Thiết kế bộ điều khiển phản hồi đầu ra cho cầu trục KS. trịnh lơng miên Bộ môn Điều khiển học Khoa Điện - Điện tử Trờng Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Bi báo đa ra mô hình toán của hệ cầu trục v kết quả thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái khi thêm thnh phần tích phân nhằm tự động hoá cầu trục đảm bảo triệt tiêu sai lệch tĩnh: vị trí xe v dao động tải. Summary: This paper puts forwards mathematical models of the bridge crane and results of the state feedback controller with an additional integrator to operate the bridge crane automatically, ensuring minimized position errors and swing of loads. I. Đặt vấn đề Cầu trục là thiết bị công nghiệp đợc ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực nh trong xây dựng, trong nhà máy hay tại các bến cảng, Những cầu trục này thờng điều khiển bằng tay. Khi mà kích thớc của cầu trục trở nên lớn hơn và yêu cầu vận chuyển nhanh hơn thì quá trình điều khiển chúng sẽ trở nên khó khăn nếu không đợc tự động hoá. Cầu trục di chuyển theo những quỹ đạo xác định. Nhng nó hoạt động dới những điều kiện hết sức khắc nghiệt và một hệ thống điều khiển kín là thích hợp nhất. CT 2 Cầu trục là hệ rất phức tạp. Trong suốt thời gian qua đã có khá nhiều các nghiên cứu [1-5] về cầu trục nhằm tìm ra phơng pháp vận hành nó một cách hiệu quả. Trong số các nghiên cứu đó thì phơng pháp điều khiển cầu trục dựa vào mô hình tuyến tính đã thu đợc một vài kết quả khả quan [6-7]. Tuy nhiên, vấn đề tồn tại là các bộ điều khiển đợc thiết kế cha triệt tiêu đợc sai lệch tĩnh. Do vậy, bằng cách đa thêm khâu tích phân vào bộ điều khiển phản hồi trạng thái sẽ đảm bảo sai lệch tĩnh của hệ thống đợc triệt tiêu hoàn toàn và chất lợng điều khiển đợc nâng cao. ii. Mô hình toán hệ cầu trục Mô hình cầu trục với hệ toạ độ đợc chọn nh mô tả trên hình 1. Trục Ox nằm ngang dọc theo thanh dầm, trục Oz thẳng đứng có chiều hớng lên trên. Xe goòng di chuyển trên thanh dầm với vị trí đợc xác định bởi x(t) là khoảng cách đo đợc từ gốc O đến điểm treo của cáp nâng tải trên xe. Coi tải nh một chất điểm có khối lợng m P , xe goòng có khối lợng m t . Tải trọng và xe goòng đợc nối với nhau bằng một cáp cứng có khối lợng không đáng kể và có chiều dài l, sự dài ra của dây cáp là không đáng kể. Trong khi nâng hạ tải hay di chuyển xe thì tải dao động trong mặt phẳng thẳng đứng với góc lệch (t). F x là lực chuyển động xe goòng theo hớng x và F l là lực nâng tải theo hớng l. CT 2 Thanh dầm Hình 1. Mô hình chuyển động cầu trục trong hệ toạ độ 2D Phơng trình chuyển động của hệ cầu trục thu đợc từ phơng trình Lagrange về cân bằng năng lợng [1], [5], [9]. Sau khi tính toán và biến đổi, ta thu đợc phơng trình động lực học mô tả hệ cầu trục nh sau [1]: =+ ++=+ ++=+++ singllx)(cos Fcosgmlmlmx)(sinm F)(sinlml)(cosm)(coslml)(sinmx)mm( lpppp xpppppt & & && && & && && && & && && && 2 2 2 2 (2.1) Theo (2.1) ta đã xây dựng đợc phơng trình mô tả chuyển động cầu trục tổng quát khi thực hiện chuyển động theo cả hai phơng x, l. Trong trờng hợp cố định cáp treo tải, l = hằng số, ta có , lúc này phơng trình chuyển động của hệ sẽ đợc viết lại nh sau [9] 0== ll &&& =++ =++ 0 2 singlcosx F)sincos.(lmx)mm( xppt && && &&& && (2.2) Mô hình tuyến tính dừng của hệ cầu trục thu đợc từ giả thiết góc lệch đủ nhỏ 1~cos,~sin =+ =++ xgl Flmx)mm( xppt && && && && (2.3) Hệ tuyến tính (2.3) có thể biểu diễn trong không gian trạng thái nh sau [5] xCy BuxAx = += & (2.4) với [] T xxx = & & ; x Fu = ; g lm mm m gm A t pt t p + = 000 1000 000 0010 ; m m B p t = 1 0 1 0 = 0100 0001 C (2.5) Thông số cầu trục đợc cho nh sau: - Khối lợng xe: mt = 2[kg] - Tải trọng ban đầu: mp = 0.2[kg] - Chiều dài cáp nâng tải: 1[m] - Khoảng cách di chuyển xe: 0.2-1[m] - Góc lắc dao động lớn nhất: = 10 O ~ 0.2 rad. Iii. Thiết kế bộ điều khiển Theo nguyên lý điều khiển phản hồi trạng thái [7], bộ điều khiển đợc chọn cho hệ (2.4) có dạng xKFu x = = (3.1) với [ ] = dpdxpx KKKKK ; K i là các hằng số CT 2 Ta thấy, luật điều khiển phản hồi trạng thái (3.1) dựa trên nguyên lý tỷ lệ nên sẽ tồn tại sai lệch tĩnh. Vì thực chất, luật (3.1) đợc tổng hợp theo mô hình tuyến tính tơng đối (2.4), (2.5). Do vậy để triệt tiêu sai lệch tĩnh, chúng ta sẽ thêm một khâu tích phân vào vòng phản hồi vị trí của xe goòng, tức là một biến x i đợc đa thêm vào hệ thống nh sau: a a a a a a xCy uBxAx = += & (3.2) với [] T ia xxxx = & & ; g lm mm m gm A t pt t p a + = 0000 10000 0000 00100 00010 ; m m B p t a = 1 0 1 0 0 = 01000 00010 a C (3.3) Luật điều khiển phản hồi trạng thái khi này có dạng: a ax xKFu = = (3.4) với [ ] = dpdxpxixa KKKKKK . Với bộ điều khiển (3.4) hệ kín mở rộng (3.3), (3.4) sẽ nh sau a aaaa a a a x)KBA(uBxAx = + = & (3.5) Nh vậy, nếu cho trớc các điểm cực của hệ kín mở rộng là i (i=1,5) thì các hệ số của bộ điều khiển phản hồi trạng thái K a sẽ đợc xác định từ việc so sánh nghiệm của det(sI (A a - B B a K a )) = 0 với i 0 1000 0010 0001 2345 =++ + + ++ + += + + + = lm gK s lm gK s lm KlK s lm KlKg)mm( s lm KlK s lm K s lm Kg)mm( lm K lm K lm K s m K m Kgm m K s m K m K s s det))KBA(sIdet( t ix t px t dxix t ppxpt t ddx t d t ppt t d t px t ix t d t pp t dx t px t ix aaa Từ đây, ta tính đợc các hệ số của bộ điều khiển phản hồi trạng thái nh sau: g/)lm(K tix 54321 = g/)](lm[K tpx 54325431542153214321 + + + + = g/)] (lmlK[K tixdx 543542532432 541531431521421321 ++++ ++++++= (3.6) CT 2 ) (lmg)mm(lKK tptpxp 54534352 423251413121 ++++ +++++++= )(lmlKK tdxd 54321 + + ++ = Dới đây là sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển cầu trục dựa trên nguyên lý phản hồi trạng thái. Bộ điều khiển phản hồi trạng thái này đợc đa thêm vào thành phần tích phân nhằm triệt tiêu sai lệch tĩnh vị trí. x a xd 0 x.ref f(u) g_2 f(u) g_1 f(u) f2 f(u) f1 0 a_ref 0 a.ref 1 s 1 s 1 s 1 s 1 s Kpa Kdx Kpx Kda Kix Hình 2. Bộ điều khiển phản hồi trạng thái hệ cầu trục Với thông số của cầu trục nh trên, từ (3.6) ta tính đợc các hệ số khuếch đại của bộ điều khiển phản hồi trạng thái nh sau: [Kix Kpx Kdx Kpa Kda] T = [0.0100 1.5003 2.3833 -3.0465 -4.6255] T Sơ đồ mô phỏng hệ thống điều khiển cầu trục đợc xây dựng trên Matlab/Simulink nh sau xd x a xd x x. a a. Fx PHTT u=Fx x x. a a. CraneXA CT 2 Hình 3. Sơ đồ mô phỏng hệ thống điều khiển cầu trục trên Matlab IV. Kết quả mô phỏng Trờng hợp 1: Khi xe di chuyển đến vị trí đặt 1.0m 0 10 20 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Thoi gian t (s) Vi tri cua xe (m) (a).Dap ung vi tri xe goong 0 10 20 30 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 Thoi gian t (s) Goc lac cua tai (rad) (b).Dao dong tai (1d~0,0174r) Vi tri dat Dap ung vi tri Goc lac dat Goc lac tai Hình 4. Đáp ứng vị trí xe (a) v dao động tải (b) khi x d =1m Ta thấy bộ điều khiển cho chất lợng tốt, xe di chuyển đến đúng đích trong thời gian chấp nhận đợc (~10s), độ quá điều chỉnh bé (< 10%); tải dao động với biên độ nhỏ (< 6 0 ). Trờng hợp 2: Cho xe di chuyển đến vị trí 0.4m rồi dừng, sau đó di chuyển tiếp đến vị trí 1m 0 10 20 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Thoi gian t (s) Vi tri cua xe (m) (a).Dap ung vi tri xe goong 0 10 20 30 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 Thoi gian t (s) Goc lac cua tai (rad) (b).Dao dong tai (1d~0,0174r) Vi tri dat Dap ung vi tri a d a r CT 2 Hình 5. Đáp ứng vị trí xe (a) v dao động tải (b) khi x d =0.4m; 1m Khi quỹ đạo thay đổi, hệ thống điều khiển vẫn bám đợc theo quỹ đạo đặt với chất lợng điều khiển tốt. Trờng hợp 3: Khi thay đổi khối lợng tải trọng mp 0 10 20 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Thoi gian t (s) Vi tri cua xe (m) (a).Dap ung vi tri xe goong 0 10 20 30 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 Thoi gian t (s) Goc lac cua tai (rad) (b).Dao dong tai (1d~0,0174r) x d mp=0.2 mp=0.5 mp=1.0 a d mp=0.2 mp=0.5 mp=1.0 Hình 6. Đáp ứng vị trí xe (a) v dao động tải (b) khi thay đổi mp Nh vậy, với bộ điều khiển phản hồi trạng thái chúng ta hoàn toàn có thể điều khiển cầu trục theo quỹ đạo mong muốn. Sự liên quan mật thiết giữa các thành phần trong hệ cầu trục đòi hỏi chúng ta phải lựa chọn các điểm cực hợp lý để từ đó tính đợc các thông số bộ điều khiển thích hợp nhằm đảm bảo chất lợng điều khiển hệ thống nh mong muốn. Khi điểm cực đợc chọn quá nhỏ (< 0.5) thời gian qua độ sẽ rất lâu; khi điểm cực chọn quá lớn ( > 10) độ quá điều chỉnh vợt ra ngoài vùng cho phép. Điểm cực hợp lý đợc chọn trong miền từ 1.0 đến 5.0. Để tăng độ tác động nhanh ta chọn điểm cực nằm xa trục ảo và độ quá điều chỉnh càng lớn khi điểm cực nằm càng xa trục thực. CT 2 V. Kết luận Nghiên cứu điều khiển cầu trục là một hớng ứng dụng rất thiết thực vì sự đa dạng và tính kinh tế của nó. Bài báo đã đa ra một phơng pháp tổng hợp bộ điều khiển đơn giản nhng lại cho chất lợng điều khiển rất tốt, đó là phơng pháp tổng hợp dựa trên nguyên lý phản hồi trạng thái. Các kết quả mô phỏng cho thấy bộ điều khiển hoàn toàn đáp ứng đợc yêu cầu về điều khiển và thực tế vận hành cầu trục. Tuy nhiên cần phải nghiên cứu thêm để điều khiển cầu trục trong môi trờng có nhiễu. Tài liệu tham khảo [1]. Mazin Z. Othman, A New Approach for Controlling Overhead Traveling Crane Using Rough Controller, International journel of intelligent technology volume 1 number 3 2006 ISSN 1305-6417 [2]. Hahn Park, Dongkyoung Chwa, and Keum-Shik Hong: A Feedback Linearization Control of Container Cranes: Varying Rope Length, International Journal of Control, Automation, and Systems, vol. 5, no. 4, pp. 379-387, August 2007 [3]. Z.N. Masoud, A.H. Nayfeh, and N.A. Nayfeh, Sway reduction on quayside container cranes using delayed feedback controller: simulations and experiments, Journal of Vibration and Control 11, 1103-1122 (2005) [4]. R.J. Henry, Cargo pendulation reduction on ship-mounted cranes, Masters Thesis Virginia Polytechnic Institute and State University 1999 [5]. Lasse Eriksson, Modeling, simulation and control of laboratory-scale trolley crane system, Hamburg University of Technology, 1999 [6]. Yong-Seok Kim, Keum-Shik Hong, and Seung-Ki Sul, Anti-Sway Control of Container Cranes: Inclinometer, Observer, and State, International Journal of Control, Automation, and Systems, vol. 2, no. 4, pp. 435-449, December 2004 [7]. Y. Hakamada i M. Nomura, Anti-Sway and Position Control of Crane System, Proceedings of AMC 2, 657-662, 1996 [8]. Nguyn Doãn Phc, Lý thuyết điều khiển tuyến tính, Nhà xut bn Khoa học và K thut, 2005 [9]. Trịnh Lơng Miên, ứng dụng logic mờ điều khiển hệ cầu trục, Luận văn thạc sĩ kỹ thuật, 2007Ă CT 2 . Thiết kế bộ điều khiển phản hồi đầu ra cho cầu trục KS. trịnh lơng miên Bộ môn Điều khiển học Khoa Điện - Điện tử Trờng Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Bi báo đa ra mô hình. Góc lắc dao động lớn nhất: = 10 O ~ 0.2 rad. Iii. Thiết kế bộ điều khiển Theo nguyên lý điều khiển phản hồi trạng thái [7], bộ điều khiển đợc chọn cho hệ (2.4) có dạng xKFu x = = (3.1). x a xd 0 x.ref f(u) g_2 f(u) g_1 f(u) f2 f(u) f1 0 a_ref 0 a.ref 1 s 1 s 1 s 1 s 1 s Kpa Kdx Kpx Kda Kix Hình 2. Bộ điều khiển phản hồi trạng thái hệ cầu trục Với thông số của cầu trục nh trên, từ (3.6) ta tính đợc các hệ số khuếch đại của bộ điều khiển phản hồi trạng thái nh sau: