Chuyên dề lượng giác www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trong kí thường bắt gặp phương trình lượng giác phương trình lượng giác gây khơng khó khăn nhiều em học học sinh, có lẽ lí mà em học sinh thường lo sợ giải phương trình lượng giác có nhiều cơng thức biến đổi lượng giác nên sử dụng công thức để biến đổi phương trình cho Trong chuyên đề xin trao đổi chút kinh nghiệm nho nhỏ với em học sinh học lớp 11,12 em ngày đêm ôn tập để hướng tới kì thi ĐH năm tới Trước hết bạn cần nắm phương trình lượng giác thường gặp Trong phương trình tơi xin bàn với bạn chút phương trình đẳng cấp sin cos Với lí do: dạng SGK trình bày cho phương trình đẳng cấp bậc hai mà kì thi ta thấy xuất phương trình đẳng cấp bậc ba hay cao Minh chứng đề thi khối B – 2008 “Giải phương trình : sin3 x  3cos x  sinx.cos x  3sin x.cosx (ĐH Khối B – 2008 ).” Trước hết ta nhớ lại khái niệm biểu thức f ( x; y ) gọi đẳng cấp bậc k f (tx; ty )  t k f ( x; y ) Từ ta định nghĩa phương trình đẳng cấp bậc k phương trình chứa sin cos phương trình có dạng f (sinx, cosx )  đó: f (t.sinx, t.cosx)  t k f ( sinx; cosx) Ví dụ: sin x  3cos x  5sin xcos x  10sin3 xcosx  phương trình đẳng cấp bậc bốn Tuy nhiên ta xét phương trình : sin3 x  cos x  sinx  cosx nhìn ta thấy khơng phải phương trình đẳng cấp, bạn lưu ý sin x  cos x  nên ta viết lại phương trình cho sau: sin3 x  cos x  ( sinx  cosx )( sin x  cos x) , dễ thấy phương trình phương trình đẳng cấp bậc Do với phương trình lượng giác ta định nghĩa lại khái niệm phương trình đẳng cấp sau: “Là phương trình có dạng f (sinx, cosx )  luỹ thừa sinx cosx chẵn lẻ.” Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cos k x  (k số mũ cao nhất) ta phương trình hàm số tanx Ví dụ: Giảii phuong trình sau Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong Chuyên dề lượng giác www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 1) Giải thi ÐH Khối B – 2008 nêu 2) sin3 x  cos x  sinx  cosx 3) 8sinx   sinx cosx Những phương trình xin dành cho bạn tự giải (vì có phương pháp giải) Bây tơi xin vào cách phân tích để tìm lời giải cho loại phương trình mà khơng ưa mà ta thường gọi phương trình lượng giác khơng mẫu mực Khơng riêng phương trình lượng giác khơng mẫu mực mà phương trình đại số hay phương trình mũ, logarit để giải phương trình ta phải tìm cách biến đổi phương trình có cách giải phương pháp ta thường dùng biến đổi phương trình tích đưa phương trình chứa hàm số lượng giác Ví dụ 1:Giải phương trình : 1 7   4sin(  x ) (Trích đề thi ĐH Khối sin x sin( x  3 ) A – 2008 ) Với tốn có lẽ khó khăn mà gặp phải là xuất hai cung 3 7 x cung  x Các bạn lưu ý ta luốn tính giá trị giá trị lượng giác cung có dạng k m  2, 3, 4, nên điều ta nghĩ tới sử dụng công thức cộng để phá m bỏ hai cung Ta có: sin( x  3 3 3 )  sinx.cos  cosx.sin  cosx 2 Nên phương trình cho   1   2 2(sin x  cos x) sin x cos x ( sinx  cosx)( sin x  1) 0 sinx.cosx   sin x  cos x  x    k 2     sin x    x     k ; x   5  k    8  Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong Chuyên dề lượng giác www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu Nhận xét: * Để phá bỏ hai cung mà gây khó khăn cho ngồi cách nêu ta làm theo cách khác sau: sin( x  sin( 3     )  sin ( x  )  2   sin( x  )  cos x 2   7      x)  sin  2  ( x  )    sin( x  )    sin x  cos x  4   3 7 cung  x phương trình cịn lại cung x nên ta dẽ biến đổi Điều hồn tồn tự nhiên thơi phải khơng bạn? Khi giải toán toán học hay toán sống đặc biệt tốn so sánh điều cần làm đưa đơn vị dạng Chẳng hạn tơi xin nêu ví dụ đơn giản vô thú vị mà thường hỏi em học sinh cam trừ cam ? học sinh cười trả lời hai Thế hỏi tiếp cam trừ táo bao nhiêu? Lúc khn mặt em khơng cịn nụ cười mà thay vào tị mị cuối em trả lời không trừ được, dĩ nhiên câu hỏi sao? Các em trả lời không loại! * Ta thấy sau phá bỏ hai cung x  Chắc em hiểu muốn nói điều ? Vậy ngun tắc thứ xin đưa cho bạn là: Đưa cung Bây ta vận dụng nguyên tắc vào giải phương trình lượng giác có mặt đề thi năm gần Ví dụ 2: Giải phương trình : cos3 x  cos x  cosx   ( ĐH Khối D – 2006 ) Lời giải: Vận dụng nguyên tắc ta chuyển hai cung 2x 3x cung x Áp dụng công thức nhân đơi nhân ba ta có: PT  cos x  3cos x  (2 cos x  1)  cos x    cos3 x  cos x  2cos x   Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong Chuyên dề lượng giác www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu Đặt t  cos x, t  Ta có: 2t  t  2t    (t  1)(2t  1)   t  1  t    Từ bạn tìm x   2  k 2 ; x  k Chú ý : * Trong SGK không đưa công thức nhân ba nhiên em nên biết cơng thức lúc khó khăn mang sử dụng chứng minh khơng khó khăn sin3x  3sinx  sin3 x; cos 3x  4cos x  3cosx * Cách giải cách giải cách giải hay cách giải theo tơi tự nhiên bạn dẽ tìm lời giải Cách giải ngắn gọn đẹp phương trình ta biến đổi phương trình tích sau PT  (cos3 x  cosx )  (1  cos x )   2 sin2 x.sinx  2sin x   sin x(2cosx  1)  giải phương trình ta nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình : 3cos x  8cos x  2cos x   (Dự bị Khối B – 2003 ) Lời giải: Ta chuyển cung 4x cung x Ta có: cos x  2cos x   2(2cos x  1)   8cos x  8cos x  Nên phương trình cho  4cos x  12cos x  11cos x   Đặt t  cos x,  t  Ta có: 4t  12t  11t    t 1   Từ ta tìm nghiệm t   Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong Chuyên dề lượng giác x www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu    k ; x  k Chú ý : Vì phương trình chứa lũy thừa bậc chẵn cos, ta chuyển cung 2x nhờ cơng thức hạ bậc công thức nhân đôi PT  3(2 cos 2 x  1)  (1  cos x)3   cos x   cos x(cos 2 x  3cos x  2)      cos x  x   k  cos x      x  k Ví dụ 4: Giải phương trình : 2sinx(1  cos x )  sin x   2cosx (ĐH Khối D – 2008 ) Lời giải: Trong phương trình chứa hai cung 2x x, nên ta chuyển cung 2x cung x PT  sin x cos x  2sin x cos x   cos x  sin x cos x(2 cos x  1)  cos x     x   k  (2 cos x  1)(sin x  1)     x   2  k 2   Tuy nhiên khơng phải phương trình lượng giác ta đưa cung Chẳng hạn ta xét ví dụ sau: Ví dụ : Giải phương trình : sin x.cos3 x  sin5 x.cos x phương trình việc đưa cung gặp q nhiều khó khăn, phương trình xuất bốn cung 2x, 3x, 5x, 6x ! Tuy nhiên cung có mối quan hệ định quan hệ hiệu hai cung x  x  x  x   x , hai vế hai phương trình tích hai hàm số lượng giác nên ta nghĩ đến công thức biến đổi tích thành tổng Thật : Phương trình  1 sin x  sin x  sin11x  sin x  Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong Chuyên dề lượng giác www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu    xk  sin x  sin11x   x    k   16  Ví dụ : Giải phương trình sin x  sin x  sin x  cos x  cos x  cos 3x Cũng tương tự hai vế phương trình tổng hàm số lượng giác, ta nhận thấy vế phương trình chứa ba cung x, 2x, 3x ba cung x  3x  x điều gợi ta nhớ đến công thức biến đổi tổng thành tích có quan hệ Phương trình  (sin x  sin 3x )  sin x  (cos x  cos x)  cos x  2sin x cos x  sin x  cos x cos x  cos x  (2 cos x  1)(sin x  cos x )  2    x    k 2 cos x       x  k sin x  cos x   Qua hai ví dụ tơi muốn đưa nguyên tắc thứ hai mà ta thường hay sử dụng Biến đổi tích thành tổng ngược lại Trong phương trình xuất tích hàm số lượng giác sin cos ta biến đổi thành tổng (mục đích tạo đại lượng giống để thực phép rút gọn) Nếu xuất tổng ta biến đổi tích (Mục đích làm xuất thừa số chung ), đặc biệt ta gép cặp cho tổng hiệu hai cung Ví dụ : Giải phương trình sin x  cos x  sin x  cos x (ĐH Khối B – 2002 ) Với phương trình ta khơng thể chuyển cung, khơng thể biến đổi tổng thành tích được! Ngun nhâ mà ta khơng nghĩ tới đưa cung q rõ, cịn mà ta lại khơng sử dụng biến đổi tổng thành tích hàm số xuất hai vế phương trình chứa lũy thừa bậc hai mà công thức biến đổi áp dụng cho hàm số có lũy thừa bậc thơi Điều dẫ tới ta tìm cách đưa bậc hai bậc để thực điều ta liên tưởng đến công thức hạ bậc Phương trình   cos x  cos8 x  cos10 x  cos12 x    2 2  cos x  cos x  cos10 x  cos12 x Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong Chuyên dề lượng giác www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu    x   k cos x    cos x cos x  cos11x cos x     cos11x  cos x x  k  ; x  k    Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng công thức biến đổi lượng giác Tuy nhiên công thức sử dụng hàm số lượng giác có số mũ 1, phương trình có số mũ hàm số lượng giác chẵn ta hạ bậc để thuận tiện cho việc biến đổi Vậy nguyên tắc thứ ba mà muốn trao đổi với bạn nguyên tắc hạ bậc Ví dụ : Giải phương trình cos2 x cos x  cos x  ( ĐH Khối A – 2005 ) Phương trình  (1  cos x) cos x   cos x   cos x.cos x    cos8 x  cos x    2cos x  cos x    cos x   x  k  Nhận xét: * Ở (1) ta sử dụng công thức nhân ba, thay cos x  4cos3 x  3cos x chuyển phương trình trùng phương hàm số lượng giác cos2x * Ta sử dụng công thức nhân từ đầu, chuyển phương trình cho phương trình chứa cosx đặt t  cos x Tuy nhiên cách trình bày đẹp sử dụng công thức hạ bậc cơng thức biến đổi tích thành tổng ( Vì cơng thức nhân ba khơng học) Ví dụ : Giải phương trình 5sin x   3(1  sinx)tan x (ĐH Khối B – 2004 ) Trước hết ta đặt điều kiện cho phương trình Đk: cos x   x  Phương trình  5sin x   3(1  sin x)  5sin x   3(1  sin x)  5sin x   sin x cos x sin x  sin x sin x  (5sin x  2)(1  sin x)  3sin x  sin x  2sin x  3sin x   Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong   k Chuyên dề lượng giác www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu    x   k 2   sin x   sin    x  5  k 2   Chú ý : Nếu phương trình xuất tan, cot sin, cos ta thay tan, cot sin cos lúc dễ dàng tìm lời giải Chú ý gặp phương trình chứa tan hay cot, ta nhớ đặt điệu kiện cho phương trình x x  Ví dụ 10 : Giải phương trình sin    tan x  cos  (ĐH Khối D – 2003 ) 2 4 Điều kiện : cos x   x    k   sin x  Phương trình  1  cos( x  )   (1  cos x )   cos x   (1  sin x )  sin x  (1  cos x)   sin x sin x  (1  cos x)   (1  cos2 x )  (1  cos x )(1  sin x )   sin x  x  k 2 cos x    (1  cos x)(cos x  sin x )       tan x   x   k  Trên số nguyên tắc chung thường dụng phép biến đổi phương trình lượng giác Mục đích phép biến đổi nhằm : Đưa phương trình ban đầu phương trình lượng giác thường gặp (Thường đưa phương trình đa thức hàm số lượng giác) Ví dụ 1: Giải phương trình :  tan x  sin x (ĐH Cơng Đồn – 2000) Giải: Điều kiện : cos x   x  Phương trình     k sin x  4sin x cos x  cos x  3sin x  sin x cos x cos x Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong Chuyên dề lượng giác www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu Đây phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế phương trình cho cos3 x (do cos x  ), ta phương trình : tan x 3  tan x   tan x  tan x (1  tan x)  tan x 2 cos x cos x  tan x  tan x  tan x    tan x  1  x     k thỏa điều kiện Nhận xét: Để giải phương trình từ đầu ta chia hai phương trình sin x cos x tan x cho cos x sử dụng công thức sin x   chuyển phương 2 sin x  cos x  tan x trình ban đầu phương trình chứa hàm tan Ví dụ 2: Giải phương trình : cot x  tgx  sin x  Giải: Điều kiện: sin x   x  k Phương trình  ( ĐH Khối B – 2003 ) sin x  cos x sin x   sin x  sin x cos x sin x cos x  cos2 x  sin x  4sin x.sin x cos x   cos x  sin 2 x    cos 2 x  cos x    cos2 x   (do sin x   cos2 x  1 ) x   k Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức: tanx  cotx  cotx  tanx  cot x sin x Ví dụ 3: Giải phương trình : sin6 x  cos x  sin x (HVBCVT TPHCM – 2001 ) Giải: Ta có : sin6 x  cos x  (sin x  cos x )3  3sin x cos x (sin x  cos x)   sin 2 x Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong www.VNMATH.com Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu Nên phương trình   sin 2 x  sin x  3sin 2 x  4sin x    sin x    x  arcsin  k   x    arcsin  k  2  Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức sin x  cos x   sin 2 x   cos x 4 sin x  cos x   sin 2 x   cos x 8   Ví dụ 4: Giải phương trình: cos x  sin x  cos( x  )sin(3 x  )   (ĐH Khối D – 4 2005 ) Giải: Ta có: sin x  cos x   sin 2 x   1   sin(3 x  ) cos( x  )  sin(4 x  )  sin x     cos x  sin x  4 2   sin 2 x  sin x    1 Nên phương trình   sin 2 x   sin 2 x  sin x  1   2  sin 2 x  sin x    sin x   x    k Đưa phương trình phương trình dạng tích : Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong Chuyên dề lượng giác www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu Tức ta biến đổi phương trình f ( x )  dạng h( x) g ( x)  Khi việc giải  g ( x)  phương trình ban đầu quy giải hai phương trình :   h( x )  Trong mục đích này, ta cần làm xuất nhân tử chung Một số lưu ý tìm nhân tử chung : * Các biểu thức  sin x  ( sinx  cosx ) ;cos x  (cos x  sin x)(cos x  sin x) ;  tan x  sin x  cos x sin x  cos x ;1  cot x  cos x sin x nên chúng có thừa số chung sinx  cosx * Các biểu thức  sin x; cos x;1  tanx;1  cotx có thừa số chung cosx  sinx * sin x; tan x có thừa số chung (1  cosx)(1  cosx) Tương tự cos x; cot x có thừa số chung (1  sinx)(1  sinx) Ví dụ 1: Giải phương trình:  sinx  cos x  sin x  cos x  (ĐH Khối B – 2005 ) Giải: Phương trình  (1  sin x)  (sin x  cos x)  cos x  sin x   (sin x  cos x)  (sin x  cos x )  (cos x  sin x )(cos x  sin x)    sin x  cos x   x    k  (sin x  cos x )(2 cos x  1)      cos x    x   2  k 2    Nhận xét: Ngoài cách biến đổi trên, ta biến đổi cách khác sau Phương trình  cos2  cos x  sin x  2sin x cos x   cos x (2cos 1)  sin x (2cos x  1)   (2cos x  1)(sin x  cos x)  Mặc dù hai cách biến đổi khác chúng dựa nguyên tắc ”đưa cung” Ví dụ 2: Giải phương trình: cos2 x (cos x  1)  2(1  sin x ) (Dự bị Khối D – 2003 ) sin x  cos x Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong Chuyên dề lượng giác www.VNMATH.com Giải: Đk: sin x  cos x   x   Nguyễn Tất Thu   k Phương trình  (1  sin x)(1  sin x)(cos x  1)  2(sin x  cos x)(1  sin x)  (1  sin x)(sin x  cos x  sin x cos x  1)   (1  sin x) (1  cos x)     sin x  1  x    k 2    cos x  1  x    k 2  Ví dụ 3: Giải phương trình: 3cot x  2 sin x  (2  2) cos x Giải: Đk: x  k Phương trình  3cos2 x  2 sin x  (2  2) cos x sin x  3cos x  sin x.cos x  2 sin x  2sin x cos x   (cos x  sin x)(3cos x  sin x)   cos x  cos x     2cos x  3cos x    1   cos x     cos x    6  k 2  x   arccos     x    k 2   Ví dụ 4: Giải phương trình: 2sin x  cos x  sin x  cos x  Giải: Phương trình  4sin x cos x   2sin x  7sin x  cos x    cos x(2sin x  1)  (2sin x  1)(sin x  3)   (2sin x  1)(2cos x  sin x  3)  Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong Chuyên dề lượng giác www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu  sin x      2cos x  sin x      x   k 2   x  5  k 2   ( Lưu ý : | a sin x  b cos x | a  b  cos x  sin x   ) Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân đôi, ta cần lưu ý cos2x có ba cơng thức để thay nên phương trình mà chọn cơng thức phù hợp Bài Tập: Bài tập: Bài 1: Phương trình chứa hàm số lượng giác 1)2 sin2 x  sin x   4)2 cos 2x  6) sin4  2) cos 2x  cos x   7)2tg2 x  3)1  sin x  cos2 x  5) sin4 x  cos4 x  sin 2x   cos x    x x  cos4   sin x 4 0  3 cos x 8) sin2 x  cot gx  Bài 2: Phương trình bậc sin x cos x 1) sin 2x  cos 2x    4) sin x  sin   x   4  2) sin 2x  sin2 x    3)2 sin x  cos x cos x   cos 2x   5)2 sin x  cos  x     4  6) cos2 x  sin 2x   7) cos 7x cos 5x  sin 2x   sin 7x sin 5x Bài 3: Phương tình đẳng cấp 1)3 sin2 x  sin x cos x  cos2 x  2) sin2 x  sin 2x  cos2 x  Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong www.VNMATH.com Chuyên dề lượng giác cos2 x  sin 2x  sin2 x   3) Nguyễn Tất Thu  4) tan x  cot x  sin 2x  cos 2x   6) 2 cos3 (x  )  cos x  sin x  Bài 4: Phương trình lượng giác không mẫu mực 5) sin3 x  cos3 x  sin x  cos x sin x  cos4 x 1  cot 2x  (Dự bị Khối A – 2002 ) sin 2x sin 2x 2) cos x  sin x  cos x  sin 2x  sin x ( ĐH Khối D – 2004 ) 1)  3)   2(sin6 x  cos6 x)  sin x cos x  sin x  ( ĐH Khối A – 2006 ) x 4) cot x  sin x(1  tan x tan )  (ĐH Khối B – 2006 ) x  x 5) sin2    tan2 x  cos2  ( ĐH Khối D – 2003 ) 2 4 x  x 6) sin2 (  ) tan2 x  cos2  7) cot x  tan x  sin x  cos x  8) sin x sin 4x  cos(  x)  cos x sin 4x x  (2  3) cos x  sin2 (  ) 1 10) cos x  12)3 sin x  cos x   tan x 14) sin2 x  sin2 3x  cos2 2x  13) 11)4 sin2 2 sin x 9) tan4 x   (2  sin2 x) sin 3x cos4 x x 3  cos 2x   cos2 (x  )  tan x  tan x  cot x    3 x    3x  15) sin     sin      10   10 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong ...  k    Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng công thức biến đổi lượng giác Tuy nhiên công thức sử dụng hàm số lượng giác có số mũ 1, phương trình có số mũ hàm số lượng giác chẵn... mà phương trình đại số hay phương trình mũ, logarit để giải phương trình ta phải tìm cách biến đổi phương trình có cách giải phương pháp ta thường dùng biến đổi phương trình tích đưa phương trình. ..  Trên số nguyên tắc chung thường dụng phép biến đổi phương trình lượng giác Mục đích phép biến đổi nhằm : Đưa phương trình ban đầu phương trình lượng giác thường gặp (Thường đưa phương trình