Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010 1 CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 1 Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch điện tuyến tính. I. Phƣơng pháp tích phân kinh điển. II. Phƣơng pháp tích phân Duyamen và hàm Green. III. Phƣơng pháp toán tử Laplace. Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010 2 Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch tuyến tính hệ số hằng  Tƣ tƣởng chung của phƣơng pháp:  Mô hình toán học của bài toán quá trình quá độ trong mạch tuyến tính là Hệ phương trình vi phân + sơ kiện.  Đối với phương pháp tích phân kinh điển, ta sử dụng nguyên tắc xếp chồng trong mạch tuyến tính để giải.  Ý nghĩa:  Nghiệm xác lập x xl (t):  Về mặt vật lý: o Nghiệm xác lập được tìm ở chế độ mới (sau khi đóng cắt khóa K). o Nghiệm xác lập được nguồn (kích thích) của mạch duy trì  quy luật biến thiên của nó đặc trưng cho quy luật biến thiên của nguồn. ( ) ( ) ( ) qd xl td x t x t x t I. Phƣơng pháp tích phân kinh điển. I.1. Nội dung phƣơng pháp:  Tìm nghiệm của quá trình quá độ x qđ (t) dưới dạng xếp chồng nghiệm của quá trình xác lập x xl (t) và nghiệm của quá trình tự do x td (t). Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010 3 Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch tuyến tính hệ số hằng I.1. Nội dung phƣơng pháp.  Ý nghĩa:  Nghiệm xác lập x xl (t):  Về mặt toán học: o Nghiệm xác lập là nghiệm riêng của phương trình vi phân có vế phải là kích thích của mạch  ta đã biết cách tính nghiệm xác lập khi kích thích của mạch là nguồn hằng, nguồn điều hòa, hay nguồn chu kỳ.  Nghiệm tự do x td (t):  Về mặt vật lý: o Nghiệm tự do không được nguồn duy trì. o Nghiệm tự do tồn tại trong mạch là do quá trình đóng cắt khóa K làm thay đổi kết cấu hay thông số của mạch.  Về mặt toán học:  Nghiệm tự do là nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất (phương trình vi phân có vế phải bằng 0) ( ) ( ) ( ) qd xl td x t x t x t Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010 4 Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch tuyến tính hệ số hằng I.1. Nội dung phƣơng pháp.  Về mặt toán học, nghiệm tự do của phương trình thuần nhất có dạng:  Mặt khác, ta có đạo hàm, tích phân của hàm A.e pt luôn có dạng hàm mũ: ( ) . pt td x t Ae () . . . ( ) () ( ). . . . pt td td pt pt td td dx t p Ae p x t dt xt A x t dt Ae dt e pp       Như vậy, phương trình vi phân thuần nhất sẽ có dạng: 2 ( , . , . , . ) 0 n td td td td x p x p x p x    Giải phương trình ta có được (n) nghiệm {p 1 p n }. Với mỗi p k cho ta một nghiệm dạng A k .e p k .t  Vậy nghiệm của quá trình quá độ sẽ có dạng: . 1 ( ) ( ) . k n pt qd xl k k x t x t A e     Cần lập và giải phương trình đặc trưng để tìm nghiệm tự do.  Để phương trình vi phân có nghiệm không triệt tiêu  các hệ số của nó phải triệt tiêu. 0p (phương trình đặc trưng) Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010 5 Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch tuyến tính hệ số hằng I.2. Lập phƣơng trình đặc trƣng.  Nghiệm tự do là nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất (không có vế phải). Vậy đối với bài toán mạch, đó là phương trình vi phân được lập cho các mạch điện triệt tiêu nguồn.  Các cách lập phƣơng trình đặc trƣng của mạch:  Đại số hóa phương trình thuần nhất:  Lập (hệ) phương trình vi tích phân của mạch ở chế độ mới.  Loại bỏ các nguồn kích thích  thu được phương trình vi phân thuần nhất.  Thay thế: (.) (.) 1 (.). (.) d p dt dt p     Rút ra được phương trình đặc trưng (ma trận đặc trưng)  Cho: Δp = 0  tìm được các số mũ đặc trưng p k . Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010 6 Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch tuyến tính hệ số hằng I.2. Lập phƣơng trình đặc trƣng. Ví dụ: C 3 i 3 (t) i 1 (t) E K R 1 R 2 i 2 (t) L 2 Lập phương trình mạch: 1 2 3 2 1 1 2 2 2 1 1 3 3 0 . . . 1 . . ( 0) C i i i di R i R i L E dt R i i dt u E C                      Phương trình với nghiệm tự do: 1 2 3 1 2 3 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 3 1 1 3 3 0 0 . . 0 . . . . 0 1 1 . . ( 0) 0 . . ( 0) 0 . td td td td td td td td td td td td td td td C td td C i i i i i i di R i R i L R i R i p L i dt R i i u R i i dt u pC C                                       1 1 2 2 2 3 1 1 1 1 0 . 0 . 0 10 0 . td td td i R R p L i i R pC                               Viết dạng ma trận: Δp i td Để i td ≠ 0  Δp = 0 2 2 1 1 2 2 11 ( ) ( ) 0p R pL R R R pL pC pC         2 2 2 0pp    1,2 1pj    Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010 7 Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch tuyến tính hệ số hằng I.2. Lập phƣơng trình đặc trƣng.  Các cách lập phƣơng trình đặc trƣng của mạch: Đại số hóa mạch điện:  Phương trình mạch điện có dạng phương trình vi phân là vì trong mạch điện tồn tại các phần tử có quán tính L (quán tính từ trường), C (quán tính điện trường).  Có thể lập phương trình đặc trưng trực tiếp mạch điện (đã triệt tiêu nguồn) ở chế độ xác lập mới bằng cách đại số hóa mạch điện: L ↔ p.L ; C ↔ 1/p.C.  Tính tổng trở vào hoặc tổng dẫn vào của 1 nhánh bất kỳ và cho bằng 0. Chứng minh: Khi xét mạch ở chế độ mới, đã triệt tiêu nguồn, nếu ta nhân dòng tự do (hoặc điện áp tự do) của 1 nhánh bất kỳ với tổng trở vào (hoặc tổng dẫn vào) của nhánh đó thì phải bằng 0 vì mạng 1 cửa xét trong trường hợp này là không nguồn. ( ). 0 ( ). 0 Kvao Ktd Kvao Ktd Z p i Y p u      Để nghiệm tự do không triệt tiêu thì: ( ) 0 ( ) 0 Kvao Kvao Zp Yp   ( ) 0 ( ) 0 Kvao Kvao Zp Yp   Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010 8 Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch tuyến tính hệ số hằng I.2. Lập phƣơng trình đặc trƣng. Ví dụ: Lập phương trình đặc trưng của mạch sau. 2 2 2 1 3 1 ( . ) ( // ) . vao Z R p L R pC    C 3 i 3 (t) i 1 (t) E K R 1 R 2 i 2 (t) L 2 i 3td i 1td R 1 R 2 i 2td p.L 2 3 1 .pC đại số hóa R 1 i 3td R 2 i 2td p.L 2 3 1 .pC Z vao 1 1 1 2 2 3 1 ( . )// . vao Z R p L R pC         3 1 2 2 3 1 //( . ) . vao Z R R p L pC    Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010 9 Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch tuyến tính hệ số hằng I.3. Số mũ đặc trƣng và dáng điệu nghiệm tự do. ( ) ( ) ( ) qd xl td x t x t x t  Giá trị của số mũ đặc trưng sẽ quyết định dáng điệu của quá trình tự do  quyết định đến dáng điệu của quá trình quá độ trong mạch:  Dấu của số mũ đặc trưng quyết định quá trình tự do sẽ tăng hay giảm khi t  ∞ (quá trình quá độ sẽ tiến đến 0 hay tiến đến nghiệm xác lập).  Độ lớn của số mũ đặc trưng quyết định tốc độ biến thiên của quá trình tự do.  Dạng nghiệm của số mũ đặc trưng quyết định quá trình tự do là dao động hay không dao động. Phƣơng trình đặc trƣng Thông số, cấu trúc mạch điện Đặc điểm quá trình quá độ Số mũ đặc trƣng p k Điều chỉnh Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010 10 Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch tuyến tính hệ số hằng I.3. Số mũ đặc trƣng và dáng điệu nghiệm tự do. a. Đa thức đặc trƣng có nghiệm thực đơn p k .  Dạng nghiệm tự do: . 1 ( ) . k n pt td k k x t A e     Dáng điệu nghiệm tự do:  Nếu p k < 0: Nghiệm tự do sẽ giảm về 0  quá trình quá độ sẽ đi đến nghiệm xác lập x xl (t).  Nếu p k > 0: Nghiệm tự do tăng lên ∞ khi t  ∞.  | p k | quyết định tốc độ tăng/giảm nhanh chậm của nghiệm tự do. () td xt t A () td xt t  Cách vẽ hàm: x td (t) = A.e p.t . 1 p    Đặt hằng số tích phân: 1 1 . 0 () . 0 td Ae nêu p tx Ae nêu p            Tại  sau khoảng thời gian t = τ thì biên độ của x td thay đổi e lần. 3τ  Tại t = 0  x td (0) = A t = ∞ Quá trình quá độ đƣợc coi là xác lập khi t = 3τ τ A.e -1 2τ A.e -2 p k > 0 p k < 0 A k - A k [...]... quá độ: K i1qd(t)  i1qd (t )  0.5  A1.et cos(t  1 )  ' i1qd (t )   A1.et cos(t  1 )  A1e t sin(t  1 )   L2=1H i2qd(t) E=1V R2 =1 C3=1F i3qd(t) Xét tại t = +0: i1qd (0)  1  0.5  A1.cos 1   A cos 1  0.5 (1)  1 ' (2) i1qd (0)   A1.(sin 1  cos 1 )  0.5  A1.sin 1  0  1  0  i1qd (t )  0.5  0.5.et cos(t )( A)  A1  0.5 Chia (2) cho (1) : tg 1  0   Tính toán... f(t) f1(t)  Với hàm có nhiều bước nhảy t1 1( t ) f (t )  1( t ) f1 (0)   f1' ( ).d  1( t  t1 ).f (t1 )  0 t  f2(t) f3(t) f 2' ( ).d  t1 t 0 t1 t2  Ta coi hàm nhiều bước nhảy f(t) là tổng của các hàm φk(t) liên tục n 1( t ) f (t )   (t )   k (t ) f(t) 1 trong đó:  Vậy ta có: k (t )  [1( t  tk 1 )  1( t  tk )] f k (t ) 1 φ2 φ3 t 1( t ) f (t )   (t )    ' ( ).d t t1 t2 0 Cơ. .. i1qd(t) L2=1H  Lập phương trình mạch ở chế độ mới: i1  i2  i3  0   R i  R i  L i '  E  1 1 2 2 2 2 (*)  t  R i  u (0)  1 i dt  E 3  1 1 C C 0  i2qd(t) E=1V R2 =1 C3=1F i3qd(t) Xét tại t = +0: i1 (0)  i2 (0)  i3 (0)  0  i3 (0)  0.5( A)  ' '  i1 (0)  i2 (0)  i2 (0)  1  i2 ( 0)  0.5( A / s)   i (0)  1( A) i1 (0)  1   1 Xét tại t = +0: Đạo hàm hệ phương. .. Việt Sơn - 2 010 C K  Xét tại t = +0: iqd (0)  1 1  A  A R R R 1( t)  hi (t )  1 (1  e R R  t L L ) 25 Chƣơng 10 : Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch tuyến tính hệ số hằng II .1 Phƣơng pháp tích phân Duyamen c Công thức tích phân Duyamen 1( t) Đáp ứng 1( t- τ).f’(τ) Đáp ứng  Ta có: 1( t ) f (t )  1( t ) f (0) Đáp ứng 1( t- τ) h(t) Đáp ứng f’(τ).h(t- τ) 1( t ).x(t )  1( t ) f (0).h(t... R.T t  1(  ) 1(   T ).e  ( t  ) 0 t U d    (  T ).e (t  ) d R0 t 0 i(t )   i(t )  T t t U  U 1(  ).e (t  )  1(   T ).e (t  )   1( t  T ) .e (t T ) 0 T   R. T  R U U 1( t )  e t  1  1( t  T ) 1  e (t T )   1( t  T ) .e (t T )  R. T  R Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2 010 31 Chƣơng 10 : Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch... bài toán quá trình quá độ Ví dụ: Tính dòng điện quá độ trong mạch  Đặt nghiệm: R1 =1 xqd (t )  xxl (t )  xtd (t )  Tính nghiệm xác lập: i1xl  i2 xl  i1qd(t) E  0.5( A) ; i3xl  0( A) R1  R2  Tính nghiệm tự do: K L2=1H i2qd(t) E=1V R2 =1 C3=1F i3qd(t)  Phương trình đặc trưng:  1  2 R1  ( R 2  pL 2 ) //   0  p  2 p  2  0  p1,2  1  j pC3    xtd (t )  A.et cos(t   )  Tìm hằng... e(t) 1  t 1 e với   R R.C C e(t)  Áp dụng công thức tích phân Duyamen nghĩa hẹp: U t 1( t ).x(t )  1( t ) f (0).h(t )   f ' ( ).h(t   ).d t 0 0 T T t 1 1  1( t ).iqd (t )  U e t   u ' ( ).h(t   ).d  U e (t T )   u ' ( ).h(t   ).d R R 0 T 0 0  1( t ).iqd (t )  Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2 010 U  t e 1( t )  e (t T ) 1( t  T )   R 28 Chƣơng 10 :. .. (*): Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2 010 ' ' i1'  i2  i3  0  ' ' ''  i1  i2  i2  0  i'  i  0  1 3 ' i3 (0)  0( A / s) i1' (0)  0.5( A / s) 18 Chƣơng 10 : Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch tuyến tính hệ số hằng I.5 Dùng phƣơng pháp tích phân kinh điển xét một số bài toán quá trình quá độ Ví dụ: Tính dòng điện quá độ trong mạch R1 =1  Nghiệm quá độ: K i1qd(t)... (0)  0  1 t R.C R C E t 1  Lập phương trình mạch ở chế độ mới: R.i (t )  uC (0)   iC (t ).dt  E C 0 E Xét tại t = + 0: R.i(0)  E  i(0)  uCqd (t )  E  A1.e iCqd (t )  0  A2 e  1  t R.C 1 t R.C  Tổng hợp nghiệm: iC (0)  E  A2 R Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2 010 uCqd (t )  E. (1  e uCxl (t ) E E\R uC (0)  0  E  A1  A1   E Khi t = + 0: R 1  t R C E  R1C t iCqd... có 2 nghiệm âm p1,2   1, 2 C xtd (t )  A1.e 1 t  A2 e2 t  Nếu: R  2 L  có nghiệm kép p   R   1, 2 C 2L xtd (t )  ( A1  A2 t )e t 2  Nếu: R  2 L  có 2 nghiệm phức p1,2   R  j R  1    j  C 2L (2 L) 2 LC xtd (t )  A.e t cos(  t   ) Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2 010 16 Chƣơng 10 : Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch tuyến tính hệ số hằng I.5 Dùng . quá độ đƣợc coi là xác lập khi t = 3τ τ A.e -1 2τ A.e -2 p k > 0 p k < 0 A k - A k Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2 010 11 Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong. điện Đặc điểm quá trình quá độ Số mũ đặc trƣng p k Điều chỉnh Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2 010 10 Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ trong mạch tuyến tính hệ số hằng I.3 . t RC Cqd t RC Cqd u t E e E i t e R     - E () Ctd ut E () Cxl ut ER () Cqd it () Cqd ut Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2 010 15 Chƣơng 10: Các phƣơng pháp tính quá trình quá độ