MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** II. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 1. Phương pháp nâng lên lũy thừa a) Dạng 1: f (x) g(x)= ⇔ 2 g(x) 0 f (x) [g(x)] ≥   =  Ví dụ. Giải phương trình: x 1 x 1+ = − (1) Giải: (1) ⇔ 2 x 1 x 1 x 1 x 3 x 3x 0 x 1 x 1 ≥ ≥  ≥    ⇔ ⇔    = − = + = −     Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 b) Dạng 2: f (x) g(x) h(x)+ = Ví dụ. Giải phương trình: x 3 5 x 2+ = − − (2) Giải. Với điều kiện x ≥ 2. Ta có: (2) ⇔ x 3 x 2 5+ + − = ⇔ 2x 1 2 (x 3)(x 2) 25+ + + − = ⇔ (x 3)(x 2) 12 x+ − = − ⇔ 2 2 2 x 12 2 x 12 x 6 25x 150 x x 6 144 x 24x ≤ ≤ ≤ ≤   ⇔ ⇔ =   = + − = + −   Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6 c) Dạng 3: f (x) g(x) h(x)+ = Ví dụ. Giải phương trình: x 1 x 7 12 x+ − − = − (3) Giải: Với điều kiện 7 ≤ x ≤ 12. Ta có: (3) ⇔ x 1 12 x x 7+ = − + − ⇔ x 1 5 2 (12 x)(x 7)+ = + − − ⇔ 2 2 19x x 84 x 4− − = − ⇔ 4(19x – x 2 – 84) = x 2 – 8x + 16 ⇔ 76x – 4x 2 – 336 – x 2 + 8x – 16 = 0 ⇔ 5x 2 – 84x + 352 = 0 ( ) ( ) 2 2 2 84 352 42 1764 1764 352 5 x x 5 x 2 x 5 5 5 25 25 5 42 4 44 5 x 5 5 x 8 x (x 8) 5x 44 5 25 5     − + = − × + − +  ÷  ÷         = − − × = − − = − −  ÷  ÷     ⇔ x 1 = 44 5 ; x 2 = 8 Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 = 44 5 ; x 2 = 8 d) Dạng 4: f (x) g(x) h(x) k(x)+ = + Ví dụ. Giải phương trình: x x 1 x 4 x 9 0− − − − + + = (4) Giải: Với điều kiện x ≥ 4. Ta có: (4) ⇔ x 9 x x 1 x 4+ + = − + − ⇔ 2x 9 2 x(x 9) 2x 5 2 (x 4)(x 1)+ + + = − + − − ⇔ 7 x(x 9) (x 1)(x 4)+ + = − − ⇔ 2 2 49 x 9x 14 x(x 9) x 5x 4+ + + + = − + ******************************* MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** ⇔ 45 + 14x + 14 x(x 9)+ = 0 Với x ≥ 4 ⇒ vế trái của phương trình luôn là một số dương ⇒ phương trình vô nghiệm 2) Phương pháp trị tuyệt đối hóa Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 x 4x 4 x 8− + + = (1) Giải: (1) ⇔ 2 (x 2) 8 x− = − Với điều kiện x ≤ 8. Ta có: (1) ⇔ |x – 2| = 8 – x – Nếu x < 2: (1) ⇒ 2 – x = 8 – x (vô nghiệm) – Nếu 2 ≤ x ≤ 8: (1) ⇒ x – 2 = 8 – x ⇔ x = 5 HD: Đáp số: x = 5. Ví dụ 2. Giải phương trình x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1+ + + + + − + = + − + (2) Giải: (2) ⇔ x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1+ + + + + + − + + = + − + + ⇔ x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1|+ + + + − = + − Đặt y = x 1+ (y ≥ 0) ⇒ phương trình đã cho trở thành: y 1 | y 3| 2 | y 1|+ + − = − – Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y ⇔ y = –1 (loại) – Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 ⇔ y = 3 – Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm) Với y = 3 ⇔ x + 1 = 9 ⇔ x = 8 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8 3) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm Ví dụ 1 . Giải phương trình x 1 5x 1 3x 2− − − = − Cách 1. điều kiện x ≥ 1 Với x ≥ 1 thì: Vế trái: x 1 5x 1− < − ⇒ vế trái luôn âm Vế phải: 3x 2− ≥ 1 ⇒ vế phải luôn dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm Cách 2. Với x ≥ 1, ta có: x 1 5x 1 3x 2− = − + − ⇔ x 1 8x 3 2 (5x 1)(3x 2)− = − + − − ⇔ 2 7x 2 (5x 1)(3x 2)− = − − Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1 ⇒ phương trình vô nghiệm b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − − (1) Giải: Ta có (1) ⇔ 2 2 2 4 9 3 x 2x 1 5 x 2x 1 (x 2x 1) 5 3 5     + + + + + + + = − + + +  ÷  ÷     ⇔ 2 2 2 3(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1)+ + + + + = − + Ta có: Vế trái ≥ 4 9 2 3 5+ = + = . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1 Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất) ******************************* MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 x 7 8 2x 2x 1 x 1 + + = + − + Giải: điều kiện x ≥ 1 2 Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình – Nếu 1 x 2 2 ≤ < : VT = 6 1 8 8 3 x 1 + + < + + . Mà: VP > 8 3+ – Nếu x > 2: VP = 2x 2 + 2x 1− > 2.2 2 + 3 = 8 3+ . VT < 8 3+ x 2 x 1 2 1 6 6 1 1 3 x 1 2 1 > ⇒ + > + + < + = + + Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2 Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 2 2 2 3x 7x 3 x 2 3x 5x 1 x 3x 4− + − − = − + − − − Giải: Thử với x = 2. Ta có: 2 2 2 3.4 7.2 3 2 2 3.2 5.2 1 2 3.2 4 1 2 3 6 − + − − = − + − − − ⇔ − = − (1) ⇔ 2 2 2 2 (3x 5x 1) 2(x 2) (x 2) 3(x 2) 3x 5x 1 x 2− − − − + − − − = − − − − Nếu x > 2: VT < VP Nếu x < 2: VT > VP Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 3. Giải phương trình: 6 8 6 3 x 2 x + = − − Giải : ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x = 3 2 là nghiệm của phương trình. Ta cần chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Thật vậy: Với x < 3 2 : 6 2 3 x < − và 8 4 2 x < − ⇒ 6 8 6 3 x 2 x + < − − . Tương tự với 3 2 < x < 2: 6 8 6 3 x 2 x + > − − Ví dụ 4. Giải phương trình: 2 2 3x(2 9x 3) (4x 2)(1 1 x x ) 0+ + + + + + + = (1) Giải : (1) ( ) ( ) 2 2 3x 2 (3x) 3 (2x 1) 2 (2x 1) 3 0⇔ + + + + + + + = ( ) ( ) 2 2 3x 2 (3x) 3 (2x 1) 2 (2x 1) 3⇔ + + = − + + + + Nếu 3x = –(2x + 1) ⇔ x = 1 5 − thì các biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau. Vậy x = 1 5 − là một nghiệm của phương trình. Hơn nữa nghiệm của (1) nằm trong khoảng 1 ; 0 2   −  ÷   . Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Với 1 1 x 2 5 − < < − : 3x < –2x – 1 < 0 ⇒ (3x) 2 > (2x + 1) 2 ⇒ 2 2 2 (3x) 3 2 (2x 1) 3+ + > + + + ******************************* MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** Suy ra: ( ) ( ) 2 2 3x 2 (3x) 3 (2x 1) 2 (2x 1) 3 0+ + + + + + + > ⇒ (1) không có nghiệm trong khoảng này. Chứng minh tương tự, ta cũng đi đến kết luận (1) không có nghiệm khi 1 1 x 2 5 − < < − d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt Ví dụ. Giải phương trình x 4x 1 2 x 4x 1 − + = − Giải: điều kiện 1 x 4 > Áp dụng bất đẳng thức a b 2 b a + ≥ với ab > 0 Với điều kiện 1 x x 4x 1 0 4 > ⇒ − > . Nên: x 4x 1 2 x 4x 1 − + ≥ − . Dấu “=” xảy ra ⇔ 2 x 4x 1 x 4x 1 0= − ⇔ − + = ⇔ 2 2 x 4x 4 3 0 (x 2) 3 x 2 3 x 2 3− + − = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = ± 4. Phương pháp đưa về phương trình tích Ví dụ 1. Giải phương trình: 2x 1 x 2 x 3+ − − = + Giải. ĐK: x ≥ 2. Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế của phương trình: (x 3)( 2x 1 x 2 1) 0+ + + + − = ⇔ x 3 0 2x 1 x 2 1 + =   + + − =  ⇒ PT vô nghiệm Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 x 1 2(x 1) x 1 1 x 3 1 x+ + + = − + − + − (1) Giải. ĐK: | x | ≤ 1: (1) ⇔ ( ) ( ) x 1 1 x 2 x 1 1 x 1 0+ − − + − − + = ⇔ x 1 = 0; x 2 = 24 25 − Ví dụ 3. Giải phương trình: 3 2 4 x 1 x x x 1 1 x 1− + + + + = + − (1) Giải. Chú ý: x 4 – 1 = (x – 1)(x 3 + x 2 + x + 1). (1) ⇔ ( ) ( ) 3 2 x 1 1 1 x x x 1 0− − − + + + = ⇔ x = 2 5) Phương pháp đặt ẩn phụ a) Sử dụng một ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 x x 1 1+ + = (1) Giải. Đặt x 1+ = y (y ≥ 0) ⇒y 2 = x + 1 ⇔ x = y 2 – 1 ⇔ x 2 = (y 2 – 1) 2 ⇒ (2) ⇔ (y 2 – 1) 2 + y – 1 = 0 ⇔ y(y − 1)(y 2 + y − 1) = 0. Từ đó suy ra tập nghiệm của phương trình là: 1 5 0; 1; 2   −   −       Ví dụ 2. Giải phương trình: ( ) 3 x 1 1 2 x 1 2 x− + + − = − (1) HD: ĐK: x ≥ 1. Đặt x 1 1− + = y (1) ⇔ ( ) ( ) 3 2 x 1 1 x 1 1 2 0− + + − + − = ******************************* MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** ⇔ y 3 + y 2 – 2 = 0 ⇔ (y – 1)(y 2 + 2y + 2) = 0 ⇔ y = 1 ⇔ x = 1 b) Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: 2(x 2 + 2) = 5 3 x 1+ (3) Giải. Đặt u = x 1+ , v = 2 x x 1− + (ĐK: x ≥ −1, u ≥ 0, v ≥ 0). Khi đó: u 2 = x + 1, v 2 = x 2 – x + 1, u 2 v 2 = x 3 + 1. ⇒ (3) ⇔ 2(u 2 + v 2 ) = 5uv ⇔ (2u − v)(u − 2v) = 0 Giải ra, xác định x. Kết quả là: x ∈ 5 37 5 37 ; 2 2   + −         Ví dụ 2. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 x 5 x 2 1 x 7x 10 3+ − + + + + = (1) Giải. ĐK: x ≥ –2. (1) ⇔ ( ) ( ) x 5 x 2 1 (x 5)(x 2) 3+ − + + + + = Đặt: x 5+ = u, x 2+ = v (u, v ≥ 0)⇒ u 2 – v 2 = 3. (1) ⇔ (a – b)(1 + ab) = a 2 – b 2 ⇔ (a – b)(1 – a + ab – b) = 0 ⇔ (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0 Giải ra: x = –1 là nghiệm duy nhất Ví dụ 3. Giải phương trình: x 1 3x 2x 1+ − = − (1) Giải. ĐK: x ≥ 0. Đặt x 1+ = u, 3x = v (u, v ≥ 0): (1) ⇔ b – a = a 2 – b 2 ⇔ (a – b)(a + b + 1) = 0 Mà a + b + 1 > 0 ⇒ a = b ⇔ x = 1 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 4. Giải phương trình: 4 1 5 x x 2x x x x + − = + − (1) Giải. Đặt 1 x x − = u, 5 2x x − = v (u, v ≥ 0) (1) ⇔ 1 5 1 5 x 2x x 2x 0 x x x x       − − − − − − − =  ÷  ÷         ⇔ u – (v 2 – u 2 ) – v = 0 ⇔ (u – v)(1 + u + v) = 0. Vì 1 + u + b > 0 nên: u = v. Giải ra ta được: x = 2 c) Sử dụng ba ẩn phụ Ví dụ 1 Giải phương trình: 2 2 x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3+ + + + = + + + − (1) Giải. ĐK: x ≥ 2. (1) ⇔ (x 1)(x 2) x 3 x 2 (x x)(x 3)− − + + = + + − + Đặt: x 1− = a, x 2− = b, x 3+ = c (a, b, c ≥ 0): (1) ⇔ ab + c = b + ac ⇔ (a – 1)(b – c) = 0 ⇔ a = 1 hoặc b = c. Thay ngược trở lại ta được x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 2. Giải phương trình : x 2 x. 3 x 3 x. 5 x 2 x. 5 x= − − + − − + − − Giải. Đặt : u 2 x= − ; v 3 x= − ; t 5 x= − (u ; v ; t ≥ 0) ⇒ x = 2 − u 2 = 3 − v 2 = 5 − t 2 = uv + vt + tu Từ đó ta có hệ: (u v)(u t) 2 (1) (v u)(v t) 3 (2) (t u)(t v) 5 (3) + + =   + + =   + + =  Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ] 2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ 0 nên: (u v)(v t)(t u) 30+ + + = (4) Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến: ******************************* MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** 30 v t (5) 2 30 u t (6) 3 30 u v (7) 5  + =     + =    + =    Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta có: 31 30 31 30 2(u v t) u v t 30 60 + + = ⇒ + + = (8) Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta có: 2 30 u 60 11 30 30 239 v x 2 60 60 120 19 30 t 60  =       = ⇒ = − =  ÷   ÷     =    d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình Ví dụ 1. Giải phương trình x 1 2x 1 5− + − = Cách 1: Giải tương tự bài 1. Ta được x = 5 Cách 2: Đặt x 1 u 0− = ≥ và 2x 1 v− = . Ta có hệ: 2 2 u v 5 v 2u 1 + =   − =  ⇔ u 2 u 12 =   = −  ⇔ x = 5. Ví dụ 2 Giải phương trình: 8 x 5 x 5+ + − = Giải. ĐK: 0 ≤ x ≤ 25. Đặt 8 x+ = u , 5 x v− = (u, v ≥ 0): ⇒ 2 2 u v 5 u v 13 + =   + =  u 2 u=3 v v 3 v=2 =   ⇔   =   Giải ra ta có x = 1 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 3. Giải phương trình: 2 2 25 x 9 x 2− − − = Giải. ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt 2 25 x− = u, 2 9 x− = v (u, v ≥ 0) ⇒ 2 2 u v 2 u v 16 + =   + =  ⇔ u v 2 u 5 u v 8 v 3 − = =   ⇔   + = =   . Thế ngược trở lại: x = 0 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 4. Giải phương trình: 1 x 4 x 3− + + = Giải. ĐK: – 4 ≤ x ≤ 1. Đặt 1 x u ; 4 x v− = + = (u, v ≥ 0) ⇒ 2 2 u v 3 u v 5 + =   + =  ⇒ x 0 x 3 =   = −  Ví dụ 5. Giải phương trình: 2 2 x 2 x 4 x 2− + + + − = Giải. ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt 2 x u, 2 x v− = + = (u, v ≥ 0) ⇒ 2 (u v) 2uv 4 (u v) uv 2  + − =  + + =  Giải ra ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)}. Từ đó thế ngược trở lại: x = ±2 Ví dụ 6. Giải phương trình: 4 4 97 x x 5− + = (1) Giải. Đặt 4 97 x− = u, 4 x = v (u, v ≥ 0) ******************************* MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** ⇒ (1) ⇔ 4 4 u v 5 u 2 u 3 x 81 v 3 v 2 x 16 u v 97 + = = = =     ⇔ ∨ ⇔     = = = + =     Ví dụ 7. Giải phương trình: 3 3 3 x 2x 3 12(x 1)+ − = − Giải. Đặt 3 3 x u, 2x 3 v= − = (1) ⇔ 3 3 3 3 3 3 3 u v 4(u v ) u v 3uv(u v) 4(u v )+ = + ⇔ + + + = + 2 2 2 u v 3.(u v).(u 2uv v ) 0 3.(u v).(u v) 0 u v = −  ⇔ + − + = ⇔ + − = ⇔  =  ⇒ kết quả 6) Giải và biện luận phương trình vô tỉ Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình: 2 x 4 x m− = − Giải. Ta có: 2 x 4 x m− = − ⇔ 2 2 2 2 x m x m x 4 x 4xm m 2mx (m 4) 0 ≥ ≥   ⇔   − = − + − + =   – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0: 2 m 4 x 2m + = . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔ 2 m 4 2m + ≥ m + Nếu m > 0: m 2 + 4 ≥ 2m 2 ⇔ m 2 ≤ 4 ⇔ 0 m 2< ≤ + Nếu m < 0: m 2 + 4 ≤ 2m 2 ⇔ m 2 ≥ 4 ⇔ m ≤ –2 Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm 2 m 4 x 2m + = – Nếu –2 < m ≤ 0 hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình với m là tham số: mxx −=− 3 2 (Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000) Giải. Ta có: 2 2 2 2 2 x m x m x 3 x m x 3 x m 2mx 2mx (m 3) 0 ≥ ≥   − = − ⇔ ⇔   − = + − − + =   – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0: 2 m 3 x 2m + = . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔ 2 m 3 m 2m + ≥ + Nếu m > 0: m 2 + 3 ≥ 2m 2 ⇔ m 2 ≤ 3 ⇔ 0 m 3≤ ≤ + Nếu m < 0: m 2 + 3 ≤ 2m 2 ⇔ m 2 ≥ 3 ⇔ m ≤ 3− Tóm lại: – Nếu 0 m 3≤ ≤ hoặc m 3≤ − . Phương trình có một nghiệm: 2 m 3 x 2m + = – Nếu 3 m 0− < ≤ hoặc m 3> : phương trình vô nghiệm Ví dụ 3. Giải và biện luận theo tham số m phương trình: x x m m− = − Giải. Điều kiện: x ≥ 0 – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành x( x 1) 0− = ⇒ có hai nghiệm: x 1 = 0, x 2 = 1 – Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với ( x m)( x m 1) 0− + − = x m 0 x 1 m  − = ⇔  = −   + Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x 1 = m; x 2 = 2 (1 m)− ******************************* MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** + Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m ******************************* . MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** II. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 1. Phương pháp nâng lên lũy thừa a). 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 3. Giải phương trình: 6 8 6 3 x 2 x + = − − Giải : ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x = 3 2 là nghiệm của phương trình. Ta cần chứng minh. 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm 2 m 4 x 2m + = – Nếu –2 < m ≤ 0 hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình với m là tham số: mxx −=−