Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi thử đại học môn toán lần 5 năm 2010
LUYỆN THI ðẠI HỌC LOPLUYENTHI.COM PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) Cho hàm số 2x 3yx 2−=−có ñồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (C) 2. Tìm trên (C) những ñiểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Câu II (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0 2. Giải phương trình: x2 – 4x - 3 = x 5+ Câu III (1 ñiểm) Tính tích phân: නݔଶ√1െݔଶ݀ݔ√ଶଶ Câu IV (1 ñiểm) Khối chóp tam giác SABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) ñể thể tích khối chóp lớn nhất. Câu V (1 ñiểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 14x y z+ + =. CMR: 1 1 112 2 2x y z x y z x y z+ + ≤+ + + + + + PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn một trong hai phần A hoặc B A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a.( 2 ñiểm ) 1. Tam giác cân ABC có ñáy BC nằm trên ñường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên ñường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình ñường thẳng AC biết rằng nó ñi qua ñiểm (3;1) 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ ðêcác vuông góc Oxyz cho mp(P): x – 2y + z – 2 = 0 và hai ñường thẳng : (d) x 1 3 y z 21 1 2+ − += =− và (d’) x 1 2ty 2 tz 1 t= += += + Viết phương trình tham số của ñường thẳng (∆) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai ñường thẳng (d) và (d’). CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng. Câu VIIa . ( 1 ñiểm ) Tính tổng : 0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 05 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7S C C C C C C C C C C C C= + + + + + B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b.( 2 ñiểm ) 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai ñường tròn : (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ ðêcác vuông góc Oxyz cho hai ñường thẳng: (d) x ty 1 2tz 4 5t== += + và (d’) x ty 1 2tz 3t== − −= − a. CMR hai ñường thẳng (d) và (d’) cắt nhau. b. Viết phương trình chính tắc của cặp ñường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’). Câu VIIb.( 1 ñiểm ) Giải phương trình : ( )5log x 32 x+= ----------------------------- Hết ----------------------------- LOPLUYENTHI.COM ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN 5 NĂM 2010 TVE MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao ñề) LUYN THI I HC LOPLUYENTHI.COM đáp án đề thi thử đại học lần 2 năm học 2009 - 2010 Môn thi: toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu Nội dung Điểm I 2.0đ 1 1.25đ Hàm số y = 2x 3x 2 có : - TXĐ: D = R\ {2} - Sự biến thiên: + ) Giới hạn : xLim y 2=. Do đó ĐTHS nhận đờng thẳng y = 2 làm TCN , x 2 x 2lim y ; lim y + = = +. Do đó ĐTHS nhận đờng thẳng x = 2 làm TCĐ +) Bảng biến thiên: Ta có : y = ( )21x 2 < 0 x D Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( );2 và hàm số không có cực trị - Đồ thị + Giao điểm với trục tung : (0 ; 32) + Giao điểm với trục hoành : A(3/2; 0) - ĐTHS nhận điểm (2; 2) làm tâm đối xứng 0,25 0,25 0,25 0,5 2 0,75ủ Ly ủim 1M m;2m 2 + ( )C . Ta cú : ( )( )21y' mm 2= . Tip tuyn (d) ti M cú phng trỡnh : ( )( )21 1y x m 2m 2m 2= + + Giao ủim ca (d) vi tim cn ủng l : 2A 2;2m 2 + 0,25ủ 0,25ủ 8642-2-4-5 5 10y y x + - + 2 - 2 2 2 LUYỆN THI ðẠI HỌC LOPLUYENTHI.COM Giao ñiểm của (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – 2 ; 2) Ta có : ( )( )2221AB 4 m 2 8m 2 = − + ≥ − . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ( )( )22m 31m 2m 1m 2=− = ⇔=− Vậy ñiểm M cần tìm có tọa ñộ là : (3; 3); (1; 1) 0,25ñ II 2,0® 1 1,0® Phương trình ñã cho tương ñương với : 2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0 ( ) ( )sin x cosx2 1 sin x 1 cosx 0cosx sin x2 sin x cosx cosx.sin x 3 sin x cosx cosx.sin x0cosx sin x ⇔ + − + + − = + − + −⇔ + = ( )2 3cosx sin x cosx.sin x 0cosx sin x ⇔ + + − = • Xét 2 3 30 tan x tan xcosx sin x 2−+ = ⇔ = = α ⇔ = α + πk • Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . ðặt t = sinx + cosx với t 2; 2 ∈ − . Khi ñó phương trình trở thành: 22t 1t 0 t 2t 1 0 t 1 22−− = ⇔ − − = ⇔ = − Suy ra : 1 22cos x 1 2 cos x cos4 42π π − − = − ⇔ − = = β x 24π⇔ = ±β + πk 0,25 0,25 0,5 2 1,0® x2 - 4x + 3 = x 5+ (1) TX§ : D = [5; )− +∞ ( ) ( )21 x 2 7 x 5⇔ − − = + ®Æt y - 2 = x 5+, ( )2y 2 y 2 x 5≥ ⇒ − = + Ta cã hÖ : ( )( )( )( )( )222x 2 y 5x 2 y 5y 2 x 5 x y x y 3 0y 2 y 2− = + − = + − = + ⇔ − + + = ≥ ≥ ( )( )22x 2 y 5x y 05 29x2x 2 y 5x 1x y 3 0y 2− = +− =+=⇔ ⇔ − = += −+ + =≥ 0,25 0,25 0,5 III 1.0® 1® ðặt t = x + 2x 1+( )2 2222t 1 t 1x 1 t x x dx dt2t 2t− +⇒ + = − ⇒ = ⇒ = ðổi cận : Khi x = -1 thì t = 2 1− và khi x = 1 thì t = 2 1+ . 0,5 LUYỆN THI ðẠI HỌC LOPLUYENTHI.COM Do ñó : ( )2 1 2 122 22 1 2 11 t 1 1 1 1 2I dt dt2 t t 1 2 t t t 1+ +− −+ = = − + + + ∫ ∫ 2 12 11 1ln t 2ln t 1 | 12 t+− = − − + + = 0,5 IV 2® 1.0® Gọi ϕ là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC) . Ta có : SCAϕ =; BC = AC = a.cosϕ ; SA = a.sinϕ Vậy ( )3 2 3 2SABC ABC1 1 1 1V .S .SA .AC.BC.SA a sin .cos a sin 1 sin3 6 6 6= = = ϕ ϕ = ϕ − ϕ Xét hàm số : f(x) = x – x3 trên khoảng ( 0; 1) Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 . ( )1f ' x 0 x3= ⇔ = ± Từ ñó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục và có một ñiểm cực trị là ñiểm cực ñại, nên tại ñó hàm số ñạt GTLN hay ( )( )x 0;11 2Maxf x f3 3 3∈ = = Vậy MaxVSABC = 3a9 3, ñạt ñược khi sinϕ = 13 hay 1arcsin3ϕ = ( với 0 < 2πϕ <) 0,25 0,5 V 1.0® +Ta có : 1 1 1 12 4 2.( )x y z x y z≤ ++ + +;1 1 1 12 4 2( )x y z y x z≤ ++ + +;1 1 1 12 4 2( )x y z z y x≤ ++ + + + Lại có : 1 1 1 1( );x y 4 x y≤ ++ 1 1 1 1( );y z 4 y z≤ ++ 1 1 1 1( );x z 4 x z≤ ++ cộng các BðT này ta ñược ñpcm. 1® VIa 2® 1 1® ðường thẳng AC ñi qua ñiểm (3 ; 1) nên có phương trình : a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a2 + b2 ≠0). Góc của nó tạo với BC bằng góc của AB tạo với BC nên: 2 2 2 2 2 2 2 22a 5b 2.12 5.12 5 . a b 2 5 . 12 1− +=+ + + + 2 22a 5b295a b−⇔ =+ ( )( )22 25 2a 5b 29 a b⇔ − = + 0,25 0,25 0,25 ABCSϕ LUYỆN THI ðẠI HỌC LOPLUYENTHI.COM ⇔9a2 + 100ab – 96b2 = 0a 12b8a b9= −⇒= Nghiệm a = -12b cho ta ñường thẳng song song với AB ( vì ñiểm ( 3 ; 1) không thuộc AB) nên không phải là cạnh tam giác . Vậy còn lại : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9 Phương trình cần tìm là : 8x + 9y – 33 = 0 0,25 2 1® Mặt phẳng (P) cắt (d) tại ñiểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại ñiểm B(9 ; 6 ; 5) ðường thẳng cần tìm ñi qua A, B nên có phương trình: x 9 ty 6 8tz 5 15t= −= −= − + ðường thẳng (d) ñi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP ( )u 1;1;2v + ðường thẳng (d’) ñi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP ( )u' 2;1;1uur Ta có : • ( )MM' 2; 1;3= −uuuuur • ( )( )1 2 2 1 1 11 1 1 2 2 1MM' u,u' 2; 1;3 ; ; 8 0 = − = − ≠ uuuuur r uur Do ñó (d) và (d’) chéo nhau .(ðpcm) Khi ñó : ( ) ( )( )MM' u,u '8d d , d '11u,u ' = = uuuuur r uurr uur 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIa 1ñ Chọn khai triển : ( )50 1 2 2 5 55 5 5 5x 1 C C x C x C x+ = + + + +L ( )70 1 2 2 7 7 0 1 2 2 5 57 7 7 7 7 7 7 7x 1 C C x C x C x C C x C x C x+ = + + + + = + + + + +L L L Hệ số của x5 trong khai triển của (x + 1)5.(x + 1)7 là: 0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 05 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7C C C C C C C C C C C C+ + + + + Mặt khác : (x + 1)5.(x + 1)7 = (x + 1)12 và hệ số của x5 trong khai triển của (x + 1)12 là : 512C Từ ñó ta có : 0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 05 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7C C C C C C C C C C C C+ + + + + = 512C= 792 .0,25 0,25 0,25 0,25 LUYỆN THI ðẠI HỌC LOPLUYENTHI.COM VIb 2ñ 1 1ñ ðường tròn (C1) có tâm I1(5 ; -12) bán kính R1 = 15 , ðường tròn (C2) có tâm I2(1 ; 2) bán kính R1 = 5 . Nếu ñường thẳng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 ≠0) là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) thì khoảng cách từ I1 và I2 ñến ñường thẳng ñó lần lượt bằng R1 và R2 , tức là : ( )( )2 22 25A 12B C15 1A BA 2B C5 2A B − += ++ +=+ Từ (1) và (2) ta suy ra : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C | Hay 5A – 12B + C = ±3(A + 2B + C) TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) ⇒C = A – 9B thay vào (2) : |2A – 7B | = 5 2 2A B+ 2 221A 28AB 24B 0⇒ + − = 14 10 7A B21− ±⇒ = Nếu ta chọn B= 21 thì sẽ ñược A = - 14 10 7±, C = 203 10 7− ± Vậy có hai tiếp tuyến : (- 14 10 7±)x + 21y 203 10 7− ±= 0 TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C) 4A 3BC2− +⇒=, thay vào (2) ta ñược : 96A2 + 28AB + 51B2 = 0 . Phương trình này vô nghiệm . 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1® a) + ðường thẳng (d) ñi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP ( )u 1;2;5v + ðường thẳng (d’) ñi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP ( )u' 1; 2; 3− −uur Nhận thấy (d) và (d’) có một ñiểm chung là 1 3I ;0;2 2 − hay (d) và (d’) cắt nhau . (ðPCM) b) Ta lấy u15 15 15v .u ' ; 2 ; 37 7 7u' = = − − rr uuruur. Ta ñặt : 15 15 15a u v 1 ;2 2 ;5 37 7 7 = + = + − − r r r 15 15 15b u v 1 ;2 2 ;5 37 7 7 = − = − + + r r r Khi ñó, hai ñường phân giác cần tìm là hai ñường thẳng ñi qua I và lần lượt nhận hai véctơ a,br rlàm VTCP và chúng có phương trình là : 1 15x 1 t2 715y 2 2 t73 15z 5 3 t2 7 = − + + = − = + − và 1 15x 1 t2 715y 2 2 t73 15z 5 3 t2 7 = − + − = + = + + LUYỆN THI ðẠI HỌC LOPLUYENTHI.COM VIIb 1® ðK : x > 0 PT ñã cho tương ñương với : log5( x + 3) = log2x (1) ðặt t = log2x, suy ra x = 2t ( )( )t t t52 log 2 3 t 2 3 5⇔ + = ⇔ + = t t2 13 13 5 ⇔ + = (2) Xét hàm số : f(t) = t t2 133 5 + f'(t) = t t2 1ln0,4 3 ln0,2 0, t3 5 + < ∀ ∈ R Suy ra f(t) nghịch biến trên R Lại có : f(1) = 1 nên PT (2) có nghiệm duy nhất t = 1 hay log2x = 1 hay x =2 Vậy nghiệm của PT ñã cho là : x = 2 0,25 0,25 0,25 0,25 . MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao ñề) LUYN THI I HC LOPLUYENTHI.COM đáp án đề thi thử đại học lần 2 năm học. 22a 5b 2.12 5. 12 5 . a b 2 5 . 12 1− +=+ + + + 2 22a 5b295a b−⇔ =+ ( )( )22 25 2a 5b 29 a b⇔ − = + 0, 25 0, 25 0, 25 ABCSϕ LUYỆN THI ðẠI HỌC