( ) () 1 22 21 111 sin . sin /cos xt g i vv ii KB v x i v ρ − == = − l l Do đó ĉ (2.6) Mặt Σ’ chính là mặt tiếp xúc với mọi mặt sóng cầu thứ cấp Σ M vì nó không phụ thuộc vào M. Chúng ta đi đến kết luận : Sóng khúc xạ cũng là sóng phẳng và tia khúc xạ tạo với pháp tuyến của mặt ngăn cách một góc thỏa mãn công thức (2.6). Theo cách vẽ này, ta thấy rằng tỷ số chiết suất tuyệt đối của hai môi trường bằng nghịch đảo của tỷ số vận tốc ánh sáng trong hai môi trường ấy. Kết luận này được thí nghiệm của Fucô (Foucault) xác nhận, để quyế t định sự thắng thế của thuyết sóng ánh sáng, hồi giữa thế kỷ 19. SS.3. ĐỚI FRESNEL. Để giải thích một số hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng, để thay thế cho pháp tính tích phân phức tạp ở trên (2.4), Fresnel dùng một phương pháp tuy không hoàn toàn chặt chẽ về mặt toán học nhưng đơn giản và trực quan, gọi là phương pháp đới Fresnel. 1. Cách chia đới và diện tích các đới. Có một nguồn đi ểm S phát ánh sáng đơn sắc bước sóng (, đặt trong môi trường đồng tính và đẳng hướng. Chúng ta cần khảo sát trạng thái chấn động tại P. Để đơn giản ta chọn mặt kín ( Σ) là mặt cầu tâm S bán kính là a, đó chính là mặt sóng - mặt giao động đồng pha. Đường nối SP cắt ( Σ ) tại Mo, các khoảng cách SMo = a và MoP = b (H.8). Nhận xét rằng, cách bố trí của chúng ta có tính đối xứng qua đường thẳng SP, Fresnel không chọn các diện tích vi cấp d( vô cùng bé, mà chia mặt kín (Σ) thành những diệ n tích nhỏ, hữu hạn (S như sau : Chọn các điểm M1 trên (Σ) sao cho khoảng cách M 1 P = M o P + λ/2 = b + λ/2 Chọn các điểm M2 trên (Σ) sao cho khoảng cách M 2 P = M 1 P + λ/2 = b + 2 λ/2 Chọn các điểm Mk trên (Σ) sao cho khoảng cách M k P = M k-1 P + λ/2 = b + k λ/2 Để dễ hình dung, chúng ta tưởng tượng rằng có những hình cầu tâm P bán kính PMk chia mặt (Σ) thành những đới cầu, những đới cầu đầu tiên có thể xem như những hình vành khăn đồng tâm, tâm là M o . b+k λ /2 P S M k a a b M o M 1 M 2 θ Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chúng ta sẽ tính bán kính các đới cầu ấy và chứng minh rằng có diện tích bằng nhau. Gọi (k là bán kính trong MoMk của đới cầu thứ k : độ dài HkMo = xk. Vòng tròn ở giữa đánh số 0, đới có bề rộng M1M2 là đới số 1. Trong hai tam giác vuông HkSMk và HkPMk, ta có : 22222 kkkkkk PHPMSHSMMH −=−= ()( ) ( ) 222 2 2/ kk xbkbxaa +−+=−−= λ Khai triển 2 vế của phương trình và bỏ qua (2 bên cạnh (, ta được : 2ax k = kbλ - 2bx k () 2 . λ ba kb x k + = Coi đới cầu là phẳng ta có gần đúng ρ k = M o M k ≈ H k M k Do đó :ĉ (3.1) Bán kính các đới tỷ lệ với căn bậc hai của những số nguyên liên tiếp. Các đới Fresnel sắp xếp tương tự như các vân tròn Niutơn (Newton). Diện tích của chõm cầu có chiều cao xk là Sk = 2( axk, của chõm cầu có chiều cao xk+1 là Sk+1 = 2( axk+1. Diện tích của đới Fresnel thứ k là : ∆S k = S k+1 – S k = 2πa (x k+1 - x k ) = 2πa () 2 . λ ba b + ∆S k = ab ab λ π (3.2) Vậy diện tích (S của tất cả các đới Fresnel kế tiếp thì đều bằng nhau. 2. Chấn động gây ra do toàn bộ mặt sóng. Xét từ đới Fresnel này tới đới kế tiếp, vì diện tích của các đới Fresnel đều bằng ∆S, nên sự khác nhau về biên độ của chấn động thứ cấp gây ra tại P do mỗi đới là do thừa số xiên k. Về pha chúng ta phân tích như sau : Vì ( Σ ) là mặt sóng, nên tại đây các chấn động th ứ cấp đều cùng pha. Khi đến P, vì khoảng cách từ 2 đới liên tiếp thứ k và (k + 1) đến điểm quan sát khác nhau nửa bước sóng λ/2 cho nên các chấn động thứ cấp tương ứng có pha ngược nhau. Chú ý đến thừa số xiên k (θ,θ’) ta thấy số thứ tự k của đới càng cao thì θ’ k càng lớn (θ k = 0) nghĩa là k (θ,θ’) giảm dần khi k tăng. Tóm lại do phương pháp chia đới của Fresnel, các chấn động thứ cấp đến P có ly độ tuần tự âm và dương và giảm dần về trị số tuyệt đối. Gọi a là biên độ của chấn động tổng hợp tại P, k ab k ab ρ = + Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m a0, a1, a2, …… ak là biên độ gửi từ các đới tới p. Ta có : a = a 0 – a 1 + a 2 – a 3 …… +-a k …… +-a m Với a 0 > a 1 > a 2 > ………. > a k ak giảm chậm và đều nên ta có thể coi 2 11 −+ + = kk k aa a Ta có thể viết biểu thức của a dưới dạng 2 22222 4 3 22 1 00 m a a a aa a aa a ±± ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+= Các tổng trong dấu ngoặc triệt tiêu nên 22 0 m aa a ±= Dấu + nếu m chẵn - nếu m lẻ Khi xét tồn bộ mặt sóng Σ thì am ≈ 0. Vậy 2 0 a a = Về cường độ sáng, ta có: I = I o /4 Vậy cường độ sáng ở P gây ra bởi tồn mặt cầu Σ chỉ bằng 1/4 cường độ sáng gây ra bởi đới Fresnel số 0. 3. Cách tử đới. Phương pháp đới Fresnel được kiểm chứng rực rỡ với thí nghiệm cách tử đới. Phân tích ở trên cho thấy chấn động nhiễu xạ từ các đới số lẻ là ngược pha với chấn động nhiễu xạ từ các đới số chẵn, thành th ử chúng gần như triệt tiêu lẫn nhau. Nếu có một màn chắn đặc biệt chỉ trong suốt ở những đới cùng chẵn (hoặc cùng lẻ) thì cường độ sáng ở điểm quan sát sẽ tăng gấp bội so với khi khơng có màn chắn. Cách tử đới là một dụng cụ như vậy. Trên một bản trong suốt (ví dụ như thủy tinh) người ta tiến hành chia các đới Fresnel tâm O (H.9) nghĩa là vẽ các vòng tròn tâm O, bán kính (k theo (3.1). Sau đó bơi đen các đới số lẽ 1, 3, 5 ……. (hoặc các đới chẵn), ta có được cách tử đới. Đặt cách tử đới ở vị trí Mo, cách nguồn sáng S một khoảng a, còn điểm quan sát P cách Mo một khoảng b. Khi đó ở P rất sáng. Từ cơng thức (3.1) k ab k ab λ ρ = + ta thấy số đới Fresnel k phụ thuộc vào bán kính ρ k của màn chắn như sau : . O H .9 H .10 S a b ’ b P ’ P M o Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m 2 11 k k ab ρ λ ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ (3.5) Như vậy cho biết bán kính của màn chắn chúng ta có thể tính được số đới tương ứng. Mặt khác, còn thấy rằng số đới k còn phụ thuộc vào khoảng cách b đến điểm quan sát. Trên quang trục sẽ tìm thấy một điểm P’ cách Mo một đoạn b’ sao cho ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ba b a 11 3 11 ' Khi đó, đới Fresnel số 0 trên cách tử đới ứng với điểm P sẽ chứa 3 đới : 0, 1, 2 ứng với điểm P’. Còn đới thứ 1 đối với P sẽ chứa 3 đới 3, 4, 5 đối với P’ (3 đới này bị bôi đen). Như vậy P’ cũng là 1 điểm sáng. Trên quang trục còn có những điểm P’’, P’’’, mà mỗi đới trên cách tử ứng với 5, 7 đới Fresnel. Đó cũng là các điểm sáng. Ta thấy rằ ng cách tử đới tác dụng như một thấu kính hội tụ nhiều tiêu điểm. Người ta còn chế tạo được cách tử đới, trong đó phần không trong suốt, được thay bằng những hình vành khăn làm bằng chất trong suốt mới có độ dày thích hợp, để ánh sáng đi qua đây có quang lộ tăng thêmĠ so với khi đi qua đới này nếu làm bằng chất trong suốt dùng làm cách tử. Như thế, chấn động g ửi từ các đới lẽ và từ các đới chẵn đều cùng pha và độ rọi ở P tăng gấp 4 lần so với cách tử đới thường. Cách tử đới chế tạo theo nguyên tắc trên gọi là cách tử đới pha (dựa trên nguyên tắc làm thay đổi pha của các chấn động). 4. Phương pháp đồ thị. Ở trên, ta đã thấy khi khảo sát hiện tượng nhiễu xạ, ta phải tổng hợp một số vô hạn chấ n động, có pha tăng dần một cách liên tục. Ta có thể dùng cách tính của Fresnel. Ta chia mỗi đới câu Fresnel thành đới vi cấp có cùng diện tíchĠ. Với mỗi đới vi cấp này, ta có thể coi chấn động phát đi từ mỗi điểm thì đồng pha với nhau (khi tới P) và đồng pha với chấn động tổng hợp tại P gây ra bởi toàn đới vi cấp. Ta biểu diễn chấn động ds gây ra bởi mỗi đới vi cấp bằng các véctơ có cùng độ dài, tỷ lệ với biên độ da của dao động ds, và hợp với nhau một góc bằng hiệu số pha d( giữa hai chấn động ứng với hai đới vi cấp liên tiếp. Các véctơ trên hợp thành một nửa đa giác có cạnh là da, góc hợp bởi hai cạnh liên tiếp là d(. Từ mép này sang mép kia của một đới Fresnel pha thay đổi là π, vậy dφ = π/n. Ta xét đới Fresnel số 0, ta được nửa đa giác đều thứ nh ất (hình 11), cho n -> ∞, nửa đa giác trên biến thành nửa vòng tròn OA. Độ dài đường kính OA biểu diễn biên độ chấn động tại P gây ra bởi đới Fresnel số 0. Với đới Fresnel số 1, ta được nửa vòng tròn AB (hình 12). Điểm B không trùng với 0, là do ảnh hưởng của thừa số xiên k (θ, θ’) làm cho biên độ chấn động ứng với các đới giảm tuần tự khi số thứ tự đới tăng. Cuối cùng đi hế t mặt ( Σ ) đồ thị tổng hợp biên độ có hình xoắn ốc với điểm tiệm cận là tâm I, trung điểm của đường kính OA. ∆ϕ=π/n o A H.11 Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Nhờ đồ thị trên chúng ta xác định nhanh chóng biên độ ánh sáng nhiễu xạ tại P. Nếu giữa nguồn sáng S và P không có màn chắn, mặt ( Σ ) được mở hoàn toàn, biên độ sáng tại P là OI. Nếu có màn chắn chỉ chừa đới Fresnel đầu tiên, biên độ sáng là OA = 2OI và cường độ sáng gấp 4 lần khi không có màn chắn, đúng như kết quả trước đây (3.4). Nếu màn chắn chừa 2 đới Fresnel đầu tiên, biên độ OB ≈O, ở P tối. Nếu màn chắn ch ứa số đới Fresnel không nguyên, ví dụ đới số 0 và nửa đới số 1 thì biên độ của chấn động tổng hợp là OJ, J là điểm giữa trên cung AB. Bằng cách tổng hợp biên độ bằng đồ thị như trên, ta còn có thể giải các bài toán nhiễu xạ với các màn chắn có cấu tạo đặc biệt. Trên đây chúng ta dùng nguồn sáng điểm và xét nhiễu xạ của sóng cầu. Nếu chiếu chùm tia sáng song song đến màn chắn, ta có nhiễ u xạ của sóng phẳng. Trong trường hợp này các công thức (3.1), (3.2) và (3.5) vẫn còn dùng nếu cho bán kính a của mặt sóng tiến đến giá trị SS.4. NHIỄU XẠ FRESNEL. Khi màn quan sát đặt cách vật cản một khoảng giới nội (b), ta có nhiễu xạ Fresnel. Chúng ta sẽ áp dụng cách chia đới của Fresnel để xác định hình ảnh nhiễu xạ trong các trường hợp sau : 1. Nhiễu xạ qua một lỗ tròn. Trên hình 13, E là một màn chắn có khoét lỗ tròn tâm Mo bán kính (. S là nguồn sáng điểm đơn sắc được đặt trên trục của lỗ tròn. Màn quan sát M được đặt song song với màn chắn E. P là giao điểm của trục SMo và màn M. Hiện tượng thí nghiệm trên hình 13 có tính đối xứng quanh trục SP. Từ đó suy ra rằng hình nhiễu xạ trên màn M có tính đối xứng quanh tâm P. * Cường độ sáng tại P : Để xác định trạng thái sáng tại P, ta tiến hành chia đới Fresnel cho mặt cầu (tâm S, bán kính SMo = a). Tại P sáng hay tối tuỳ theo số đớ i Fresnel chứa trong lỗ là lẻ hay chẵn. Số đới được tính theo công thức (3.5). Trường hợp số đới không E S ∑ P Q A B (M) H.13 Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . các đới chẵn đều cùng pha và độ rọi ở P tăng gấp 4 lần so với cách tử đới thường. Cách tử đới chế tạo theo nguyên tắc trên gọi là cách tử đới pha (dựa trên nguyên tắc làm thay đổi pha của các. kính các đới tỷ lệ với căn bậc hai của những số nguyên liên tiếp. Các đới Fresnel sắp xếp tương tự như các vân tròn Niutơn (Newton). Diện tích của chõm cầu có chiều cao xk là Sk = 2( axk, của. nhau. 2. Chấn động gây ra do toàn bộ mặt sóng. Xét từ đới Fresnel này tới đới kế tiếp, vì diện tích của các đới Fresnel đều bằng ∆S, nên sự khác nhau về biên độ của chấn động thứ cấp gây