http://www.ebook.edu.vn Chương 4 Phân tích mạch cao tần Các mạch điện hoạt động ở tần số thấp ở đó kích thước mạch tương đối nhỏ so với bước sóng có thể được xem là liên kết các phần tử tập trung tích cực và thụ động có điện áp và dòng điện được xác định tại bất cứ điểm nào trên mạch. Trong tình huống này các kích thước mạch đủ nhỏ sao cho sự thay đổi về pha nhỏ không đáng kể giữa một điểm này với một điểm khác trong mạch. Ngoài ra, các trường có thể được xem như là các trường TEM hỗ trợ bởi hai hay nhiều dây dẫn. Điều này dẫn tới một loại nghiệm cận tĩnh điện cho các phương trình Maxwell và các định luật Kirchhoff cho điện áp và dòng điện cùng các khái niệm về trở kháng trong lý thuyết mạch. Như bạn đọc đã biết, có nhiều kỹ thuật mạnh và hữu ích cho phân tích các mạch điện tần số thấp. Nói chung, các kỹ thuật này không thể áp dụng trực tiếp cho các mạch cao tần. Tuy nhiên, mục đích của chương này là chỉ ra các khái niệm về mạch và mạng có thể được mở rộng như thế nào để giải quyết nhiều bài toán phân tích và thiết kế cao tần được quan tâm trong thực tế. Lý do chính để làm điều này là ta sẽ dễ dàng hơn khi áp dụng các ý tưởng đơn giản và trực giác của phân tích mạch cho một bài toán cao tần so với việc giải các phương trình Maxwell cho cùng bài toán. Phân tích trường cho ta nhiều thông tin về bài toán đang được xem xét hơn những gì ta thực sự muốn hoặc cần. Tức là, do nghiệm của các phương trình Maxwell cho một bài toán đã cho là hoàn chỉnh, nó cho ta các trường điện và từ tại mọi điểm trong không gian. Nhưng thường chúng ta chỉ quan tâm đến điện áp hay dòng điện tại các cực, công suất chảy qua thiết bị hay một số đại lượng "toàn cục" khác tương phản với mô tả chi tiết về đáp ứng tại mọi điểm trong không gian. Một lý do khác cho việc sử dụng phân tích mạch hay mạng là vì khi đó sẽ rất dễ sửa đổi bài toán gốc, hoặc kết hợp một số phần tử khác nhau lại và tìm đáp ứng mà không cần phân tích chi tiết hành vi của mỗi phần tử khi kết hợp với các lân cận của nó. Phân tích trường sử dụng các phương trình Maxwell cho những bài toán như vậy khó khăn vô ích. Tuy nhiên có những tình huống ở đó các kỹ thuật mạch như vậy được coi là đơn giản quá mức và dẫn tới những kết quả không chính xác. Trong những trường hợp như vậy ta phải sử dụng phương pháp phân tích trường với các phương trình Maxwell. Một phần trong chương trình đào tạo các kỹ sư cao tần là tạo khả năng xác định khi nào các khái niệm phân tích mạch có thể áp dụng và khi nào thì chúng cần phải được loại trừ. Trình tự cơ bản cho phân tích mạng cao tần được mô tả như sau: Trước tiên chúng ta xét một loạt bài toán kinh điển, cơ bản sử dụng phân tích trường và các phương trình Maxwell. (Như ta đã thực hiện trong Chương cho nhiều loại đường truyền và ống dẫn sóng khác nhau). Khi thực hiện điều này chúng ta cố gắng đạt được các đại lượng có thể có liên hệ trực tiếp tới một tham 111 http://www.ebook.edu.vn 112 CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH MẠCH CAO TẦN số đường truyền hay mạch điện. Ví dụ, khi ta phân tích các đường truyền và ống dẫn sóng khác nhau chúng ta đã rút ra hằng số truyền lan và trở kháng đặc tính của đường truyền. Điều này cho phép đường truyền hay ống dẫn sóng được coi như một phần tử phân bố đặc trưng bởi độ dài, hằng số truyền lan và trở kháng đặc tính của nó. Tới đây, chúng ta có thể kết nối nhiều phần tử khác nhau và sử dụng lý thuyết đường truyền và/hoặc lý thuyết mạch để phân tích hành vi của toàn bộ hệ thống các phần tử, kể cả các hiệu ứng như hệ số phản xạ, tổn hao, chuyển đổi trở kháng, và chuyển tiếp từ một loại môi trường truyền dẫn này sang môi trường khác (chẳng hạn từ cáp đồng trục sang đường truyền vi dải). Như chúng ta sẽ thấy, chuyển tiếp giữa các đường truyền khác nhau hay các điểm gián đoạn trên đường truyền nhìn chung không thể được xem là một kết nối đơn giản giữa hai đường truyền mà phải được xét bởi một số kiểu mạch điện tương đương để tính cho cả các điện kháng liên quan tới sự chuyển tiếp hay sự gián đoạn. 4.1 Trở kháng và điện áp và dòng điện tương đương 4.1.1 Điện áp và dòng điện tương đương Tại tần số vi ba (cao tần) việc đo điện áp hay dòng điện rất khó khăn (hoặc không thể thực hiện được), trừ phi sẵn có một cặp điện cực đã được xác định rõ ràng. Một cặp điện cực như vậy có thể có mặt trong trường hợp các đường truyền loại TEM (chẳng hạn như cáp đồng trục, đường truyền vi dải hay đường truyền dải) nhưng không tồn tại đối với các đường truyền phi TEM (chẳng hạn các ống dẫn sóng hình chữ nhật, hình tròn hay dẫn sóng bề mặt). Hình cho thấy các đường sức điện và từ trường của một đường truyền TEM hai dây dẫn bất kỳ. Như trong Chương trước, điện áp tương đối V của dây dẫn + so với dây dẫn - có thể xác định bởi V =  − + ¯ E.d ¯  (4.1) ở đây đường tích phân bắt đầu từ dây + và kết thúc tại dây Điều quan trọng cần nhận ra rằng, do bản chất tĩnh điện của các thành phần trường ngang giữa hai dây dẫn, điện áp đinh nghĩa trong (4.1) là duy nhất và không phụ thuộc vào hình dạng của đường tích phân. Tổng dòng điện chảy trên dây + có thể được xác định từ việc sử dụng định luật Ampere I =  C + ¯ H.d ¯  (4.2) ở đó đường tích phân là một đường cong kín bất kỳ bao quanh dây + (mà không phải là dây -). Trở kháng đặc tính Z 0 khi đó có thể được xác định đối với các sóng truyền lan là Z 0 = V I (4.3) Tới đây, sau khi định nghĩa và xác định điện áp, dòng điện và trở kháng đặc tính (và giả thiết chúng ta biết hằng số truyền lan của đường truyền) chúng ta có thể tiếp tục sử dụng lý thuyết mạch cho đường dây được phát triển trong Chương truóc để mô tả đường truyền này như một phần tử mạch điện. http://www.ebook.edu.vn 4.1. TRỞ KHÁNG VÀ ĐIỆN ÁP VÀ DÒNG ĐIỆN TƯƠNG ĐƯƠNG 113 Tình huống sẽ khó khăn hơn đối với các ống dẫn sóng. Để xem tại sao, chúng ta sẽ xét trường hợp ống dẫn sóng hình chữ nhật như chỉ ra trên Hình . Đối với mode chủ đạo T E 10 các trường ngang có thể được viết là E y (x, y, z) = jωµa π A sin πx a e −jβz = Ae y (x, y)e −jβz (4.4a) H x (x, y, z) = jβa π A sin πx a e −jβz = Ah x (x, y)e −jβz (4.4b) áp dụng (4.1) cho điện trường của (4.4b) cho V = −jωµa π A sin πx a e −jβz  y dy (4.5) Vì vậy ta có thể thấy rằng điện áp phụ thuộc vào vị trí x cũng như độ dài của đường lấy tích phân dọc theo chiều y. Lấy tích phân từ y=0 tới b cho x=a/2 cho một điện áp khác xa giá trị đạt được khi lấy tích phân từ y=0 tới b cho x=0 chẳng hạn. Vậy khi đó điện áp chính xác là bao nhiêu? câu trả lời là không có điện áp "chính xác" về ý nghĩa nào đó là duy nhất hoặc thích hợp cho mọi ứng dụng. Một vấn đề tương tự nảy sinh với dòng điện và trở kháng đặc tính. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra chúng ta có thể xác định điện áp, dòng điện và trở kháng hữu ích đối với các đường dây phi TEM như thế nào. Có nhiều cách xác định điện áp, dòng điện và trở kháng tương đương cho các ống dẫn sóng, do các đại lượng này không duy nhất cho các đường truyền phi TEM nhưng cân nhắc sau đây thường dẫn đến những kết quả hữu dụng nhất: • Điện áp và dòng điện chỉ được định nghĩa cho một mode dẫn sóng nhất định và được định nghĩa sao cho điện áp tỷ lệ thuận với điện trường ngang và dòng điện tỷ lệ với từ trường ngang. • Để được sử dụng theo phương thức tương tự như điện áp và dòng điện của lý thuyết mạch, điện áp và dòng điện tương đương cần được định nghĩa sao cho tích của chúng cho công suất của mode. • Tỷ số điện áp trên dòng điện cho một sóng lan truyền đơn cần phải bằng trở kháng đặc tính của đường truyền. Trở kháng đặc tính có thể được chọn bất kỳ nhưng thường được chọn sao cho bằng trở kháng sóng của được dây hoặc được chuẩn hóa bằng 1. Đối với một mode dẫn sóng bất kỳ có cả sóng lan truyền theo chiều dương và âm, các trường ngang có thể được viết là ¯ E t (x, y, z) = ¯e(x, y)(A + e −jβz + A − ejβz) = ¯e(x, y) C 1 (V + e −jβz + V − e jβz ) (4.6a) ¯ H t (x, y, z) = ¯ h(x, y)(A + e −jβz + A − ejβz) = ¯ h(x, y) C 2 (I + e −jβz + I − e jβz ) (4.6b) ở đó ¯e và ¯ h là sự biến đổi trường ngang của mode, còn A + , A − là biên độ trường của sóng lan truyền. Do ¯ E t và ¯ H t quan hệ với nhau thông qua trở kháng sóng Z w theo biểu thức (2.68) như sau ¯ h(x, y) = 1 Z T EM ˆz × ¯e(x, y) (4.7) http://www.ebook.edu.vn 114 CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH MẠCH CAO TẦN Phương trình (4.8) cũng định nghĩa điện áp và dòng điện tương đương là V (z) = V + e −jβz + V − e jβz (4.8a) I(z) = I + e −jβz + I − e jβz (4.8b) với V + /I + = V − /I − = Z 0 . Định nghĩa này thể hiện ý tưởng làm cho điện áp và dòng điện tương đương tỷ lệ thuận với các trường điện và từ ngang tương ứng. Các hằng số tỷ lệ cho quan hệ này là C 1 = V + /A + = V − /A − và C 2 = I + /A + = I − /A − và có thể được xác định từ hai điều kiện còn lại đối với năng lượng và trở kháng. Dòng năng lượng (công suất) của sóng tới được cho bởi P + = 1 2 |A + | 2  S ¯e × ¯ h ∗ .ˆzds = V + I + 2C 1 C ∗ 2  S ¯e × ¯ h ∗ .ˆzds (4.9) Vì chúng ta muốn công suất này bằng (1/2)V + I +∗ nên C 1 C ∗ 2 =  S ¯e × ¯ h ∗ .ˆzds (4.10) ở đó tích phân mặt tính qua mặt cắt tiết diện của ống dẫn sóng. Trở kháng đặc tính là Z 0 = V + I + = V − I − = C 1 C 2 (4.11) do V + = C 1 A + và I + = C 2 A + . Nếu ta muốn Z 0 = Z w thì trở kháng sóng (Z T E = Z T M ) của mode, khi đó C 1 C 2 = Z w (Z T E hoặc Z T M ) (4.12a) hay có thể là ta muốn chuẩn hóa trở kháng đặc tính về 1 (Z 0 = 1), trong trường hợp đó ta có C 1 C 2 = 1 (4.12b) Vì vậy với một mode dẫn sóng đã cho, (4.10) và (4.12) có thể được giải cho các hằng số C 1 và C 2 cùng các điện áp và dòng điện tương đương. Các mode bậc cao hơn có thể được xét với cách thức tương tự, vì vậy trường tổng trong một ống dẫn sóng có thể được biểu diễn dưới dạng sau: ¯ E t (x, y, z) = N  n=1  V + n C 1n e −jβ n z + V − n C 1n e jβ n z  ¯e n (x, y) (4.13a) ¯ H t (x, y, z) = N  n=1  I + n C 2n e −jβ n z + I − n C 2n e jβ n z  ¯ h n (x, y) (4.13b) trong đó V ± n và I ± n là các điện áp và dòng điện tương đương cho mode thứ n còn C 1n và C 2n là các hằng số tỷ lệ cho mỗi mode. Ví dụ: http://www.ebook.edu.vn 4.1. TRỞ KHÁNG VÀ ĐIỆN ÁP VÀ DÒNG ĐIỆN TƯƠNG ĐƯƠNG 115 Tìm điện áp và dòng điện tương đương cho mode T E 10 trong ống dẫn sóng hình chữ nhật. Lời giải: Các thành phần trường ngang và dòng công suất của mode dẫn sóng chữ nhật và mô hình đường truyền tương đương của mode này có thể được viết như sau: Các thành phần trường của ống dẫn sóng Mô hình đường truyền E y = (A + e −jβz + A − e jβz ) sin(πx/a) V (z) = V + e −jβz + V − e jβz H x = −1/Z T E (A + e −jβz − A − e jβz ) sin(πx/a) I(z) = I + e −jβz − I − e jβz = (V + /Z 0 )e −jβz − (V − /Z 0 )e jβz P + = −(1/2)  S E y H ∗ x dxdy = (ab|A| 2 /4Z T E ) P = (1/2)V + I +∗ Bây giờ chúng ta tìm các hằng số C 1 và C 2 liên hệ giữa điện áp và dòng điện tương đương V + và I + với biên độ trường A. Cân bằng công suất tới ta được ab|A| 2 4Z T E = 1 2 V + I +∗ = 1 2 |A| 2 C 1 C ∗ 2 Nếu ta chọn Z 0 = Z T E thì ta cũng có V + I + = C 1 C 2 = Z T E Giải cho C 1 , C 2 cho C 1 =  ab 2 C 2 = 1 Z T E  ab 2 hoàn toàn làm cho sự tương đương giữa đường truyền với mode T E 10 . 4.1.2 Khái niệm về trở kháng Chúng ta đã sử dụng ý tưởng về trở kháng trong một vài ứng dụng khác nhau, vì vây sẽ là hữu ích nếu tại đây chúng ta thảo luận về khái niệm trở kháng dưới dạng tổng quát hơn. Thuật ngữ trở kháng được đưa ra đầu tiên bởi Oliver Heaviside vào thế kỷ thứ 19 nhằm mô tả tỷ số phức V/I trong các mạch AC gồm các điện trở, điện cảm và các điện dung; khái niệm trở kháng nhanh chóng trở nên không thể thiếu được trong phân tích các mạch AC. Sau đó nó được áp dụng cho các đường truyền dưới dạng các mạch tập trung tương đương và trở kháng nối tiếp cùng dẫn nạp song song phân bố của đường dây. Vào những năm 1930, Schelkunoff nhận ra rằng khái niệm trở kháng cần được xem như đặc trưng của trường cũng như của môi trường. Khái niệm trở kháng khi đó hình thành một kết nối quan trọng giữa lý thuyết trường và lý thuyết mạch hay lý thuyết đường truyền. Sau đây chúng ta sẽ tổng kết một số loại trở kháng được sử dụng cho tới nay và ký hiệu của chúng: http://www.ebook.edu.vn 116 CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH MẠCH CAO TẦN • η =  µ/ = trở kháng thuần của môi trường. Trở kháng này chỉ phụ thuộc vào các tham số vật liệu của môi trường nhưng bằng trở kháng sóng của sóng phẳng. • Z w = E t /H t = 1/Y w = trở kháng sóng. Trở kháng này là đặc trưng cho một loại sóng nhất định. Các sóng TEM, TE và TM có các trở kháng sóng khác nhau (Z T EM , Z T M , Z T E ), chúng có thể phụ thuộc vào loại đường truyền hay ống dẫn sóng, vật liệu và tần số hoạt động • Z 0 = 1/Y 0 =  L/C=trở kháng đặc tính. Trở kháng đặc tính là tỷ số giữa điện áp và dòng điện đối với sóng chạy. Do điện áp và dòng điện được xác định duy nhất cho các sóng TEM nên trở kháng đặc tính của một sóng TEM là duy nhất. Tuy nhiên, các sóng TE và TM không có điện áp và dòng điện xác định duy nhất vì vậy trở kháng đặc tính đối với các sóng như vậy có thể được xác định theo nhiều cách khác nhau. Ví dụ 4.1. Xét một ống dẫn sóng chữ nhật có a=3.485 cm và b=1.580 cm (ống dẫn băng C), chứa không khí với z<0 và chứa chất điện môi ( r = 2.56) với z>0 như chỉ ra trong Hình 4.1. Nếu tần số hoạt động là 4.5 GHz sử dụng mô hình đường truyền tương đương để tính hệ số phản xạ của sóng tới T E 10 mặt giao tiếp từ z < 0. Hình 4.1: Dạng hình học của ống dấn sóng một phần chứa chất điện môi và đường truyền tương đương của nó Giải Các hằng số truyền lan trong các vùng không khí (z<0) và điện môi (z>0) là β a =  k 2 0 −  π a  2 = 27.50 m −1 β d =   r k 2 0 −  π a  2 = 120.89 m −1 Bạn đọc có thể xác minh rằng mode T E 10 là mode truyền lan duy nhất trong cả hai vùng của ống dẫn sóng. Bây giờ chúng ta có thể thiết lập đường truyền tương đương cho mode T E 10 trong mỗi ống dẫn sóng và xem bài toán khi phản xạ của sóng điện áp tới tại tiếp giáp giữa hai đường truyền dài vô hạn. Với việc tham khảo ví dụ và Bảng , trở kháng đặc tính của hai đường là Z 0a = k 0 η 0 β a = (94.25)(377) 27.50 = 1292.1Ω http://www.ebook.edu.vn 4.2. NHỮNG ĐẶC ĐIỂM TRỞ KHÁNG CỦA CÁC MẠNG MỘT CỬA 117 Z 0d = k 0 η 0 β d = k 0 η 0 β d = (94.25)(377) 120.89 = 293.9Ω Hệ số phản xạ nhìn vào vùng có chứa điện môi khi đó là Γ = Z 0d − Z 0d Z 0d + Z 0a = −0.629 (4.14) Với kết quả này, các biểu thức cho các sóng tới, phản xạ và sóng truyền có thể được viết dưới dạng trường, hoặc dưới dạng điện áp và dòng điện tương đương. 4.2 Những đặc điểm trở kháng của các mạng một cửa Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận một số đặc điểm cơ bản của trở kháng điểm nguồn đối với các mạng một cửa. Trước hết xét mạng một cửa bất kỳ trên Hình. Công suất phức được đưa tới mạng này được cho bởi Hình 4.2: Mạng một cửa bất kỳ P = 1 2  S ¯ E × ¯ H ∗ .d¯s = P  + 2jω(W m − W e ) (4.15) trong đó P  là thực và đại diện cho công suất trung bình được tiêu thụ bởi mạng còn W m và W e đại diện cho năng lượng từ trường và điện trường tương ứng. Lưu ý rằng véc tơ pháp tuyến đơn vị trong Hình hướng vào bên trong khối. Nếu ta xác định các trường mode ngang thực ¯e và ¯ h qua mặt phẳng cực của mạng sao cho ¯ E t (x, y, z) = V (z)¯e(x, y)e −jβz (4.16a) ¯ H t (x, y, z) = I(z) ¯ h(x, y)e −jβz (4.16b) với sự chuẩn hóa sao cho  S ¯e × ¯ h.d¯s = 1 khi đó (4.15) có thể được biểu diễn dưới dạng điện áp và dòng điện P = 1 2  S V I ∗ ¯e × ¯ h.d¯s = 1 2 V I ∗ (4.17) http://www.ebook.edu.vn 118 CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH MẠCH CAO TẦN Khi đó trở kháng vào sẽ là Z in = R + jX = V I = V I ∗ |I| 2 = P 1/2|I| 2 = P  + 2jω(W m − W e ) 1/2|I| 2 (4.18) Do đó chúng ta thấy rằng phần thực R của trở kháng vào liên hệ với công suất tiêu thụ trong khi phần ảo X liên quan tới năng lượng tĩnh tích trữ trong mạng. Nếu mạng là không tổn hao thì P  =0 và R=0. Khi đó Z in là thuần ảo với điện kháng X = 4ω(W m − W e ) |I| 2 (4.19) nó là dương đối với tải là điện cảm (W m > W e ) và là ảo đối với tải điện dung (W m < W e ). 4.3 Các ma trận trở kháng và dẫn nạp Chúng ta bắt đầu bằng việc xem xét một mạch cao tần N cổng như mô tả trên Hình 4.3. Các cổng trong Hình 4.3 có thể rơi vào bất kỳ loại đường truyền hay đường truyền tương đương của một mode truyền lan nào. (Khái niệm cổng được đưa ra bởi H.A. Wheeler vào những năm 1950 để thay thế cho cụm từ cồng kềnh ít có tính mô tả "hai cực"). Nếu một trong các cổng vật lý của mạch là một ống dẫn sóng hỗ trợ nhiều hơn một mode lan truyền thì các cổng điện bổ sung có thể được thêm vào để bao hàm các mode đó. Tại một điểm nhất định trên cổng thứ n, một mặt phẳng kết cuối t n được định nghĩa cùng với các điện áp và dòng điện tương đương cho các sóng tới (V + n , I + n ) và sóng phản xạ (V − n , I − n ). Các mặt phẳng kết cuối quan trọng trong việc tạo ra một tham chiếu cho pha của điện áp và dòng điện. Bây giờ tại mặt phẳng kết cuối thứ n tổng điện áp và dòng điện được cho bởi V n = V + n + V − n (4.20a) I n = I + n − I − n (4.20b) Ma trận trở kháng [Z] của mạch cao tần khi đó liên hệ giữa các điện áp và dòng điện trên các cổng.      V 1 V 2 . . . V N      =      Z 11 Z 12 ··· Z 1N Z 21 . . . . . . Z N1 ··· Z NN           I 1 I 2 . . . I N      hay dạng ma trận [V ] = [Z][I] (4.21) Tương tự ta có thể định nghĩa ma trận dẫn nạp [Y] như sau      I 1 I 2 . . . I N      =      Y 11 Y 12 ··· Y 1N Y 21 . . . . . . Y N1 ··· Y NN           V 1 V 2 . . . V N      http://www.ebook.edu.vn 4.3. CÁC MA TRẬN TRỞ KHÁNG VÀ DẪN NẠP 119 Hình 4.3: Mạng N cổng bất kỳ hay dạng ma trận [I] = [Y ][V ] (4.22) Tất nhiên, ma trận [Z] và [Y] là nghịch đảo của nhau: [Y ] = [Z] −1 (4.23) Lưu ý rằng cả hai ma trận [Y] và [Z] liên hệ các điện áp với dòng điện cổng. Từ 4.21 ta thấy rằng Z ij có thể tìm được như sau Z ij = V i I j     I k =0 khi k = j (4.24) Biểu thức (4.24) phát biểu rằng Z ij có thể được xác định bằng cách đưa vào cổng  một dòng điện I j , để hở mạch tất cả các cổng còn lại (để I k = 0khik = j), và đo điện áp hở mạch ở cổng ı. Vì vậy, Z ij là trở kháng truyền đạt gữa cổng ı và cổng  khi tất cả các cổng khác hở mạch. Tương tự, từ (4.22) Y ij có thể được xác định như sau: Y ij = I i V j     V k =0 khi k = j (4.25) biểu thức này phát biểu rằng Y ij có thể được xác định bằng cách đưa điện áp V j vào cổng , làm ngắn mạch tất cả các cổng còn lại (để V k = 0khik = j) và đo dòng điện ngắn mạch tại cổng ı. Nhìn chung, mỗi phần tử Z ij hoặc Y ij có thể là số phức. Đối với một mạng N cổng, các ma trận trở kháng và dẫn nạp có kích thước N × N, vì thế có 2N 2 đại lượng độc lập hay mức độ http://www.ebook.edu.vn 120 CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH MẠCH CAO TẦN tự do đối với một mạng N cổng bất kỳ. Tuy nhiên, trong thực tế, nhiều mạng hoặc là tương hỗ hoặc là không tổn hao hoặc cả hai. Nếu mạng là tương hỗ (không chứa đựng bất kỳ một môi trường không tương hỗ nào chẳng hạn như Ferit hay Plasma, hay các phần tử tích cực), chúng ta sẽ chỉ ra rằng các ma trận trở kháng và dẫn nạp là đối xứng, tức là Z ij = Z ji , và Y ij = Y ji . Nếu mạch là không tổn thất ta có thể chỉ ra rằng các phần tử Z ij hay Y ij là thuần ảo. Một trong các trường hợp đặc biệt này có tác dụng làm giảm số đại lượng độc lập hay mức độ tự do mà một mạng N cổng có thể có. 4.4 Ma trận tán xạ Với các mạch điện hoạt động ở tần số thấp (tần số mà tại đó kích thước của mạch điện nhỏ hơn rất nhiều lần bước sóng lan truyền), chúng được coi là các phần tử thông số tập trung và tại bất kỳ điểm nào của mạch điện ta cũng có thể xác định được điện áp và dòng điện. Bên cạnh đó, độ lệch pha giữa các điểm trong mạch là không đáng kể. Tuy nhiên đối với các mạch điện hoạt động ở tần số siêu cao (kích thước của mạch điện so sánh được với bước sóng), việc đo trực tiếp điện áp và dòng điện thường liên quan tới độ lớn (rút ra từ công suất) và pha của sóng lan truyền theo một hướng nhất định, hoặc của sóng đứng. Vì vậy, các điện áp và dòng điện tương đương và cả các ma trận trở kháng và dẫn nạp liên quan có phần trở nên trừu tượng khi xét tới các mạch làm việc ở tần số cao. Mặt khác, khi đo và đánh giá các tham số Y, Z của các thiết bị (hay mạch) cao tần đòi hỏi thiết bị (hay mạch) được kết cuối với tải hở mạch hay ngắn mạch mà điều này đối với các tần số siêu cao là rất khó thực hiện. Vì vậy, ma trận tán xạ phù hợp hơn với các phép đo trực tiếp và với các ý tưởng về các sóng tới, sóng phản xạ và sóng truyền đi sẽ được giới thiệu trong chương này. Cũng giống như ma trận trở kháng hay ma trận dẫn nạp cho một mạng N cổng, ma trận tán xạ cho ta một mô tả đầy đủ về một mạng khi được nhìn từ N cổng của nó. Trong khi các ma trận trở kháng và dẫn nạp liên hệ các điện áp và dòng điện tổng tại các cổng, ma trận tán xạ liên hệ các sóng điện áp tới trên các cổng với các sóng điện áp phản xạ từ các cổng đó. Đối với một số phần tử hay mạch điện, các ma trận tán xạ có thể được đo trực tiếp bằng máy phân tích mạng. Một khi các tham số tán xạ của mạng được xác định, khi cần thiết ta có thể chuyển đổi sang các tham số ma trận khác. Xét mạng N cổng trên Hình 4.3, ở đó V + n là biên độ sóng điện áp tới cổng n, và V − n là biên độ của sóng điện áp phản xạ từ cổng n. Ma trận tán xạ hay ma trận [S] được định nghĩa theo mối quan hệ giữa các sóng điện áp tới và sóng điện áp phản xạ như sau      V − 1 V − 2 . . . V − N      =      S 11 S 12 ··· S 1N S 21 . . . . . . S N1 ··· S NN           V + 1 V + 2 . . . V + N      hay [V − ] = [S][V + ] (4.26) [...]... + ]∗ = [V − ]T [V − ]∗ (4. 40) S d ng [V − ] = [S][ V + ] cho (4. 40) ta có [V + ]T [V + ]∗ = [V + ]T [S]T [S]∗ [V + ]∗ (4. 41) do đó, đ i v i [V + ] khác không, [S]T [S]∗ = [U ] hay [S]∗ = {[S]T }−1 (4. 42) M t ma tr n th a mãn đi u ki n (4. 42) đư c g i là m t ma tr n unitary Phương trình ma tr n c a (4. 42) có th đư c vi t l i dư i d ng t ng sau N ∗ Ski Skj = δij v i m i i, j (4. 43) k=1 trong đó δij =... Vì v y n u ı =  (4. 43) đơn gi n thành N ∗ Ski Ski = 1 (4. 44) k=1 trong khi n u ı =  thì (4. 43) đơn gi n thành N ∗ Ski Skj = 0 v i m i i = j (4. 45) k=1 Di n gi i ý nghĩa: • (4. 44) phát bi u: phép nhân vô hư ng gi a m t hàng (hay m t hàng) b t kỳ c a ma tr n [S] (do tính ch t đ i x ng nên vector c t và vector hàng là gi ng nhau) v i liên h p ph c c a chính nó s cho k t qu là 1 • (4. 45) phát bi u: phép... là ma tr n đơn v B ng cách c ng (4. 20a) v i (4. 20b) ta có 1 + Vn = (Vn + In ) 2 hay 1 [V + ] = ([Z] + [U ])[I] 2 B ng cách tr (4. 20a) cho (4. 20b) ta có (4. 33) 1 − Vn = (Vn − In ) 2 hay 1 [V − ] = ([Z] − [U ])[I] 2 Lo i tr [I] kh i (4. 33) và (4. 34) cho (4. 34) [V − ] = ([Z] − [U ])([Z] + [U ])−1 [V + ] Do đó [S] = ([Z] − [U ])([Z] + [U ])−1 (4. 35) L y chuy n v c a (4. 35) cho [S]T = {([Z] + [U ])−1 }T... tham s S và V2+ = Γ V2− , chúng ta có V1− = S11 V1+ + S12 V2+ = S11 V1+ + S12 Γ V2− (4. 64a) 1 34 http://www.ebook.edu.vn CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH M CH CAO T N V2− = S21 V1+ + S22 V2+ = S21 V1+ + S22 Γ V2− (4. 64b) Lo i b V2− kh i (4. 64) và gi i cho V1− /V1+ cho V1− S12 S21 Γ Zin − Z0 = + = S11 + 1 − S22 Γ Zin + Z0 V1 Γin = (4. 65a) là k t qu t ng quát cho h s ph n x đ u vào c a m ng hai c a có t i b t kỳ Zin... th đư c s d ng đ liên h sóng t i và sóng ph n x đ nh nghĩa theo (4. 49): [b] = [S][a] (4. 52) trong đó, ph n t th ı c a ma tr n tán x đư c cho b i Sij = bi aj (4. 53) ak =0 v i k=j và tương t như k t qu c a (4. 27) đ i v i các m ch có tr kháng đ c tính như nhau t i t t c các c ng S d ng (4. 49) cho (4. 53) cho ta Sij = Vi− Z0j √ Vj+ Z0i (4. 54) + Vk =0 v i k=j bi u th c này ch ra các tham s S c a m t m ch... (4. 69), Pavn = P = Γ =Γ∗ out |Vs |2 |S21 |2 (1 − |Γout |2 )|1 − Γs |2 8Z0 |1 − S22 Γ∗ |2 |1 − Γs Γin |2 out (4. 74) Γ =Γ∗ out Trong (4. 74) , Γin ph i đư c đánh giá đ i v i Γ = Γ∗ T (4. 65a) ta có th ch ra r ng out 2 |1 − Γs Γin | Γ =Γ∗ out |1 − S11 Γs |2 (1 − |Γout |2 ) = |1 − S22 Γ∗ |2 out k t qu này cho phép (4. 74) rút g n thành Pavn = |Vs |2 |S21 |2 |1 − Γs |2 8Z0 |1 − S11 Γs |2 (1 − |Γout |2 ) (4. 75)... ti p như mô t trên Hình 4. 6(b) Khi đó v trái c a (4. 55) đ i di n cho đi n áp và dòng đi n t i c ng 1 c a m ch trong khi v ph i bi u di n đi n áp và dòng đi n t i c ng 2 Trong k t n i chu i c a các m ch hai c ng trên Hình 4. 6(b) chúng ta có V1 I1 = A1 B1 C1 D1 V2 I2 (4. 56a) V2 I2 = A2 B2 C2 D2 V3 I3 (4. 56b) Th (4. 56b) vào (4. 57) ta đư c V1 I1 = A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 V3 I3 (4. 57) Đi u này cho th y... Z21 (4. 59d) = I2 =0 I1 Z11 I1 Z21 N u m ng là tương h thì Z12 = Z21 và (4. 59) có th đư c s d ng đ ch ra r ng AD-BC=1 B ng 4. 1: Các tham s ABCD c a m t s m ch hai c ng h u ích 130 http://www.ebook.edu.vn CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH M CH CAO T N M ch Các tham s ABCD A=1 C=0 B=Z D=1 A=1 C=Y B=0 D=1 A = cos β C = jY0 sin β B = jZ0 sin β D = cos β A=N B=0 C=0 D= 1 N B= 1 Y3 A=1+ Y2 Y3 C = Y1 + Y2 + A=1+ C= 4. 6 1... không t n hao chúng ta có th liên h các biên đ sóng m i v i biên đ sóng t i v trí ban đ u như sau + n V − n V + = Vn ejθn (4. 47a) + = Vn e−jθn (4. 47b) trong đó θn = βn n là chi u dài đi n c a kho ng d ch xa c a m t ph ng tham chi u c a c ng n Vi t (4. 47) dư i d ng ma tr n và th vào (4. 46a) cho ta  ejθ1 0 ejθ2     ejθN 0      [V  − [V − e−jθ1 e−jθ2   ]=  0 e−jθN 0 0 e−jθN  0 e−jθ2  ... − |Γin |2 ) (4. 68) Pin = 2Z0 8Z0 |1 − Γs Γin |2 trong đó (4. 67) đã đư c s d ng Công su t đư c đưa t i t i là P = |V2− |2 (1 − |Γ |2 ) 2Z0 (4. 69) Gi i đ tìm V2− t (4. 64a) r i th vào (4. 69) và s d ng (4. 67) ta đư c P |V1+ |2 |S21 |2 (1 − |Γ |2 ) 2Z0 |1 − S22 Γ |2 |Vs |2 |S21 |2(1 − |Γ |2 )|1 − Γs |2 = 8Z0 |1 − S22 Γ |2 |1 − Γs Γin |2 = (4. 70) (4. 71) Đ l i công su t khi đó có th đư c bi u di n như sau . nhiêu? http://www.ebook.edu.vn 1 24 CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH MẠCH CAO TẦN Giải Do [S] đối xứng nên mạch là tương hỗ. Để mạch là không tổn hao, các tham số S phải thỏa mãn (4. 44) và (4. 45). Lấy hàng thứ nhất (i=1 trong (4. 44) ). nếu ı =  (4. 43) đơn giản thành N  k=1 S ki S ∗ ki = 1 (4. 44) trong khi nếu ı =  thì (4. 43) đơn giản thành N  k=1 S ki S ∗ kj = 0 với mọi i = j (4. 45) Diễn giải ý nghĩa: • (4. 44) phát biểu:. × ¯e(x, y) (4. 7) http://www.ebook.edu.vn 1 14 CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH MẠCH CAO TẦN Phương trình (4. 8) cũng định nghĩa điện áp và dòng điện tương đương là V (z) = V + e −jβz + V − e jβz (4. 8a) I(z)