1Bài giảng 4 408001 Biến ñổi năng lượng ñiện cơ TS. Nguyễn Quang Nam HK2, 2009 – 2010 http://www4.hcmut.edu.vn/~nqnam/lecture.php nqnam@hcmut.edu.vn 2Bài giảng 4  Các mô hình ñộng học của hệ thống ñiện ñược mô tả bởi các phương trình vi phân. Tính ổn ñịnh của hệ thống phi tuyến trong vận hành ñược ñặc biệt quan tâm. Một số công cụ phân tích tính ổn ñịnh sẽ ñược giới thiệu.  Nghiệm trong miền thời gian của bài toán ñộng học hệ thống có ñược bằng việc tính tích phân số và các ñiểm cân bằng ñược xác ñịnh bằng ñồ thị. Với các hệ thống bậc cao hơn, các kỹ thuật số ñược sử dụng ñể tính các ñiểm cân bằng.  Sẽ có ích nếu biết ñiểm cân bằng tĩnh là ổn ñịnh hay không. Với các nhiễu mạnh của trạng thái x hay ngõ vào u, luôn cần các mô phỏng trong miền thời gian. Với các thay ñổi nhỏ quanh ñiểm cân bằng, một phân tích tuyến tính hóa là ñủ ñể xác ñịnh ñiểm cân bằng là ổn ñịnh hay không. ðôi khi, các hàm năng lượng có thể ñược dùng ñể ñánh giá tính ổn ñịnh của hệ thống ñối với nhiễu mạnh mà không cần các mô phỏng trong miền thời gian. Ổn ñịnh các hệ thống ñiện cơ – Giới thiệu 3Bài giảng 4  ðiểm cân bằng sẽ biểu diễn trạng thái vận hành xác lập của hệ thống, chẳng hạn một lưới ñiện. Hệ vật lý có thể chịu thay ñổi nhỏ (ví dụ thay ñổi tải), vốn có thể dẫn ñến dao ñộng hay thậm chí sụp ñổ hệ thống, hoặc các nhiễu mạnh (ví dụ, sự cố hay sét ñánh).  Với trường hợp vô hướng, mô hình hệ thống là Tuyến tính hóa ( ) uxfx , = &  Khai triển f(x, u) thành 1 chuỗi Taylor quanh ñiểm cân bằng x e và ngõ vào không ñổi, và chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất u ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u u f x x f uxfuu u f xx x f uxfuxf eee ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +=− ∂ ∂ +− ∂ ∂ += 0000 ˆ , ˆˆ ,, Hay ( ) ( ) u u f x x f uxfuxfx e ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ =−=∆ 00 ˆ ,, & 4Bài giảng 4  Gọi , , và . Tuyến tính hóa hệ quanh ñiểm cân bằng dẫn ñến Tuyến tính hóa hệ bậc hai ( ) uxxfx ,, 2111 = & ( ) uxxfx ,, 2122 = & e xxx 111 −=∆ e xxx 222 −=∆ uuu ˆ − = ∆ u u f u f x x x f x f x f x f x x ∆               ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∆ ∆               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =       ∆ ∆ 0 2 0 1 2 1 0 2 2 0 1 2 0 2 1 0 1 1 2 1 & & A  Trị riêng của A có ñược bằng cách giải det(A – λI) = 0. Hệ thống là ổn ñịnh nếu tất cả các trị riêng nằm ở nửa trái của mặt phẳng phức (nghĩa là, phần thực < 0). 5Bài giảng 4 Ổn ñịnh của hệ bậc hai ( ) xx x xf M x dt d M B dt xd ∆−=∆ ∂ ∂ =∆+ ∆ 2 0 0 2 2 1 ω  Xét mô hình một hệ bậc hai ( ) uxf dt dx B dt xd M , 2 2 =+ có dạng tuyến tính hóa  ðịnh nghĩa và , dạng không gian trạng thái trở thành 1 xx ∆=∆ 2 xx ∆=∆ &       ∆ ∆       −− =       ∆ ∆ 2 1 2 0 2 1 10 x x MB x x ω & &  Phương trình ñặc tính có ñược 0 1 2 0 =       −−− − λω λ MB 0 2 0 2 =++ ωλλ M B 6Bài giảng 4 Ổn ñịnh của hệ bậc hai (tt)  Trường hợp I (B > 0, M > 0, ) 0 2 0 > ω 2 0 2 2 4 ω > M B 2 0 2 2 4 ω = M B 2 0 2 2 4 ω < M B  Trong cả 3 trường hợp, hệ là ổn ñịnh.  Trường hợp II (B > 0, M > 0, )  Trường hợp ñặc biệt (B = 0, M > 0): hệ là không ổn ñịnh nếu , hay ở biên ổn ñịnh nếu .  Vd. 5.1 sẽ ñược trình bày tại lớp. 0 2 0 < ω  Nghiệm tổng quát của phương trình ñặc tính 2 0 2 2 21 4 2 , ωλλ −±−= M B M B 0 2 0 > ω 0 2 0 < ω 7Bài giảng 4 Phương pháp hàm năng lượng cho hệ phi tuyến  Với nhiễu mạnh, việc phân tích ổn ñịnh của hệ phi tuyến có thể cần ñến các kỹ thuật tính số vốn rất tốn kém sức mạnh tính toán. Trong nhiều trường hợp, thông tin hữu ích có thể thu ñược bằng một phương pháp trực tiếp, tránh việc phải tính tích phân số. Kỹ thuật này giữa trên các hàm năng lượng, và ñược gọi là là phương pháp Lyapunov. Có thể thu ñược các lời giải tốt với các hệ bảo toàn.  Trong các hệ bảo toàn, tổng năng lượng là không ñổi, và ñiều này ñược dùng trong phân tích ổn ñịnh các hệ này. Xét con lắc trong hình 5.2, bao gồm khối lượng M nối vào một ñiểm tựa không ma sát bằng một thanh cứng.  Coi V(θ) = 0 tại θ = 0, khi ñó tại vị trí bất kỳ θ, thế năng ñược cho bởi ( ) ( ) ( ) θ θ cos1 − = MglV 8Bài giảng 4 Hệ bảo toàn  Không có lực nào khác ngoài trọng lực, và hệ là bảo toàn, vậy ( )( ) θ θ sin 2 2 lMg dt d J −=  Vế phải có thể ñược biểu diễn như một ñạo hàm âm của một hàm thế vô hướng. Trong trường hợp này, ( ) ( )( ) [ ] ( ) θ θ θ θ θ ∂ ∂ −=− ∂ ∂ −=− V MglMgl cos1sin ( ) θ θθ ∂ ∂ −= V dt d J 2 2 Dẫn ñến  Các ñiểm cân bằng là nghiệm của ( ) ( ) 0sin =−= ∂ ∂ − θ θ θ Mgl V  Trong khoảng –π ñến +π, 0 , πθ ±= e 9Bài giảng 4 Năng lượng  Xét ( ) 0 2 2 = ∂ ∂ + θ θθ V dt d J  Nhân với dθ/dt ñể có ( ) { EV dt d J =+       energy Potential energy Kinetic 2 2 1 θ θ 43421 ( ) 0 2 2 = ∂ ∂ + dt dV dt d dt d J θ θ θθθ  Tích phân theo t ñể thu ñược  Việc phân tích ổn ñịnh có thể ñược thực hiện cho 3 trường hợp (xem sách), bằng khái niệm giếng thế năng. 10Bài giảng 4 Hàm năng lượng trong hệ ñiện cơ  Xét hệ bên dưới, giả thiết cả hệ ñiện lẫn hệ cơ ñều không chứa các phần tử tiêu tán năng lượng. Mech. system Ghép ñiện cơ T e or f e θ or x + _ + _ + _ I 2 I 1 λ 1 λ 2  Nếu λ hoặc i ở mỗi cửa ñược giữ không ñổi, có thể dự ñoán một dịch chuyển ñều trong hệ cơ. Không có dòng chảy năng lượng hay ñồng năng lượng vào cửa ñiện. Ở hệ cơ, giả thiết không có phần tử tiêu tán năng lượng.  Thế năng tổng quát hóa: ( ) ( ) ( ) θθθ ,, 21 ' IIWUV m −= ( ) ( ) ( ) θ θ θ ,, 21 Λ Λ + = m WUV (dòng hằng i 1 và i 2 ) (từ thông móc vòng hằng λ 1 và λ 2 ) ( ) θ θ ∂ ∂ −= U T m (lực cơ tác ñộng) 11Bài giảng 4 Quan hệ giữa ổn ñịnh tuyến tính hóa và thế năng  Phương trình mômen ( ) 0 2 2 = ∂ ∂ + θ θθ V dt d J  Các ñiểm cân bằng có ñược bằng cách giải ( ) 0= ∂ ∂ θ θ V  Tuyến tính hóa quanh một ñiểm cân bằng θ e cho ta ( ) 0 2 2 2 2 =∆ ∂ ∂ + ∆ = θ θ θθ θθ e V dt d J  θ e là ổn ñịnh nếu , θ e là không ổn ñịnh ( ) 0 2 2 > ∂ ∂ = e V θθ θ θ ( ) 0 2 2 < ∂ ∂ = e V θθ θ θ  Các ví dụ 5.3 và 5.4 sẽ ñược trình bày tại lớp . 1Bài giảng 4 408001 Biến ñổi năng lượng ñiện cơ TS. Nguyễn Quang Nam HK2, 2009 – 2010 http://www4.hcmut.edu.vn/~nqnam/lecture.php nqnam@hcmut.edu.vn 2Bài giảng 4  Các mô hình. giếng thế năng. 1 0Bài giảng 4 Hàm năng lượng trong hệ ñiện cơ  Xét hệ bên dưới, giả thiết cả hệ ñiện lẫn hệ cơ ñều không chứa các phần tử tiêu tán năng lượng. Mech. system Ghép ñiện cơ T e or. một dịch chuyển ñều trong hệ cơ. Không có dòng chảy năng lượng hay ñồng năng lượng vào cửa ñiện. Ở hệ cơ, giả thiết không có phần tử tiêu tán năng lượng.  Thế năng tổng quát hóa: ( ) ( ) ( ) θθθ ,, 21 ' IIWUV m −= ( ) ( ) ( ) θ θ θ ,, 21 Λ Λ + = m WUV (dòng