Phơng pháp mới tính kết cấu có liên kết dị hớng GS. Vũ Đình lai PGS. TS. Nguyễn Xuân Lựu Bộ môn Sức bền vật liệu Khoa Công trình - Trờng Đại học GTVT Tóm tắt: Việc giải bi toán kết cấu có liên kết dị hớng nói chung, một chiều nói riêng l một trong những vấn đề đợc quan tâm trong Cơ học vật rắn biến dạng. Trong công trình ny, tác giả trình bầy một phơng pháp tính bằng cách xây dựng một đặc trng biến dạng của liên kết dị hớng thích hợp để đa vo phép tính lặp tuyến tính. Một số thí dụ minh họa cho thấy phơng pháp có hiệu quả v có thể đạt đợc độ chính xác mong muốn. Summary: The analysis of the structures having unidirectionnal bearings in particular and anisotropic bearings in general is an interesting issue in Deformable Bodies Mechanics. In this paper, an efficace repetition linear method of calculus based on a compact function of deformation characteristic of the anisotropic bearings is introduced. i. vi nét về liên kết đn hồi tuyến tính dị hớng Kết cấu có liên kết đàn hồi dị hớng (không đối xứng) gặp rất nhiều trong kỹ thuật. Nếu là liên kết ngoài, ta có thể kể một số thí dụ: liên kết giữa vỏ hầm, vỏ cống ngầm với môi trờng chỉ chịu nén, không chịu kéo (mô hình và đặc trng đàn hồi của loại liên kết này đợc vẽ trên hình 1,a) ; các liên kết dây mềm chỉ chịu kéo, không chịu nén (Hình 1,b); hệ nhíp hoặc lò xo 2 cấp đàn hồi (Hình 1,c). Nếu là liên kết trong, ta cũng có thể có những mô hình tơng tự (Hình 1,d). N a ) N b ) c ) N d ) N Hình 1. Trong công trình nghiên cứu này, chúng tôi chỉ nhằm giải quyết trờng hợp phổ biến là liên kết đàn hồi tuyến tính dị hớng (LKDHTTDH), mà đặc trng đàn hồi của nó đợc vẽ ở hình 2,a, trong đó có trờng hợp đặc biệt thờng đợc gọi là liên kết đàn hồi tuyến tính 1 chiều (LKDHTT1C) thờng gặp trong ngành công trình (Hình 2,b). Một hệ có liên kết 1 chiều (đờng ray, tà vẹt, bản trên nền đàn hồi, vỏ hầm, vỏ cống ngầm, v.v ) bao giờ cũng là một hệ siêu tĩnh. Bài toán tính kết cấu có LKĐHTT1C đơng nhiên là bài toán phi tuyến. Việc giải bài toán thực chất là tìm xem khi có tải trọng, trong số các liên kết cấu tạo, có những liên kết nào làm việc. Hiện nay cha có lời giải giải tích để xác định tổ hợp các liên kết làm việc, nên phơng hớng chung là thử dần. I. M. Rabinôvich cho biết nếu hệ có 10 bậc siêu tĩnh thì đã có 2 10 = 1024 phơng án để thử [1]. Trong [2], các tác giả đã sử dụng phơng pháp biến phân và giải bằng phơng pháp quy hoạch toàn phơng. Khi giải bài toán có LKĐHTT1C, ta phải định ra những hệ coi là làm việc để tìm xem hệ nào có các liên kết thỏa mãn tiêu chí lm việc, tức là hệ mà những liên kết làm việc thỏa mãn những phơng trình cân bằng và chuyển vị. Vì vậy, có thể nói việc phơng pháp giải bài toán có LKĐHTT1C hay rộng hơn là LKĐHTTDH là phơng pháp tìm ra hệ làm việc bằng một cách tính dần đúng đơn giản nhất, có hệ thống và hiệu quả, đặc biệt trong điều kiện có sự hỗ trợ của máy tính thì việc thử dần một cách tự động rất có ý nghĩa. N a ) b ) N Hình 2. Trong phơng pháp trình bầy ở đây, chúng tôi dùng phơng pháp tính lặp. Việc tính nhằm thu hẹp dần khoảng cách giữa hai cận trên và dới của các các lời giải tuyến tính, do đó phơng pháp có tên gọi là phơng pháp tuyến tính. Vì các phơng án tính lặp đều là những bài toán tuyến tính, nên nếu tồn tại nghiệm thì tự nó đã bảo đảm tính ổn định hình học của phơng án làm việc tìm đợc. ii. mô hình toán của lkđhttdh Giả thử có LKĐHTTDH mà đặc trng đàn hồi vẽ trên hình 3. Những hệ số k và k' là thể hiện độ cứng của 2 nhánh. Ta xác định 2 đại lợng trung gian a và b để cho: a + b = k, a - b = k'. Từ đó ta có: a = 2 'kk + , b = 2 'kk . (1) Bằng a và b ta lập đợc quan hệ toán học của LKĐHTTDH: N = a + b|| , hay N = 2 'kk + + 2 'kk || . (2) Thật vậy, khi > 0, || = , dẫn đến N = k, khi < 0, || = - , dẫn đến N = k' . Đặt là tỉ số giữa 2 độ cứng: = k 'k , (3) quan hệ trên viết thành: N = (1 + ) 2 k + ( 1 - ) 2 k ||. (4) Trờng hợp LKĐHTT1C (hình 4), = 0, khi đó: N = 2 k + 2 k ||. (5) N k 1 N k 1 k 1 Hình 3. Hình 4. III. Phơng pháp nghiệm tuyến tính Việc biểu diễn đợc hàm N = N () dới dạng một tổng gồm một thành phần tuyến tính và một thành phần phi tuyến cho phép đa việc giải bài toán phi tuyến về việc giải lặp bài toán tuyến tính. Ta biết trong bài toán giải hệ có đờng hay mặt trung bình (thanh, tấm, vỏ), phơng trình (cân bằng) cơ bản của bài toán có dạng tổng quát: L 1 (D,v) + L 2 (r) + L 3 (q) = 0 , (6) trong đó: L 1 : toán tử tuyến tính biến dạng, D: độ cứng kết cấu, L 2 : toán tử liên kết, L 3 : toán tử tải trọng. áp dụng trờng hợp (5) cho (6), ta đợc: L 1 (D,v) + 2 k L 2 (v) + 2 k L 2 (|v|) + L 3 (q) = 0, hay L 1 (D,v) + 2 k L 2 (v) = L 3 (q) - 2 k L 2 (|v|) . (7) Gọi số hạng thứ 2 của vế phải - 2 k L 2 (|v|) coi nh tải trọng bù, mà ta cho bằng không trong lần tính thứ nhất, sau đó trong các lần tính sau, v lấy giá trị của lần tính trớc đó, bài toán đa về quá trình giải lặp bài toán tuyến tính với tải trọng đợc biểu thị bằng tổng ở vế phải. Vì lần giải thứ nhất độ cứng của liên kết chỉ bằng một nửa (k/2), đến lần giải thứ 2 đa thêm tải trọng bù tính theo |v| của lần thứ nhất, nên kết quả tính trong 2 lần đầu là cận trên lớn nhất và cận dới bé nhất của nghiệm. Việc giải lặp thu dần khoảng cách của hai cận. Trong trờng hợp tất cả các liên kết đều làm việc một chiều dơng (một dấu), v = |v|, tải trọng bù sẽ không thay đổi, do đó các lần tính lặp đều cho các giá trị nh nhau. Đây là một tiêu chí của trờng hợp tất cả các liên kết đều làm việc một chiều. Quan hệ toán học của LKDHTTDH biểu thị dới dạng (4) hoặc (6) thích hợp với các phơng pháp độ cứng thí dụ phơng pháp thông số ban đầu, phơng pháp chuyển vị, phơng pháp phần tử hữu hạn. Thí dụ để xây dựng phơng trình tính lặp dầm trên nền đàn hồi Winkler một chiều, ta sử dụng phơng trình cân bằng của dầm: EJ 4 4 dz vd + r + q = 0 áp dụng (5), ta đợc phơng trình tính lặp của bài toán 4 4 dz vd + 4m 4 v = - EJ q - 4m 4 |v| (8) trong đó: m = 4 EJ8 k Nói chung trong những bài toán có liên kết là hàm liên tục đợc giải lặp, hàm tải trọng bù ở vế phải không đơn giản, do đó việc giải có nhiều khó khăn. Để giải quyết những bài toán trong thực tế, ngời ta thờng áp dụng hệ có liên kết rời rạc, hoặc đợc rời rạc hóa. Thí dụ 1. Để minh họa phơng pháp, ta tính một dầm cứng có 5 gối tựa đàn hồi tuyến tính không đối xứng (hình 5). Tọa độ các điểm đặt lực P quy định theo hình vẽ. o x p =xa P 1 2 3 45 a a a a a 0,58 ì4a Hình 5. Dới đây là 2 phơng trình cân bằng hình chiếu và mô men đối với điểm O của hệ, cùng với những quan hệ giữa các chuyển vị v 2 , v 3 , v 4 theo 2 chuyển vị ẩn v 1 , v 5 : N 1 + N 2 + N 3 + N 4 + N 5 = P, aN 1 + 2aN 2 + 3aN 3 + 4aN 4 + 5aN 5 = xaP, v 2 = 4 3 v 1 + 4 1 v 5 , v 3 = 4 2 v 1 + 4 2 v 5 , v 4 = 4 1 v 1 + 4 3 v 5 . áp dụng quan hệ đàn hồi tuyến tính không đối xứng, đối với các lực liên kết: N i = (1 + ) 2 k v i + (1 - ) 2 k |v i |, từ 2 phơng trình cân bằng ta rút ra v 1 + v 5 = )1(10 1 + [ 8 k P - (1 - )CVB1] , v 1 + 2v 5 = )1(20 1 + [ 8 x k P - (1 - )CVB2 ] , trong đó: k P biểu thị độ lớn tải trọng. CVB1 = 4|v 1 | + |3v 1 + v 5 | + 2|v 1 + v 5 | + |v 1 + 3v 5 | + 4|v 5 |, CVB2 = 4|v 1 | + 2|3v 1 + v 5 | + 3|2v 1 + 2v 5 | + 4|v 1 + 3v 5 | + 20|v 5 |, x: tọa độ tỉ đối của lực P tính từ gốc 0: x = x P /a. Dới đây là một số kết quả tính theo và x, với P/k = 100. Bảng 1. x v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 Điểm gặp 1 0,8 0,6 0,4 0,2 1 1 1 1 1 60 60,916 62,189 64,212 68,306 40 39,961 39,801 39,384 38,251 20 19,006 17,413 14,555 8,197 0 -1,948 -4,975 -10,274 -21,858 -20 -22,904 -27,363 -35,103 -51,913 0,75 0,73 0,69 0,65 0,57 Bảng 2. x v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 Điểm gặp 0 0 0 0 0 0 0 1 1,5 2 3 4 4,5 5 100 58,333 40 20 0 -41,667 -299,999 0 33,333 30 20 10 -16,667 -199,999 -100 8,333 20 20 20 8,333 -99.999 -199,999 -16,667 10 20 30 33,333 0 -299,999 -41,667 0 20 40 58,333 100 0,25 0,58 1 0,5 0 0,42 0,75 Bảng 3. x v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 Điểm gặp 0,6 0 0 0 84,577 130,159 133,334 133.333 49,129 0,781 -263,795 -1597,128 13,682 -128,596 -660,924 -3327,589 -21,766 -257,974 -1058,053 -5058,051 -57,214 -387,351 -1455,183 -6788,512 0,6 0,25 0,08 0,02 Trên hình 5 vẽ chuyển vị của thanh khi có liên kết 1 chiều ( = 0) tơng ứng với x = 1,5 (dòng 2, bảng 2). Nhận xét về những kết quả thu đợc trong thí dụ 1: 1. Các kết quả thu đợc ở các bảng 1,2,3 đều thỏa mãn tiêu chí của liên kết dị hớng khi kiểm tra sự cân bằng của các phản lực liên kết. Thí dụ đối với trờng hợp ở dòng thứ 3 bảng 1, ta thấy các điều kiện cân bằng đợc thỏa mãn: 62,189 + 39,801 + 17,413 - 0,6(4,975 + 27,363) - 100 = 0,000, 1.39,801 + 2.17,413 - 0,6(3.4,975 + 4.27,363) = 0,000. 2. Bảng 3 là 2 trờng hợp lực đặt ngoài nhịp thanh (x = 0). Nếu liên kết theo 2 chiều đều khác không ( = 0,6) thì thanh có chuyển vị hữu hạn. Nếu liên kết chỉ có 1 chiều ( = 0), thanh mất ổn định hình học. Trong tính lặp, chuyển vị ở các liên kết tăng không ngừng, nghiệm coi nh không xác định. Số liệu ghi ở bảng là số liệu sau 20, 100 và 500 lần lặp. Thí dụ 2. Một dầm mềm có độ cứng EJ tựa trên 10 gối tựa đàn hồi tuyến tính độ cứng 1 chiều k ( = 0). Dầm có tải trọng R rải đều trên toàn chiều dài (l = 9a). Lực P có thể đặt tại gối hoặc giữa các nhịp. Sử dụng phơng pháp thông số ban đầu, ta thiết lập đợc 11 phơng trình để tính chuyển vị ở 10 gối và góc quay ở gối 1. Những phơng trình viết dới đây gồm có: từ 1 đến 2 rút ra từ những phơng trình cân bằng sau khi thay N i = 0,5kv i + 0,5k|v i |, những phơng trình còn lại (từ 3 đến 11) là những điều kiện ở gối (từ gối 2 đến gối 10). 1. v 1 + v 2 + + v 10 = k Q k P + - |v 1 |+|v 2 |+ +|v 10 | , 2. 9v 1 + 8v 2 + + v 9 = 2(LP) k P +9 k Q - 9|v 1 |-8|v 2 | -|v 9 |, 3. (1 - 4m)v 1 - v 2 + a = -4m k P (L2P) 3 - 4m k Q 1 4 + 4m|v 1 | , 4. 11. [1 - 4(n - 1) 3 m]v 1 - 4(n - 1)mv 2 - 4mv n-1 - v n + +(n - 1)a = -4m k P (LnP) 3 - 4m k Q (n - 1) 4 + 4(n - 1) 3 m|v 1 | + 4(n - 2) 3 m|v 2 | + + 4m|v n-1 | , (n = 3, 4, 10) trong đó: m = EJ48 ka 3 : tỉ số giữa độ cứng liên kết và độ cứng dầm giản đơn có nhịp bằng a, P/k: đặc trng tải trọng tập trung (số đo chuyển vị của 1 gối khi chịu lực P). (LP): khoảng cách không thứ nguyên từ gối 10 đến tải trọng P, (LiP): khoảng cách không thứ nguyên từ gối i đến P (chỉ tính những gối bên phải của P), Q: tải trọng đợc rải đều. Các kết quả tính ghi ở những bảng dới đây. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a a aa a a a a a P LP Q Hình 6. Bảng 4 tơng ứng với trờng hợp đặt tải trên hình 6. Bảng 4. P/k Y Q v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v P v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 200 200 10 5 0,2P 0,2P 3 2 5 5 -75 -19 -198 -59 113 113 448 283 113 113 -198 -59 -75 -19 5 5 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a a aa a a a a a P Q Hình 7. Bảng 5 tơng ứng với trờng đặt tải trên hình 7. Bảng 5. P/k Y Q v 1, P v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 200 10 0,05P 199 5 -24 0 2 1 1 1 2 1 1 2 3 4 5 6 7 89 10 a a a a a a a a a P Q Hình 8. Bảng 6 tơng ứng với trờng hợp đặt tải trên hình 8. Bảng 6. v P/k Y Q v v v v v v v v v v P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 200 10 0,05P -2136 -1059 96 520 112 -505 -518 -301 -93 1 1 Tài liệu tham khảo [1]. I.M. Rabinôvich. Giáo trình Cơ học kết cấu. Gosstroiizđat. Matxcơva, 1954 (Bản tiếng Nga). [2]. Nguyễn Văn Hợi, Cao Chu Quang. Tính công trình ngầm có xét đến liên kết tiếp xúc một chiều giữa kết cấu và môi trờng đất đá theo phơng pháp quy hoạch toàn phơng. Tuyển tập công trình Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 7. Tập 1. Nhà xuất bản ĐHQG. Hà Nội, 2004 . nét về liên kết đn hồi tuyến tính dị hớng Kết cấu có liên kết đàn hồi dị hớng (không đối xứng) gặp rất nhiều trong kỹ thuật. Nếu là liên kết ngoài, ta có thể kể một số thí dụ: liên kết giữa. Phơng pháp mới tính kết cấu có liên kết dị hớng GS. Vũ Đình lai PGS. TS. Nguyễn Xuân Lựu Bộ môn Sức bền vật liệu Khoa Công trình - Trờng Đại học GTVT Tóm tắt: Việc giải bi toán kết cấu. thực chất là tìm xem khi có tải trọng, trong số các liên kết cấu tạo, có những liên kết nào làm việc. Hiện nay cha có lời giải giải tích để xác định tổ hợp các liên kết làm việc, nên phơng hớng