(1) ch ´ung c´o kˆe ` nhau theo ngh˜ıa n`ao d¯´o (chˇa ˙’ ng ha . n, ch´ung c`ung thuˆo . c 4-lˆan cˆa . n); v`a (2) c´ac gi´a tri . x´am cu ˙’ ach´ung thoa ˙’ tiˆeu chuˆa ˙’ n cho tru . ´o . cvˆe ` t´ınh tu . o . ng tu . . (chˇa ˙’ ng ha . n, nˆe ´ uch´ung bˇa ` ng nhau). V´ıdu . , trong a ˙’ nh nhi . phˆan hai m´u . c 0 v`a 1, hai pixel p v`a q liˆen thˆong nˆe ´ u q ∈ N 4 (p)v`ach´ung c´o c`ung gi´a tri . x´am (0 hoˇa . c 1). K´yhiˆe . u V l`a tˆa . p c´ac m´u . c x´am d¯ˆe ˙’ x´ac d¯i . nh t´ınh liˆen thˆong; chˇa ˙’ ng ha . n trong a ˙’ nh nhi . phˆan c´o thˆe ˙’ d¯ ˇa . t V := {1} d¯ ˆo ´ iv´o . i t´ınh liˆen thˆong cu ˙’ a c´ac pixel c´o gi´a tri . 1. Trong c´ac a ˙’ nh gi´a tri . x´am, d¯ˆo ´ iv´o . it´ınh liˆen thˆong cu ˙’ a c´ac pixel c´o gi´a tri . thay d¯ˆo ˙’ i trong khoa ˙’ ng nhu . 32 v`a 64, ta d¯ˇa . t V := {32, 33, ,64}. C´o ba loa . i liˆen thˆong: (1) 4-liˆen thˆong. Hai pixel p v`a q v´o . i c´ac gi´a tri . trong V l`a 4-liˆen thˆong nˆe ´ u q ∈ N 4 (p). (2) 8-liˆen thˆong. Hai pixel p v`a q v´o . i c´ac gi´a tri . trong V l`a 8-liˆen thˆong nˆe ´ u q ∈ N 8 (p). (3) m-liˆen thˆong (liˆen thˆong hˆo ˜ nho . . p). Hai pixel p v`a q v´o . i c´ac gi´a tri . trong V l`a m-liˆen thˆong nˆe ´ u hoˇa . c (a) q ∈ N 4 (p); hoˇa . c (b) q ∈ N D (p) v`a khˆong tˆo ` nta . i pixel r ∈ N 4 (p) ∩N 4 (q)v´o . i r c´o gi´a tri . trong V. Liˆen thˆong hˆo ˜ nho . . pl`amˆo . tca ˙’ i biˆen cu ˙’ a 8-liˆen thˆong nhˇa ` m loa . ibo ˙’ c´ac dˆay chuyˆe ` n liˆen thˆong bˆo . i xuˆa ´ thiˆe . n khi su . ˙’ du . ng 8-liˆen thˆong. V´ı d u . 2.3.1 X´et c´ac pixel trong H`ınh 2.2(a). V´o . i V := {1}, c´ac dˆay chuyˆe ` ngi˜u . a 8-lˆan cˆa . ncu ˙’ a pixel p d¯ u . o . . c cho trong H`ınh 2.2(b). Ch´u´ysu . . tˆo ´ i ngh˜ıa trong kˆe ´ t qua ˙’ cu ˙’ aviˆe . csu . ˙’ du . ng 8-liˆen thˆong. D - iˆe ` u n`ay c´o thˆe ˙’ loa . ibo ˙’ nˆe ´ utad`ung m-liˆen thˆong (xem H`ınh 2.2(c)). Ta n´oi pixel p kˆe ` v´o . i pixel q nˆe ´ uch´ung liˆen thˆong (tu `y theo ´u . ng du . ng m`a ta s˜e su . ˙’ du . ng 4-liˆen thˆong, 8-liˆen thˆong hay m-liˆen thˆong). Hai tˆa . p con cu ˙’ aa ˙’ nh S 1 v`a S 2 l`a kˆe ` nhau nˆe ´ utˆo ` nta . i c´ac pixel p ∈ S 1 v`a q ∈ S 2 sao cho p v`a q kˆe ` nhau. Mˆo . t dˆay chuyˆe ` n d¯ ˆo . d`ai n t`u . pixel p =(x, y)d¯ˆe ´ n pixel q =(s, t) l`a d˜ay c´ac pixel phˆan biˆe . tv´o . i c´ac to . ad¯ˆo . (x 0 ,y 0 ), ( x 1 ,y 1 ), ,(x n ,y n ) 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 011 0 1 (p) 0 001 (a) 011 010 001 (b) 011 010 001 (c) H`ınh 2.2: (a) Sˇa ´ pxˆe ´ pcu ˙’ a c´ac pixel; (b) c´ac pixel 8-liˆen thˆong v´o . i pixel o . ˙’ gi˜u . a; (c) c´ac pixel m-liˆen thˆong v´o . i pixel o . ˙’ gi˜u . a. trong d¯´o (x 0 ,y 0 )=(x, y), (x n ,y n )=(s, t)v`a(x i ,y i )kˆe ` v´o . i(x i−1 ,y i−1 ),i=1, 2, ,n. Nˆe ´ u p v`a q l`a c´ac pixel cu ˙’ atˆa . p con S th`ı p go . il`aliˆen thˆong v´o . i q nˆe ´ utˆo ` nta . i d˜ay c´ac pixel trong S nˆo ´ i hai pixel n`ay. V´o . imˆo ˜ i p ∈ S, tˆa . p S p c´ac pixel liˆen thˆong v´o . i p go . il`ath`anh phˆa ` n liˆen thˆong cu ˙’ a S. T`u . d¯ i . nh ngh˜ıa ta thˆa ´ yrˇa ` ng (1) ∪ p∈S = S;v`a (2) p v`a q liˆen thˆong nˆe ´ uv`achı ˙’ nˆe ´ u S p ∩ S q = ∅. G´an c´ac nh˜an kh´ac nhau cho c´ac th`anh phˆa ` n liˆen thˆong cu ˙’ amˆo . ta ˙’ nh l`a vˆa ´ nd¯ˆe ` quan tro . ng trong phˆan t´ıch a ˙’ nh tu . . d¯ ˆo . ng. Du . ´o . i d¯ˆay l`a thu ˙’ tu . c g´an nh˜an c´ac th`anh phˆa ` n liˆen thˆong cu ˙’ aa ˙’ nh nhi . phˆan. C´ach tiˆe ´ pcˆa . n kh´ac trˆen co . so . ˙’ cu ˙’ a kh´ai niˆe . m h`ınh th´ai ho . cs˜ed¯u . o . . c tr`ınh b`ay trong Mu . c 8.4. 2.3.3 G´an nh˜an c´ac th`anh phˆa ` n liˆen thˆong X´et a ˙’ nh nhi . phˆan d¯u . o . . cqu´et t`u . ng pixel, t `u . tr´ai sang pha ˙’ iv`at`u . trˆen xuˆo ´ ng du . ´o . iv`a gia ˙’ su . ˙’ ta su . ˙’ du . ng kh´ai niˆe . m 4-liˆen thˆong. Gia ˙’ su . ˙’ p l`a pixel ta . ibu . ´o . c n`ao d¯´o trong tiˆe ´ n tr`ınh qu´et a ˙’ nh v`a t, l l`a c´ac pixel lˆan cˆa . n bˆen trˆen v`a bˆen tr´ai tu . o . ng ´u . ng cu ˙’ a p. Nhˆa . n x´et rˇa ` ng, khi qu´et d¯ˆe ´ n p th`ı ta d¯˜a bˇa ´ tgˇa . p c´ac pixel t v`a r (v`a d¯u . o . . c g´an nh˜an nˆe ´ u ch´ung c´o gi´a tri . 1). Thuˆa . t to´an g´an nh˜an nhu . sau: Nˆe ´ u gi´a tri . cu ˙’ a p l`a 0, di chuyˆe ˙’ nd¯ˆe ´ nvi . tr´ı kˆe ´ tiˆe ´ p. Ngu . o . . cla . i, kiˆe ˙’ m tra t v`a r. Nˆe ´ uch´ung c´o gi´a tri . 0 th`ı g´an nh˜an m´o . ichop. Nˆe ´ u mˆo . t trong hai pixel c´o gi´a tri . 1, th`ı g´an nh˜an cu ˙’ a pixel c´o gi´a tri . 1chop. Nˆe ´ u hai pixel 27 c´o gi´a tri . 1v`ac´oc`ung nh˜an th`ı g´an nh˜an n`ay cho p. Nˆe ´ u l v`a t c´o gi´a tri . 1 v`a nh˜an kh´ac nhau th`ı hai nh˜an l`a tu . o . ng d¯u . o . ng v`a g´an mˆo . t trong hai nh˜an n`ay cho p (t ´u . cl`a c´ac pixel l v`a t d¯ u . o . . cnˆo ´ iv´o . i nhau thˆong qua p). Kˆe ´ tth´uc qu´a tr`ınh duyˆe . t, tˆa ´ tca ˙’ c´ac pixel c´o gi´a tri . 1d¯u . o . . c g´an nh˜an, trong d¯´o c´o thˆe ˙’ c´o mˆo . t v`ai nh˜an tu . o . ng d¯u . o . ng. V`ı vˆa . y ta cˆa ` nsˇa ´ pxˆe ´ ptˆa ´ tca ˙’ c´ac cˇa . p c´o nh˜an tu . o . ng d¯u . o . ng th`anh c´ac l´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng v`a g´an mˆo . t nh˜an kh´ac cho mˆo ˜ il´o . p. Tiˆe ´ n tr`ınh kˆe ´ tiˆe ´ p l`a qu´et la . ia ˙’ nh v`a thay mˆo ˜ i nh˜an bo . ˙’ i nh˜an d¯u . o . . c g´an cho l´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng cu ˙’ a n´o. Thuˆa . t to´an trong tru . `o . ng ho . . p 8-liˆen thˆong tu . o . ng tu . . nhu . trˆen, nhu . ng cˆa ` nkiˆe ˙’ m tra thˆem hai pixel d¯u . `o . ng ch´eo trˆen q v`a s cu ˙’ a p. Nˆe ´ u gi´a tri . cu ˙’ a p bˇa ` ng 0, di chuyˆe ˙’ n d¯ ˆe ´ n pixel kˆe ´ tiˆe ´ p. Nˆe ´ u p bˇa ` ng 1 v`a tˆa ´ tca ˙’ c´ac lˆan cˆa . ncu ˙’ a n´o c´o gi´a tri . bˇa ` ng 0, g´an mˆo . t nh˜an m´o . ichop. Nˆe ´ uchı ˙’ c´o mˆo . t pixel lˆan cˆa . n c´o gi´a tri . 1th`ıp d¯ u . o . . c g´an nh˜an cu ˙’ a pixel n`ay. Nˆe ´ u c´o nhiˆe ` uho . n hai pixel lˆan cˆa . n c´o gi´a tri . 1 th`ı g´an mˆo . t trong c´ac nh˜an cu ˙’ a c´ac pixel n`ay cho p v`a ch´u ´y d¯´anh dˆa ´ u c´ac nh˜an tu . o . ng ´u . ng c´ac pixel lˆan cˆa . n cu ˙’ a p v´o . i gi´a tri . 1 l`a tu . o . ng d¯u . o . ng. Sau khi qu´et hˆe ´ ta ˙’ nh, ta cˆa ` nsˇa ´ pxˆe ´ pla . i c´ac nh˜an theo l´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng v`a g´an mˆo . t nh˜an duy nhˆa ´ t cho mˆo ˜ il´o . p. Cuˆo ´ ic`ung cˆa ` n qu´et la . ia ˙’ nh v`a thay mˆo ˜ i nh˜an bo . ˙’ i nh˜an d¯u . o . . c g´an cho l´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng cu ˙’ a n´o. Thuˆa . t to´an g´an nh˜an trˆen go . . i´yviˆe . csu . ˙’ du . ng c´ac cˆong cu . h`ınh th´u . cd¯ˆe ˙’ biˆe ˙’ udiˆe ˜ n c´ac mˆo ´ i quan hˆe . v`a c´ac l´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng trong xu . ˙’ l´y c´ac pixel. Cu . thˆe ˙’ l`a su . ˙’ du . ng c´ac kh´ai niˆe . mvˆe ` quan hˆe . nhu . quan hˆe . pha ˙’ nxa . ,d¯ˆo ´ ix´u . ng, bˇa ´ ccˆa ` u v`a bao d¯´ong truyˆe ` n ´u . ng (transitive closure). 2.3.4 Metric Gia ˙’ su . ˙’ p, q v`a z l`a c´ac pixel v´o . i c´ac to . ad¯ˆo . (x, y), (s, t)v`a(u, v)tu . o . ng ´u . ng. H`am d go . i l`a metric hay h`am khoa ˙’ ng c´ach nˆe ´ u (1) d(p, q) ≥ 0, dˆa ´ ubˇa ` ng xa ˙’ y ra khi v`a chı ˙’ khi p = q; (2) d(p, q)=d(q, p); v`a (3) d(p, z) ≤ d(p, q)+d(q, z). K´yhiˆe . u B(p, r):={q | d(p, q) ≤ r} l`a h`ınh tr`on tˆam p b´an k´ınh r. 28 Khoa ˙’ ng c´ach Euclide gi˜u . a p v`a q x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i d e (p, q):=  (x − s) 2 +(y −t) 2 . Khoa ˙’ ng c´ach d 4 gi˜u . a p v`a q x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i d 4 (p, q):=|x − s| + |y −t|. V´o . i khoa ˙’ ng c´ach n`ay, h`ınh tr`on tˆam p (d¯iˆe ˙’ mgi˜u . a) b´an k´ınh r = 2 c´o da . ng: 2 212 21012 212 2 Khoa ˙’ ng c´ach d 8 gi˜u . a p v`a q x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i d 8 (p, q) := max{|x − s|, |y − t|}. Trong tru . `o . ng ho . . pn`ay,h`ınh tr`on tˆam p (d¯iˆe ˙’ mgi˜u . a) b´an k´ınh r = 2 c´o da . ng: 22222 21112 21012 21112 22222 T`u . d¯ i . nh ngh˜ıa ta thˆa ´ ytˆa . pho . . p c´ac pixel q sao cho d 8 (p, q)=1ch´ınh l`a 8-lˆan cˆa . ncu ˙’ a pixel p. 2.3.5 C´ac ph´ep to´an sˆo ´ ho . c/logic C´ac ph´ep to´an sˆo ´ ho . c/logic gi˜u . a c´ac pixel d¯u . o . . csu . ˙’ du . ng thu . `o . ng xuyˆen trong xu . ˙’ l´y a ˙’ nh. C´ac ph´ep to´an sˆo ´ ho . cgi˜u . a c´ac pixel p v`a q bao gˆo ` m: Ph´ep cˆo . ng: p + q. Ph´ep tr`u . : p −q. Ph´ep nhˆan: p ∗ q (c`on k´y hiˆe . ul`apq hay p × q.) Ph´ep chia: p ÷q. 29 C´ac ph´ep to´an sˆo ´ ho . c trˆen to`an a ˙’ nh d¯u . o . . c thu . . chiˆe . ntrˆent`u . ng pixel. Ph´ep cˆo . ng a ˙’ nh d¯u . o . . csu . ˙’ du . ng nhˇa ` m gia ˙’ m nhiˆe ˜ u. Ph´ep tr`u . a ˙’ nh d `ung trong y ho . cd¯ˆe ˙’ loa . ibo ˙’ nh˜u . ng thˆong tin t˜ınh (chˇa ˙’ ng ha . n, nˆe ` n). Ph´ep nhˆan (hay chia) d¯ˆe ˙’ su . ˙’ ad¯´ung c´ac m´u . c x´am do chiˆe ´ u s´ang khˆong d¯ˆo ` ng d¯ˆe ` u. C´ac ph´ep to´an logic thu . `o . ng d¯u . o . . cd`ung trong xu . ˙’ l´y a ˙’ nh l`a: Ph´ep hˆo . i: p AND q. Ph´ep tuyˆe ˙’ n: p OR q. Ph´ep lˆa ´ y phˆa ` nb`u: NOT q. C´ac ph´ep to´an n`ay ta . o th`anh mˆo . t hˆe . h`am d¯ˆa ` yd¯u ˙’ , ngh˜ıa l`a mo . i ph´ep to´an logic kh´ac d¯ˆe ` u c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ udiˆe ˜ n qua c´ac ph´ep to´an n`ay. Ch´u´yrˇa ` ng, kh´ac v´o . i c´ac ph´ep to´an sˆo ´ ho . c, c´ac ph´ep to´an logic chı ˙’ ´ap du . ng d¯ˆo ´ iv´o . i c´ac a ˙’ nh nhi . phˆan. C´ac ph´ep to´an logic l`a nh˜u . ng cˆong cu . chu ˙’ yˆe ´ u trong xu . ˙’ l´y a ˙’ nh nhu . : tr´ıch cho . nd¯ˇa . c tru . ng, phˆan t´ıch mˆa ˜ u C´ac ph´ep to´an logic trˆen to`an a ˙’ nh d¯u . o . . c thu . . chiˆe . ntrˆent`u . ng pixel. Ngo`ai viˆe . cxu . ˙’ l´y d¯iˆe ˙’ m, c´ac ph´ep to´an sˆo ´ ho . c v`a logic c`on d¯u . o . . c ´ap du . ng theo lˆan cˆa . n. Xu . ˙’ l´y lˆan cˆa . nthu . `o . ng d¯u . o . . c ph´at biˆe ˙’ udu . ´o . ida . ng mˇa . tna . (mask): Gi´a tri . d¯ u . o . . c g´an cho pixel p l`a h`am sˆo ´ phu . thuˆo . c v`ao gi´a tri . x´am cu ˙’ a c´ac pixel trong lˆan cˆa . ncu ˙’ a p v`a c´ac lˆan cˆa . ncu ˙’ a n´o. V´ıdu . d¯ ˆe ˙’ thay gi´a tri . x´am ta . i pixel z 5 trong H`ınh 2.3(a) bˇa ` ng gi´a tri . trung b`ınh cu ˙’ a c´ac pixel trong lˆan cˆa . n3×3v´o . i tˆam ta . i z 5 ta thu . . chiˆe . n ph´ep to´an sˆo ´ ho . c sau z := 1 9 (z 1 + z 2 + ···+ z 9 )= 1 9 9  i=1 z i v`a g´an z thay cho gi´a tri . cu ˙’ a z 5 . . . . z 1 z 2 z 3 ··· z 4 z 5 z 6 ··· z 7 z 8 z 9 . . . (a) w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9 (b) H`ınh 2.3: (a) Tˆa . p con cu ˙’ aa ˙’ nh v´o . i c´ac gi´a tri . x´am; (b) Mˇa . tna . k´ıch thu . ´o . c3× 3v´o . i c´ac hˆe . sˆo ´ . Tˆo ˙’ ng qu´at ho . n, bˇa ` ng c´ach ´ap du . ng mˇa . tna . c´o tro . ng lu . o . . ng trong H`ınh 2.3(b) ta 30 . k´ınh r = 2 c´o da . ng: 22 222 21 1 12 210 12 211 12 222 22 T`u . d¯ i . nh ngh˜ıa ta thˆa ´ ytˆa . pho . . p c´ac pixel q sao cho d 8 (p, q)=1ch´ınh l`a 8-lˆan cˆa . ncu ˙’ a pixel p. 2. 3.5 C´ac. −t|. V´o . i khoa ˙’ ng c´ach n`ay, h`ınh tr`on tˆam p (d¯iˆe ˙’ mgi˜u . a) b´an k´ınh r = 2 c´o da . ng: 2 2 12 210 12 2 12 2 Khoa ˙’ ng c´ach d 8 gi˜u . a p v`a q x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i d 8 (p, q) := max{|x. nhu . 32 v`a 64, ta d¯ˇa . t V := { 32, 33, ,64}. C´o ba loa . i liˆen thˆong: (1) 4-liˆen thˆong. Hai pixel p v`a q v´o . i c´ac gi´a tri . trong V l`a 4-liˆen thˆong nˆe ´ u q ∈ N 4 (p). (2) 8-liˆen