Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi dự bị môn toán khối A 2006
ĐỀà DỰ BỊ 2 –TOÁN KHỐI A –năm 2006 Phần Chung Cho Tất Cả Các Thí Sinh Câu I (2 đ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số y = ()xx−−42212 2) Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(0, 2) và tiếp xúc với (C). Câu II (2 đ) 1) Giải phương trình: 2sin2x - π⎛⎜⎝⎠6⎞⎟ + 4sinx + 1 = 0 2) Giải hệ phương trình: ,()xxyyx yRxy⎧−=+⎪∈⎨−= +⎪⎩33228233 1 Câu III (2 đ) Trong không gian với hệ trục Oxyz. Cho mp (α): 3x + 2y – z + 4 = 0 và hai điểm A(4, 0, 0) ; B(0, 4, 0). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. 1) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mp (α) 2) Xác đònh tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mp (α) đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và mp (α). Câu IV (2 đ) 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 – x + 3 và đường thẳng d: y = 2x + 1 2) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: xyz−−−+ +=3331. Chứng minh rằng: x yzxyxyz yzx zxy+++++++≥+++9993333 33 33 4z3 Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu Va hoặc câu Vb Câu Va (2đ) 1) Trong mp với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0, cạnh BC song song với d. Phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1, 1). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. Câu Vb (2 đ) 1) Giải phương trình: log log logxxx+=2222 4 8 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = a 33. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I 1/ KS: y=xx−+42222 .MXĐ: D=R y’=2x3-4x=2x(x2-2); y’= 0 x=0 hay x=⇔±2 x −∞ −2 0 2 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + y +∞ 2 +∞ 0 CĐ 0 CT CT y”=6x2-4; y”=0=>x=±±2633 Đồ thò hàm số: Học sinh tự vẽ. 2/ pt tiếp tuyến d qua A(0,2) có dạng d:y=kx+2 d là tiếp tuyến của (C) có nghiệm ()()xxkxxxk⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−+=+⇔−=42222 21324 2 Thay (2) vào (1) ta có phương trình hòanh độ tiếp điểm là 3x4-8x2=0 x=0 hay x=⇔±83 • x=0 thì k=0 ta có tiếp tuyến d1: y=2 • x=±83 thì k=±8233 ta có hai tiếp tuyến d2,3:y=±8233x+2 Câu II 1/ Giải phương trình:sin sinxxπ⎛⎞−+ +=⎜⎟⎝⎠22 4 160 (1) (1) ⇔3sin2x-cos2x+4sinx+1=0 <=>23sinxcosx+4sinx+2sin2x=0 ⇔ sinx(3cosx+sinx+2)=0 sin cos sinsin cos( )xhay x xx hay x x k hay x kπππ π=++==−=−⇔==+⇔⇔03 20701662 2/ Giải hệ phương trình ()x yyyxx−=+⎧⎪⎨⎪−= +⎩33228233 1 (I) (I) ()(()yxyyxx⎧−= +⎪⇔⎨⎪−=⎩332224 1362))Thế (2) vào (1) ta có:)( ) )(((y x yyx yxx−= +=− +33 2 364 3 43 xy xy xhay x yhay x yx+− =⇔= = =−⇔32 212 0 0 3 4 x= 0 -3y2 = 6 vô nghiệm ⇒ x=3y thay vào (2) có hai nghiệm (3,1) và (-3,-1) x=-4y thay vào (2)có nghiệm ., .,hay⎛⎞⎛−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝66 6 64413 13 13 13⎞⎟⎟⎠ Câu III 1/ Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với mp(α) pt AB: Toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với mp(xyz+=⎧⎨=⎩40α) là nghiệm của hệ phương trình: (,,xy xzyMxyz z+= =−⎧⎧⎪⎪=⇔=⇒−⎨⎨⎪⎪+−+= =⎩⎩412016132 40 0)2160 2/Vì I là trung điểm của AB ⇒ I(2,2,0). Gọi K (x; y; z ) cùng phương KIuur()nαuur và KO = d(K,(α)) ⇔,,xyzKxyzxyz−−⎧==⎪−−⎪⎛⎞⇔⎨⎜⎟+−+⎝⎠⎪++ =⎪⎩2222232111 332 442414 Câu IV 1/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi P:y=x2-x+3 và d:y=2x+1 Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: x2-x+3 = 2x+1 x=1 hay x=2 ⇔()Sxxxdx⎡=+−−+=⎣∫221121 36⎤⎦]2 ( vì 2x + 1 ) ,[;xx x≥−+∀∈2312/ Chứng minh bất đẳng thức xyzx++933 + yyzx++933 + zx yz++933 ≥ yx z++3334 với 3-x + 3-y + 3-z = 1 Đặt a =3x, b =3y, c =3z Theo giả thiết ta có:a,b,c > 0 và ab + bc + ca= abc (1) Bất đẳng thức cần chứng minh:a b c abcabcbca cab+ +++≥+++2224 ⇔abcaba abc b abc c abc++++≥+++3332224c (2) Thay abc vào (2) ta có: ()()()()()()a b c abcabac bcba cacb+ +++≥++ ++ ++3334 Áp dụng BĐT côsi cho 3 số dương ta có: .()()aabacaabac++++≥ =++333388 643a4 .()()bbcbabbcba++++≥ =++333388 643b4 .()()ccacbccacb++++≥ =++333388 643c4 Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có ĐPCM. Câu Va 1/ Tìm toạ độ A,B,C Vì AC BH có hệ số góc bằng -1 suy ra hệ số góc của AC là 1. ⊥ Vì M(1,1)∈AC pt AC:y-1=1(x-1) y = x .Tọa độ A là nghiệm của hệ: ⇒ ⇔,xy Axyyx⎧⎪⎛⎞⇔==−⇒ − −⎨⎜⎟⎝⎠⎪⎩−−==223323042 Vì M(1,1) là trung điểm của AC⇒,C⎛⎞⎜⎟⎝⎠8833 Cạnh BC//d và qua C ⇒ pt BC: (x-83) – 4( y-83) = 0 hay .Tọa độ B là nghiệm của hệ : xy−−=480(),xyBxy++=⎧⇒−⎨−−=⎩30414802/ Gọi .n aaaaa a a a a a==++++43 2143210 4 3 2 1 010 10 10 10 100 là số cần lập Ta có 4 cách chọn a4 4 cách chọn a3 3 cách chọn a2 2 cách chon a1 1 cách chọn a0 Vậy có 4.4.3.2.1=96 số n Cách 2 : Ta có 4 cách chọn a4 và 4! cách xếp 4 số còn lại Vậy có 4.4!= 96 số n * Tính tổng 96 số n lập được Có 24 số naaaa=43210; Có 18 số naaaa=43211;Có 18 số naaaa=43212; Có 18 số n=naaaa=43213;Có 18 số naaaa=43214 Tổng các chữ số hàng đơn vò là: 18(1+2+3+4)=180. Tương tự ; tổng các chữ số hàng chục là: 1800;tổng các chữ số hàng trăm là: 18000;tổng các chữ số hàng ngàn là: 180000. Có 24 số n aaaa=32101; Có 24 số naaaa=32102;Có 24 số naaaa=32103; Có 24 số naaaa=32104 Tổng các chữ số hàng chục ngàn 24(1+2+3+4)10000=2400000 Vậy tổng 96 số n là 180+1800+18000+180000+2400000=2599980 Cách 2 : Có 24 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4 ) đứng ở vò trí a4 . Có 18 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4 ) đứng ở vò trí ai với i = 0, 1, 2, 3 Vậy tổng 96 số n là ( 1+2+3+4 ) [ ] .(++++432124 10 18 10 10 10 10 )0Câu Vb 1/ Giải pt:log log logxx+=2222 4 8x (1) ()log log log log log loglogxx xx xxx⇔+ = ⇔+ =⇔=⇔=++22 2 2214 6 1 1 6122 21211x2 2/ Tính thể tích hình chóp SBCMN (BCM)//AD nên nó cắt (SAD) theo giao tuyến MN//AD Ta cóBCBMBC ABBC SA⎧⎪⇒⊥⎨⎪⎩⊥⊥ Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao Ta có SA=ABtg600=a 3 aaMN SM MNAD SA aa−=⇔= =3323233 ⇒ MN =a43, BM =aaa +=22233 Diện tích hình thang BCMN là BC MNSBMaaaaS+=⎛⎞+⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠224221032333 ().SBCMNVSHdtBC=13MN Hạ SH BM.Ta có SH⊥ ⊥ BM và BC ⊥ (SAB) ≡ (SBM) BC SH ⇒⊥Vậy SH (BMCN) SH là đường cao của khối chóp SBCNM Trong tam giác SBA ta có ⊥⇒AB AB AMSB acos SB MS===>=01260 2= Vậy BM là phân giác của góc SBH ⇒SBH =030⇒SH=SB.sin300=2a.12= a V=13a.a=2a310 3273310 Hà Văn Chương - Phạm Hồng Danh - Lưu Nam Phát (Trung Tâm Luyện Thi Vónh Viễn) . a =3x, b =3y, c =3z Theo giả thi t ta có :a, b,c > 0 và ab + bc + ca= abc (1) Bất đẳng thức cần chứng minh :a b c abcabcbca cab+ +++≥+++2224 ⇔abcaba abc. chữ số hàng ngàn là: 180000. Có 24 số n aaaa=32101; Có 24 số naaaa=32102;Có 24 số naaaa=32103; Có 24 số naaaa=32104 Tổng các chữ số hàng chục ngàn
