TÍNH KẾT CẤU VỎ HẦM VỚI MÔ HÌNH LIÊN KẾT DỊ HƯỚNG TS. LƯƠNG XUÂN BÍNH ThS. ĐỖ XUÂN QUÝ Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Công trình Trường Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Cho đến nay, khi phân tích ứng xử của vỏ hầm, chúng ta thường mô hình hoá liên kết giữa vỏ hầm và nền bởi các lò xo đàn hồi đẳng hướng theo hai chiều (ứng xử của lò xo theo chiều kéo và chiều nén như nhau). Tuy nhiên, khi vỏ hầm bị biến dạng, áp lực pháp tuyến và lực ma sát của nền tác dụng lên vỏ hầm là rất phức tạp. Ứng xử của liên kết giữa vỏ hầm và nền là phi tuyến. Trên những vùng vỏ hầm không tiếp xúc với nền, liên kết giữa vỏ hầm và nền không làm việc. Ngoài ra chuyển vị theo phương bán kính của vỏ hầm cũng ảnh hưởng đền lực ma sát trên mặt bên vỏ. Do đó, việc mô hình hoá liên kết giữa vỏ hầm và nền bởi các liên kết đàn hồi đẳng hướng theo hai chiều là không thoả đáng. Trong bài báo này, các tác giả đề xuất mô hình liên kết dị hướng (ứng xử của liên kết là phi tuyến) cho cả áp lực pháp tuyến và lực ma sát giữa vỏ hầm và nền, đồng thời có xét đến ảnh hưởng giữa chuyển vị theo phương bán kính của vỏ hầm đến lực ma sát, từ đó xây dựng thuật toán và chương trình tính vỏ hầm trên máy tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH). Summary: Up to now, when analyzing the response of the tunnel's shell, we usually modelize the interaction between the shell and soil media with elastic springs, of which the response in both compression and tension directions are the same. However, when the shell is deformed, the normal pressure and the friction of soil media acting on the surface of shell are quite complicated. The shell-soil interaction is non-linear. On the region, where the shell does not contact the soil media, the shell-soil connection is not effective. Besides, the radial displacement also affects the lateral friction. Therefore, modeling the interaction between the shell and soil as isotropic springs is not adequate. In this paper, the authors would like to propose anisotropic interaction (shell-soil response is non-linear) for both normal pressure and friction between soil and shell, at the same time, take the effect of radial displacement on the friction into account. Then, the algorithsm and computer program are built to analyze the tunnel's shell with the finite element method. CT 2 1. Đặt vấn đề Trong bài báo này, liên kết dị hướng được hiểu là liên kết có phản lực liên kết thay đổi theo chiều cũng như độ lớn của chuyển vị của điểm liên kết. Hình 1 mô tả sự làm việc của vỏ hầm trong nền đất. Thay thế tương tác của vỏ hầm và nền bằng hệ thống các liên kết dị hướng (hình 1a). Áp lực nền được mô tả là các liên kết vuông góc với vỏ hầm. Lực ma sát là các liên kết tiếp tuyến với vỏ. Áp lực của nền vào vỏ (kí hiệu N) có quan hệ với chuyển vị của nền theo phương vuông góc với vỏ (theo phương hướng tâm). Khi vỏ chuyển dịch ép nền thì quan hệ này là bậc nhất, độ dốc k + . Khi vỏ dịch chuyển theo phương ngược lại thì phản lực nền có thể bằng không nếu như vỏ hầm không có neo với nền, sẽ là quan hệ bậc nhất với chuyển vị, độ dốc k - nếu như vỏ có neo với nền (hình 1b). Áp lực pháp tuyến N = f(Δ hướng tâm ) – hàm phi tuyến. Lực ma sát trên bề mặt vỏ hầm (kí hiệu F ms ) quan hệ với chuyển vị tiếp tuyến vỏ là đường gẫy khúc (hình 1c). Khi chuyển vị tiếp tuyến là bé thì quan hệ này là bậc nhất. Khi chuyển vị đủ lớn thì lực này không đổi. Lực ma sát F ms = g(Δ tiếp tuyến ) – hàm phi tuyến. Ngoài ra thì lực ma sát còn phụ thuộc vào áp lực theo phương pháp tuyến của vỏ. Như vậy lực ma sát là một hàm phụ thuộc cả vào chuyển vị theo phương pháp tuyến và phương tiếp tuyến của vỏ. Như vậy: (1) ),(fF )(fN tieptuyenhuongtamms huongtam ΔΔ= Δ= Nên phương trình cơ bản của bài toán trở thành phương trình phi tuyến. Hình 1. Kết cấu vỏ hầm và mô hình liên kết N Δ hướng tâm O k - k + P O R =5.2m 30 0 10 0 A B F ms Δ tiếptuyến O Δ gh a N lon N bé b) c) Δ 0 a) TCT2 2. Mô hình toán của liên kết Áp lực pháp tuyến lên vỏ hầm (hình 1b). 00 2 kk )( 2 kk N Δ−Δ − +Δ−Δ + = −+−+ (2) Ở đây lấy độ lệch chuẩn Δ 0 = 0. Δ − +Δ + = −+−+ 2 kk )( 2 kk N (3) Lực ma sát được tính (theo hình 1c). Khi Δ tiếptuyến > Δ gh thì: aF ghms ⋅ Δ = (4) Khi Δ tiếptuyến < Δ gh thì: aF tieptuyenms ⋅ Δ = (5) Trong đó: N'ka ⋅= (6) với k’ là hệ số phụ thuộc vào ma sát giữa vỏ hầm và đất nền. 3. Phương trình cơ bản của PP PTHH cho kết cấu có liên kết dị hướng Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn cho kết cấu thông thường là hệ phương trình đại số tuyến tính được viết dưới dạng như sau: [ ] { } { } PK = Δ (7) trong đó: [ - ma trận độ cứng của kết cấu; ] K { } Δ - véc tơ chuyển vị của kết cấu; { - véc tơ tải trọng nút. } P Với kết cấu có liên kết dị hướng, véc tơ tải trọng nút ngoài các tải trọng tác dụng trên kết cấu còn có các phản lực của các liên kết dị hướng (ta coi các phản lực ứng với các liên kết dị hướng như là các ngoại lực). Tách véc tơ tải trọng thành hai véc tơ: 1) véc tơ tải trọng gồm các ngoại lực tại các nút như véc tơ {P} trong (7); và 2) véc phản lực liên kết dị hướng kí hiệu là {N}. Khi đó phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn cho kết cấu có liên kết dị hướng có dạng như sau: [ ] { } { } { } PNK = + Δ (8) trong đó các thành phần của véc tơ phản lực liên kết {N} được xác định theo (2) ÷ (6). CT 2 Cần chú ý rằng véc tơ phản lực liên kết {N} là hàm phi tuyến của các chuyển vị nút Δ, nên (8) là hệ phương trình phi tuyến. Để tìm được lời giải cho kết cấu có liên kết dị hướng, ta phải giải hệ phương trình phi tuyến. Đó chính là sự khác biệt giữa bài toán tính kết cấu dị hướng và kết cấu thông thường bằng phương pháp phần tử hữu hạn. 4. Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton Hệ phương trình (8) được viết dưới dạng khai triển như sau: f i = ∑ Δ j jij K + N i - P i = 0 (9) trong đó f i là hàm số của n biến Δ i . Khai triển Taylor với hàm một biến f(x) tại x = a có dạng: f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + !2 )a("f (x - a) 2 + (10) Giá trị hàm số tại x = a + Δx được tính: f(a + Δx) = f(a) + f'(a)Δx + !2 )a("f Δx 2 + (11) Nếu như Δx đủ nhỏ, ta có thể bỏ qua các vô cùng bé bậc cao kết hợp với điều kiện f(x) = 0, ta được: f(a + Δx) ≅ f(a) + f'(a)Δx = 0 (12) Nếu f là một hàm nhiều biến f = f(x) = f(x 1 ,x 2 , , x n ), tại x 0 = { } T 0 n 0 2 0 1 x, ,x,x công thức (12) trở thành: 0x x )x(f x x )x(f x x )x(f )x(f n n 0 2 2 0 1 1 0 0 =Δ ∂ ∂ ++Δ ∂ ∂ +Δ ∂ ∂ + (13) Kết hợp các phương trình (9) và (13) với chú ý rằng x 0 = Δ 0 ta thu được hệ phương trình sau: )(f )(f )(f)(f )(f )(f )(f)(f )(f )(f )(f)(f )(f )(f )(f)(f 0 nn n 0 n 2 2 0 n 1 1 0 n 0 3n n 0 3 2 2 0 3 1 1 0 3 0 2n n 0 2 2 2 0 2 1 1 0 2 0 1n n 0 1 2 2 0 1 1 1 0 1 Δ−=Δδ Δ∂ Δ∂ ++Δδ Δ∂ Δ∂ +Δδ Δ∂ Δ∂ Δ−=Δδ Δ∂ Δ∂ ++Δδ Δ∂ Δ∂ +Δδ Δ∂ Δ∂ Δ−=Δδ Δ∂ Δ∂ ++Δδ Δ∂ Δ∂ +Δδ Δ∂ Δ∂ Δ−=Δδ Δ∂ Δ∂ ++Δδ Δ∂ Δ∂ +Δδ Δ∂ Δ∂ (14) Do đó, ta có trình tự các bước giải lặp như sau. Bước 1. Cho véc tơ chuyển vị nút một giá trị ban đầu. có thể lấy Δ 0 ii Δ=Δ i = 0 TCT2 Bước 2. Tính giá trị các hàm số f i và các đạo hàm riêng phần của chúng, j 0 i )(f Δ∂ Δ∂ tại Δ 0 . Giải hệ phương trình (14) tìm được véc tơ số gia chuyển vị nút, δΔ i . Bước 3 . Tính lại véc tơ chuyển vị nút Δ i 1 = Δ i 0 + δΔ i . Bước 4. Kiểm tra điều kiện dừng chương trình. Sai số: ε = ∑ Δ )(f 1 2 i Kiểm tra sai số: Nếu ε ≤ ε thì dừng chương trình lấy nghiệm . Nếu ε > 1 ii Δ=Δ ε tiếp tục thực hiện lặp với . Nếu số lần lặp nhiều quá thì cho dừng chương trình, lúc này phép lặp không hội tụ. 1 i 0 i Δ=Δ 5. Ví dụ tính toán và đánh giá kết quả Tính vỏ hầm chịu lực như hình 1: P = 10000 kN. Vỏ hầm làm bằng vật liệu có E = 2.10 4 kN/cm 2 , đặc trưng hình học mặt cắt ngang một lát cắt vỏ hầm có chiều dài bằng 1 mét là J x = 1840000 cm 4 , F = 2680 cm 2 . Liên kết vỏ hầm và nền: theo phương pháp tuyến k + = 1000 kN/cm, k - = 100 kN/cm, theo phương tiếp tuyến λ gh = 1 cm, k’ = 0.3 cm -1 . Kết quả tính toán được thể hiện trong hình 2 và bảng 1. Bảng 1. So sánh kết quả với mô hình nền Winkler Áp lực pháp tuyến Lực ma sát Mô hình liên kết k + (kN/cm) k - (kN/cm) Δ gh (kN/cm) k ' (1/cm) Chuyển vị toàn phần (cm) Sai lệch so với Winkler Winkler 1000 1000 - - 1.0309711 - Một chiều 1000 0 - - 1.6228077 57.4 % Kiến nghị 1000 100 1 0.3 1.5150306 31.95 % CT 2 Biểu đồ lực dọc Biểu đồ lực cắt Biểu đồ mô men Biểu đồ chuyển vị Hình 2. Biểu đồ nội lực và chuyển vị của vỏ hầm tính theo mô hình có liên kết dị hướng Bảng 1 thể hiện kết quả tính vỏ hầm với 3 mô hình nền: a) mô hình nền Winkler truyền thống, b) mô hình liên kết một chiều, c) mô hình liên kết dị hướng. Nhìn chung với mô hình Winkler cho kết quả nhỏ nhất vì liên kết làm việc 2 chiều (trong ví dụ này một vùng rất lớn của vỏ hầm bị tách ra khỏi nền, mô tả của Winkler không đúng nữa). Mô hình liên kết một chiều mô tả được sự tách của vỏ hầm ra khỏi nền, cho kết quả lớn nhất. Mô hình kiến nghị xét thêm yếu tố neo và ma sát trên bề mặt vỏ hầm, cho kết quả trung gian. 6. Kết luận và kiến nghị Các tác giả đã xây dựng được cơ sở lý thuyết, thuật toán cũng như chương trình tự động hóa tính toán vỏ hầm có liên kết dị hướng bằng pháp phần tử hữu hạn. Phân tích so sánh cho thấy mức độ sai số khi không xét đến sự làm việc của liên kết dị hướng là đáng kể, do đó kiến nghị sử dụng mô hình liên kết dị hướng khi tính toán kết cấu vỏ hầm. Tài liệu tham khảo [1] I. M. Rabinovich: "Giáo trình Cơ học kết cấu", Gosstroiizđat Matxcơva, 1954. [2] Nguyễn Văn Hợi, Cao Chu Quang: "Tính công trình ngầm có xét đến liên kết tiếp xúc một chiều giữa kết cấu và môi trường đất đá theo phương pháp quy hoạch toàn phương", Tuyển tập công trình Hội nghị Khoa học Toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 7, Tập 1, NXB ĐHQG Hà Nội, 2004. [3] Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu: "Tính kết cấu có liên kết dị hướng", Tuyển tập công trình Hội nghị Khoa học Toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 8, Tập 1, NXB Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, 2006. [4] Lương Xuân Bính, Nguyễn Xuân Lựu, Đỗ Xuân Quý: “Tính kết cấu có liên kết dị hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn”, Tuyển tập Công trình Hội Nghị Cơ học Toàn quốc lần thứ 8, NXB KH Tự nhiên và CN, 2007 ♦ . vị Hình 2. Biểu đồ nội lực và chuyển vị của vỏ hầm tính theo mô hình có liên kết dị hướng Bảng 1 thể hiện kết quả tính vỏ hầm với 3 mô hình nền: a) mô hình nền Winkler truyền thống, b) mô hình. vỏ hầm và nền bằng hệ thống các liên kết dị hướng (hình 1a). Áp lực nền được mô tả là các liên kết vuông góc với vỏ hầm. Lực ma sát là các liên kết tiếp tuyến với vỏ. Áp lực của nền vào vỏ. mô hình liên kết một chiều, c) mô hình liên kết dị hướng. Nhìn chung với mô hình Winkler cho kết quả nhỏ nhất vì liên kết làm việc 2 chiều (trong ví dụ này một vùng rất lớn của vỏ hầm bị tách