Nhˇa ´ cla . il`a G(u, v)=H(u, v)F (u, v), trong d¯´o F (u, v) l`a biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier cu ˙’ aa ˙’ nh d¯u . o . . c l`am tro . n. Vˆa ´ nd¯ˆe ` l`a lu . . acho . nmˆo . t h`am lo . c H(u, v) sao cho d¯a . td¯u . o . . c G(u, v)bˇa ` ng c´ach l`am suy gia ˙’ m c´ac th`anh phˆa ` n c´o tˆa ` nsˆo ´ cao cu ˙’ a F (u, v). Biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier ngu . o . . c G(u, v) ta c´o a ˙’ nh d¯u . o . . c l`am tro . n g(x, y). V`ı c´ac th`anh phˆa ` ntˆa ` nsˆo ´ cao bi . loa . ibo ˙’ , v`a thˆong tin trong v`ung tˆa ` nsˆo ´ thˆa ´ p d¯ u . o . . c cho qua, nˆen phu . o . ng ph´ap n`ay go . il`alo . c thˆong thˆa ´ p (lowpass filtering). Du . ´o . i d¯ˆay l`a mˆo . t v`ai h`am lo . cthu . `o . ng d`ung. Lo . cl´ytu . o . ˙’ ng Lo . c thˆong thˆa ´ p 2D l´y tu . o . ˙’ ng, viˆe ´ ttˇa ´ t ILHF, c´o h`am lo . c H(u, v):=    1nˆe ´ u D(u, v) ≤ D 0 , 0nˆe ´ u D(u, v) >D 0 , trong d¯´o D 0 > 0l`ahˇa ` ng sˆo ´ cho tru . ´o . c, go . il`angu . ˜o . ng hay tˆa ` nsˆo ´ cˇa ´ t, v`a D(u, v):=  (u 2 + v 2 ) l`a khoa ˙’ ng c´ach t`u . gˆo ´ cto . ad¯ˆo . (0, 0) d¯ˆe ´ nd¯iˆe ˙’ m(u, v). Thuˆa . tng˜u . l´y tu . o . ˙’ ng biˆe ˙’ u thi . tˆa ´ t ca ˙’ c´ac th`anh phˆa ` ntˆa ` nsˆo ´ nˇa ` m trong h`ınh tr`on b´an k´ınh D 0 d¯ u . o . . cgi˜u . nguyˆen, trong khi tˆa ´ tca ˙’ c´ac tˆa ` nsˆo ´ ngo`ai d¯u . `o . ng tr`on ho`an to`an bi . suy gia ˙’ m. Ch´u´yrˇa ` ng, trong chu . o . ng n`ay c´ac h`am lo . cd¯ˆo ´ ix´u . ng qua gˆo ´ c. D - iˆe ` u n`ay du . . a trˆen gia ˙’ thiˆe ´ tgˆo ´ ccu ˙’ aph´ep biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier d¯ˇa . tta . i tˆam cu ˙’ ah`ınh vuˆong N ×N trong miˆe ` n tˆa ` nsˆo ´ (xem Phˆa ` n 3.3.2). Tˆa ` nsˆo ´ cˇa ´ t D 0 d¯ u . o . . ccho . nt`uy theo ch´ung ta muˆo ´ ngi˜u . la . i bao nhiˆeu phˆa ` n trˇam cu ˙’ a phˆo ˙’ cˆong suˆa ´ t to`an phˆa ` n: P T := N−1  u=0 N−1  v=0 P (u, v), trong d¯´o P (u, v) l`a phˆo ˙’ cˆong suˆa ´ t. Sˆo ´ phˆa ` n trˇam gi˜u . la . i β v`a gi´a tri . D 0 liˆen hˆe . v´o . i nhau bo . ˙’ i: β = 100  u 2 +v 2 ≤D 0 P (u, v)/P T . 104 Lo . c Butterworth Lo . c thˆong thˆa ´ p Butterworth bˆa . c n c´o h`am lo . c H(u, v):= 1 1+[D( u, v)/D 0 ] 2n . Hay ca ˙’ i biˆen H(u, v):= 1 1+( √ 2 − 1)[D( u, v)/D 0 ] 2n . 4.4.2 Lo . c thˆong cao Nhu . d¯˜a tr`ınh b`ay trong Phˆa ` n 4.4.1, a ˙’ nh c´o thˆe ˙’ bi . nho`e do l`am suy gia ˙’ m c´ac th`anh phˆa ` ntˆa ` nsˆo ´ cao trong biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier cu ˙’ a n´o. V`ı c´ac phˆa ` ntu . ˙’ biˆen v`a nh˜u . ng chˆo ˜ thay d¯ ˆo ˙’ id¯ˆo . t ngˆo . t kh´ac trong m´u . c x´am tu . o . ng ´u . ng c´ac th`anh phˆa ` ntˆa ` nsˆo ´ cao, viˆe . cl`amn´et a ˙’ nh c´o thˆe ˙’ thu . . chiˆe . n trong miˆe ` ntˆa ` nsˆo ´ bˇa ` ng phu . o . ng ph´ap lo . c thˆong cao (highpass filtering): l`am suy gia ˙’ m c´ac th`anh phˆa ` ntˆa ` nsˆo ´ thˆa ´ pnhu . ng khˆong ph´a hu ˙’ y thˆong tin tˆa ` nsˆo ´ cao trong biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier. Lo . cl´ytu . o . ˙’ ng Lo . c thˆong cao 2D l´ytu . o . ˙’ ng, viˆe ´ ttˇa ´ t ILHF, c´o h`am lo . c H(u, v):=    0nˆe ´ u D(u, v) ≤ D 0 , 1nˆe ´ u D(u, v) >D 0 , trong d¯´o D 0 > 0. Lo . c Butterworth Lo . c thˆong cao Butterworth bˆa . c n c´o h`am lo . c H(u, v):= 1 1+[D 0 /D(u, v)] 2n . Hay ca ˙’ i biˆen H(u, v):= 1 1+( √ 2 − 1)[D 0 /D(u, v)] 2n . 105 Trong ´u . ng du . ng, d¯ˆe ˙’ ba ˙’ o to`an c´ac th`anh phˆa ` ntˆa ` nsˆo ´ thˆa ´ p, ch´ung ta thu . `o . ng thˆem mˆo . thˇa ` ng sˆo ´ v`ao h`am lo . c thˆong cao. D - iˆe ` un`ayk´eo theo c´ac th`anh phˆa ` ntˆa ` nsˆo ´ cao l´o . n ho . n c´ac th`anh phˆa ` ntu . o . ng ´u . ng trong a ˙’ nh gˆo ´ c. Phu . o . ng ph´ap n`ay go . il`anhˆa ´ nma . nh tˆa ` nsˆo ´ cao. Mˇa . cd`ulo . c nhˆa ´ nma . nh tˆa ` nsˆo ´ cao ba ˙’ o to`an c´ac th`anh phˆa ` ntˆa ` nsˆo ´ thˆa ´ p, trong mˆo . tsˆo ´ tru . `o . ng ho . . pa ˙’ nh ra bi . tˆo ´ i. D - ˆe ˙’ tr´anh hiˆe . ntu . o . . ng n`ay, ch´ung ta c´o thˆe ˙’ phˆan phˆo ´ i la . i c´ac m´u . c x´am. Cˆan bˇa ` ng biˆe ˙’ ud¯ˆo ` cˆo . tph`uho . . pv´o . imu . cd¯´ıch n`ay do kha ˙’ nˇang nˆang cao d¯ˆo . tu . o . ng pha ˙’ ntˆo ˙’ ng thˆe ˙’ cu ˙’ aa ˙’ nh. 4.4.3 Lo . cd¯ˆo ` ng cˆa ´ u Mˆo h`ınh chiˆe ´ u s´ang-pha ˙’ nxa . ´anh s´ang trong Phˆa ` n 2.1 c´o thˆe ˙’ d¯ u . o . . csu . ˙’ du . ng nhu . co . so . ˙’ cu ˙’ amiˆe ` ntˆa ` nsˆo ´ nhˇa ` md¯ˆo ` ng th`o . in´enda ˙’ i ´anh s´ang v`a l`am tˇang d¯ˆo . tu . o . ng pha ˙’ n. Nhˇa ´ c la . il`aa ˙’ nh f(x, y) c´o thˆe ˙’ d¯ u . o . . cbiˆe ˙’ udiˆe ˜ nbo . ˙’ i c´ac th`anh phˆa ` nchiˆe ´ u s´ang v`a pha ˙’ nxa . theo quan hˆe . f(x, y)=i(x, y)r(x, y). N´oi chung phu . o . ng tr`ınh trˆen khˆong thˆe ˙’ ´ap du . ng tru . . ctiˆe ´ pd¯ˆe ˙’ t´ach c´ac th`anh phˆa ` ntˆa ` n sˆo ´ cu ˙’ a h`am chiˆe ´ u s´ang v`a pha ˙’ nxa . v`ı F[f(x, y] = F[i(x, y]F[r(x, y]. Tuy nhiˆen, nˆe ´ ud¯ˇa . t z(x, y) := ln f(x, y) =lni(x, y)+lnr(x, y). Th`ı F[z(x, y)] = F[ln f(x, y)] = F[ln i(x, y)] + F[ln r(x, y)]. Hay Z(u, v)=I(u, v)+R(u, v), trong d¯´o Z(u, v),I(u, v)v`aR(u, v) l`a c´ac biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier tu . o . ng ´u . ng cu ˙’ a z(x, y), ln i(x, y) v`a ln r(x, y). Nˆe ´ uch´ung ta xu . ˙’ l´y Z(u, v)bo . ˙’ i h`am lo . c H(u, v), t´u . cl`a S( u, v):=H(u, v)Z(u, v) =H(u, v)I(u, v)+H(u, v)R(u, v), 106 th`ı trong miˆe ` n khˆong gian s(x, y)=F −1 (S(u, v)) = F −1 (H(u, v)I(u, v)) + F −1 (H(u, v)R(u, v)) . D - ˇa . t i  (x, y):=F −1 (H(u, v)I(u, v)), r  (x, y):=F −1 (H(u, v)R(u, v)) . Khi d¯´o s(x, y)=i  (x, y)+r  (x, y). Suy ra a ˙’ nh d¯u . o . . cbiˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i g(x, y) = exp [s(x,y)] = exp[i  (x, y)] exp[r  (x, y)] = i 0 (x, y)r 0 (x, y), trong d¯´o i 0 (x, y) = exp[i  (x, y)] v`a r 0 (x, y) = exp[r  (x, y)] l`a c´ac th`anh phˆa ` n chiˆe ´ u s´ang v`a pha ˙’ nxa . tu . o . ng ´u . ng cu ˙’ aa ˙’ nh ra. C´ach tiˆe ´ pcˆa . n trˆen l`a mˆo . t tru . `o . ng ho . . pd¯ˇa . cbiˆe . tcu ˙’ al´o . p c´ac hˆe . thˆo ´ ng d¯ ˆo ` ng cˆa ´ u. D - ˇa . cbiˆe . t trong ´u . ng du . ng n`ay, vˆa ´ nd¯ˆe ` ch´ınh l`a t´ach c´ac th`anh phˆa ` n chiˆe ´ u s´ang v`a pha ˙’ n xa . . Sau d¯´o t´ac d¯ˆo . ng h`am lo . cd¯ˆo ` ng cˆa ´ u H(u, v)lˆen c´ac th`anh phˆa ` n d¯´o. N´oi chung, th`anh phˆa ` n chiˆe ´ u s´ang cu ˙’ aa ˙’ nh d¯u . o . . cd¯ˇa . c tru . ng bo . ˙’ isu . . thay d¯ˆo ˙’ ichˆa . m. Mˇa . t kh´ac, th`anh phˆa ` n pha ˙’ nxa . c´o nh˜u . ng thay d¯ˆo ˙’ id¯ˆo . tbiˆe ´ n, d¯ˇa . cbiˆe . tta . inh˜u . ng chˆo ˜ tiˆe ´ p gi´ap cu ˙’ a c´ac d¯ˆo ´ itu . o . . ng kh´ac nhau. C´ac d¯ˇa . c tru . ng n`ay dˆa ˜ nd¯ˆe ´ nviˆe . ckˆe ´ tho . . p c´ac tˆa ` nsˆo ´ thˆa ´ pcu ˙’ abiˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier cu ˙’ a logarithm cu ˙’ aa ˙’ nh v´o . i h`am chiˆe ´ u s´ang v`a c´ac tˆa ` n sˆo ´ cao v´o . i h`am pha ˙’ nxa . .Mˇa . cd`u d¯´o l`a nh˜u . ng mˆo pho ˙’ ng gˆa ` nd¯´ung, nhu . ng n´o c´o thˆe ˙’ su . ˙’ du . ng d¯ˆe ˙’ nˆang cao chˆa ´ tlu . o . . ng a ˙’ nh. Th`anh phˆa ` n chiˆe ´ u s´ang l`a nguyˆen nhˆan tru . . ctiˆe ´ pd¯ˆo ´ iv´o . ida ˙’ id¯ˆo . ng cu ˙’ a c´ac pixel trong a ˙’ nh. Tu . o . ng tu . . ,d¯ˆo . tu . o . ng pha ˙’ n l`a h`am cu ˙’ a pha ˙’ nxa . cu ˙’ a c´ac d¯ˆo ´ itu . o . . ng trong a ˙’ nh. Su . ˙’ du . ng lo . cd¯ˆo ` ng cˆa ´ u ta c´o thˆe ˙’ d¯ i ˆe ` u khiˆe ˙’ n c´ac th`anh phˆa ` n n`ay. Cho . n h`am lo . c H(u, v) sao cho a ˙’ nh hu . o . ˙’ ng d¯ˆe ´ nnh˜u . ng th`anh phˆa ` ntˆa ` nsˆo ´ thˆa ´ p v`a cao cu ˙’ abiˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i 107 Fourier mˆo . t c´ach kh´ac nhau. Chˇa ˙’ ng ha . n h`am Butterworth, trong tru . `o . ng ho . . p n`ay c´o da . ng H(u, v):=      γ L + D(u,v) 2 (γ H −γ L ) D(u,v) 2 +D 2 0 (1 −γ H + γ L ) (γ H −γ L ) nˆe ´ u D(u, v) ≤ D 0 , γ H nˆe ´ u ngu . o . . cla . i. Nˆe ´ u c´ac tham sˆo ´ γ L v`a γ H d¯ u . o . . ccho . n sao cho γ L < 1 <γ H , th`ı h`am lo . c trˆen s˜e gia ˙’ m c´ac tˆa ` nsˆo ´ thˆa ´ pv`akhuˆe ´ ch d¯a . itˆa ` nsˆo ´ cao. Kˆe ´ t qua ˙’ l`a a ˙’ nh d¯ˆo ` ng th`o . id¯u . o . . cn´en da ˙’ id¯ˆo . ng v`a nˆang cao d¯ˆo . tu . o . ng pha ˙’ n. 4.5 Ta . omˇa . tna . khˆong gian t`u . miˆe ` ntˆa ` nsˆo ´ Tˆo ´ cd¯ˆo . thu . . chiˆe . n v`a t´ınh to´an d¯o . n gia ˙’ n l`a c´ac thˆong sˆo ´ quan tro . ng cu ˙’ aphu . o . ng ph´ap mˇa . tna . khˆong gian trong xu . ˙’ l´y a ˙’ nh. Mˇa . t kh´ac, mˆo . tsˆo ´ h`am lo . c (nhu . lo . c thˆong thˆa ´ p) thuˆa . ntiˆe . nho . n trong miˆe ` ntˆa ` nsˆo ´ .Mu . c n`ay tr`ınh b`ay phu . o . ng ph´ap ta . omˇa . tna . khˆong gian (theo ngh˜ıa sai sˆo ´ b`ınh phu . o . ng tˆo ´ i thiˆe ˙’ u) xˆa ´ pxı ˙’ v´o . i h`am lo . c cho tru . ´o . c trong miˆe ` ntˆa ` nsˆo ´ . Nhˇa ´ cla . il`aphu . o . ng ph´ap miˆe ` ntˆa ` nsˆo ´ du . . a trˆen phu . o . ng tr`ınh G(u, v)=H( u, v)G(u, v), (4.7) trong d¯´o F (u, v)v`aG(u, v) l`a c´ac biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier cu ˙’ aa ˙’ nh gˆo ´ cv`aa ˙’ nh sau khi biˆe ´ n d¯ ˆo ˙’ itu . o . ng ´u . ng trong miˆe ` ntˆa ` nsˆo ´ v`a H(u, v) l`a h`am lo . c. Theo d¯i . nh l´y t´ıch chˆa . p, Phu . o . ng tr`ınh (4.7) c´o thˆe ˙’ d¯ u . o . . c thu . . chiˆe . n trong miˆe ` n khˆong gian qua biˆe ˙’ uth´u . c g(x, y)= N−1  α=0 N−1  β=0 h(x − α, y −β)f(α, β), (4.8) v´o . i x, y =0, 1, ,N − 1. D - ˆe ˙’ d¯ o . n gia ˙’ n ta gia ˙’ thiˆe ´ ta ˙’ nh c´o k´ıch thu . ´o . c vuˆong v`a d¯˜a d¯ u . o . . cmo . ˙’ rˆo . ng k´ıch thu . ´o . cd¯ˆe ˙’ t´ıch chˆa . p c´o ngh˜ıa. Trong (4.8), f(x, y)l`aa ˙’ nh v`ao, g(x, y)l`aa ˙’ nh qua lo . cv`ah(x, y)(mˇa . tna . t´ıch chˆa . p trong miˆe ` n khˆong gian) l`a biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier ngu . o . . ccu ˙’ a H(u, v). Nˆe ´ uk´ıchthu . ´o . c cu ˙’ amˇa . tna . khˆong gian l`a N ×N th`ı g( x, y) trong (4.8) ch´ınh l`a biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier ngu . o . . c cu ˙’ a G(u, v) trong (4.7). 108 . thu . `o . ng thˆem mˆo . thˇa ` ng sˆo ´ v`ao h`am lo . c thˆong cao. D - iˆe ` un`ayk´eo theo c´ac th`anh phˆa ` ntˆa ` nsˆo ´ cao l´o . n ho . n c´ac th`anh phˆa ` ntu . o . ng ´u . ng trong. go . il`anhˆa ´ nma . nh tˆa ` nsˆo ´ cao. Mˇa . cd`ulo . c nhˆa ´ nma . nh tˆa ` nsˆo ´ cao ba ˙’ o to`an c´ac th`anh phˆa ` ntˆa ` nsˆo ´ thˆa ´ p, trong mˆo . tsˆo ´ tru . `o . ng ho . . pa ˙’ nh ra bi . tˆo ´ i. D - ˆe ˙’ tr´anh. c´ac th`anh phˆa ` ntˆa ` nsˆo ´ cao, viˆe . cl`amn´et a ˙’ nh c´o thˆe ˙’ thu . . chiˆe . n trong miˆe ` ntˆa ` nsˆo ´ bˇa ` ng phu . o . ng ph´ap lo . c thˆong cao (highpass filtering): l`am suy