Sur une g´n´ralisation des coefficients binomiaux e e Fr´d´ric Jouhet, Bodo Lass et Jiang Zeng e e Institut Girard Desargues, Universit´ Claude Bernard (Lyon 1) e 43, bd du 11 Novembre 1918, 69622 Villeurbanne cedex, France {jouhet, lass, zeng} @ igd.univ-lyon1.fr Submitted: Jun 16, 2003; Accepted: Jul 16, 2004; Published: Jul 26, 2004 Abstract We prove a recent conjecture of Lassalle about positivity and integrality of coefficients in some polynomial expansions We also give a combinatorial interpretation of those numbers Finally, we show that this question is closely related to the fundamental problem of calculating the linearization coefficients for binomial coefficients Key words Positivity and integrality conjectures, linearization coefficients, calculus of finite differences AMS subject classifications 05A05, 05A10, 05A15, 05A17, 05A18, 05A19, 05E05, 33C20 Introduction Une partition µ = (µ1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µl > 0) de n est une suite d´croissante d’entiers e strictement positifs de somme n = |µ| Le nombre l = l(µ) est appel´ la longueur de e µ Pour tout i ≥ 1, l’entier mi (µ) = card{j : µj = i} est la multiplicit´ de i dans µ e D´finissons e zµ = imi (µ) mi (µ)! i≥1 Pour n ≥ les factorielles montantes et descendantes sont d´finies comme suit : e (x)n = x(x + 1) · · · (x + n − 1), x n = x(x − 1) · · · (x − n + 1) x Notons que −x n = (−1)n (x)n et que les coefficients binomiaux valent n = x n /n! Dans ses travaux sur les polynˆmes de Jack [13] Lassalle a r´cemment pos´ la conjecture o e e suivante the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 Conjecture Soit X une ind´termin´e, m et n deux entiers strictement positifs et e e r = (r1 , , rm ) une suite d’entiers positifs telle que |r| = m ri > On a i=1   l(µ) m min(n,|r|) (µi )rk X l(µ)−1  (r) X + n − = ck , (1) n−k zµ rk ! |r| k=1 i=1 k=1 |µ|=n (r) o` les coefficients ck sont des entiers positifs ` d´terminer u a e Remarquons d’abord que le membre de gauche de (1) est un polynˆme en X de degr´ o e X+n−1 c n − 1, donc il peut ˆtre d´velopp´ dans la base { n−k } (1 ≤ k ≤ n) d’une seule fa¸on e e e (r) Ceci implique l’existence et l’unicit´ des coefficients rationnels ck au membre de droite e de (1) (r) Comme nous allons le d´montrer, les nombres ck sont en fait des entiers positifs et e (r) ind´pendants de n Pour m = et m = les coefficients ck ont ´t´ d´termin´s et la e ee e e (r1 ) conjecture a ´t´ v´rifi´e (voir [7, 12, 13, 17]) Dans le premier cas, on a ck = rk1 et ee e e (r ,r ) dans le deuxi`me cas Lassalle [13] a obtenu plusieurs formules exprimant ck , qui se e (r) r´duisent au cas pr´c´dent lorsque r2 = Donc les coefficients ck sont des extensions e e e des coefficients binomiaux classiques L’objectif de cet article est de donner une solution compl`te de ce probl`me, ceci e e par trois approches distinctes utilisant des techniques compl`tement diff´rentes Plus e e pr´cis´ment, la section donne une r´ponse analytique ` la conjecture 1, ainsi que quelques e e e a identit´s du mˆme type, ceci ` l’aide des fonctions g´n´ratrices multivari´es Dans la e e a e e e troisi`me section, nous donnons une interpr´tation combinatoire de l’identit´ suivante : e e e |µ|=n n! l(µ)−1 X zµ l(µ) m µi i=1 k=1 µ i + rk − rk − = rj |r| j min(n,|r|) (r) ck k! k=1 n (X + k)n−k , k (2) qui est l’identit´ (1) au facteur n!r1 rm pr`s Dans la derni`re section, nous d´taillons e e e e une troisi`me d´monstration de la conjecture de Lassalle qui utilise le calcul aux diff´rences e e e et le cas particulier m = de (2) , c’est-`-dire l’identit´ : a e |µ|=n n! l(µ)−1 X zµ l(µ) µi i=1 µ i + r1 − r1 − = k≥1 r1 n k! (X +k)n−k = (X +r1 )n −(X)n , (3) k k dont la d´monstration est facile, voir [12] pour une preuve alg´brique et [17] pour une e e preuve combinatoire Dans ce paragraphe, nous voyons que le probl`me essentiel soulev´ e e par la conjecture de Lassalle est le calcul de certains coefficients de lin´arisation Malgr´ e e l’importance fondamentale de cette question, il semble que, jusqu’` pr´sent, les coefficients a e de lin´arisation ne furent ´tudi´s que pour les polynˆmes orthogonaux C’est pourquoi e e e o nous ajoutons un traitement combinatoire du probl`me dans cette section e the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 Afin de rendre la lecture la plus autonome possible nous rappelons ici quelques formules fr´quemment utilis´es dans la suite D’abord la formule binomiale peut s’´crire : e e e (1 − x)−α = n≥0 (α)n n x n! (4) Nous aurons aussi besoin de la transformation suivante, qui est un cas limite de la formule de Whipple [1, p 142] : (c − a)n −n, a, b −n, a, d − b ;1 = ;1 , F2 c, d d, a + − n − c (c)n F2 (5) et qui se r´duit a la formule de sommation de Chu-Vandermonde lorsque b = d : e ` F1 (c − a)n −n, a ;1 = , c (c)n o` u p Fq a1 , a2 , , ap ;z = b1 , b2 , , bq k≥0 (6) (a1 )k · · · (ap )k z k (b1 )k · · · (bq )k k! est la d´finition des fonctions hyperg´om´triques classiques e e e Fonctions g´n´ratrices e e En multipliant le membre de gauche de (1) par tn xr1 · · · xrm et en sommant sur n ≥ 1 m et les entiers r1 , , rm ≥ tels que |r| = 0, par la formule binomiale (4), nous sommes amen´s ` ´valuer l’expression e ae |µ| X t |µ|≥1 l(µ)−1 l(µ) zµ i=1 m (1 − xl )−µi − l=1 Lemme Soit y une ind´termin´e, alors e e |µ| X t |µ|≥1 l(µ)−1 l(µ) zµ i=1 µi n (y − 1) = n t n≥1 k=1 X + n − (y − 1)k n−k k (7) Preuve Toute partition µ non nulle correspond de fa¸on biunivoque ` une suite non nulle c a the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 a ` support fini m = (m1 , m2 , ) telle que µ = (1m1 2m2 ) On a donc |µ| X t l(µ)−1 l(µ) zµ |µ|≥1 y µi = m i=1 = j≥1 y i i≥1 = i≥1 mi mi ≥0 (yt)i exp i = (1 − t) −X mj Xtj j X −1 mj ! mi Xti i Xti i mi y i i≥1 X −1 mi ! · j=i mj ≥0 Xtj j mj mj ! Xtj j exp j=i −1 log(1 − yt) (8) Par soustraction du terme correspondant ` y = 1, nous obtenons a |µ| X l(µ)−1 l(µ) t zµ |µ|≥1 i=1 (1 − t)−X−k = k≥1 tn = n≥1 n k=1 −1 t (y − 1) 1−t (y µi − 1) = (1 − t)−X log − tk (y − 1)k k X + n − (y − 1)k , n−k k ce qui ach`ve la d´monstration e e Notons, pour toute fonction multivari´e f , par [xr1 · · · xrm ]f (x1 , , xm ) le coefficient e m de xr1 · · · xrm dans f Nous d´duisons donc de (7), en posant y = 1/(1−x1 )(1−x2 ) · · · (1− e m xm ), le r´sultat suivant e (r) e Th´or`me Soient ck les nombres rationnels d´finis par (1) Alors e e (r) ck = [xr1 · · · xrm ] m |r| k k −1 (1 − x1 ) · · · (1 − xm ) (9) (r) En particulier, kck /|r| est un entier positif et ne d´pend pas de n e Il en r´sulte que e (r) ck = [xr1 · · · xrm ] m = [xr1 · · · xrm ] m d dz z=1 k −1 (1 − zx1 ) · · · (1 − zxm ) −1 (1 − x1 ) · · · (1 − xm ) k−1 x1 1−x1 k (10) +···+ xm 1−xm (1 − x1 ) · · · (1 − xm ) La derni`re expression montre clairement le corollaire suivant e the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 (r) Corollaire Les nombres ck sont des entiers positifs Il est aussi possible de d´duire le corollaire au moyen des fonctions sym´triques hoe e mog`nes sur {x1 , , xm }, qui sont d´finies [10, 14] par la fonction g´n´ratrice : e e e e m n hn (x1 , , xm )z = n≥0 (1 − zxi )−1 , i=1 et donc ceci, ` l’aide de (10), permet d’´crire : a e (r) ck tk xr1 · · · xrm m k≥1 r1 , ,rm ≥0 = − d dz λ n≥1 z=1 l(λ) |λ| = l(λ) t hλ (x1 , , xm ) l(λ) m1 (λ), m2 (λ), tl(λ) = hn (x1 , , xm )z n log − t i i≥1 λ l(λ) − hλ (x1 , , xm ), m1 (λ), m2 (λ), , mi (λ) − 1, (11) (r) ce qui montre aussi que ck ∈ N Notons que le membre de droite de (11) s’apparente au d´veloppement de la ni`me fonction sym´trique puissance pn (x1 , , xm ) dans la base e e e des fonctions sym´triques homog`nes donn´ par la formule de Waring [10, 15] e e e D’autre part, en d´veloppant le membre de droite de (9) par la formule binomiale, e nous obtenons (−1)k + k k k (1 − x1 )−i · · · (1 − xm )−i i (−1)k−i i≥1 m (−1)k−i k − i i−1 i≥1 = |r|>0 l=1 rl + i − r l xl , rl ce qui donne, en extrayant le coefficient de xr1 · · · xrm , le r´sultat suivant e m (r) Corollaire On a la formule explicite pour ck : (r) ck = |r| i≥1 m (−1)k−i k − i i−1 k = j=1 i=1 (−1)k−i k−1 i−1 m l=1 rl + i − rl i + rj − rj − the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 (12) m l=1,l=j rl + i − rl (13) En particulier, pour m = et m = 2, la formule (12) permet de retrouver les deux expressions explicites de Lassalle [13] En fait, pour m = la formule (9) se r´duit e directement a ` k (r1 ) c = [xr1 ] xk (1 − x1 )−k = [xr1 ] 1 r1 k l−1 l (r ) x1 =⇒ ck = k−1 l≥k r1 k (14) Pour m = la formule (12) s’´crit e (r ,r2 ) ck = r1 + r2 k k i + r1 − r1 k i (−1)k−i i=1 i + r2 − r2 −k + 1, r1 + 1, r2 + ;1 2, = (−1)k−1 (r1 + r2 ) F2 Appliquons deux fois la formule (5) ` l’expression ci-dessus, ce qui donne bien a (r ,r2 ) ck = r1 + r2 k F2 −k + 1, −r1 , −r2 ;1 − r1 − r2 , Remarquons qu’en appliquant une troisi`me fois (5), on retrouve une autre expression de e [13] : = r1 + r2 −r1 , −r2 , k − r1 − r2 ;1 F2 − r1 − r2 , −r1 − r2 r1 r1 + r2 − i r1 + r2 r1 + r2 − i r1 + r2 − 2i k i r1 − i r1 + r2 − i r1 + r2 k = (r ,r2 ) ck (−1)i i≥0 Enfin, en multipliant le membre de gauche de (1) par tn xr1 · · · xrm et en sommant sur m n ≥ et les entiers r1 , , rm ≥ 0, nous obtenons t|µ| |µ|≥1 X l(µ)−1 zµ l(µ) m (1 − xl )−µi , i=1 l=1 ce qui peut se d´velopper directement ` l’aide de (8) comme suit : e a n (X)n t n≥0 n! k≥1 k t (1 − x1 ) · · · (1 − xm ) k tn X + n − k − = k n−k n,k≥1 m (k)rl rl x , rl ! l l=1 r ≥0 l et donc nous obtenons l’identit´ e |µ|=n X l(µ)−1 zµ l(µ) m i=1 (µi )rk = rk ! k=1 n k=1 k m l=1 rl + k − rl X +n−k−1 n−k (15) Il est possible d’´tablir une extension de (15) comme suit e the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 c Proposition Pour toute partition µ et tout p ∈ N, soit µ le nombre de fa¸ons de p choisir p ´l´ments dans le diagramme de Ferrers de µ, dont au moins un par ligne, alors ee   l(µ) m l(µ)−1 (µi)rk µ X   p zµ rk ! i=1 k=1 |µ|=n p = k=1 k n−p+k j=k j−1 k−1 n−j−1 p−k−1 m l=1 X +p−k−1 (16) p−k rl + j − rl Preuve Rappelons la fonction g´n´ratrice suivante [10] : e e µ p (1 + x)k − x = p k≥1 p≥1 mk (µ) Nous pouvons ainsi, comme pour (15), calculer la fonction g´n´ratrice du membre de e e gauche de (16), en le multipliant par tn xp xr1 · · · xrm et en sommant sur n, p ≥ et m r1 , , rm ≥ : |µ| X t zµ |µ|≥1 = l(µ)−1 1− µ p x p p≥1 tx 1−t l(µ) m (1 − xl )−µi i=1 l=1 −X log − t (1 − x1 ) · · · (1 − xm ) − log − t(1 + x) (1 − x1 ) · · · (1 − xm ) D´veloppons alors cette derni`re expression, ce qui donne : e e p≥0 = j,k≥1 p≥0 = p tx 1−t j j j k j,k,p≥1 (X)p p! j≥1 tx 1−t p j t (1 − x1 ) · · · (1 − xm ) (X)p p! j t (1 − x1 ) · · · (1 − xm ) X +p−k−1 p x p−k m (j)rl rl x rl ! l l=1 r ≥0 (1 + x)j − j j k x k tp+j−k (1 − t)−p+k l Mais en utilisant la formule binomiale sous la forme : (1 − t)−p+k = n≥0 (p − k)n n t , n! en rempla¸ant n par n − p − j + k et en extrayant le coefficient devant xp tn xr1 · · · xrm , c m nous obtenons la fonction g´n´ratrice du membre de droite e e the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 Remarque Pour p = n, l’identit´ (16) donne bien (15) Lorsque tous les ri sont nuls, e le membre de droite de (1) n’a pas de sens Or il r´sulte de (7) avec y = que e (1 − t) −X log(1 − t) −1 n = n t n≥1 k=1 X + n − (−1)k−1 , k n−k ce qui donne le prolongement suivant de (1) pour r = : |µ|=n X l(µ)−1 l(µ) = zµ n k=1 (−1)k−1 X + n − k n−k (17) Cette formule est en fait la d´riv´e d’une formule de Macdonald [14, p 26] : e e |µ|=n X l(µ) = zµ X +n−1 n Interpr´tations combinatoires e Une permutation σ de l’ensemble E = {a1 , , ak } est un cycle si E = {a1 , σ(a1 ), , σ k−1 (a1 )} On note σ = (ai , σ(ai ), , σ k−1 (ai )) pour ≤ i ≤ k et on appelle σ un cycle de longueur k ou un k-cycle et E le support de σ Il est d’usage d’identifier σ avec son graphe sagittal Gσ , c’est-`-dire, → aj est un arc de Gσ si et seulement si σ(ai ) = aj a Si α = (a1 , a2 , , ak ) et β = (b1 , b2 , , br ) sont deux cycles de supports disjoints, un m´lange de α et β est d´fini comme un cycle (c1 , , ck+r ), o` le mot w = c1 ck+r est e e u un r´arrangement de e a1 a2 ak bi bi+1 br b1 b2 bi−1 , i ∈ {1, , r}, e e tel que a1 a2 ak et bi bi+1 br b1 b2 bi−1 sont deux sous-mots de w G´om´triquement m´langer deux cycles α et β consiste a ins´rer β dans α (ou l’inverse) pour former un e ` e nouveau cycle de longueur k + r en gardant la mˆme orientation e Exemple Soient α = (1, 2, 3, 4, 5, 6) et β = (a, b, c, d, e) Alors (1, c, 2, 3, 4, d, e, 5, 6, a, b) est un m´lange de α et β (voir l’illustration Figure 1) e Lemme Soient α et β deux cycles de supports disjoints et de longueur k et r respectivement Alors le nombre de m´langes de α et β est donn´ par e e Fk (r) = k+r−1 (k + r − 1)! =k (k − 1)!(r − 1)! r−1 the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 =r k+r−1 k−1 m m m m c ← ← b m a m m ↓ m ↑ m m cycle α m b ↓ cm em ↑ =⇒ m → d m m a ↓ ↑ m m ↓ m m → d → em → m un m´lange de α et β e cycle β Figure 1: Un m´lange de deux cycles e En effet, il y a (k + r − 1)! mani`res de constituer un cycle ` l’aide de k + r ´l´ments, mais e a ee l’ordre des cycles initiaux de longueurs k et r devant ˆtre respect´, on obtient le r´sultat e e e k+r Remarque Comme k compte le nombre de mani`res de m´langer deux chemins orie e ent´s de longueur k et r, respectivement, pour obtenir un chemin orient´ de longueur k+r, e e on pourrait appeler Fk (r) coefficient binomial cyclique Or, il semble difficile d’interpr´ter e Fk (r) dans le contexte des coefficients binomiaux g´n´ralis´s de [2] En effet, k+r = e e e k X k+r k , o` X est un chemin orient´ avec k sommets, mais le coefficient binomial cyclique u e Xk Ck+r de [2], ` savoir Ck (Ck est un circuit orient´ avec k sommets), est ´gal ` si k est un a e e a diviseur de k + r et ´gal ` sinon e a La notion de m´lange a l’avantage d’ˆtre sym´trique par rapport aux deux cycles, mais e e e on aura besoin d’une variante asym´trique du m´lange dans la suite Dans un m´lange γ e e e de deux cycles α et β, un sommet a de α est β-d´cor´ par un sommet b de β s’il existe e e un arc b → a La β-d´coration de α associ´e ` γ est le graphe γ obtenu en posant γ (b) = γ(b) pour e e a tout b de β ainsi que γ (a) = α(a) pour tout a de α Exemple On reprend l’exemple de la Figure Les ´l´ments 1, et sont d´cor´s ee e e par b, c et e respectivement cm ← b ← m m m m a ↓ ↑ m m ↓ m m → d → em → m m m m ←− b ← a =⇒ m cm −→ ↓ m m ↑ m ←− em d ← m m Figure 2: Un m´lange de α et β et sa β-d´coration de α correspondante e e the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 La notion de d´coration permet de donner une autre expression pour Fk (r) comme suit : e Fk (r) = r i i i≥1 k i En effet, pour constituer une β-d´coration de α ayant i ´l´ments β-d´cor´s, on peut e ee e e k d’abord choisir ces ´l´ments dans α de i mani`res, et puis choisir les i ´l´ments du ee e ee r cycle β les d´corant de i mani`res Il ne reste plus qu’` associer cycliquement ces deux e e a familles de i ´l´ments, ce qui donne i choix, et ceci d´montre l’identit´ ci-dessus ee e e Remarque On aurait pu aussi d´duire la formule pr´c´dente du lemme en partant e e e du membre de droite et en utilisant la formule de Chu-Vandermonde Inversement on obtient une preuve combinatoire de cette derni`re sous la forme suivante : e i i≥1 r i k i =k k+r−1 r−1 =r k+r−1 k−1 Consid´rons maintenant une g´n´ralisation de la notion de m´lange ou d´coration e e e e e comme suit Soient α, β1 , , βm des cycles de supports deux ` deux disjoints On note a β=(β1 , , βm ) et on d´finit une β-d´coration de α comme ´tant le graphe obtenu en e e e d´corant α par chacun de ces m cycles De plus, on dit qu’une β-d´coration de α est e e surjective si chaque sommet de α est d´cor´ par au moins un sommet des cycles β1 , , βm e e Exemple Soient α = (1, , 6), β1 = (a, b, c, d, e) et β2 = (x, y, z, t) Consid´rons e les β1 -d´coration et β2 -d´coration suivantes de α ainsi que la (β1 , β2 )-d´coration de α e e e correspondante : On notera que cette d´coration est surjective, alors que celle de la Figure ne l’´tait pas e e Proposition Soient α, β1 , , βm des cycles de longueur k, r1 , , rm respectivement, et de supports deux a deux disjoints Si Fk (r) (resp Sk (r)) est le nombre de β-d´corations ` e (resp surjectives) de α, alors on a m Fk (r) = m Fk (ri ) = i=1 et k Sk (r) = (−1) i=1 rl l=1 k−i k i k + rl − , rl m rl l=1 i + rl − rl (18) (19) En effet, d’apr`s le lemme la formule (18) est ´vidente car les m d´corations sont e e e ind´pendantes les unes des autres D’autre part, il est clair que le nombre de β-d´corations e e k k k de α ayant i sommets d´cor´s est i Si (r), donc Fk (r) = i=1 i Si (r) et par inversion e e on obtient k k Sk (r) = Fi (r), (−1)k−i i i=1 the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 10 m m m ←− b ← a m cm −→ ↓ m m m x −→ m ↑ m ←− em d ← m m ↓ m m y −→ m m ←− tm ↑ m m m ←− z β2 -d´coration de α e β1 -d´coration de α e m x ↓ m m m ←− b ← a m m c −→ ↓ m m y −→ m ←− ↑ m ←− tm m m e ← d m m ←− z Figure 3: Une (β1 , β2 )-d´coration de α e qui permet de d´duire (19) par substitution de (18) e Interpr´tons maintenant le membre de gauche de (2) a l’aide du mod`le pr´c´dent e ` e e e Pour tout entier positif n on note [n] l’ensemble {1, 2, , n} Un L-complexe sur [n] est un triplet (σ, α, β), o` σ est une permutation de [n], α un cycle de σ et β est une suite de u ´ m cycles qui d´corent α Etant donn´e une partition µ de n, il y a n!/zµ permutations de e e [n] de type µ, c’est-` dire ayant mi (µ) cycles de longueur i (1 ≤ i ≤ n) Choisissons un a cycle (de longueur µi ) a d´corer parmi les l(µ) possibles, les autres cycles ´tant compt´s ` e e e a ` l’aide de la variable X La fonction g´n´ratrice des L-complexes sur [n] selon le nombre e e de cycles non d´cor´s est ´gale ` e e e a |µ|=n n! l(µ)−1 X zµ l(µ) Fµi (r) i=1 D’autre part, on pourrait construire un L-complexe de [n] en constituant d’abord un k-cycle ` d´corer Il y a (k − 1)! n mani`res diff´rentes de choisir ces ´l´ments, et de a e e e ee k les placer sous forme de cycle, qu’on d´core ensuite de Fk (r) fa¸ons (cf proposition 2) e c Enfin, comme la fonction g´n´ratrice des permutations des n − k ´l´ments restants selon e e ee le nombre de cycles est (X)n−k , on obtient donc l’identit´ (15), i.e., e |µ|=n n! l(µ)−1 X zµ l(µ) n Fk (r)(k − 1)! Fµi (r) = i=1 k=1 the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 n (X)n−k k (20) 11 Rappelons le r´sultat suivant, dˆ ` Berge [3], Foata et Strehl [8] (voir aussi [4, p 91] e ua et [5, 6, 11] pour d’autres g´n´ralisations r´centes) : e e e X cyc f = (X + k)n−k , (21) f o` la somme porte sur toutes les injections f : [n − k] → [n] (cyc f est le nombre de cycles u de f ) En notant que ces injections peuvent ˆtre d´compos´es en cycles et en k chemins e e e (dont certains peuvent ˆtre vides), on peut en pr´senter une preuve rapide : e e ti exp X (i − 1)! i! i≥1 1+ i≥1 ti i! i! k = (1 − t)−X−k = + = exp [−X log(1 − t)] (1 − t)−k ti (X + k)i i! i≥1 Afin d’interpr´ter le membre de droite de (2) on a besoin d’une notion plus subtile e que celle de d´coration Soit γ une β-d´coration de α Associons ` γ son squelette γ en e e a posant γ (b) = γ (b) pour tout b de β ainsi que γ (a) = γ (a) pour tout a de α qui n’est pas β-d´cor´ En revanche, si a de α est β-d´cor´, alors nous posons γ (a) = γ p (a) o` p e e e e u est le plus petit entier positif pour lequel γ p (a) est β-d´cor´ e e Exemple On reprend l’exemple de la Figure 2: le squelette obtenu a pour cycle (1, 2, 5) m m m ←− b ← a m cm −→ ↓ m m ↓ m m m ←− b ← a m m m m m m ↑ =⇒ c −→ −→ ←− e ← d m ←− em d ← m m m 3→ m Figure 4: Une β-d´coration de α et son squelette e On d´finit de fa¸on analogue le squelette d’une (β1 , , βm )-d´coration de α, o` e c e u α, β1 , , βm sont des cycles de supports deux ` deux disjoints et βi est de longueur a ri pour ≤ i ≤ m Interpr´tons maintenant le membre de droite de (2) Pour construire e un L-complexe sur [n] on peut d’abord former le k-cycle δ du squelette du cycle α d´cor´ e e n Il y a (k − 1)! k mani`res diff´rentes de former un tel cycle On d´core ensuite δ de Sk (r) e e e fa¸ons (cf proposition 2), car le cycle du squelette est par d´finition β-d´cor´ surjectivec e e e ment Enfin, comme la fonction g´n´ratrice des injections de n − k ´l´ments restant dans e e ee les k ´l´ments de δ selon le nombre de cycles est (X + k)n−k (voir (21)), on a ´tabli le ee e r´sultat suivant e the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 12 Th´or`me La fonction g´n´ratrice des L-complexes sur [n] selon le nombre de cycles e e e e non d´cor´s peut s’exprimer comme suit : e e |µ|=n n! l(µ)−1 X zµ l(µ) n Sk (r)(k − 1)! Fµi (r) = i=1 k=1 n (X + k)n−k k (22) Par comparaison avec (2), on en d´duit alors que e m |r| (r) ck = k· j rj Sk (r) = j=1 Sk (r) · rj , k · r1 · · · rm (23) (r) ce qui montre que ck est positif et ne d´pend pas de n, et par substitution de (19), on e (r) retrouve les formules du corollaire 2, dont la derni`re, ` savoir (13), montre que ck est e a un entier En fait, nous pouvons renforcer le dernier r´sultat, c’est-`-dire la conjecture de Lassalle e a en supposant que le support de chacun des cycles δ, β1 , , βm est totalement ordonn´ e Th´or`me Soit Tk (r; j) le nombre de (β1 , , βm )-d´corations surjectives de δ telles e e e que le plus grand ´l´ment d´corant de βj d´core le plus grand ´l´ment de δ, et le plus ee e e ee grand ´l´ment de tout autre cycle d´core le plus grand ´l´ment de δ d´cor´ par ce cycle ee e ee e e Alors on a Sk (r) · rj Tk (r; j) = , pour ≤ j ≤ m k · r1 · · · rm Preuve Il suffit de regarder l’action de la permutation cyclique δ ainsi que l’action de la permutation cyclique βi pour tout i = j La formule (23) montre par le th´or`me que nous avons trouv´ une interpr´tation e e e e (r) m combinatoire pour ck = j=1 Tk (r; j) On suppose maintenant que p ´l´ments de [n] sont marqu´s d’une ´toile, dont au moins ee e e un par cycle de la permutation de type µ Ceci donne la fonction g´n´ratrice suivante e e   l(µ) µ n! l(µ)−1  X Fµi (r) p zµ i=1 |µ|=n On peut d’autre part commencer par choisir les p ´l´ments marqu´s, et noter i (resp j) ee e le nombre d’´l´ments marqu´s (resp non marqu´s) parmi les µi du cycle choisi pour ˆtre ee e e e d´cor´ Si l’on isole les ´l´ments non marqu´s de tous les autres cycles, alors la fonction e e ee e g´n´ratrice est e e n p p n−p Fi+j (r)(i + j − 1)! i=1 j=0 the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 p i n−p (X)p−i j 13 Comme il y a (p−i)(p−i+1)(p−i+2) · · · (n−i−j −1) = (p−i)n−p−j mani`res diff´rentes e e de r´introduire les n − p − j ´l´ments restants, on a d´montr´ l’identit´ suivante e ee e e e   l(µ) µ n! l(µ)−1  X Fµi (r) p zµ i=1 |µ|=n = n p p n−p Fi+j (r)(p − i)n−p−j (i + j − 1)! i=1 j=0 p i n−p (X)p−i, j qui est exactement l’identit´ (16) e Remarque Lorsque m = une preuve analogue de (16) a ´t´ donn´e dans [17] ee e Liens avec les coefficients de lin´arisation e Remarquons d’abord qu’en posant X = dans l’´quation (1) nous obtenons e m i=1 (n)ri = ri ! |r| |r| (r) k ck k=0 (r) nk k! (24) (r) Comme ck est ind´pendant de n, la d´termination de ck apparaˆ donc comme le calcul e e ıt des coefficients du d´veloppement du polynˆme (x)r1 · · · (x)rm dans la base ( x k )k≥0 De e o (r) e plus, si nous pouvons d´montrer autrement que les nombres ck sont ind´pendants de n, e cette approche fournirait une nouvelle preuve de la conjecture de Lassalle Supposons x entier positif et consid´rons m ensembles E1 , E2 , , Em , deux ` deux e a disjoints et tels que card(Ei ) = ri pour tout i ∈ [m] Nous appelons une famille de fonctions (f1 , , fm ), fi : Ei → [x] pour tout i ∈ [m], injective si et seulement si chaque fonction fi est injective Le nombre de familles de fonctions injectives vaut x r1 · · · x rm D’autre part, nous pouvons poser E = E1 ∪ · · · ∪ Em et faire correspondre, de fa¸on c bijective, ` chaque famille de fonctions injectives une fonction f : E → [x] telle que, pour a tout j ∈ [x] et tout i ∈ [m], card(f −1 (j) ∩ Ei ) ∈ {0, 1} Appelons de mani`re g´n´rale e e e un sous-ensemble T ⊆ E transversal si card(T ∩ Ei ) ∈ {0, 1} pour tout i ∈ [m] Ceci d´montre le th´or`me suivant e e e Th´or`me Soit dk (r1 , , rm ) le nombre de mani`res diff´rentes de partitionner E en e e e e k transversaux non-vides, alors x r1 ··· x rm = dk (r) x k (25) k≥0 En particulier, nous avons la formule de lin´arisation classique : e x r1 x r2 = k≥0 r1 k the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 r2 k! x k r1 +r2 −k (26) 14 En effet, pour m = 2, s’il y a k transversaux de cardinal deux et si le nombre total de c transversaux vaut r1 + r2 −k, alors nous pouvons les choisir de rk1 rk2 k! fa¸ons distinctes, c’est-`-dire a r1 r2 dr1 +r2 −k (r1 , r2 ) = k! k k Il est encore plus simple de choisir directement, de fa¸on ind´pendante, m sousc e ensembles de [x] de cardinaux r1 , , rm , respectivement Ceci est possible de rx · · · rx m mani`res distinctes et montre le th´or`me suivant e e e ˜ Th´or`me Soit dk (r) le nombre de mani`res diff´rentes de choisir m sous-ensembles e e e e de [k] de cardinaux r1 , , rm , respectivement, de sorte que chaque ´l´ment de [k] soit ee choisi au moins une fois Alors x x ··· rm r1 = x ˜ , dk (r) k k≥0 En particulier, on a ˜ dr1 +r2 −k (r1 , r2 ) = k! dk (r) ˜ dk (r) = r1 ! · · · rm ! (27) r1 + r2 − k k, r1 − k, r2 − k On peut aussi donner une preuve directe de ce dernier r´sultat En effet, choisir deux e e sous-ensembles E1 et E2 de [x] tels que |E1 | = r1 , |E2 | = r2 et |E1 ∩ E2 | = k ´quivaut a ` choisir un sous-ensemble de [x] de cardinal r1 + r2 − k et puis le partitionner en trois r blocs de cardinaux k, r1 − k, r2 − k, respectivement D’o` dr1 +r2 −k (r1 , r2 ) = k,r1 +r2 −k u ˜ −k,r2 −k Au lieu de choisir, de fa¸on ind´pendante, r1 , , rm ´l´ments de [x] sans r´p´tition, c e ee e e choisissons-les maintenant avec des r´p´titions possibles Comme le nombre de fa¸ons e e c de choisir n ´l´ments dans [x] avec des r´p´titions possibles, c’est-`-dire le nombre de ee e e a n-multi-ensembles sur [x] d’apr`s Stanley [16, p 15], est e x n = x+n−1 n = (x)n , n! (28) le nombre de sc´narios distincts est donc ´gal ` rx · · · rx D’autre part, le nombre e e a m de fa¸ons de choisir k ´l´ments dans [x] sans r´p´tition est x On en d´duit le r´sultat c ee e e e e k suivant Th´or`me Soit ck (r) le nombre de mani`res diff´rentes de choisir r1 , , rm ´l´ments e e ˜ e e ee de [k] avec des r´p´titions possibles, de sorte que chaque ´l´ment de [k] soit choisi au moins e e ee une fois, alors x x x ck (r) ˜ (29) ··· = r1 k rm k≥0 On en d´duit en particulier pour m = e ck (r1 ) = ˜ r1 − , r1 − k the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 (30) 15 d’apr`s (28), et pour m = e ck (r1 , r2 ) = ˜ k1 +k2 =k+l k l, k1 − l, k2 − l r1 − r1 − k r2 − r2 − k (31) En effet, supposons que les choix de r1 et r2 ´l´ments dans [k] avec r´p´titions possibles ee e e ont respectivement k1 et k2 ´l´ments distincts et l ´l´ments communs Comme chaque ee ee ´l´ment de [k] doit ˆtre choisi au moins une fois, ceci donne des couples (E1 , E2 ) de parties ee e de [k] tels que |E1 | = k1 , |E2 | = k2 , |E1 ∩ E2 | = l, E1 ∪ E2 = [k] k Il y a clairement l,k1 −l,k2 −l tels couples Nous appliquons ensuite (30) a E1 et E2 re` r1 −1 r2 −1 spectivement, ce qui donne le nombre r1 −k1 r2 −k2 de choix correspondant au couple (E1 , E2 ) Notons que l’identit´ (26) s’´crit encore e e (x)r1 (x)r2 = r1 ! r2 ! (−1)l l≥0 r1 + r2 − l (x)r1 +r2 −l l, r1 − l, r2 − l (r1 + r2 − l)! (32) En reportant (32) dans (1) nous d´duisons le r´sultat suivant e e (r) Lemme Les coefficients ck satisfont la relation de r´currence suivante : e (r ,r ,r , ,r ) ck m = r1 + r2 + r3 + · · · + rm (r ) (r +r −l,r , ,r ) r1 + r2 − l ck m (−1) l, r1 − l, r2 − l r1 + r2 − l + r3 + · · · + rm l l≥0 En particulier, comme ck = r1 k (33) (r) (voir (14)), les coefficients ck sont ind´pendants de n e En vue de d´duire une nouvelle preuve de la conjecture de Lassalle, nous introduisons e quelques notations suppl´mentaires Pour tout polynˆme p(x) d´finissons les op´rateurs e o e e E, I et ∆ comme suit : Ep(x) = p(x + 1), Ip(x) = p(x) et ∆ = E − I Pour tout k ≥ posons ∆0 = I et ∆k+1 = ∆(∆k ) La formule binomiale implique alors que n n p(x + n − k), (34) ∆n p(x) = (E − I)n p(x) = (−1)k k k=0 et d’autre part nous avons le d´veloppement de Taylor suivant : e p(x) = k≥0 ∆k p(0) x k k! the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 (35) 16 En appliquant (34) et (35) au polynˆme p(x) = (x)r1 · · · (x)rm nous obtenons o |r| m k! (x)ri = i=1 k=0 k (−1)j j=0 k j m (k − j)ri x k (36) i=1 Grˆce au lemme la comparaison de (24) avec (29) et (36) montre le th´or`me suivant a e e Th´or`me On a d’une part e e (r) ck = r1 + · · · + rm ck (r), ˜ k (37) et d’autre part la formule explicite (13), c’est-`-dire, a (r) m k ck = (−1)k−i j=1 i=1 k−1 i−1 i + rj − rj − m l=1,l=j rl + i − rl (38) (r) Il r´sulte respectivement de (38) et (37) que ck est entier et positif e Remarque Il est ´vident que (29) et (9) fournissent exactement les mˆmes ine e (r) terpr´tations combinatoires pour les nombres ck Enfin, des q-analogues naturels de e ces coefficients ont ´t´ introduits dans [9] ee Remerciements Les auteurs remercient Pierre Leroux ainsi que les deux rapporteurs anonymes pour leurs conseils avis´s concernant la r´daction de la troisi`me section e e e BIBLIOGRAPHIE [1] G Andrews, R Askey et R Roy, Special Functions, Encyclopedia of Math and its Applications, 71 (2000) [2] P Auger, G Labelle et P Leroux, Generalized binomial coefficients for molecular species, Journal of Combinatorial Theory, Series A, Special Issue dedicated to the Memory of Professor G.-C Rota, 91 (2000), 15-48 [3] C Berge, Chemins hamiltoniens, ICC Research Report no 67/2 (1967) [4] F Bergeron, G Labelle et P Leroux, Th´orie des esp`ces et combinatoire des struce e tures arborescentes, Publ LACIM, vol 19, Montr´al (1994) e [5] T Chow, The path-cycle symmetric function of a digraph, Advances in Mathematics, 118 (1996), 71-98 [6] F R K Chung et R L Graham, On the cover polynomial of a digraph, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 65 (1995), 273-290 the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 17 [7] T Eisenkălbl, Proof of o arXiv:math.CO/9903019 a partition identity conjectured by Lassalle, [8] D Foata et V Strehl, Combinatorics of Laguerre polynomials, in Enumeration and design (Waterloo, Ont., 1982), Academic Press, Toronto, ON, 1984, 123–140 [9] S J X Hou et J arXiv:math.CO/0403064 Zeng, Two new families of q-positive integers, [10] F Jouhet et J Zeng, G´n´ralisation de formules de type Waring, S´minaire e e e Lotharingien de Combinatoire 44, 2000 [11] B Lass, Variations sur le th`me E+E = XY, Advances in Applied Mathematics, 29 e (2002), 215-242 [12] M Lassalle, Une identit´ en th´orie des partitions, Journal of Combinatorial Theory, e e Series A, 89 (2000), 270–288 [13] M Lassalle, A new family of positive integers, Ann Combin (2002), 399–405 [14] I G Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials, Second Edition, Oxford Science Publications, 1995 [15] M P MacMahon, Combinatory analysis, reprinted by Chelsea Publ Company, 1960 [16] R Stanley, Enumerative Combinatorics, vol 1, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 49, Cambridge University Press, 1997 [17] J Zeng, A bijective proof of Lassalle’s partition identity, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 89 (2000), 289–290 the electronic journal of combinatorics 11 (2004), #R47 18 ... (cyc f est le nombre de cycles u de f ) En notant que ces injections peuvent ˆtre d´compos´es en cycles et en k chemins e e e (dont certains peuvent ˆtre vides), on peut en pr´senter une preuve rapide... donner une preuve directe de ce dernier r´sultat En e? ??et, choisir deux e e sous-ensembles E1 et E2 de [x] tels que |E1 | = r1 , |E2 | = r2 et |E1 ∩ E2 | = k ´quivaut a ` choisir un sous-ensemble de... coefficients ck sont des extensions e e e des coefficients binomiaux classiques L’objectif de cet article est de donner une solution compl`te de ce probl`me, ceci e e par trois approches distinctes