của mặt cắt ngang khi chịu uốn ? 5.8 Cho biết cách xác định phương chính tại một điểm của dầm chịu uốn ngang phẳng Vẽ dạng quỹ đạo ứng suất chính của dầm chịu uốn ngang phẳng 5.9 Tính độ võng bằng phương pháp tích phân bất định ? - - 118 ... men uốn vẽ trên hình 5.43b CÂU HỎI TỰ HỌC 5.1 Thế nào là mặt phẳng tải trọng, đường tải trọng? Định nghĩa uốn phẳng ? 5.2 Nội lực khi uốn thuần túy ? 5.3 Các giả thuyết khi thiết lập công thức tính ứng suất trong uốn thuần túy ? 5.4 Viết và giải thích cách sử dụng của các công thức tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trong uốn ? 5.5 Trình bày các loại trạng thái ứng suất khi thanh chịu uốn ngang phẳng. .. thiên dọc theo đường kính của mặt cắt ngang hình tròn là đường cong bậc hai Ứng suất tiếp τzy đạt tới giá trị lớn nhất ở những điểm nằm trên đường trung hòa (y=0): 4 Qy τ max = ⋅ (5-17) 3 F Hình 5.23: Xác định ứng suất tiếp 5.8 ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG Như trên đã nói, trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng ngoài ứng suất pháp σz do mô men uốn Mx gây ra, còn có ứng suất tiếp... trong thực tế ngườta chế tạo các trục có mặt cắt ngang thay đổi từng bậc (gọi là trục bậc) gần sát với dạng hợp lí (đường liền trên hình 5.29) Các nhíp xe cũng là những dạng dầm chống uốn đều Hình 5.29: Hình dáng hợp lí ủ 5.11 QUỸ ĐẠO ỨNG SUẤT CHÍNH KHI UỐN Nói chung một phân tố bất kỳ nào đó trong lòng của thanh chịu uốn ngang phẳng đều ở trạng thái ứng suất phẳng Ở đây, ta hãy xác định phương các ứng...Trong trường hợp này, trên mặt cắt ngang, ngoài ứng suất pháp do mô men uốn Mx gây ra, còn có ứng suất tiếp do lực cắt Qy gây ra Đối với trường hợp này, sau khi bị biến dạng mặt cắt ngang không còn phẳng nữa Mặt cắt ngang không những bị xoay như trong dầm chịu uốn thuần túy phẳng mà còn bị vênh đi một ít do tác dụng của ứng suất tiếp, cho nên quá trình chứng... chịu uốn ngang phẳng, trạng thái ứng suất của phân tố là trạng thái ứng suất phẳng, do đó công thức trên sẽ có dạng: 1 2 2 u= σ1 + σ 3 − 2µσ1σ 3 (a) 2E σ σ 2 (b) Nhưng: σ1 = + (σ / 2) 2 + τ 2 , σ 3 = − (σ 2) + τ 2 2 2 σ 2 τ 2 2(1 + µ ) u= Cho nên + 2E 2 E 2(1 + µ ) 1 = Nếu kể đến: E G [ Thì: ] u= σ2 + τ2 (c) 2E 2G Công thức (c) cho ta thế năng riêng biến dạng đàn hồi trong dầm chịu uốn ngang phẳng. .. chỉnh sự phân bố không đều của ứng suất tiếp Mặt cắt ngang hình chữ nhật :η = 1,20 105 η = 1,11 F Mặt cắt ngang hình I: η= F1 Trong đó: F - diện tích cũa chữ I ; F1 - diện tích của lòng chữ I Mặt cắt ngang hình tròn: v = y C CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN 5.13 KHÁI NIỆM ĐƯỜNG ĐÀN HỒI Khi dầm bị uốn, trục của dầm bị uốn cong Đường cong của trục dầm sau khi bị uốn gọi là đường đàn hồi, (hình 5.32) Xét một điểm... trên cùng một mặt cắt ngang Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, ta phải chọn mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất Đối với phân tố ở trạng thái trượt thuần túy, phải chọn mặt cắt ngang có lực cắt lớn nhất Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt, phải chọn mặt cắt có mô men uốn và lực cắt cùng lớn (thường chỉ kiểm tra ở điểm tiếp giáp giữa đế và lòng của mặt cắt ngang hình chữ I) ,... Mx O C x τma 97 x O C chiều cao mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng Dựa vào biểu đồ này, chúng ta thấy rằng trạng thái ứng suất của các phân tố trên mặt cắt ngang sẽ khác nhau Nói chung, chúng ta có ba trường hợp sau : a) Trạng thái ứng suất đơn:Vì ứng suất tiếp ở những điểm mép trên cùng và dưới cùng bằng không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất đơn . 84 Chương 5 UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG 5.1.KHÁI NIỆM. Một thanh chịu uốn là một thanh có trục bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực. Những thanh chủ yếu chịu uốn gọi là dầm trục dầm khi bị uốn cong vẫn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm thì sự uốn đó được gọi là uốn phẳng Trong thực tế, những dầm bị uốn thường là những dầm có mặt cắt ngang là hình. thanh chịu uốn ngang phẳng đều ở trạng thái ứng suất phẳng. Ở đây, ta hãy xác định phương các ứng suất chính của các phân tố khác nhau trên một mặt cắt ngang nào đó của dầm chịu uốn ngang phẳng