hoˇa . c trong phˆa ` nc´u . ng. Bo . ˙’ ivˆa . y, c´ac thuˆa . t to´an xu . ˙’ l´y a ˙’ nh co . ba ˙’ ncˆa ` ndu . . a trˆen c´ac tri th´u . c khˆong phu . thuˆo . c v`ao pha . mvi´u . ng du . ng, v`a tri th´u . cvˆe ` c´ac ´u . ng du . ng chuyˆen biˆe . tcˆa ` nd¯u . o . . cd¯u . a v`ao hˆe . co . so . ˙’ tri th´u . c v`a ´ıt phu . thuˆo . c v`ao c´ac thuˆa . t to´an n`ay nhˆa ´ t. 9.5.3 Hˆe . thˆo ´ ng logic Logic vi . t`u . (xuˆa ´ thiˆe . nho . nmˆo . tthˆe ´ ky ˙’ nay) gi´up ch´ung ta dˆe ˜ d`ang biˆe ˜ ndiˆe ˜ n c´ac mˆe . nh d¯ ˆe ` v`a suy d¯o´an c´ac su . . kiˆe . nm´o . it`u . co . so . ˙’ tri th´u . c d¯˜a c´o. Mˆo . t trong nh˜u . ng ch´u . c nˇang h˜u . u ´ıch nhˆa ´ tcu ˙’ a tri th´u . c l`a c´ac ph´ep to´an vi . t`u . bˆa . c nhˆa ´ t. D - ˆay l`a mˆo . thˆe . thˆo ´ ng logic c´o kha ˙’ nˇang xu . ˙’ l´y rˆa ´ t nhiˆe ` u c´ac biˆe ˙’ uth´u . c to´an ho . cc˜ung nhu . c´ac mˆe . nh d¯ˆe ` trong mˆo . t ngˆon ng˜u . tu . . nhiˆen, chˇa ˙’ ng ha . ntiˆe ´ ng Anh. C´ac d¯i . nh ngh˜ıa Nh˜u . ng th`anh phˆa ` nco . ba ˙’ ncu ˙’ a c´ac ph´ep to´an vi . t`u . l`a k´yhiˆe . uvi . t`u . ,k´yhiˆe . u h`am, k´yhiˆe . ubiˆe ´ n, v`a k´yhiˆe . uhˇa ` ng. K´yhiˆe . uvi . t`u . biˆe ˙’ udiˆe ˜ nmˆo ´ i quan hˆe . trong miˆe ` n x´ac d¯ i . nh cu ˙’ a b`ai to´an. Chˇa ˙’ ng ha . n, mˆe . nh d¯ˆe ` “nˇam nho ˙’ ho . nmu . `o . i” c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ udiˆe ˜ nda . ng LESSTHAN(nˇam, mu . `o . i), trong d¯´o LESSTHAN l`a mˆo . tk´yhiˆe . uvi . t`u . v`a nˇam, mu . `o . il`a c´ac k´y hiˆe . uhˇa ` ng. Ba ˙’ ng 9.2 minh ho . av´ıdu . kh´ac. Trong v´ı du . n`ay, mˆo . tk´yhiˆe . uvi . t`u . ,chˇa ˙’ ng ha . n MOTHER, nhˆa . nda . ng mˆo . tvi . t`u . ; v`a vi . t`u . n`ay ch´u . amˆo . t hoˇa . c nhiˆe ` ud¯ˆo ´ isˆo ´ . C´ac d¯ˆo ´ i sˆo ´ c´o thˆe ˙’ l`a c´ac hˇa ` ng sˆo ´ , nhu . Mai, d¯a . idu . o . ng, v`a Nam Cao. C´ac d¯ˆo ´ isˆo ´ c˜ung c´o thˆe ˙’ l`a c´ac h`am theo c´ac d¯ˆo ´ isˆo ´ kh´ac. Chˇa ˙’ ng ha . n, MARRIED[father(John), mother(John)] biˆe ˙’ udiˆe ˜ nmˆe . nh d¯ˆe ` “cha cu ˙’ a John d¯˜a cu . ´o . ime . cu ˙’ a John”. O . ˙’ d¯ˆay, John l`a mˆo . tk´yhiˆe . u hˇa ` ng, mother v`a father l`a c´ac k´yhiˆe . u h`am, v`a MARRIED l`a mˆo . tk´yhiˆe . uvi . t`u . . Trong v´ıdu . cuˆo ´ icu ˙’ aBa ˙’ ng 9.2, BEHIND l`a k´yhiˆe . uvi . t`u . ,v`ax, y l`a k´yhiˆe . ubiˆe ´ n. C´ac vi . t`u . nhu . chı ˙’ ra trong Ba ˙’ ng 9.2 c`on go . i l`a c´ac nguyˆen tu . ˙’ . C´ac nguyˆen tu . ˙’ c´o thˆe ˙’ d¯ u . o . . ctˆo ˙’ ho . . pla . ibo . ˙’ i c´ac ph´ep nˆo ´ i logic d¯ ˆe ˙’ ta . o th`anh c´ac mˆe . nh d¯ˆe ` nhu . trong Ba ˙’ ng ??. C´ac ph´ep nˆo ´ i logic trong Ba ˙’ ng 9.3 c´o ´y ngh˜ıa tu . o . ng tu . . nhu . sau: “∧” (AND), “∨” (OR), “∼” (NOT), v`a “⇒” (SUY RA); ∀x, go . il`alu . o . . ng t `u . phˆo ˙’ du . ng,tu . o . ng tu . . mˆe . nh d¯ ˆe ` “v´o . imo . i x”. Tu . o . ng tu . . ∃x, go . il`alu . o . . ng t `u . tˆo ` nta . i, c´o ngh˜ıa “tˆo ` nta . i x.”Bˆo ´ nv´ıdu . d¯ ˆa ` u tiˆen trong Ba ˙’ ng 9.3 d¯ˆe ` cˆa . p c´ac mˆe . nh d¯ˆe ` chı ˙’ gˆo ` m c´ac hˇa ` ng, v`a hai v´ıdu . cuˆo ´ il`a c´ac mˆe . nh d¯ˆe ` c´o gˇa ´ nv´o . i c´ac k´yhiˆe . ubiˆe ´ n. C´ac biˆe ˙’ uth´u . c logic d¯u . o . . c xˆay du . . ng bˇa ` ng c´ach nˆo ´ i c´ac biˆe ˙’ uth´u . c kh´ac da . ng ∧s(∨s)go . il`ada . ng nˆo ˙’ ir`o . i.Biˆe ˙’ uth´u . cho . . plˆe . cu ˙’ a 341 Ph´at biˆe ˙’ uVi . t`u . Mai l`a d¯`an b`a FEMALE(Mai) Mai l`a me . MOTHER(Mai) D - a . idu . o . ng l´o . nho . nhˆo ` BIGGERTHAN(d¯a . idu . o . ng, hˆo ` ) Nam Cao d¯˜a viˆe ´ ttiˆe ˙’ u thuyˆe ´ t Ch´ı Ph`eo WRITE(Nam Cao, “Ch´ı Ph`eo”) x d¯ ´u . ng d¯ˇa ` ng sau y BEHIND (x, y) Ba ˙’ ng 9.2: V´ı du . vˆe ` vi . t`u . . c´ac ph´ep to´an vi . t`u . go . il`ada . ng d¯u . o . . cd¯i . nh ngh˜ıa d¯´ung, v`a k´yhiˆe . u l`a (wffs). Biˆe ˙’ uth´u . c logic go . il`ac´u ph´ap da . ng khˆong mˆe . nh d¯ˆe ` nˆe ´ u n´o chı ˙’ ch´u . a c´ac nguyˆen tu . ˙’ , c´ac ph´ep nˆo ´ i logic, c´ac lu . o . . ng t`u . tˆo ` nta . i v`a lu . o . . ng t `u . phˆo ˙’ du . ng. Biˆe ˙’ uth´u . c logic go . i l`a c´u ph´ap da . ng mˆe . nh d¯ˆe ` nˆe ´ u n´o c´o da . ng (∀x 1 ,x 2 , ,x k )[A 1 ∧ A 2 ∧ ∧ A n ⇒ B 1 ∨ B 2 ∨ ∨ B m ], trong d¯´o A i ,B j l`a c´ac nguyˆen tu . ˙’ . C´ac th`anh phˆa ` n bˆen tr´ai v`a bˆen pha ˙’ icu ˙’ amˆe . nh d¯ˆe ` c go . il`ac´ac d¯iˆe ` ukiˆe . n v`a c´ac kˆe ´ t luˆa . n cu ˙’ amˆe . nh d¯ˆe ` c tu . o . ng ´u . ng. Mˆe . nh d¯ˆe ` khˆong c´o d¯ i ˆe ` ukiˆe . nc´oda . ng ⇒ P d¯ u . o . . chiˆe ˙’ ul`aP. Ngu . o . . cla . i, biˆe ˙’ uth´u . c P ⇒ c´o ngh˜ıa ∼ P. X´et ph´at biˆe ˙’ u “v´o . imo . i x, nˆe ´ u x l`a mˆo . t ngu . `o . i v`a l`a cha me . ,th`ıx hoˇa . c l`a cha, hoˇa . cl`ame . ”. Trong mˆe . nh d¯ˆe ` c´u ph´ap, mˆe . nh d¯ˆe ` n`ay d¯u . o . . cviˆe ´ tnhu . sau (∀x)[PERSON(x) ∧ PARENT(x) ⇒ MOTHER(x) ∨ FATHER(x)]. Dˆe ˜ d`ang kiˆe ˙’ m tra rˇa ` ng (xem Ba ˙’ ng 9.4), nˆe ´ uviˆe ´ tda . ng c´u ph´ap khˆong mˆe . nh d¯ˆe ` ,biˆe ˙’ u th ´u . c n`ay tro . ˙’ th`anh (∀x)[∼ PERSON(x) ∨∼PARENT(x) ∨ MOTHER(x) ∨ FATHER(x)]. Thˆa . tvˆa . ych´ung ta luˆon luˆon c´o thˆe ˙’ chuyˆe ˙’ nd¯ˆo ˙’ it`u . da . ng khˆong mˆe . nh d¯ˆe ` sang da . ng mˆe . nh d¯ˆe ` v`a ngu . o . . cla . i. Ba ˙’ ng 9.4 chı ˙’ ra mˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . a c´ac ph´ep to´an logic. Nˆo . i dung cu ˙’ a nˇam cˆo . t d¯ ˆa ` u tiˆen tu . o . ng tu . . logic thˆong thu . `o . ng. Ph´ep to´an k´eo theo c´o ngh˜ıa nhu . sau: Vˆe ´ bˆen 342 Ph´at biˆe ˙’ uMˆe . nh d¯ˆe ` Mai l`a d¯`an b`a v`a l`a me . FEMALE(Mai) ∧ MOTHER(Mai) Mai l`a d¯`an ˆong hoˇa . c l`a d¯`an b`a MALE(Mai) ∨ FEMALE(Mai) Mai khˆong l`a d¯`an ˆong ∼MALE(Mai) Nˆe ´ u Mai l`a me . th`ı Mai l`a phu . n˜u . MOTHER(Mai) ⇒ FERMALE(Mai) Mˆo ˜ i ngu . `o . i, hoˇa . c l`a d¯`an ˆong hoˇa . c l`a d¯`an b`a (∀x)[MALE(x)∨FEMALE(x)] C´o mˆo . t ngu . `o . i d¯˜a viˆe ´ ttiˆe ˙’ u thuyˆe ´ t “Sˆo ´ d¯ o ˙’ ”(∃x)WRITE(x, “Sˆo ´ d¯ o ˙’ ”) Ba ˙’ ng 9.3: V´ı du . vˆe ` c´ac mˆe . nh d¯ˆe ` . AB∼ AA∧BA∨ BA⇒ B TT F TTT TF F FT F FT T FTT FF T FFT Ba ˙’ ng 9.4: Ba ˙’ ng d¯´ung-sai. tr´ai cu ˙’ a ph´ep k´eo theo go . il`agia ˙’ thiˆe ´ t v`a vˆe ´ bˆen pha ˙’ igo . il`akˆe ´ t luˆa . n. Ba ˙’ ng 9.4 chı ˙’ ra ph´ep k´eo theo c´o kˆe ´ t qua ˙’ l`aTnˆe ´ u hoˇa . ckˆe ´ t luˆa . n l`a T hoˇa . c gia ˙’ thiˆe ´ t l`a F; ngu . o . . cla . i ph´ep k´eo theo c´o gi´a tri . F. V´ı d u . 9.5.1 C´ac ph´ep to´an vi . t`u . sau minh ho . a c´ac kh´ai niˆe . md¯u . o . . c tr`ınh b`ay trˆen. 1. Nˆe ´ u x l`a a ˙’ nh sˆo ´ th`ı c´ac pixel o . ˙’ da . ng r`o . ira . c: DIGITAL(x) ⇒ DISCRETE(pixel). 2. Tˆa ´ tca ˙’ c´ac a ˙’ nh sˆo ´ c´o c´ac pixel r`o . ira . c: (∀x){[IMAGE(x) ∧ DIGITAL(x) ⇒ (∃y)[PIXEL-IN(y,x) ∧ DISCRETE(y)]}. 343 Biˆe ˙’ uth´u . c n`ay c´o ngh˜ıa: V´o . imo . i x sao cho x l`a mˆo . ta ˙’ nh sˆo ´ tˆo ` nta . i y sao cho y l`a pixel trong a ˙’ nh x v`a y r`o . ira . c. 3. Khˆong pha ˙’ imo . ia ˙’ nh d¯ˆe ` ul`aa ˙’ nh sˆo ´ : (∀x)[IMAGE(x)] ⇒ (∃y)[IMAGE(y)∧∼DIGITAL(y)]. Biˆe ˙’ uth´u . c n`ay c´o ngh˜ıa: V´o . imo . i x sao cho x l`a mˆo . ta ˙’ nh th`ı tˆo ` nta . i y l`a a ˙’ nh nhu . ng khˆong pha ˙’ il`aa ˙’ nh sˆo ´ . 4. C´ac a ˙’ nh m`au sˆo ´ mang thˆong tin nhiˆe ` uho . n c´ac a ˙’ nh sˆo ´ d¯ o . nsˇa ´ c: (∀x)(∀y){[IMAGE(x) ∧ DIGITAL(x) ∧ COLOR(x)]∧ [IMAGE(y) ∧ DIGITAL(y) ∧ MONOCHROME(y)] ⇒ MOREINFO(x, y)}. Biˆe ˙’ uth´u . c n`ay c´o ngh˜ıa: V´o . imo . i x sao cho x l`a mˆo . ta ˙’ nh m`au sˆo ´ ,v´o . imo . ia ˙’ nh sˆo ´ d¯ o . nsˇa ´ c y th`ı x mang thˆong tin nhiˆe ` uho . n y. C´ac hˆe . th´u . ctu . o . ng d¯u . o . ng quan tro . ng Bˇa ` ng c´ach su . ˙’ du . ng ba ˙’ ng d¯´ung-sai v`a logic thˆong thu . `o . ng c´o thˆe ˙’ ch´u . ng minh c´ac t´ınh chˆa ´ t sau: 1. ∼ (∼ A)tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i A. 2. A ∨B tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i ∼ A ⇒ B. 3. Pha ˙’ nch´u . ng. A ⇒ B tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i ∼ B ⇒∼ A. 4. Cˆong th´u . c de Morgan ∼ (A ∧ B)tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i ∼ A∨∼B. ∼ (A ∨ B)tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i ∼ A∧∼B. 5. Phˆan bˆo ´ A ∧ (B ∨ C)tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i(A ∧ B) ∨ (A ∧ C). A ∨ (B ∧ C)tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i(A ∨ B) ∧ (A ∨ C). 344 6. Giao ho´an A ∧ B tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i B ∧ A. A ∨ B tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i B ∨ A. 7. Kˆe ´ tho . . p (A ∧ B) ∧ C tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i A ∧ (B ∧C). (A ∨ B) ∨ C tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i A ∨ (B ∨C). 8. Quan hˆe . gi˜u . a c´ac lu . o . . ng t`u . tˆo ` nta . i v`a v´o . imo . i ∼ (∀x) P (x)tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i(∃x)[∼ P (x)]. ∼ (∃x) P (x)tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i(∀x)[∼ P (x)]. Suy luˆa . nbˇa ` ng c´ach ch´u . ng minh-d¯i . nh l ´y Trong logic vi . t`u . , c´ac nguyˆen tˇa ´ c suy luˆa . n c´o thˆe ˙’ ´ap du . ng trˆen nh˜u . ng biˆe ˙’ uth´u . cd¯u . o . . c d¯ i . nh ngh˜ıa d¯´ung v`a trˆen co . so . ˙’ tˆa . p c´ac biˆe ˙’ uth´u . cd¯i . nh ngh˜ıa d¯´ung ch´ung ta suy ra c´ac d¯ i . nh ngh˜ıa d¯´ung m´o . i. Sau d¯ˆay l`a mˆo . t v`ai v´ıdu . suy luˆa . n(W c´o ngh˜ıa biˆe ˙’ uth´u . cd¯i . nh ngh˜ıa d¯´ung): Modus Ponens T`u . W 1 ∧ (W 1 ⇒ W 2 ) suy ra W 2 . Modus Tollens T`u . ∼ W 2 ∧ (∼ W 1 ⇒ W 2 ) suy ra W 1 . Ph´ep chiˆe ´ u T`u . W 1 ∧ W 2 suy ra W 1 . D - ˇa . cbiˆe . t ho´a phˆo ˙’ du . ng T`u . (∀x)W (x) suy ra W(c), trong d¯´o c l`a k´y hiˆe . uhˇa ` ng v`a mˆe . nh d¯ˆe ` “T`u . F suy ra G” c´o ngh˜ıa F ⇒ G luˆon luˆon d¯´ung (t´u . c l`a, F luˆon luˆon suy ra G); d¯iˆe ` u n`ay cho ph´ep ch´ung ta thay F bo . ˙’ i G trong biˆe ˙’ uth´u . c logic. 345 C´ac nguyˆen tˇa ´ c suy luˆa . nta . o ra c´ac wffs dˆa ˜ n xuˆa ´ t t`u . c´ac biˆe ˙’ uth´u . c logic d¯u . o . . c d¯ i . nh ngh˜ıa d¯´ung. Trong ph´ep t´ınh vi . tu . . , c´ac wffs dˆa ˜ n xuˆa ´ tgo . il`ad¯ i . nh l´y, v`a d˜ay c´ac l´y luˆa . nd¯u . o . . csu . ˙’ du . ng go . il`ach´u . ng minh cu ˙’ ad¯i . nh l´y. Kh´ai niˆe . m n`ay rˆa ´ tco . ba ˙’ nv`ı mˆo . tsˆo ´ tiˆe ´ n tr`ınh nˆo . i suy a ˙’ nh c´o thˆe ˙’ ph´at biˆe ˙’ uda . ng ch´u . ng minh d¯i . nh l´y su . ˙’ du . ng c´ac ph´ep to´an vi . t`u . . Theo c´ach d¯´o, su . ˙’ du . ng c´ac nguyˆen tˇa ´ c suy luˆa . nv`atˆa . p c´ac su . . kiˆe . n d¯˜a biˆe ´ tch´ung ta c´o thˆe ˙’ suy ra nh˜u . ng su . . kiˆe . nm´o . i hoˇa . cch´u . ng minh t´ınh ho . . plˆe . cu ˙’ a gia ˙’ thiˆe ´ t n`ao d¯´o. C´o hai ph´ep to´an co . ba ˙’ nthu . `o . ng d¯u . o . . csu . ˙’ du . ng trong ph´ep t´ınh vi . t`u . d¯ ˆe ˙’ ch´u . ng minh t´ınh d¯´ung cu ˙’ a c´ac biˆe ˙’ uth´u . c logic. Th´u . nhˆa ´ t, thao t´ac tru . . ctiˆe ´ p trˆen c´ac da . ng khˆong mˆe . nh d¯ˆe ` tu . o . ng tu . . nhu . phu . o . ng ph´ap ch´u . ng minh c´ac biˆe ˙’ uth´u . c to´an ho . c. Th´u . hai, d¯´o l`a du . . a trˆen d¯ˆo ´ i s´anh c´ac sˆo ´ ha . ng trong nh ˜u . ng biˆe ˙’ uth´u . co . ˙’ da . ng mˆe . nh d¯ˆe ` . Hai phu . o . ng ph´ap n`ay s˜e d¯u . o . . c minh ho . a trong v´ıdu . du . ´o . i d¯ˆay. V´ı d u . 9.5.2 Gia ˙’ su . ˙’ ta biˆe ´ t: (1) so . t giˆa ´ yo . ˙’ d¯ ˇa ` ng sau b`an l`am viˆe . c, v`a (2) ghˆe ´ ngˆo ` i ngay sau b`an l`am viˆe . c. Ch´ung ta c˜ung gia ˙’ thiˆe ´ t t´ınh chˆa ´ tvˆa . tl´y (3) nˆe ´ u x sau y th`ı x khˆong kha ˙’ kiˆe ´ n. C´ac gia ˙’ thiˆe ´ t (1) v`a (2) l`a nh˜u . ng su . . kiˆe . n xuˆa ´ t ph´at t`u . b`ai to´an, trong khi (3) l`a tri th´u . c v`a khˆong phu . thuˆo . c v`ao b`ai to´an. T´u . c l`a v´o . inh˜u . ng d¯iˆe ` ukiˆe . n n`ao d¯´o chˇa ˙’ ng ha . n x nho ˙’ ho . n y th`ı x khˆong thˆa ´ yd¯u . o . . c do bi . che khuˆa ´ tbo . ˙’ i y v`a y l`a khˆo ´ id¯ˇa . c(t´u . c khˆong thˆe ˙’ nh`ın xuyˆen qua y.)Ch´ung ta cˆa ` n suy ra (ch´u . ng minh), chı ˙’ su . ˙’ du . ng hai su . . kiˆe . n v`a mˆo . t gia ˙’ thiˆe ´ t, rˇa ` ng so . t r´ac khˆong kha ˙’ kiˆe ´ n. Hai su . . kiˆe . n c´o da . ng BEHIND(so . t r´ac, b`an l`am viˆe . c) v`a NEXT-TO(ghˆe ´ ngˆo ` i, b`an l`am viˆe . c). Hai ph´at biˆe ˙’ u n`ay c´o quan hˆe . theo ph´ep to´an logic AND: BEHIND(so . t r´ac, b`an l`am viˆe . c) ∧ NEXT-TO(ghˆe ´ ngˆo ` i, b`an l`am viˆe . c). T´ınh chˆa ´ tvˆa . tl´yo . ˙’ da . ng mˆe . nh d¯ˆe ` c´o da . ng (∀x, y)[BEHIND(x, y) ⇒ INVISIBLE(x)]. Hay tu . o . ng d¯u . o . ng da . ng khˆong mˆe . nh d¯ˆe ` (∀x, y)[∼BEHIND(x, y) ∨ INVISIBLE(x)]. Biˆe ˙’ udiˆe ˜ nda . ng hˆo . itˆa ´ tca ˙’ c´ac tri th ´u . cvˆe ` b`ai to´an n`ay ta d¯u . o . . c 346 (a) (∀x, y){BEHIND(so . t r´ac, b`an l`am viˆe . c) ∧ NEXT-TO(ghˆe ´ ngˆo ` i, b`an l`am viˆe . c)∧ [∼ BEHIND(x, y) ∨ INVISIBLE(x)]}. Thay x bo . ˙’ iso . t r´ac v`a y l`a b`an l`am viˆe . ctad¯u . o . . c (b) BEHIND(so . t r´ac, b`an l`am viˆe . c) ∧ NEXT-TO(ghˆe ´ ngˆo ` i, b`an l`am viˆe . c)∧ [∼ BEHIND(so . t r´ac, b`an l`am viˆe . c) ∨ INVISIBLE(so . t r´ac)]. Su . . du . ng ph´ep chiˆe ´ u ta c´o pho ˙’ ng d¯o´an (c) BEHIND(so . t r´ac, b`an l`am viˆe . c)∧[∼ BEHIND(so . t r´ac, b`an l`am viˆe . c)∨INVISIBLE(so . t r´ac)]. T`u . t´ınh phˆan bˆo ´ cu ˙’ a c´ac ph´ep to´an hˆo . i v`a tuyˆe ˙’ n ta c´o (d) BEHIND(so . t r´ac, b`an l`am viˆe . c) ∧ INVISIBLE(so . t r´ac). ´ Ap du . ng ph´ep chiˆe ´ umˆo . tlˆa ` nn˜u . ad¯u . o . . c (e) INVISIBLE(so . t r´ac). Do d¯´o ta d¯˜a ch´u . ng minh d¯u . o . . cbiˆe ˙’ uth´u . cgˆo ´ c trong (a) tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . ibiˆe ˙’ u th ´u . c (e). N´oi c´ach kh´ac, t`u . nh˜u . ng thˆong tin d¯˜a biˆe ´ tch´ung ta kˆe ´ t luˆa . n rˇa ` ng so . t r´ac khˆong kha ˙’ kiˆe ´ n. Bˆay gi`o . ta s˜e ch´u . ng minh la . ikˆe ´ t qua ˙’ trˆen nhu . ng su . ˙’ du . ng biˆe ˙’ udiˆe ˜ nmˆe . nh d¯ˆe ` . Phu . o . ng ph´ap ch´u . ng minh su . ˙’ du . ng pha ˙’ nch´u . ng: lˆa ´ yphu ˙’ d¯ i . nh mˆe . nh d¯ˆe ` cˆa ` nch´u . ng minh v`a suy ra mˆau thuˆa ˜ nv´o . inh˜u . ng su . . kiˆe . nd¯˜ac´o,t`u . d¯´o c´o mˆe . nh d¯ˆe ` d¯ ´ung hoˇa . cho . . p lˆe . . Du . . a trˆen c´ac d¯i . nh ngh˜ıa tru . ´o . c, ta c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ udiˆe ˜ n tri th´u . cvˆe ` b`ai to´an n`ay o . ˙’ da . ng sau: (a) ⇒ BEHIND(so . t r´ac, b`an l`am viˆe . c), (b) ⇒ NEXT-TO(ghˆe ´ ngˆo ` i, b`an l`am viˆe . c), (c) (∀x, y)[BEHIND(x, y) ⇒ INVISIBLE(x)], v`a (d) INVISIBLE(so . t r´ac) ⇒ . Nhˇa ´ cla . irˇa ` ng ch´ung ta muˆo ´ n suy ra mˆau thuˆa ˜ ncu ˙’ aphu ˙’ d¯ i . nh mˆe . nh d¯ˆe ` INVISIBLE(so . t r´ac) m`a theo d¯i . nh ngh˜ıa tru . ´o . c, n´o d¯u . o . . cbiˆe ˙’ udiˆe ˜ nda . ng INVISIBLE(so . t r´ac) ⇒ . Sau khi c´ac phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ a b`ai to´an d¯˜a d¯u . o . . cbiˆe ˙’ udiˆe ˜ no . ˙’ da . ng mˆe . nh d¯ˆe ` ,ch´ung ta suy ra mˆau thuˆa ˜ nbˇa ` ng c´ach d¯ˆo ´ i s´anh hai vˆe ´ cu ˙’ a c´ac ph´ep k´eo theo kh´ac nhau v´o . i 347 . W 2 . Modus Tollens T`u . ∼ W 2 ∧ (∼ W 1 ⇒ W 2 ) suy ra W 1 . Ph´ep chiˆe ´ u T`u . W 1 ∧ W 2 suy ra W 1 . D - ˇa . cbiˆe . t ho´a phˆo ˙’ du . ng T`u . (∀x)W (x) suy ra W(c), trong d¯´o c l`a k´y hiˆe . uhˇa ` ng. (x)tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i(∀x)[∼ P (x)]. Suy luˆa . nbˇa ` ng c´ach ch´u . ng minh-d¯i . nh l ´y Trong logic vi . t`u . , c´ac nguyˆen tˇa ´ c suy luˆa . n c´o thˆe ˙’ ´ap du . ng trˆen nh˜u . ng. ta suy ra c´ac d¯ i . nh ngh˜ıa d¯´ung m´o . i. Sau d¯ˆay l`a mˆo . t v`ai v´ıdu . suy luˆa . n(W c´o ngh˜ıa biˆe ˙’ uth´u . cd¯i . nh ngh˜ıa d¯´ung): Modus Ponens T`u . W 1 ∧ (W 1 ⇒ W 2 ) suy